CHUN ð TÍCH PHÂN B ng cơng th c tích phân b t ñ nh : ∫ 0dx = C n ∫ x dx = x n +1 +C n +1 ∫ dx = x + C ∫ x dx = ln x + C n ≠ −1 ax C ln a ∫ cos xdx = sin x + C x x ∫ e dx = e + C x ∫ a dx = ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos ∫ sin dx = tan x + C dx = − cot x + C x x u′( x) 1 x−a ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x − a dx = 2a ln x + a + C x a 2 ∫ x + a dx = x + a + ln x + x + a + C Phương pháp bi n s ph : Cho hàm s f (x) liên t c ño n [a; b] có nguyên hàm F (x) Gi s u (x) hàm s có đ o hàm liên t c ño n [α , β ] có mi n giá tr [a; b] ta có : ∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C BÀI T P Tính tích phân sau : a) I1 = ∫ e e x dx ex − xdx x2 + b) I = ∫ c) I = ∫ 1 + ln x dx x Bài làm : a) ð t t = x + ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = x = → t = x = → t = dt ð ic n:  2 dt xdx V y : I1 = ∫ = ∫ = ln t = ln 21 t 2 x +1 b) ð t t = e x − ⇒ dt = e x dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang x = → t = e − ð ic n:  x = → t = e − 1 e x dx V y : I2 = ∫ x = e −1 e2 −1 ∫ e −1 e −1 dt = ln t = ln(e + 1) t e−1 x c) ð t t = + ln x ⇒ tdt = dx x = → t = x = e → t = ð ic n:  e I3 = ∫ + ln x dx 2 = ∫ t dt = t = (2 − 1) x 3 Tích phân lư ng giác : β D ng : I = ∫ sin mx.cos nxdx α Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng β D ng : I = ∫ sin m x cos n x.dx α Cách làm : N u m, n ch n ð t t = tan x N u m ch n n l ð t t = sin x (trư ng h p cịn l i ngư c l i) β D ng : I = ∫ α dx a sin x + b cos x + c Cách làm : 2t  sin x =  x 1+ t2 ð t : t = tan ⇒   2 cos x = − t  1+ t2  β a sin x + b cos x D ng : I = ∫ dx c sin x + d cos x α Cách làm : ð t: a sin x + b cos x B (c cos x − d sin x) = A+ c sin x + d cos x c sin x + d cos x Sau ñó dùng ñ ng nh t th c β D ng 5: I = ∫ α a sin x + b cos x + m dx c sin x + d cos x + n Cách làm : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang ð t: a sin x + b cos x + m B (c cos x − d sin x) C = A+ + c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n c sin x + d cos x + n Sau dùng ñ ng nh t th c BÀI T P Tính tích phân : π π 2 cos xdx (sin x + 1) a) I1 = ∫ π b) I = ∫ cos xdx c) I = ∫ tan xdx 0 Bài làm : a) ð t : t = sin x + ⇒ dt = cos xdx x = → t = ð ic n:  π  x = → t =  π 2 dt cos xdx =∫ =− 3t (sin x + 1) t V y : I1 = ∫ = 24 b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = → t = ð ic n:  π  x = → t =  π V y: 0 ( ) ( ) I = ∫ cos xdx = ∫ − t dt = ∫ + t − 2t dt  t5  = ∫ − t3 + t = 5   15 0 c) ð t : t = tan x ⇒ dt = (tan x + 1)dx x = → t = ð ic n:  π  x = → t =  π 1  t dt  I = ∫ tan xdx = ∫ = ∫ t − t +1− dt t + 1 0 t +1 0 V y: π  t5 t3  13 π =  − + t  − ∫ du = − 5  15  0 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang Tính tích phân sau : π π a) I1 = ∫ sin x cos x a sin x + b cos x cos x b) I = ∫ dx + cos x dx Bài làm : a) ð t : t = a sin x + b cos x ⇒ dt = 2(−b + a ) sin x.cos xdx x = → t = a ð ic n:  π  x = → t = b  N u a≠b π V y: sin x cos x dx = 2 b − a2 a sin x + b cos x I1 = ∫ = t b − a2 b2 = a2 ( a−b b −a 2 = b2 )∫ dt a2 t a+b N u a=b π π V y: sin x cos x I1 = ∫ a sin x + b cos x π = sin x cos xdx a dx = ∫ π 2 1 sin xdx = − cos x = ∫ 2a 4a 2a b) ð t : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = → t = ð ic n:  π  x = → t =  π V y : I2 = ∫ cos x + cos x dx = ∫ dt − 2t = ∫ dt −t 3 cos u ⇒ dt = − sin udu 2 π  t = → u = ð ic n:   t = → u = π   ð t: t= Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang I2 = V y: ∫ π dt −t = = 2 ∫ π sin udu − cos u ( ) π π 1 ∫ du = 2π π = u π Tính tích phân sau : π π sin x + cos x + dx sin x + cos x + 2 a) I = ∫ dx sin x + cos x + b) I = ∫ Bài làm : 2dt x   ⇒ dt =  tan + 1dx ⇒ dx = 2  t +1  x = → t = ð ic n:  π  x = → t =  1 dt 1+ t2 I1 = ∫ dt = ∫ 2 2t 1− t 0 (t + 1) +3 +5 V y: 1+ t2 1+ t2 a) ð t : t = tan x 1 =− = t+2 sin x + cos x + cos x − sin x C + = A+ B sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: A = , B = , C = b)ð t : π π sin x + cos x + cos x − sin x   I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x +  V y: 0 π π = (x + ln sin x + cos x + ) 02 + I1 = + ln + B n ñ c t làm : π a) I1 = ∫ π cos x dx sin 2x π b) I = ∫ cos3 x sin xdx π dx sin x + c) I = ∫ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang π π π sin x − cos x + d) I = ∫ dx d) I = ∫ dx sin x + cos x + sin x + cos x + sin x c) I = ∫ dx cos x + 2 Tính nguyên hàm,tích phân hàm h u t dx 1 =− + C v i (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có : n n − ( x − a )n−1 (x − a ) dx N u n = , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a α , β , a, b, c ∈ R αx + β dx :  D ng : I = ∫ n ax + bx + c ∆ = b − 4ac < D ng : I = ∫ ( ) * Giai ño n : α ≠ ,làm xu t hi n sai khác m t s : I= α aβ 2ax + b + 2a ∫ (ax α + bx + c −b ) n dx = α 2a ∫ (ax t th c ñ o hàm c a tam th c ax + bx + c , 2ax + b + bx + c ) n dx + dx α  aβ  − b ∫  n 2a  α  (ax + bx + c ) * Giai ño n : Tính I = ∫ n dt  4a  − ∆  n dx =  ∫ +b + t 2  − ∆  2a ax ax + bx + c t= dx ( ) −∆ ( ) n * Giai ño n : Tính I = ∫ D ng : I = ∫ Ta có : (t ) +1 Pm ( x ) dx Qn ( x ) n dt có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t t = tan φ Pm ( x ) am x m + + a1 x + a0 = Qn ( x ) bn x n + + b1 x + b0 N u : deg(P ) ≥ deg(Q ) ta th c hi n phép chia phân s Rr ( x ) có deg(R ) < deg(Q ) Qn ( x ) Pm ( x ) R (x ) = A(m − n ) ( x ) + r Qn ( x ) Qn ( x ) N u : deg(P ) < deg(Q ) ta có qui t c sau : Pm ( x ) A1 An −1 An + + + n −1 (x − a ) (x − a ) (x − a ) (x − a )n n Pm ( x ) Ai Vd 1a : n =∑ i (x − )i ∏ (x − ) i=1 *Qt 1: n = i =1 Vd 1b : Pm ( x ) A B C D = + + + ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c ( x − c )2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn + + + n −1 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c m n Pt (x ) Ai Ai x + B1 =∑ +∑ *Qt 3: n i m (x − α ) ax + bx + c i =1 (x − α ) k =1 ax + bx + c i Pt ( x ) A Bx + C = + Vd : ( x − α ) ax + bx + c x −α ax + bx + c Pt ( x ) B1 x + C1 B2 x + C A Vd : = + + 2 (x − α ) ax + bx + c (x − α ) ax + bx + c ax + bx + c *Qt 2': ( = ) ( n ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) n v i ∆ x +a a a dx  1  = ∫ − dx 2 x +1 x +  x +1 x +  a)* B n ñ c d dàng ch ng minh ñư c I = ∫ 1 dx I1 = ∫ = x + 3x + ∫ 0 ( )( ) ( 1 x  π =  arctan x − arctan  = 9−2 2 30 ) Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang A Bx + C x ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A 