Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 1999-2000 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 đ): Rút gọn biểu thức: A = 91229122 + xxxx Bài 2: (2,0 đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = 2x 2 và điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng 2. Tìm tọa độ điểm M trên phần đồ thị của (P) từ O đến A sao cho diện tích tam giác OAM đạt giá trị lớn nhất. Bài 3: (2,0 đ) : Giải hệ phơng trình: += += += += ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 1 12000 2000 20001999 3 32 2 21 x xx x xx x xx x xx Bài 4 (2,0 đ) : Cho đờng tròn (O) đờng kính AH. I, K là 2 điểm thuộc 2 nửa đờng tròn khác phía đối với AH sao cho AI, AK kéo dài cắt HK, HI lần lợt tại B, C. a) Lấy H đối xứng với H qua BC. Chứng minh ABHC nội tiếp b) Chứng minh các tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính BC tại K và I và AH đồng quy. Bài 5 (2,0 đ). Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R, bán kính OC AB. Vẽ đờng tròn tâm O đờng kính OC. Dựng đờng tròn tâm K tiếp xúc trong với nửa đờng tròn (O), tiếp xúc ngoài với đờng tròn (I) và tiếp xúc với đoạn thẳng OB. 1 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2000-2001 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 đ): a) Tính: 322 32 322 32 + ++ + b) Cho hàm số: y = f(x) = ( ) 5353 ++ x x , tính x 0 biết [f(x 0 )] 2 = 8+2 15 Bài 2 (2,0 đ). Cho phơng trình ẩn x tham số m R: m x x xxx = + ++ 3 1 )3(4)1)(3( a) Giải phơng trình với m = -3 b) Giải và biện luận phơng trình theo tham số m Bài 3 (2,0 đ) Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đờng tròn (O) đờng kính AD, F là một điểm trên đờng tròn sao cho BF và BD khác phía nhau đối với OB. BF, BD lần lợt cắt nhau tại E và H a) Chứng minh: BC 2 = BE.BF và tứ giác EHDE nội tiếp đợc đờng tròn. b) Gọi J là điểm đối xứng của B qua O, AJ cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHD tại K. Chứng minh góc AHK = 90 0 c) N là một điểm trên đờng tròn (O), (N khác B), NC cắt AD tại Q. Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NBQ khi điểm N chuyển động trên đờng tròn (O). Bài 4 (4,0 đ). Cho tam giác ABC với phân giác trong AD. Lấy E, F nằm giữa A, D (theo thứ tự A, E, F, D) sao cho góc ABE = góc CBF. Chứng minh: góc BCF = góc ACE. Sở giáo dục - đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam 2 hà nam Năm học : 2001-2002 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 đ): Cho biểu thức: Q= 1 2 1 2 + + + + x xx xx xx , với x > 0 a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q = 2 c) Với 0 < x < 1 tính Q + Q Câu 2: (2,0 đ): Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = x 2 và điểm A(1; 4) a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) qua A với hệ số góc k (k R). Chứng minh đ- ờng thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. b) Tìm k để (D) cắt (P) tại 2 điểm M, N sao cho: +) Tổng các tung độ của các giao điểm đạt giá trị nhỏ nhất +) MA = 2AN, (Trong đó M là điểm có hoành độ âm, N là điểm có hoành độ d- ơng). Câu 3: (2,0 đ) : a) Tìm những giá trị x 0 thỏa mãn: )3(2)2()1( =+ xxxxxx b) Cho x > 0, y > 0, x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + += 2 2 2 2 11 y x x y A Câu 4(3,0 đ): Cho đoạn thẳng AB và 1 điểm M trên AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 hình vuông AMED và BMCF. Các đờng tròn ngoại tiếp 2 hình vuông này cắt nhau tại 2 điểm M, N a) Chứng minh đờng thẳng AN đi qua C và đờng thẳng BE đi qua N b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên AB. c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng O 1 O 2 khi M chuyển động trên AB (O 1 , O 2 là tâm của 2 hình vuông nói trên) Bài 5 (1,0 đ). Chứng minh có hay không một điểm P nằm trong tam giác có 3 cạnh là 5; 12; 13 mà khoảng cách từ P đến mỗi cạnh của tam giác đều nhỏ hơn 2. 