Đang tải... (xem toàn văn)
TÍCH PHÂN SUY RỘNG phần 1 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực ki...
TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, +∞) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr. Nhận dạng tpsr loại 1 ( ) a f x dx +∞ ∫ 2 2 1 dx x x +∞ − + + ∫ 0 sin x dx x +∞ ∫ VD: không là tpsr loại 1 2 0 1 2 3 x dx x x +∞ + + − ∫ 0 sin x dx x +∞ ∫ là tpsr loại 1 Nếu f(x) liên tục trên [a, +∞) hoặc chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn loại 1 trên [a, +∞) thì là tích phân suy rộng loại 1 ĐỊNH NGHĨA ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx −∞ →−∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) a a f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = + ∫ ∫ ∫ Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tp vế phải hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại) Ví dụ 2 0 1 dx I x +∞ = + ∫ ( )b ϕ 2 b π →+∞ → Khảo sát sự hội tụ và tính giá trị nếu tính phân hội tụ 2 0 1 dx x +∞ = + ∫ 2 0 1 b dx x = + ∫ 0 arctan b x= arctan b= 0 cosI xdx +∞ = ∫ ( )b ϕ 0 cos sin b xdx b= = ∫ Không có gh khi b →+∞ ln e x I x +∞ = ∫ ( )b ϕ ln b e x x = ∫ ln 1 b tdt= ∫ 2 1 ln 1 2 b = − b→+∞ →+∞ ⇒ Phân kỳ ⇒ Phân kỳ Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 1.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α > a ( )f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 2.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α ≠ 0 ( ) a f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f g dx +∞ ⇒ + ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ 3.f, g khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. hội tụ ( ) a f x dx +∞ ∫ hội tụ và phân kỳ ( ) a f g dx +∞ ⇒ + ∫ phân kỳ ( ) a f x dx +∞ ∫ ( ) a g x dx +∞ ∫ và hội tụ * * Công thức Newton-Leibnitz f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a, F là nguyên hàm của f trên [a, +∞), khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) a a f x dx F x F F a +∞ +∞ = = +∞ − ∫ trong đó ( ) lim ( ) x F F x →∞ +∞ = Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng. [...]... +∞ 1 +∞ 1 x x +1 dx = ∫ − 2 ÷dx 2 1 x x + x +1 x ( x + x + 1) ÷ +∞ 1 1 − 1 2x + 1 + 1 ÷ =∫ 2 1 x 2 x2 + x +1 2 1 3 ÷ x + ÷ + ÷ 2 4 +∞ ln x − 1 ln x 2 + x + 1 + 1 2 arctan 2 ( x + 1 / 2) = 2 2 3 3 1 ( ) +∞ ln x − 1 ln x 2 + x + 1 + 1 2 arctan 2 ( x + 1 / 2) = 2 2 3 3 1 ( ) +∞ x 1 ( x + 1 / 2) = ln + arctan 2 2 3 3 1 x + x +1 1 ln 1 + 1 arctan... tpsr loại 1 2 Ngắt bỏ đoạn [0, 1] , I cùng bản chất với J= +∞ ∫ 1 2x + 3 (4+ x ) α dx 3 4 x +1 3 f(x) > 0 trên [1, +∞), sử dụng tiêu chuẩn so sánh f (x) = 2x + 3 (4+ x ) α 3 2x 4 +α x3 : =2 4 x +1 1 1 +α x3 ,α > 0 2x 1 1 = ,α < 0 4 2 1 4x 3 x3 2x 2 1 = ,α = 0 4 1 5 5x 3 x3 (1) (2) (3) (1) f (x) : 2 1 1 +α x3 ,α > 0 1 I hội tụ ⇔ +α >1 3 (2) 1 1 f (x) : ,α < 0 2 1 x3 2 1 (3) f ( x ) : ,α = 0 5 1 x3 2 ⇔α... cùng phân kỳ (cùng bản chất) I=∫ +∞ 1 cos 1 − 1 dx x ÷ Tiêu chuẩn so sánh 2 x dùng được cho hàm âm cos 1 − 1 < 0, ∀x ∈ [1, +∞) x ÷ x cos 1 − 1 : x − 1 = − 1 f (x) = x ÷ 2÷ x 2x 2x 1 Chọn g ( x ) = x f (x) 1 x →+∞ 1 2 = x cos − 1 →− g (x) x 2 f (x) 1 x →+∞ 1 2 = x cos − 1 →− g (x) x 2 +∞ 1 f ( x )dx cùng bản chất với Vậy I phân kỳ +∞ 1 g (... ( x )dx = ∫ +∞ dx 1 x I=∫ +∞ 1 1 1 − sin ÷dx x x Khai triển Maclaurin cho f theo u = 1/ x trong lân cận ∞ 1 1 1 1 1 : 1 1 f ( x ) = − − 3 + o 3 ÷÷ x x 6 x x 6 x3 1 Chọn g ( x ) = 3 , x I cùng bản chất với f ( x ) x →+∞ 1 → g (x) 6 +∞ 1 g ( x )dx = ∫ +∞ dx 1 x 3 : hội tụ Tìm tất cả các giá trị của α để tp sau hội tụ I= +∞ ∫ 0 2x + 3 (4+ x ) α dx 3 4 x +1 1 f(x) liên tục trên... hội tụ: I=∫ +∞ 1 x 1 dx 3 x + 3x + 2 Hàm dưới dấu tp liên tục trên [1, +∞), đây là tpsr loại 1 x 1 0 ≤ f (x) = 3 , ∀x ∈ [1, +∞) x + 3x + 2 x 1 Cách 1: f ( x ) < = 2 , ∀x ∈ [1, +∞) 3 x x +∞ dx 1 x 2 hội tụ nên I hội tụ Cách 2: x 1 x 1 f (x) = 3 : 3 = 2 , khi x → +∞ x + 3x + 2 x x 1 Chọn g ( x ) = 2 x 3 2 f (x) x 1 1 x −x x →+∞ = 3 : 2 = 3 1 g ( x ) x + 3x + 2 x x + 3x + 2 +∞ 1 +∞ +∞ dx f (... dx f ( x )dx cùng bản chất với ∫ g ( x )dx = ∫ 1 1 x 2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ: I=∫ +∞ 0 x 1 dx 3 x + 3x + 2 Hàm dưới dấu tp liên tục trên [0, +∞), đây là tpsr loại 1 Lưu ý: 1 Hàm dưới dấu tích phân thay đổi dấu 2 Không thể so sánh I với +∞ dx ∫0 x2 +∞ x 1 3 I cùng bản chất với J = ∫ dx 3 1 x + 3x + 2 ⇒ I hội tụ Tính chất của tích phân suy rộng 1 f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Khi đó ∀ α > a +∞ ∫a... ⇒ I phân kỳ ⇒ I phân kỳ I=∫ +∞ 1 2 −x x e dx (không thay tương đương được) 1 Xét g ( x ) = α x 2 −x 2 +α f ( x ) x e x = = x 1 g (x) e α x α 1 α >1 +∞ 1 +∞ 1 x →+∞ → 0, ∀α g ( x )dx phân kỳ Không có kết luận cho I g ( x )dx hội tụ ⇒ I hội tụ α >1 +∞ 1 g ( x )dx hội tụ ⇒ I hội tụ Vậy chỉ cần chọn α = 2, ta kết luận được I hội tụ Tức là 2 Trong bài làm chỉ viết như bên cạnh −x f ( x ) x e = 1 g... ) = ∫ b dx a x α ln b − ln a,α = 1 = 1 1 1 α 1 − α 1 ÷,α ≠ 1 α − 1 b a Nguyên tắc khảo sát sự hội tụ 1 Kiểm tra loại tpsr ( tính liên tục của hàm f(x) lấy tp) 2 Nếu hàm f(x) liên tục, cố gắng so sánh với tp cơ bản (thường dùng tiêu chuẩn so sánh 2, bằng phép thay tương đương VCB và VCL) 3 Nếu f có vài điểm gián đoạn loại 1, hoặc thay đổi dấu trên 1 đoạn nhỏ, ngắt bỏ đoạn có chứa các... 1 ln 1 + 1 arctan 3 = 0 + arctan(+∞) − ÷ 3 3 3 π 1 = + ln 3 6 3 2 Ví dụ I=∫ +∞ 3 dx x 1+ x 2 π 2 π 3 =∫ 1 1 dt tan t 1 + tan 2 t cos 2 t π 2 dt π sin t 3 =∫ π 2 1 tan t = ln ÷π = − ln 2 3 3 Ví dụ +∞ ∫0 −x x.e dx = − x +∞ − xe 0 = − xe −x +∞ − x e dx 0 +∫ −e − x +∞ 0 =1 TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Cho f(x) không âm và khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a Khi đó b ϕ (b) = ∫ f ( x )dx là hàm... như tiêu chuẩn so sánh 1 Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2 f (x) lim =0 x →+∞ g ( x ) f (x) ⇒ < 1, ∀x > α g (x) ⇒ f ( x ) < g ( x ), ∀x > α ⇒ Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1 f (x) g (x) lim = ∞ ⇒ lim =0 x →+∞ g ( x ) x →+∞ f ( x ) Lưu ý: tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm Tích phân cơ bản +∞ dx ∫a x với α a>0 Hội tụ ⇔ α > 1 (Nghĩa là: α > 1 thì tp hội tụ, α ≤ 1 thì tp phân kỳ) Chứng minh: ϕ . TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx +∞ →+∞ = ∫ ∫ gọi là tích phân suy rộng loại 1 của. của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 2.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α ≠ 0 ( ) a f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất) Tính chất của tích phân suy rộng (. b→+∞ →+∞ ⇒ Phân kỳ ⇒ Phân kỳ Tính chất của tích phân suy rộng ( ) a f x dx +∞ ∫ 1.f khả tích trên [a, b], ∀ b ≥ a. Khi đó ∀ α > a ( )f x dx α +∞ ∫ và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng