Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán phần tích phân.
Sở GD & Đt nghệ an Trờng THPT Đặng thúc høa sin4x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 6 tÝch ph©n 6 dx ( x +1) - ( x -1) I= ∫ = dx = x +1 ∫ x +1 Giáo viên : Phạm Kim Chung Tổ : Toán Năm học : 2007 - 2008 " 12 giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Thực mặt đất lm có đờng, ngời ta thnh đờng ! - Lỗ Tấn - Viết ti liệu khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi đẳng cấp thực ! Cịng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cđa mét nh viết sách, không hy vọng điều lớn lao biết lực môn Toán l có hạn Khi có ý tởng viết điều gom nhặt đợc mong qua ngy lĩnh hội sâu môn Toán sơ cấp qua tiết học học trò bớt băn khoăn, ngơ ngác V đọc bi viết ny nghĩa l có ngời thầy, ngời bạn chung niềm đam mê diệu kì To¸n häc dx ∫ x8 + = Thư giải bi toán khó nhng cha thật hi lßng ! ⎡ ⎤ ( x + 1) - ( x - 1) ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( - 1) x ⎦ (x = dx = dx + 2∫ (x + 1) - ( 2x x2 + dx + ∫ x + 2x + ( ) 2∫ 2 ) -1 (x ( x + 1) x ∫ (x 2 + 1) - ( 2x ) 2 )( ) - 2x + x + 2x + dx + 2∫ ( ) ( ) - 1) ⎡ x - 2x + + + x ⎤ ⎣ ⎦ dx 2 x + 2x ( ) ( ) x2 - dx + ∫ x + 2x + ( ) +1 ∫ (x (x - 1) x )( ) - 2x + x + 2x + 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 1+ 1- ⎜ 1+ ⎟ dx ⎜ - ⎟ dx -1 + 1 x ⎠ x ⎠ ⎝ ⎝ x x = ∫ dx + + dx + 2 ∫ ⎡⎛ ⎞2 ∫ ⎡⎛ ⎞ 2 2 ⎛ 2 ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎢⎜ x + ⎟ - + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - - ⎥ ⎢ ⎜ x - ⎟ + - ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + + ⎥ ⎜x - ⎟ +2+ ⎜x + ⎟ - 2- x⎠ x x x x x ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ d⎜x - ⎟ d⎜x - ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x - ⎟ 2 + + 1 x x x x x⎠ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ + + ∫ + = ∫ 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 ⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 4 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎢⎜ x - ⎟ + - ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - + ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - - ⎥ ⎜x + ⎟ - 2- ⎜x - ⎟ +2+ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ( ) ( ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟ - 2- ⎜x + ⎟ - 2+ 2+ 2- 2- 2 + x x⎠ ⎠ = u+ v+ ln ⎝ + ln ⎝ +C 1⎞ 1⎞ 8 16 16 ⎛ ⎛ ⎜x + ⎟+ 2- ⎜x + ⎟+ 2+ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ ( Víi x - ) ) ( ) ( ( = + tgu = - tgv x ) ) ) ( ) ) (NÕu dïng kết ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay ? ) _ Tháng 12 năm 2007 (Trang 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Phần lý thuyết Định nghĩa : Giả sử f(x) l hm số liên tục khoảng K, a v b l hai phần tử K, F(x) lμ mét nguyªn hμm cđa f(x) trªn K Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b f(x) v đợc kí hiệu lμ b b ∫a f ( x )dx Ta dïng kÝ hiƯu F ( x ) a ®Ĩ chØ hiƯu sè : F(b) – F(a) b C«ng thøc Newton – Laipnit : ∫ f ( x )dx = F (x) a VÝ dô : ∫ x dx = b = F(b) – F(a) a x3 1 = (1 − 03 ) = 3 b Chó ý : TÝch ph©n ∫ f ( x )dx chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phơ thc vμo kÝ hiƯu biÕn số tích phân Vì ta a b có thÓ viÕt : F(b) – F(a) = ∫ f ( x )dx = b b a a ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du a Các tính chất tích phân a f ( x )dx = a b a a b ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx b b b