3 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2002-2003 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 đ). Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phơng trình: x 2 + x -1 = 0 a) Chứng minh: S = (x 1 10 + x 2 10 ) + (x 1 9 + x 2 9 ) - (x 1 8 + x 2 8 ) = 0 b) Tính A =x 1 7 +x 2 7 Câu 2: (2,5 đ): Cho 2 phơng trình: x 2 + (m+1)x +1 = 0 (1) và x 2 + x +m +1 = 0 (2) , (m là tham số). a) Tìm những giá trị của m để tổng các bình phơng các nghiệm của phơng trình (1) đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm những giá trị của m để 2 phơng trình đã cho tơng đơng. Câu 3: (2,0 đ): a) Giải hệ phơng trình: =+ =+ 8 4 33 22 yx yx b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 1 4 +x 2 4 +x 3 4 + +x 14 4 =2015 Câu 4: (3,0 đ): Cho góc xOy, các đờng tròn (O 1 ; R 1 ), (O 2 ; R 2 ) không cắt nhau lần lợt tiếp xúc với Ox tại M 1 , M 2 , tiếp xúc với Oy tại N 1 , N 2 . a) Tiếp tuyến chung trong của các đờng tròn tâm O 1 , O 2 cắt O 1 O 2 tại K. Chứng minh: OO 1 .KO 2 = OO 2 .KO 1 b) Đờng thẳng M 1 N 2 cắt đờng tròn tâm O 1 tại P, cắt đờng tròn tâm O 2 tại Q. Chứng minh: M 1 P = N 2 Q c) Tìm tập hợp các điểm I nằm trong góc xOy sao cho tổng diện tích các tam giác IN 1 N 2 , IOM 1 bằng N 1 N 2 .OM 1 . 4 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2003-2004 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 đ): 1) Chứng minh rằng: 73312518233125182 33 =++ 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 22 )2004()2003( + xx Bài 2 (2,0 đ): 1) Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 0 145 352)23( 2 22 = + + xx aaxax . 2) Cho x, y là 2 số thỏa mãn các điều kiện sau: + 042 022 022 xy yx yx , Chứng minh rằng: x 2 + y 2 5 4 Bài 3 (2,5 đ) 1) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 4 -2y 4 -x 2 y 2 -4x 2 -7y 2 -5=0 2) Giải hệ phơng trình: +=+ +=+ )1(51 164 22 33 xy xyyx Bài 4 (3,5 đ). Gọi O là tâm, r là bán kính đờng tròn nội tiếp, AD là đờng cao (D thuộc BC) là đờng cao xuất phát từ A của tam giác ABC, kéo dài AO cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F. 1) Chứng minh tam giác FBO cân 2) Gọi M là trung điểm của BC, đờng thẳng MO cắt đờng cao AD tại . Chứng minh AE = r. 5 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học :2004-2005 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,5 đ). Rút gọn biểu thức: 137137 7474116116 + +++ Bài 2 (2,5 đ): Cho phơng trình: 1 1 2 2 2 2 = + x b x a (1), (a, b là 2 số thực khác 0, x là ẩn) 1) Chứng minh phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt 2) Với b = 1, kí hiệu 4 nghiệm của phơng trình là x 1 , x 2 , x 3 , x 4 và đợc sắp xếp nh vậy theo thứ tự tăng dần, tìm a để x 2 -x 1 = x 3 - x 2 = x 4 - x 3 Bài 3 (1,5 đ): Tìm mọi giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 10 3 2 131413 +++=+ x xyy Bài 4 (3,0 đ). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O), điểm B đối xứng với C qua AB, điểm C đối xứng với B qua AC, H là giao điểm của BC và CB 1) Kí hiệu O 1 , O 2 lần lợt là tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABB, HAC. Chứng minh: O 1 O 2 // BC 2) Đờng thẳng AH cắt đờng thẳng BC tại D. Chứng minh: BD.CD = AD.HD 3) Chứng minh 3 đờng thẳng AO, BB, CC đồng quy. Bài 5 (1,5 đ). Cho tam giác ABC cố định, lần lợt lấy trên các cạnh AB, BC, CA các điểm M, N, P sao cho: k PA CP NC BN MB AM === , (k > 0). Tìm k để diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất. 6 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2005-2006 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,5 đ): Giải các phơng trình sau: 1) (1 - x - 2x 2 ) 2 - 4x 3 (x + 1) + 7x +1 = 0 2) 52232 22 +=++ xxxx Bài 2 (2,0 đ): Cho biểu thức: A = + + + + + + + 65 2 3 2 2 3 : 1 1 xx x x x x x x x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm m để có giá trị x thỏa mãn: 2)1()1( +=+ xmxA Bài 3 (2,0 đ). 