Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 39 Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mục tiêu Nội dung • Nắm được khái niệm về các loại hệ phương trình đại số tuyến tính. • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss. • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát; hệ phương trình thuần nhất. • Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận và theo trắc nghiệm. Thời lượng Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + 8 giờ làm bài tập. Hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những vấn đề quan trọng của Đại số tuyến tính. Các hệ số cũng như các giá trị của các ẩn số là các số thực.Trong dạng tổng quát số phương trình và số ẩn số có thể là bất kỳ và hai loại số này có thể không bằng nhau. Bài 3 gồm những nội dung sau: • Dạng của Hệ phương trình đại số tuyến tính • Giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Hệ phương trình thuần nhất • Phương pháp Gauss Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 40 Bài toán mở đầu: Mô hình cân bằng Trong mô hình ma trận nói ở chương trước, ta đã có a i j x j là lượng sản phẩm ngành i cung cấp cho ngành j. Tổng lượng sản phẩm ngành i coi là chi phí để sản xuất sản phẩm cho cả n ngành là: n ij j j1 ax = ∑ Lượng sản phẩm ngành i còn lại kí hiệu là y i thường được gọi là sản phẩm cuối cùng của ngành i. Nếu mô hình là cân bằng thì ta có n ij j j1 ax = ∑ + y i = x i , i = 1,2,…, n Ta có một hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình và n ẩn số. Ở đây x i , i = 1,2,…, n là các ẩn số a i j và y i là các hằng số đã biết. 3.1. Dạng của hệ phương trình đại số tuyến tính Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau () 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b 3.1 a x a x a x b +++= ⎧ ⎪ +++ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ +++= ⎩ Hệ này được viết dưới dạng ma trận là Ax b= (3.2) ở đây A là ma trận được thành lập từ các hệ số của các biến () ij mn Aa × = x: véc tơ cột của các biến. 1 2 n x x x x ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ # (3.3) b: véc tơ cột các số hạng tự do. 1 2 m b b b b ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ # (3.4) Hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là: • thuần nhất nếu tất cả các i b 0,i 1, 2, , m; = = • không thuần nhất nếu có ít nhất một i b 0; ≠ Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 41 • tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của 12 n x , x , , x mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức; • không tương thích nếu không có một nghiệm nào; • xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất; • bất định nếu tồn tại quá một nghiệm. Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ đã cho tương thích hay không tương thích. Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định. Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó. Ví dụ 1: x2y1 x2y5 −= ⎧ ⎨ += ⎩ là một hệ hai phương trình 2 ẩn. Ví dụ 2: 2x 3y z 1 xyz6 3x y 2z 1 − +=− ⎧ ⎪ ++= ⎨ ⎪ + −=− ⎩ là một hệ 3 phương trình 3 ẩn. Ví dụ 3: 2x 3y 4z 5 3x 2y 7z 6 − += ⎧ ⎨ + −= ⎩ là một hệ hai phương trình 3 ẩn. 3.2. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp: mn và mn.=≠ • Trường hợp m=n Lúc này ma trận A có dạng 11 12 1n 21 22 2n n1 n 2 nn a a a a a a A a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ## # Định nghĩa: Hệ (3.2) gọi là hệ Cramer nếu det (A) ≠ 0 (ma trận A không suy biến) Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo 1 A. − Định lí 3.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức i i x i 1, 2, ,n Δ == Δ Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 42 Chứng minh Ta nhân hai vế của đẳng thức (3.2) với 1 A − về bên trái, ta được: 11 AAx Ab −− = Bởi vì 1 AA E − = , mà nhân bất cứ ma trận nào với E sẽ được đúng ma trận đó, nên 1 xAb − = (3.5) Sau khi thế 1 A − bởi biểu thức của nó và thay các véc tơ cột x và b, ta có: 1111212n1n 2121222n2n n1n12n2nnn x A b A b A b x A b A b A b 1 A x A b A b A b +++ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ +++ ⎢⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ +++ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ### # Vì hai ma trận chỉ bằng nhau khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau nên () () () 1111212n1n i1i12i2nin n1n12n2nnn 1 x A b A b A b A 1 x A b A b A b A 1 x A b A b A b A ⎧ =+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =+++ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =+++ ⎪ ⎩ (3.6) Theo định lí khai triển: Định thức bằng tổng các tích của các phần tử của hàng hoặc cột với các phần phụ đại số của chúng. Vì vậy bất cứ hàng nào trong biểu thức (3.6) cũng thay được bằng các định thức tương ứng với véc tơ b là một cột của nó, chẳ ng hạn đối với i x sẽ có 11 12 1,i 1 1 1,i 1 1n 21 22 2,i 1 2 2,i 1 2n 1i 1 2i 2 ni n n1 n 2 n,i 1 n n,i 1 nn a a a b a a a a a b a a A b A b A b a a a b a a −+ −+ −+ +++= (3.7) Điều đó có nghĩa là muốn tìm i x thì phải chia định thức i Δ thiết lập từ định thức A =Δ bằng cách thay cột i bởi cột số hạng tự do cho định thức Δ , tức là i i x i 1, 2, , n Δ == Δ (3.8) Vì vậy, có thể phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm các hệ số của hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được tính bằng công thức (3.8). Ví dụ: Giải hệ x0y2z6 3x 4y 6z 30 x2y3z8 ++= ⎧ ⎪ − ++= ⎨ ⎪ −− + = ⎩ Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 43 Giải: Ta có: 102 A346 123 ⎛⎞ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ −− ⎝⎠ , 6 b 30 8 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 602 A3046 823 ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ , 2 162 A3306 183 ⎛⎞ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ , 3 106 A 3430 128 ⎛⎞ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ −− ⎝⎠ Ta tính được det(A) = 44 ≠ 0; det(A 1 ) = –40; det(A 2 ) = 72; det(A 3 ) = 152. Ta có nghiệm của hệ đã cho là: x 1 = – 40 44 = 10 11 − ; x 2 = 72 18 44 11 = , x 3 = 152 38 44 11 = . • Trường hợp mn≠ Ta gọi () ij mn Aa × = là ma trận của hệ. Sau khi thêm cột các số hạng tự do b vào ma trận A, ta lập được ma trận mở rộng B. 11 12 1n 1 21 22 2n 2 m1 m 2 mn m a a a b a a a b B a a a b ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau: Định lí 3.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần và đủ để hệ (3.1) có nghiệm là hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng B. Nếu () () rA rB n== thì hệ (3.1) có một nghiệm duy nhất. Nếu ( ) ( ) rA rB n = < thì hệ (3.1) có vô số nghiệm. Chứng minh: Cần: Giả sử hệ (3.1) có nghiệm. Ta phải chứng minh ( )() rA rB.= Thật vậy, hệ (3.1) có nghiệm, tức là có 112 2 n n x c , x c , , x c = == để cho 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b +++= +++ = +++= Hay 11 2 2 n n b c A c A c A=+ ++ 11i 22i i mmi ba ba V i b A i 1, 2, ,n ba ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ === ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ## í Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 44 Điều đó chứng tỏ rằng cột cuối cùng của ma trận B là tổ hợp tuyến tính của n cột đầu. Theo tính chất hạng của ma trận, ta có thể bỏ cột cuối cùng mà không làm ảnh hưởng đến hạng của ma trận B. Vì vậy, ( ) ( ) rA rB= . Đủ: Giả sử () () rA rB k.== Ta phải chứng minh hệ (3.2) có nghiệm. Không giảm tính tổng quát, có thể coi định thức cấp k khác 0 của A và B nằm ở góc trái. Khi đó, k cột đầu tiên độc lập tuyến tính và các cột còn lại có thể biểu diễn qua k cột đầu. Trong trường hợp riêng, cột b biểu diễn được qua k cột đầu 11 2 2 k k 1111122 1kk 2211222 2kk mm11m22 mkk b A A A b a a a b a a a b a a a . =λ +λ + +λ =λ+λ++λ =λ+λ++λ =λ+λ++λ Thật vậy, nếu lấy 11 k kk1k2 n x , , x , x x x 0 ++ =λ =λ = = = = thì chúng tạo nên một nghiệm của hệ (3.1). Đó là điều phải chứng minh. Ví dụ: Giải hệ phương trình: 1234 1234 1234 x3x x x 7 2x 5x x 2x 22 3x 8x x x 24 ++−= ⎧ ⎪ +−+= ⎨ ⎪ ++−= ⎩ Giải: Ở đây m 3, n 4 = = . 131 17 13 1 17 B251222 01348 381 124 0 1 22 3 −− ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ =− →−− ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ −−− ⎣⎦⎣⎦ 13 1 17 01348 00 1 2 5 − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ →−− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ Ta có () () rA rB 3 n 4.