a a ∫ ⎡⎣αf ( x ) ± βg ( x )⎤⎦dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx a e e e e e 3⎞ ⎛ VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x + ln x = ( e2 − 1) + (1 − ) = e2 + 1 x⎠ x 1⎝ 1 c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx b VD : ∫ −1 x dx = ∫ −1 1 −1 x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = − x2 x2 + =1 −1 b f(x) đoạn [a ; b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ a b f(x) g(x) đoạn [a ; b] b ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx a a VD : Chøng minh r»ng : π π 0 ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx b m f(x) M đoạn [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ a b b a a ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a) 1⎞ ⎛ VD : Chøng minh r»ng : ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x⎠ đoạn [1; 2] ta có : max y = ; y = HD Khảo sát hm số y = x + [1;2] [1;2] x ª 0974.337.449 _ Th¸ng 12 năm 2007 _ Trang 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 2 2 2⎛ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 x x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 Phần phơng pháp Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) x dx VD TÝnh tÝch ph©n : I = x +1 Đặt : t = x + Khi x= th× t=1, x=1 th× t=2 dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx Do ®ã : 2 x dt I=∫ dx = ∫ = ln t = ln 2 21 t x +1 b b a a ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx Quy trình giải toán Bớc Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận B−íc BiĨu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) ∫ B−íc TÝnh g ( t )dt v(a) Bμi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích phân sau : e2 ∫ e dx x ln x π ∫ ( 2x − 1) dx ∫π sin3 x dx x dx ∫0 x + 4 dx ∫ ( 2x + 1) x +1 dx ∫ x (1 + x xdx x ) Phơng pháp đổi biến sè : x = u(t) VD TÝnh tÝch ph©n : sinx ∫ − x dx Đặt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t= ⎣ 2⎦ ⎠ ⎝ π ⎤ ⎡ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt ⎣ 2⎦ O cosx Do ®ã : ∫ − x dx = π ∫ − sin t cos tdt = π π ∫ cos t cos tdt = ∫ cos tdt = π π + cos 2t 1⎛ π ⎞ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = =∫ 2⎝ ⎠0 b Quy trình giải toán f ( x )dx a Bớc Đặt x = u(t), t ; cho u(t) có đạo hm liên tục đoạn ; , f(u(t)) đợc xác định đoạn ⎣⎡α; β⎦⎤ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b ª 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Bớc Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β B−íc TÝnh ∫ g ( t )dt α Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích ph©n sau : dx ∫ + x2 ∫ x ∫ 1− x 1 dx ∫x 2 ∫ − x dx x + x dx dx + x +1 5+x dx ( Đặt x=5cos2t) 5x Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) VD1 TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ + x dx t2 − 2t t2 + Khi x =0 th× t= -1, x=1 th× t= − vμ dx = dt Do ®ã : 2t 1− 1− 1− 1− 1− t + 2t + 1⎛ 1 ⎞ − t2 − t2 + I= ∫ dt = − dt tdt dt dt ⎟ = = − + + ⎜ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎜ 2t 2t −1 t ⎝ −1 t t 1 Đặt Cách (1) = − + x = x - t ⇒ = -2xt + t ⇒ x = 1− t2 − 1 1− − ln t + = − ln −1 8t −1 −1 ( ) −1 + 2 Cách (2) : Đặt x=tgt , x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thĨ chän t ∈ ⎢0; ⎥ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t = ⎣ 4⎦ dt Do ®ã : vμ dx= cos2 t ∫ + x dx = π ∫ 1 + tg t dt = cos t π π π ∫ π π 4 1 cos t dt dt dt = = = ∫ ∫ cos t cos t cos t cos t π ∫ d ( sin t ) (1 − sin t ) 2 = π ⎤ 1 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ = ∫⎢ + ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ ⎥ d ( sin t ) = ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ π π π ⎤ d ( sin t ) ⎡ 1 d (1 − sin t ) 4 d (1 + sin t ) = = ∫⎢ + + ∫ + ∫ ⎥ d ( sin t ) = − ∫ ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ (1 − sin t ) (1 − sin t )(1 + sin t ) (1 + sin t )2 π π π π ⎡ 1 ⎤ 1 + sin t sin t 1 + sin t = − ln − + = ⎢ ln − + = + ln 4 4 ⎥ 2 ⎣1 − sin t + sin t ⎦ − sin t cos t − sin t ( ) B×nh luận : Bi toán ny giải đợc phơng pháp tích phân phần Còn với cách giảI rõ rng bắt gặp cách 1) ta nghĩ chứa đựng phép tính toán phức tạp cách 2) chứa phép tính toán đơn giản Nhng ngợc lại suy đoán - cách 2) lại chứa phép tính toán di dòng v thật không tích phân cha hẳn đà l đợc lm đợc m lại di dòng VD2 Tính tích phân : I = ∫ ª 0974.337.449 _ 1 + x2 dx Tháng 12 năm 2007 _ Trang 12 Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 t2 2t t2 + dt Do ®ã : Khi x =0 th× t= -1, x=1 th× t= − vμ dx = 2t 1− 1− −2t t + 1 I= ∫ dt = − dt = ∫ t + 2t t −1 −1 + x = x - t ⇒ = -2xt + t x = Đặt Cách (1) = − ln t −1 = − ln ( ) Cách (2) : Đặt x=tgt , x ∈ ⎡⎣0;1⎤⎦ nªn ta cã thĨ chän t ∈ ⎢0; ⎥ Khi x=0 th× t=0, x=1 th× t = ⎣ 4⎦ dt vμ dx= cos2 t Do ®ã : ∫ π 1 + x2 dx = ∫ π π π 4 cos t 1 cos t dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = 2 2 cos t cos t cost cos t + tg t 0 = π d ( sin t ) ∫ (1 − sin t ) = π 1 − sin t ln = − ln + sin t ( ) −1 Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích ph©n sau : ∫ x − 1dx 1 ∫1+ x − 4x + ∫ x2 − 1 −1 dx ∫ 1+ −2 x2 dx − 2x − x x + 2x + 2dx −1 dx ∫ ∫x+ xdx x2 − Chó ý : Khi ®øng tr−íc mét bμi toán tích phân, bi toán no xuất nhân tử để sử dụng phơng pháp đổi biến số Có nhiều bi toán phải qua hay nhiều phép biến đổi xuất nhân tử để đặt ẩn phụ ( nói đến phần Phân Loại Các dạng Toán ) Phơng pháp tích phân phần Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục đoạn [a; b] th× : b b b u x v' x dx = u x v x - v ( x )u' ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫a a ∫a hay b ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) v ( x ) ) a b b - v ( x )du a ∫a π VD1 TÝnh x cos xdx du = dx u=x Đặt ⎨ , ta cã : ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x ª 0974.337.449 _ Tháng 12 năm 2007 _ Trang 12 ∫ Phạm Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thóc Høa 2007 π π π π π π ∫0 x cos xdx = ( x sin x ) − ∫0 sin xdx = + cosx = − 0 NhËn xÐt : Một câu hỏi đặt l đặt u = cosx dv = xdx có đợc không ? Ta h·y thö : π π ⎛ x2 ⎞ 12 = x cos xdx cosx ⎜ ⎟ + ∫ x sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫0 ⎝ ⎠ 20 π ∫x sin xdx phức tạp tích phân cần tÝnh VËy viÖc lùa chän u vμ dv quyÕt định lớn việc sử dụng phơng pháp tích phân phần Ta hÃy xét VD để tìm câu trả lời vừa ý ! ln x VD2 TÝnh ∫ dx x 1 u = Ta thử đặt : x ⎪⎩ dv = ln xdx râ rμng ®Ĩ tÝnh v= ln xdx l việc khó khăn ! ⎧ ⎪⎪ du = x ta cã : ⎨ ⎪ v = dx = − ∫ x5 ⎪⎩ 4x 2 ln x ln ⎛ ⎛ ln x ⎞ dx + ⎜− Do ®ã : ∫ dx = ⎜ − ⎟ + ∫ = − x 4x x 64 ⎝ 4x ⎝ ⎠ 1 u = ln x Giải Đặt ⎨ ⎪⎩dv = x dx ⎞ 15 ln − ⎟1= 256 64 ⎠ NhËn xÐt : Tõ VD trªn ta cã thĨ rót mét nhận xét ( với tích phân đơn giản ) : ViƯc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : du đơn giản, v dễ tính Tích phân sau ( vdu ) phải đơn giản tích phân cần tính ( udv ) Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính tích ph©n sau : x ∫ xe dx ∫ 3x xe dx x sin xdx ∫ ( x − 1)cosxdx e ∫ e x cosxdx π π 2 π ∫ π ∫ ∫ e 10 ∫x e −x dx 0 2x ln ( x − 1)dx ln xdx ∫ ( − x ) sin 3xdx ∫ ( ln x ) dx Mỗi dạng toán chứa đựng đặc thù riêng ! Phần phân loại dạng toán Tích phân hm hữu tỷ A Dạng : I = ∫ P (x) dx ax + b ª 0974.337.449 ( a ≠ 0) _ Th¸ng 12 năm 2007 _ Trang 12 giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Công thức cần lu ý : I = α dx = ln ax + b + C ax + b a TÝnh I1 = x + dx ∫ x −1 TÝnh I2 = x − dx ∫ x +1 x3 TÝnh I3 = ∫ 2x + dx Phơng pháp : Thực phép chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch phân dạng : dx ( Trong Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển ) I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ ax + b B D¹ng : I = ∫ P (x) dx ax + bx + c ( a ≠ 0) Tam thøc : f ( x ) = ax + bx + c cã hai nghiÖm phân biệt Công thức cần lu ý : I = ☺ TÝnh I = ∫x u' ( x ) ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C dx −4 C¸ch ( phơng pháp hệ số bất định ) A + B = A B = + ⇒ ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ ⇔ x −4 x −2 x +2 ⎩A − B = Do ®ã : I = ∫x ⎧ ⎪⎪ A = ⎨ ⎪B = − ⎪⎩ x −2 1 1 +C dx = ∫ dx - ∫ dx = ln x+2 −4 x −2 x+2 Cách ( phơng pháp nhảy tầng lầu ) ⎡ 2x 2x − ⎤ dx = ⎢ ∫ dx − ∫ dx ⎥ = ln x − − ln x + + C Ta cã : I = ∫ x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ α dx < Tỉng qu¸t >TÝnh I = ∫ x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx − x2 3x + TÝnh I = ∫ dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ dx x − 5x + TÝnh I = 3x ∫ x 3x + dx Phơng pháp : Khi bậc đa thức P(x) x cos2 2 dx dx ∫ ∫ 2cos3x + sin 3x sin x + cosx sin x − 5cosx sin x − cosx + dx ∫ ∫ sin x + 2cosx + 3 ( sin x + 4cosx ) T¹o dx x ) dx ∫ sin x + 5cosx + D sáng tạo bi tập Nếu đợc phép hỏi, hỏi bạn có cảm thấy nhàm chán bạn suốt ngày ôm lấy sách tham khảo làm hết tập đến tập khác, mà đôi lúc bạn cảm giác khả giải toán không giỏi lên Còn đam mê môn Toán từ biết sáng tạo Bạn có muốn thử xem có khả sáng tạo hay không ? Dù khả sáng tạo tập đợc xuất phát từ chất sơ đẳng, bạn sáng tạo toán mà bạn đà bắt gặp sách nhng dÉu nã vÉn mang “ d¸ng dÊp “ cđa bạn Tôi mạn phép t để tham khảo cho vui ! Tôi lấy hm số f(x) no m thích, đạo hm để tìm d(f(x)) h Tôi chọn : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos x ) = − sin 4x Một bi toán đơn giản đợc tạo : TÝnh sin4x ∫ sin x + cos xdx 4 Một bi toán nhìn đẹp mắt, bạn đà gặp đâu cha ? Nếu gặp bi toán ny trớc bạn biết sáng tạo bạn giải nh no ? Để tăng khả đánh lừa trực giác bạn tạo mẫu số thnh hm số hợp no quen thuộc , ví dụ : Tính tích phân sau : π ∫ π sin4x 4 sin x + cos x ª 0974.337.449 dx ∫ π sin4x ( sin x + cos x ) _ 2007 dx sin4x ∫ cos ( sin x + cos x )dx 4 Tháng 12 năm 2007 _ Trang 19 ... tạo bi tập Nếu đợc phép hỏi, hỏi bạn có cảm thấy nhàm chán bạn suốt ngày ôm lấy sách tham khảo làm hết tập đến tập khác, mà đôi lúc bạn cảm giác khả giải toán không giỏi lên Còn đam mê môn Toán... _ Trang 15 12 ∫ Ph¹m Kim Chung giảng tích phân Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 2007 Tích phân hm lợng giác A Sử dụng tuý công thức lợng giác cos2x + cos2x Công thức hạ bậc : sin2 x = ; cos x = 2... thật không tích phân cha hẳn đà l đợc lm đợc m lại di dòng VD2 TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ ª 0974.337.449 _ 1 + x2 dx Tháng 12 năm 2007 _ Trang 12 ∫ Phạm Kim Chung giảng tích