Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu Hàm số liên tục tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kin...
HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa 0 0 x x f x f x + → =lim ( ) ( ) 0 0 lim ( ) ( ) → = x x f x f x 1.Cho hàm f(x) xác định tại x o , f liên tục tại x o nếu (đồ thị của hàm số y = f(x) không bị ngắt tại x o .) Ngược lại, f được gọi là gián đoạn tại x o . 0 0 x x f x f x − → =lim ( ) ( ) 2. f liên tục phải tại x o nếu: 3. f liên tục trái tại x o nếu: f liên tục tại x o ⇔ f liên tục phải và trái tại x o . Ví dụ 0 1 1 0 x x f x x x ≠ = = sin , , / ( ) , . 0 2 1 0 sin , , / ( ) , . x x x f x x ≠ = = 0 0 1 sin lim ( ) lim x x x f x x → → = = ⇒ f liên tục tại x o = 0. 0 0 1 sin lim ( ) lim x x x f x x ± ± → → = = ± ± ⇒ f liên tục phải nhưng không liên tục trái tại x = 0 1 , 1, 3 / ( ) , 1, 2 1 , 1. 0 x x f x x x x < = = − < 1 lim ( ) x f x + → 1 1 lim x x + → = 1= 1 lim ( ) x f x − →1 lim (2 1) x x − → − = = 1 lim ( ) 1 x f x → = (1)f≠ Nhận xét: nếu đặt lại f(1) = 1, khi đó f liên tục tại 1 ⇒f không liên tục tại x = 1 Phân loại điểm gián đoạn 0 0 0 f x f x f x + − = ≠ ( ) ( ) (* ) : 0 0 f x f x + − −h = ( ) ( ) : Loại 1: Tồn tại hữu hạn: 0 0 x x f x f x + + → =( ) lim ( ), 0 0 x x f x f x − − → =( ) lim ( ) Điểm gián đoạn khử được. Điểm gián đoạn không khử được. Loại 2: các trường hợp gián đoạn khác. 0 0 f x f x + − ≠ * ( ) ( ) : Bước nhảy của f tại x 0 . y=f(x) y=g(x) 1.f gđoạn tại x = -2 (loại khử được) 2.g liên tục tại x = -2 3.g gđoạn tại x= 1 (loại không khử được) Tính chất hàm liên tục 1.Tổng, hiệu, tích , thương (mẫu số khác 0 tại x 0 ) các hàm liên tục là liên tục. 2.Nếu f(u) liên tục tại u 0 , u(x) liên tục tại x 0 và u(x 0 ) = u 0 thì f(u(x)) liên tục tại x 0 3.Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định. Ví dụ 1 1 1 / ( ) 1 x x e f x x − − = − Phân loại điểm gián đoạn tại các điểm được chỉ ra, 2 / ( ) 1 arctan x f x x = ÷ x = 0, x = 1 x = 0 Hàm số liên tục trên [a, b] 1.Hàm số f liên tục trên [a, b] f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b), f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. ⇔ 2.* f liên tục trên [a, b] thì f bị chận trên [a, b] * f liên tục trên [a, b] thì f đạt gtln và gtnn trên [a, b] 3.f liên tục trên [a, b], gọi m và M lần lượt là gtnn và gtln của f trên [a, b], ta có 0 0 [ , ], [ , ] : ( ) k m M x a b f x k∀ ∈ ∃ ∈ = Hệ quả: nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong (a,b). VD: Xét phương trình x.2 x – 1 = 0 trong (0, 1) . = 0, x = 1 x = 0 Hàm số liên tục trên [a, b] 1 .Hàm số f liên tục trên [a, b] f liên tục tại mọi x nằm trong (a, b), f liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. ⇔ 2.* f liên tục trên [a, b] thì. được) 2.g liên tục tại x = -2 3.g gđoạn tại x= 1 (loại không khử được) Tính chất hàm liên tục 1.Tổng, hiệu, tích , thương (mẫu số khác 0 tại x 0 ) các hàm liên tục là liên tục. 2.Nếu f(u) liên tục. HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa 0 0 x x f x f x + → =lim ( ) ( ) 0 0 lim ( ) ( ) → = x x f x f x 1.Cho hàm f(x) xác định tại x o , f liên tục tại x o nếu (đồ thị của hàm số y = f(x) không