==<= Vậy hệ có vô số nghiệm. Với ma trận cuối cùng ta có: 1234 23 4 34 x3x x x 7 x3x4x8 x2x 5 ++−= ⎧ ⎪ −− + = ⎨ ⎪ −=− ⎩ Đặt 4 xc= , ta được: 123 23 3 x3x x 7c x3x84c x52c ++=+ ⎧ ⎪ −− =− ⎨ ⎪ =− + ⎩ 3 2 1 x52c x 8 4c 15 6c 7 2c x7c216c52c 95c =− + ⎧ ⎪ ⇒=−++−=− ⎨ ⎪ = +− + +− =−+ ⎩ Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 45 Vậy các nghiệm có dạng 1 2 3 4 x95c x72c x52c xc =− + ⎧ ⎪ =− ⎪ ⎨ =− + ⎪ ⎪ = ⎩ với mỗi giá trị của c ta có một nghiệm. 3.3. Hệ phương trình thuần nhất Đây là trường hợp riêng của hệ (3.1), khi i b 0 v i m i i 1, 2, ,n = =íä nên Định lí Croneke – Capeli vẫn đúng. Nhưng với trường hợp này, ta luôn có () () rA rB= nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm. Chẳng hạn, ta thấy ngay 12 n x 0, x 0, , x 0 = == là một nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm thường. Vậy khi nào hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường? Định lí 3.3: Nếu () rA n= thì hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường, nếu () rA n < thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm, nghĩa là ngoài nghiệm tầm thường phải có nghiệm không tầm thường. Chứng minh: Nếu () rA n= thì theo quy tắc Cramer, hệ có nghiệm duy nhất, chính là nghiệm tầm thường. Nếu ( ) ( ) r A n thì ta chuy n n r A<−Ó tự do sang phải và hệ sẽ có vô số nghiệm. Hệ quả: Đối với hệ thuần nhất n phương trình n ẩn số thì điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm không tầm thường là định thức 0. Δ = Thật vậy, vì () ( ) 0 thì r A r B n Δ ==<. Do đó, hệ thuần nhất có vô số nghiệm, tức là có nghiệm không tầm thường. Ta cũng có các định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) như đối với hệ (3.1). Ví dụ: Giải hệ phương trình 123 123 12 3 x2x3x 0 2x x x 0 x3x 4x 0 − += ⎧ ⎪ + −= ⎨ ⎪ + −= ⎩ Giải : Ta có 123 21 1 421831630. 13 4 − Δ= − =− + + − − + = − Hệ có vô số nghiệm. Xét định thức cấp 2 12 14 5 0. 21 − = +=≠ Bởi vậy, ta lấy 2 phương trình đầu 123 123 x2x3x 0 2x x x 0 − += ⎧ ⎨ + −= ⎩ Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 46 Chuyển 3 x sang vế phải ( ) 12 3 12 3 x2x 3x a 2x x x (b) −=− ⎧ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Lấy (b) nhân với 2 rồi cộng với (a), ta có: 131 3 23 13 3 3 1 5x x x x 5 27 xx2xx x x 55 =− ⇒ =− =− =+ = Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm xác định bởi 13 23 3 1 xx 5 7 xx 5 x ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ∈ ⎪ ⎪ ⎩ \ 3.4. Phương pháp Gauss Nội dung của phương pháp Gauss là dùng cách khử dần các ẩn số để đưa hệ (2.18) về dạng tam giác 12233 4 233 4 33 4 xxx xx x + α+α=α ⎧ ⎪ + β=β ⎨ ⎪ γ=γ ⎩ (3.9) rồi giải hệ này. Hệ tam giác (3.9) rất dễ giải: từ phương trình thứ 3, ta suy ra 3 x, thế 3 x vào phương trình thứ 2, ta suy ra 2 x, thế 2 x và 3 x vào phương trình thứ nhất, ta suy ra 1 x. Sau đây, ta xét một ví dụ cụ thể rồi nêu ra các quy tắc thực hành Ví dụ: Xét hệ ( ) () () 123 123 12 3 a 2x 3x 5x 2 3x 2,5x 4x 10 b 4x 3x 2x 2 c ++= ⎧ ⎪ −+= ⎨ ⎪ −+ + = ⎩ Giải : Trước hết, ta chia (a) cho hệ số của 1 x, tức là cho 2, ta được: ( ) 12 3 x1,5x 2,5x 1 a ′ ++ = Sau đó khử 1 x khỏi (b). Muốn thế ta nhân (a') với hệ số của 1 x ở (b), tức là với 3, ta có: 123 3x 4,5x 7,5x 3 + += (b ′ ) Sau đó, đem phương trình ( ) b ' này trừ đi phương trình (b) theo từng vế, ta được: 23 7x 3,5x 7 + =− (b″) Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 47 Tương tự, ta khử 1 x ra khỏi (c): nhân (a') với hệ số của 1 x ở (c), tức là với (–4), ta có 12 3 4x 6x 10x 4.−− − =− (c′) Sau đó đem ( ) c ′ trừ (c) ta được: 23 9x 12x 6.