1) Cho x, y, z là các số dơng. Chứng minh: )( 8 3 222 zyx yx z xz y zy x ++> + + + + + 2) Gọi , là 2 nghiệm phân biệt của phơng trình x 2 + x +k + 1 = 0. Đặt + = nn n a với n là số tự nhiên. Tìm k để a 9 a 10 - a 8 a 11 = 1 Bài 4 (3,5 đ): Cho 2 điểm A, B và (AB) là đờng tròn đờng kính AB. Điểm M trên đờng tròn (AB), (M khác A, B). Trên tia MA lấy C sao cho MC = MB. Gọi MH là đờng cao của tam giác MAB (H thuộc AB) 1) Tìm K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB. Chứng minh ACIB là tứ giác nội tiếp. Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên (AB) 3) Gọi r, r 1 , r 2 lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác MAB, HAM, HBM. Tìm vị trí của M để tổng r + r 1 + r 2 đạt giá trị lớn nhất. 7 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2006-2007 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 đ) : 1) Tính: 3241232426 + 2) Cho a = 1 - 5 , b = 1 + 5 . Tính a 3 + b 3 Bài 2 (2,0 đ): 1) Giải phơng trình : (x 1) 3 + (x + 2) 3 = 8x 3 + 1 2) Cho hệ phơng trình: =+++ =+ )2(0443 )1( 81 697 22 44 yxxyyx yx a. Nếu có x, y thỏa mãn (2), chứng minh: 1 y 7/3 b. Giải hệ phơng trình đã cho. Bài 3 (2,0 đ ): 1) Cho a, b, c là độ dai 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 2) Cho x, y, z là các số thực dơng có tích xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = )( 1 )( 1 )( 1 333 yxzzxyzyx + + + + + Bài 4 (3,0 đ). Từ điểm C nằm ngoài đờng tròn (O 1 ) kẻ tiếp tuyến CM, CN và cát tuyến CAB với đờng tròn (O 1 ) (M, N là các tiếp điểm, A nằm giữa C và B) 1) Chứng minh AM.BN = AN.BM 2) Vẽ đờng tròn (O 2 ) đi qua A, B (2 điểm O 1 , O 2 khác phía đối với đờng thẳng AB). Các đờng thẳng AM, AN cắt đờng tròn (O 2 ) lần lợt ở P, Q (P, Q khác A). Chứng minh đờng thẳng MN đi qua trung điểm I của PQ. Bài 5 (1,0 đ). Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D, biết BD = 7, CD = 15. Tính độ dài AD. 8 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 2007-2008 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3,0 điểm) 1. Trên mặt phẳng toạ độ O xy cho ba điểm A( 2; -3), B( -2; 1) , C (4;-1) a, Chứng minh tam giác ABC vuông. b, Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm C cắt trục õ tại điểm M và cắt trục O y tại điểm N thoả mãn diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác OMN. 2. Tìm các giá trị các số thực a, b để đa thức 3x 3 +ax 2 +bx a +4 chia hết cho đa thức x 2 - 2x +3 . Bài 2 (2.5 điểm) 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 4 12 9 4 4 1x x x x+ + + + 2, Gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 2x + 1 -m= 0(m là tham số). Tính giá trị của biểu thức P = 1 2 2 1 3 3x x x x+ + + theo tham số m. Bài 3 (3.5 điểm) Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tiếp tuyến tại diềm C của đờng tròn ngoại tiếp ABM tại điểm D. a, Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp. b, Gọi K là giao điểm của tia AM với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, chứng minh KD//BC. c, Gọi E là điểm đối xứng với điểm D qua đờng thẳng BC. Chứng minh 3 điểm M, A, E thẳng hàng. Bài 4( 1,0 điểm) Cho f(x) = ax 2 +bx +c với a, b, clà các số nguyên và akhác 0. Biềt f(0) và f(10 là các số lẻ, chứng minh rằng phơng trình f(x) = o không có nghiệm là số nguyên. 