Các vấn đề phổ biến của giải tích hàm một biến : 1) Đạo hàm : Đ/n ; tính chất . Các ứng dụng đầu tiên 2) Tiếp tuyến : Đ/n ; pp viết pttt, các bài toán liên quan đến tiếp tuyến. 3) Sự biến fthiên của hàm số . Các thuật ngữ : hs đồng biến , hs nghịch biến , hs đơn điệu . Đạo hàm dương , đạo hàm âm , đạo hàm không âm , đạo hàm không dương . a) đ k cần để hàm số đơn điệu : Đl : y= f(x) , có txđ D = R . I là khoảng con của D . +) hs đb trên I thì f ’ (x) Ix ∈∀≥ ;0 . +) h s nb trên I thì f ’ (x) .;0 Ix ∈∀≤ +) hàm số không đổi trên I thì f ’ (x) =0 trên I. b) Đ k đủ để hàm số đơn điệu : ĐL2: : y= f(x) , có txđ D = R . I là khoảng con của D. +) f ’ (x) >0 trên I thì y= f(x) đb trên I. +) f ’ (x) <0 trên I thì y= f(x) nb trên I. +) f ’ (x) =0 trên I thì y= f(x) không đổi trên I. Cm : định lý la gơ răng : y=f (x) l tục trên [a;b] . y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . khi đó tồn tại số c thuộc khoanh (a;b) sao cho : ).( )()( ' cf ab afbf = − − Các VD : VD1 : xét cbt của hàm số : Y = x x 2 2 1 + . VD2 : xét cbt của hàm số : y = -x 3 + 3x +10 . VD3 : cmr hs y = f(x) = 2x + sin x đồng biến trên tập x định . VD4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ; Y = 74 2 ++ xx . Chú ý : 1)Mở rộng định lý 2 ta có định lý 3: y=f(x) có txđ D . I là tập con của D. +) f ’ (x) không âm trên I, bằng O tại hữu hạn điểm thì h s đb trên I. +) f ’ (x) không dương trên I , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên I thì h s nb trên I. VD : cm hs y= x 3 đb trên R . 1 2) Đk để hs đ đ trên một tập : VD : ( ĐH thủy lợi HN năm 1997) Tìm m để hs đb trên toàn bộ txđ : Y= xmxmx m ).23(. 3 1 23 −++ − . Đk để một tam thức bậc hai luôn giữa một dấu trên R . T(x)= cxbxa ++ 2 t(x) a ∆ 0≥ + 0≤ 0≤ - 0≤ Chú ý : nếu a chưa khác 0 thì phải xét th a bằng 0. 4) Cực tri hàm số: Thuật ngữ : cực trị , cực tiểu , cực đại . lân cân , khoảng . Gtln , gtnn địa phương . người đẹp địa phương . Đạo hàm đổi dấu . đk cấn để có cực tri , đk đủ để có cực tri . Dấu hiệu nhận biết cực trị. a) Điểm cđ , điểm ct : Đ/N : y=f(x) có txđ là D. +) x 0 đgl điểm cđ của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x 0 (K )D⊂ . sao cho : f(x) }{\);( 00 xKxxf ∈∀< .Khi đó gths tại x 0 đgl gtcđ , k hiệu : f cđ hay y cđ và x 0 =x cđ . +) x 0 đgl điểm ct của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x 0 ( K )D⊂ sao cho : f (x) f> (x 0 ) , }{\ 0 xKx ∈∀ . Khi đó gths tại x 0 đgl gtcđ , khí hiệu là f cđ hay y cđ . và x 0 =x cđ . b) Đk cần để h/s có cực trị : Đl pec ma : nếu x 0 : c trị , tồn tai f ’ (x 0 ) thì f ’ (x 0 )=0. Cm : pp giới hạn .chuyển về cm f ’ (x 0 ) ;0≥ f ’ (x 0 ) .0≤ Chú ý : hàm số có cực trị tại x o thì f ’ (x 0 )=0. hoặc ko tồn tại f ’ (x 0 ). c ) Đk đủ để có cực trị : Dấu hiệu I : Đl : y= f(x) có Txđ D ; x 0 thuộc D . i ) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì x o : cđ . ii ) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì x o : ct. Dấu hiệu II Đl : Y= f(x) có Txđ D . ; x 0 thuộc D . Nếu f ’’ (x 0 ) .0≠ +) f ’’ (x 0 ) >0 thì x 0 là điểm CT. +) f ’’ (x 0 )<0 thì x 0 là điểm CĐ . c) pp tìm cực trị : 2 Nếu xét dấu f ’ thuận tiện thì ta dùng dấu hiệu I .còn ngược lại ta dùng dấu hiệu II . Các ví dụ : VD1 : tìm cực tri hàm số : 3 . 0. 4) Cực tri hàm số: Thuật ngữ : cực trị , cực tiểu , cực đại . lân cân , khoảng . Gtln , gtnn địa phương . người đẹp địa phương . Đạo hàm đổi dấu . đk cấn để có cực tri , đk đủ để có cực tri. fthiên của hàm số . Các thuật ngữ : hs đồng biến , hs nghịch biến , hs đơn điệu . Đạo hàm dương , đạo hàm âm , đạo hàm không âm , đạo hàm không dương . a) đ k cần để hàm số đơn điệu : Đl : y= f(x). Các vấn đề phổ biến của giải tích hàm một biến : 1) Đạo hàm : Đ/n ; tính chất . Các ứng dụng đầu tiên 2) Tiếp tuyến : Đ/n ; pp viết pttt, các bài toán liên quan đến