−− =− (c″) Bây giờ, ta chú ý đến hai phương trình ( ) ( ) b và c ′ ′′′ , trong đó chỉ còn hai ẩn là 23 x và x. Lặp lại quá trình như trên. Trước hết, ta chia () b ′′ cho hệ số của 2 x, tức là cho 7, ta được: 23 x0,5x 1 + =− . (b″′) Sau đó, ta khử 2 x khỏi () c ′′ bằng cách nhân ( ) b ′ ′′ với hệ số của 2 x ở () c ′′ , tức là với (–9) 23 9x 4,5x 9−− =. (b″″) Sau đó đem ( ) b ′′′′ trừ đi () c ′′ ta được: 3 7,5x 15. = (c″′) Kết hợp các phương trình () ( ) ( ) a,b ,c ′ ′′′ ′′′ ta được tam giác mong muốn. Từ () 3 15 c ta suy ra x 2 7,5 ′′′ ==. Thế () 3 x2 vo b ′′′ = µ ta được: 22 x0,52 1x 2 + ×=−⇒ =−. Thế () 32 x 2, x = 2 vào a ′ =− ta được: ( ) 1 11 x 1,5 2 2,5 2 1 x351 x 1. + ×− + × = −+=⇒ =− Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 1 2 3 x1 x2 x2. = − ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ Trên đây, ta đã trình bày phương pháp Gauss một cách trình tự. Trong thực hành, ta có thể thực hiện biến đổi ma trận như sau: 11 212 313 1 L. L L3L L 2 L4L L 2 3 5 2 1 1,5 2,5 1 1 1, 5 2,5 1 32,5410 32,5410 073,57 4322 43 22 09126 → −→ +→ ⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ −⎯⎯⎯⎯→− ⎯⎯⎯⎯⎯→−− ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ −− ⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦ 22 323 1 LL L9L L 7 1 1, 5 2,5 1 1 1, 5 2,5 1 010,5 1 010,5 1 0 9 12 6 0 0 7,5 15 ⎛⎞ ×− → ⎜⎟ −→ ⎝⎠ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎯ ⎯⎯⎯⎯→−⎯⎯⎯⎯⎯→− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Từ đây, ta có ngay nghiệm của hệ 1 2 3 x1 x2 x2. = − ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 48 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss; • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất; • Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính. Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Phép toán và Cấu trúc đại số. [...]... số thực ⎪ax + y − a 3 z = 1 ⎩ Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất nếu 49 Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính A a ≠ 0, a ≠ ±1 B a = 0 C a = 1 D a = −1 2 Cho hệ phương trình thuần nhất 3 ẩn 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡2 − a 1 ⎢ −1 −a 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 3 1 − a ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Khi đó, hệ chỉ có nghiệm tầm thường nếu A a ≠ 2 B a ≠ −1 C a ≠ 2 và a ≠ −1 D a = 2 hoÆc a = −1 3 Xét hệ phương trình đại. . .Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính BÀI TẬP 1 Giải hệ phương trình ⎧3x1 − 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2 ⎪ a ⎨7x1 − 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 5 ⎪5x + 7x − 4x − 6x = 3 2 3 4 ⎩ 1 ⎧ x1 + 5x 2 − x 3 + x 4 = 0 ⎪ b ⎨3x1 + 9x 2 − 13x 3 + 11x 4 = 0 ⎪2x + 2x − 6x + 5x = 1 2 3 4 ⎩ 1 2 Giải và biện luận theo a hệ phương trình ⎧ax1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪ a ⎨ x1 + ax 2 +... ( 2 − a ) x 3 = 0 3 Cho hệ phương trình ⎧ x1 + 2x 2 + ax 3 = 3 ⎪ ⎨3x1 − x 2 − ax 3 = 2 ⎪2x + x + 3x = b 2 3 ⎩ 1 a Xác định a, b để hệ có nghiệm duy nhất b Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm 4 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss ⎧3x1 + x 2 + x 3 = 1 ( I ) ⎪ x1 + 3x 2 + x 3 = 3 ⎨ ⎪ x + x + 3x = 9 2 3 ⎩ 1 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hãy chọn phương án đúng 1 Cho hệ phương trình ⎧ x − ay + a 2 z =... trình đại số tuyến tính Ax = b Khi đó A Nếu det ( A ) = 0 thì hệ vô nghiệm; B Nếu det ( A ) ≠ 0 thì hệ có vô số nghiệm; C Nếu Ax = 0 có nghiệm không tầm thường thì det ( A ) = 0; D Nếu Ax = 0 có nghiệm không tầm thường thì det ( A ) ≠ 0 4 Xét hệ phương trình ⎧ x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 ⎪ ⎨ x 2 + 4x 3 = 0 ⎪5x = 0 ⎩ 3 Khi đó: A Hệ vô nghiệm B Hệ có vô số nghiệm C Hệ có nghiệm không tầm thường D Hệ chỉ có . Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 39 Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mục tiêu Nội dung • Nắm được khái niệm về các loại hệ phương trình đại số tuyến tính. • Nắm được phương. bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính. Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Phép toán và Cấu trúc đại số. Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính 49 BÀI TẬP 1. Giải hệ phương trình. loại số này có thể không bằng nhau. Bài 3 gồm những nội dung sau: • Dạng của Hệ phương trình đại số tuyến tính • Giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Hệ phương trình thuần nhất • Phương