9 10 [...]... - đào tạo hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Năm học 200 8-2 009 hớng dẫn chấm môn thi toán: đề chuyên Bài 1(2 ,0điểm) 1 )(1 ,0 điểm) ( x + 1) x + 1 6 = 0 Đặt t = x + 1 0 ta có p/t: t 2 t 6 = 0 t = 3 hoặc t = -2 (loại) Với t = 3 x + 1 = 3 x = 2 hoặc x = - 4 2 P= 2) (1 ,0điểm) 2+ 3+ 5 (2 + = )( 3 + 5 3+ 2 0,50 1 3 2 = 3+ 2 7 0,50 a )(1 ,0 điểm) Với m = 2 đờng thẳng ( ) có p/t: y = = ( (. .. p/t: y = = ( ( ) ( ) 2 3 x + 2 1 2 x2 + ) 2 +1 2 0,50 ) Bài 2(2 ,0điểm) 2 p/t: x = 0,50 ( ) ( ) ( 2) = 0 2 3 x + 2 1 2 ( 2 3 x + 2 1 p/t có 2 nghiệm là x = 2 và x = 1 2 Vậy ( ) cắt (P) tại 2 điểm: (2 ; 4) ; (1 2; 2 2 3) b )(1 ,0 điểm) 2 2 Xét p/t: x = ( m 3) x + 2 ( 1 m ) x + ( m 3) x + 2 ( 1 m ) = 0 (* ) ( ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục Oy (* ) có 2 nghiệm... + 1)y + 2(m + 2) + 1 = 0 có một nghiệm y duy nhất / = m 2 + (2 2)m 2 2 = 0 m = 2 hoặc m = 12 2 0,25 0,25 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 200 9-2 010 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) 13 ... (n n ) + ( n n ) + (n + n + 1) 2 3 669 3 669 2 = n ( (n ) 1) + n ( (n ) 1) + ( n + n + 1) có a k b k = (a b)(a k 1 + a k 2b + + ab k 1 + b k ) với k N* n 3 1 = (n 1)(n 2 + n + 1) Do đó A = (n2 + n +1) f(n) với f(n) là đa thức của n 11 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với n N và n >1 n2 + n +1 >1, f(n) > 1 và là các số nguyên dơng Vậy A là hợp số k/l:... = ( m + 1) 2 > 0 m 1 m 0 + 3y 6 > 0 và 2x > 0 + 2x 8 ; có y y x x Do đó Q 8 + 6 7 = 7 dấu = xảy ra khi 8/x=2x và 3/y = 3y x = 2 và y = 1 Vậy giá trị bé nhất của Q là 7 2 )(1 ,0 điểm) Với n = 1 ta có A = 3 không là hợp số 2009 2 2008 2 Với n >1 khi đó A = (n n ) + ( n n ) + (n... = 2 hoặc t = -3 (loại) x = 2 Với 2 x < 1 ta có p/t: x + 2 + x 2 = 0 Đặt t = x + 2 0 có p/t: 0,25 0,25 0,25 025 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1 + 17 1 17 1 + 17 x= (loại) hoặc t= t2 t 4 = 0 t = ữ 2 (loại) 2 2 2 k/l: Phơng trình có 1 nghiệm x = 2 + Hệ đã cho có một nghiệm (x; y) duy nhất y 2 2(m + 1)y + 2(m + 2) + 1 = 0 có một nghiệm y duy nhất / = m 2 + (2 2)m 2 2 =... nguyên dơng và n >1 Bài 4(3 ,0 điểm) A K M B N I O1 E H 0,25 O2 O C D a) (1 ,0 điểm) Có góc AEC = gócABE + gócBAE = gócHAC + gócHAE = gócEAC Do đó CAE cân đỉnh C mà CK là đờng phân giác của góc C CK AE Có gócAHC = gócAKC = 900 AKHC là tứ giác nội tiếp b) (1 ,0 điểm) có CI AE O2I AO1 , tơng tự có O1I AO2 Vậy I là trực tâm AO1O2 AI O1O2 AMN có AI MN và góc MAI = góc IAN ( cùng bằng 450 ) AMN... AM = AN c) (1 ,0 điểm) KAO2 vuông đỉnh K mà góc KAO2 = 450 vậy KAO2 vuông cân đỉnh K KA = KO2 Gọi D là giao điểm của AI với đờng tròn (O) Ta có AI O1O2 góc KO1O2 = góc O2ID góc KO1O2 = góc KIA AKI = O2KO1 AI = O2O1 có gócDIB = gócBAD + gócABI = góc CBD + gócCBI = góc DBI vậy DBI cân đỉnh D DB = DI BD cho trớc nên O1O2 lớn nhất khiAD lớn nhất A là điểm chính giữa cung BC Bài 4(1 ,0 điểm) . Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 199 9-2 000 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 ,0 đ): . 2. 3 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 200 2-2 003 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 ,5 đ). Gọi. N 1 N 2 .OM 1 . 4 Sở giáo dục - đào tạo hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên hà nam Năm học : 200 3-2 004 Môn : Toán chuyên (Thời gian làm bài : 150 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 ,0 đ): 1)