4x − = + = (x + 2) x + x + x + (x + 2) x +  A = −2 A + B =  Do ñó ta có h : 2 B + C = ⇔  B =  C = 2C + A =   b) ð t : ( V y : I2 = ∫ [ ) ( ) 4x − 2 2x   dx = ∫  − + dx x + x +1 x + (x + 2) 0 ( ) ] = − ln x + + ln x + = −2 ln + ln + ln − ln = ln B n ñ c t làm : a) I1 = ∫ x +1 dx x ( x − 1) b) I = ∫ c) I = ∫ x −1 dx 4x3 − x d) I = 2 2 dx x + 2x − ∫x x dx − 3x + HD: A B x +1 A B C = + 2+ = + b) x −1 x + 2x − x −1 x + x ( x − 1) x x  x −1  x−4 x A B C D + = 1 + c)  x(2 x + 1)(2 x − 1)  d) x − x + = x − + x + +  4x − x  x+ x−  a) ð ng th c tích phân : Mu n ch ng minh đ ng th c tích phân ta thư ng dùng cách ñ i bi n s nh n xét m t s ñ c ñi m sau * C n tích phân , ch n l , tu n hoàn , c n + c n dư i, … Chúng ta c n ph i nh nh ng ñ ng th c n y xem b ñ áp d ng BÀI T P 1 0 Ch ng minh r ng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx Bài làm : Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx ð t : t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang x = → t = x = → t = ð ic n:  1 V y : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm) n m m n Ch ng minh r ng n u f (x) hàm l liên t c ño n [− a, a ] : a ∫ f (x )dx = I= −a Bài làm : a I= ∫ f ( x)dx = −a ∫ −a a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1) 0 Xét ∫ f (x )dx ð t t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt −a  x = −a → t = a x = → t = ð ic n:  a −a V y: a 0 ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt Th vào (1) ta ñư c : I = (ñpcm) Tương t b n đ c có th ch ng minh : N u f (x) hàm ch n liên t c đo n [− a, a] a I= ∫ −a a f ( x )dx = ∫ f ( x )dx Cho a > f (x ) hàm ch n , liên t c xác ñ nh R f (x ) ∫α a x + dx = ∫ f (x )dx − α Ch ng minh r ng : α f (x ) f (x ) f (x ) dx = ∫ x dx + ∫ x dx x a +1 a +1 +1 −α 0 Xét α ∫α a − α Bài làm : (1) f (x ) dx ð t t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt x +1 ∫α a −  x = −α → t = α x = → t = ð ic n:  f (x ) f (− t ) a t f (t ) dx = ∫ − t dt = ∫ t ∫ ax + a + a + −α V y: α α Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang f (x ) a x f (x ) f (x ) dx + ∫ x dx = ∫ f (x )dx (ñpcm) Th vào (1) ta ñư c : ∫ x dx = ∫ x a +1 a +1 a +1 −α −α 0 α α α f ( x ) liên t c [0,1] Ch ng minh r ng : Cho hàm s π ∫ x f (sin x )dx = π π ∫ f (sin x )dx Bài làm : π Xét ∫ x f (sin x )dx ð t t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt x = → t = π x = π → t = ð ic n:  π π π V y : ∫ x f (sin x )dx = ∫ (π − t ) f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ) f (sin t )dt 0 π π 0 = π ∫ f (sin t )dt − ∫ t f (sin t )dt π π ⇒ ∫ x f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx 0 π ⇒ π π ∫ x f (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx 0 T toán , b n đ c có th m r ng tốn sau N u hàm s f (x ) liên t c [a, b] f (a + b − x ) = f (x ) Thì ta ln có : b ∫ x f (x )dx = a π a+b f ( x )dx ∫ f ( x ) liên t c,xác ñ nh , tu n hồn R có chu kì T Cho hàm s a +T Ch ng minh r ng : ∫ a T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx Bài làm : a +T ∫ a T a +T a T f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ T a +T 0 T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + a a a +T V y ta c n ch ng minh ∫ f (x )dx T ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx a Xét ∫ f (x )dx ð t t = x + T ⇒ dt = dx Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 10 u = e x ⇒ du = e x dx ð t:  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π V y : J = ∫ e x cos xdx = e x sin x − ∫ e x sin xdx = − I 0 Th vào (1) ta ñư c : I1 = eπ + ⇒ I1 = eπ + u = x ⇒ du = dx b) ð t :   dv = cos x dx ⇒ v = tan x  π π π π π x dx = x tan x 04 − ∫ tan xdx = + ln (cos x ) 04 = + ln cos x 4 0 V y : I2 = ∫ π  u = cos(ln x ) ⇒ du = − sin (ln x )dx c) ð t :  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ V y : I = ∫ cos(ln x )dx = x cos(ln x ) + ∫ sin (ln x )dx = −(eπ + 1) + J eπ 1  u = sin (ln x ) ⇒ du = cos(ln x )dx ð t:  x dv = dx ⇒ v = x  eπ eπ eπ V y : I = ∫ sin (ln x )dx = x sin (ln x ) − ∫ cos(ln x )dx = − I 1 Th vào (1) ta ñư c : I = −(eπ + 1) ⇒ I = − eπ + B n ñ c t làm : ln a) I1 = ∫ x.e − x dx 1  − dx  ln x ln x  e c) I = ∫   e b) I = ∫ (1 − ln x )2 dx ( ) d) I = ∫ ln x + + x dx π e) I = ∫ sin x ln(tan x )dx π e f) I = ∫ cos (ln x )dx π g) I ∗ = ∫ x cos x π + sin x x e dx + cos x h) I ∗ = ∫ Tích phân hàm tr t đ i, , max : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 13 b Mu n tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét d u f (x ) ño n [a, b] , kh tr t ñ i a b Mu n tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) ño n [a, b] a b Mu n tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét d u f (x ) − g (x ) ño n [a, b] a Tính tích phân sau : b) I1 = ∫ x + x − dx a) I1 = ∫ x − dx Bài làm : x a) x-2 - +   x2   x2 V y : I1 = ∫ x − dx = ∫ (2 − x )dx + ∫ (x + )dx = 2 x −  +  − x  1  2  1    = (4 − ) −  −  + [(8 − 8) − (2 − )] =    4 b) L p b ng xét d u x + x − , x ∈ [0,2] tương t ta ñư c 0 ( ) ( ) I1 = ∫ x + x − dx = − ∫ x + x − dx + ∫ x + x − dx  x3   x3  I1 = 3 x − x −  +  − x + x +  = 0  1  Tính I a = ∫ x x − a dx v i a tham s : Bài làm : x x-a −∞ - a +∞ + (T b ng xét d u ta có th đánh giá ) N u a ≤ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 14 1 I a = ∫ x x − a dx = ∫ 0  x ax  a x − ax dx =  −  =3−2 0 3 ( ) N u < a < 1 a ( ) ( ) I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x − ax dx a a  ax x   ax x  a a3 + +  = − = −  + − 0  a 2  N u a ≥ 1  x ax  a I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  −  =−3+ 2 0 3 0 1 ( ) 2 Tính : a) I1 = ∫ (1, x )dx ( ) I = ∫ max x , x dx 0 Bài làm : a) Xét hi u s : (1 − x ) ∀x ∈ [0,2] ( ) 2 x3 V y : I1 = ∫ 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = 3 0 2 b) Xét hi u s : x(x − 1) ∀x ∈ [0,3] tương t ta có ( ) 3 x2 x3 55 I = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = + = 0 2 B n ñ c t làm : π −2 3π a) I1 = ∫ (x, x − 3)dx b) I = ∫ max(sin x, cos x )dx c) I = ∫ sin x − cos x dx −2 d) I = ∫ max (x ,4 x − 3)dx d) I ∗ = ∫  x + x − + x − x − dx     Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t : Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p đơn gi n c a tích phân Abel ( ) D ng 1: ∫ R x, ax + bx + c dx ñây ta ñang xét d ng h u t a > − ∆   2ax + b   → ax + bx + c =   1 +   4a   − ∆   ∆ <   ∫ R(x, ) ax + bx + c dx = t= ∫ S (t, ax +b ) + t dt T i ñây , ñ t t = tan u −∆ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 15 a < − ∆   2ax + b   → ax + bx + c = D ng 2:    1 −  4a   − ∆   ∆ <   ∫ R (x, ) ax + bx + c dx = t= ∫ S (t , ) − t dt T i ñây , ñ t t = sin u ax + b −∆  a > ∆  2ax + b  → ax + bx + c = D ng 3:   − 1  4a  − ∆  ∆ >    ∫ R (x, ) ∫ S (t , ax + bx + c dx = t= ax + b dx M t s cách ñ t thư ng g p : 2 ñ t x = a cos t ∫ S x, a − x dx ( ∫ S (x, ∫ S (x, ∫ S (x,  ∫ S  x,   a2 x2 ) +x )x d −a ) x d ñ t x = a tan t ñ t x= ) ax + b   cx + d   Tính : I = ∫ đ t t=m (x dx a cos t ax + bx + c = t= ∫ αx + β dt αt + µt + ζ 0≤t ≤π − t≠ π π  ñ t  ax + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c =   ax + bx + c = ± a x ± t ; a>0  ax + bx + c dx m sin u ∆ ∫ (αx + β ) D ng (d ng ñ c bi t) : ) t − dt T i ñây, ñ t t = + 4x + ax + b cx + d ; ad − cb ≠ ) Bài làm : ∫ (x dx + 4x + ) = ∫ t = x+ (t dt ) +3 ð t : t = tan u ⇒ dt = (tan u + 1)du Ta có I = ∫ ( ) tan u + du ( ) = ∫ cos udu tan u 3 tan u + 1 t x+2 = sin u + C = +C = +C 3 t2 +1 x2 + 4x + tan u Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 16 Tính : a) I = ∫ xdx b) I = ∫ x2 + x + dx x x2 − 2x − Bài làm : xdx a) ∫ I= x + x +1 2 =∫ 3t − ∫ t2 +1 x +1 t= xdx 1  x +  + 2  dt = = 3t − ∫ x +1 t= t2 +1 ( dt ) t + − ln t + t + + C 2 1   + ln x + + x + x +  + C 2   dt b)ð t : x = ⇒ dx = − t t dx dt t +1 I =∫ =−∫ = − arcsin +C 2 x x − 2x −1 − (t + 1) x= = x2 + x + − t +1 x +1 = − arcsin x + C = − arcsin +C 2 Tìm nguyên hàm sau dx 1+ x + 1+ x a) I = ∫ b) I = ∫ dx x +1+ x +1 Bài làm : a)ð t : t = + x ⇒ t = + x ⇒ 6t dt = dx V y :I = ∫ dx t dt   dt  = ∫ = ∫ t − t +1− t +1  t +t 1+ x + 1+ x t = 1+ x t = 1+ x  = 2t − 3t + 6t − ln t + + C = + x − 33 + x + 66 + x − ln + x + + C b) I = ∫ = Xét ∫ 1+ x − x +1  −2  dx x +1  x + 1dx − ∫ dx = ∫  dx =∫   x x x +1+ x +1  x +1 1 x+ x − ∫ dx x 2 x +1 dx x ð t: t= x +1 x (1) ⇒ x= 2t ⇒ dx = − dt t −1 t −1 ( ) Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 17 V y: x +1 dx = −2 x ∫ t= t dt ∫ (t − 1)2 = OK x +1 x Tìm nguyên hàm sau : a) I = ∫ x x + 9dx b) I = 16 ∫ x x + 4dx Bài làm : x2 + = x − t a)ð t : ⇒  t2 +   − t2 −   I1 = ∫     2t . 2t    V y: =− ( ) ( )  162 6561   t4 6561  + dt = −  − 162 ln t −  + C t − ∫ t 4 16 16  4t  t   (  x − x2 + =−  16   x2 + = x − t b)ð t : t2 − t2 + dt ⇒ dx = 2t 2t 2 t − 81 t2 − dt = − ∫ dt 4t 16 t5 x= ) − 162 ln x − ⇒ x= ( x2 + − t2 − 2t t2 + 4 − t2 − 4 t2 −  I = 16 ∫   2t . 2t   4t    )  +C  x− x +9  ⇒ dx = dt = − ∫ (t 6561 ( ) t2 + dt 2t ) − 16 dt t5 t4 36 256  64   = −∫  t − + dt = −  − 36 ln t −  + C 4 t t  t     (  x − x2 + = −   ) + 36 ln x − x + −  +C  x− x +4  ( 64 ) Tính tích phân sau : −8 dx dx x 1− x −3 a) I1 = ∫ x − x dx b) I = ∫ Bài làm : I1 = ∫ 1 x − x dx = ∫ − (2 x − 1) dx 21 2 Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 18 ð t : x − = sin t ⇒ dx = cos tdt  x = → t = ð ic n:   x = → t = π   π π π 12 1 V y : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = 1 + sin 2t    40 80 8 0  π  π  =  −  − (0 + ) =    16 b) ð t : t = − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t =  x = −8 → t = ð ic n:  −8 3 dx tdt dt V y : I2 = ∫ dx = ∫ = 2∫ 1− t t 1− t −3 x − x 2 ( ) t −1   = − ln = − ln − ln 1 = ln t +1   B n ñ c t làm : a) I1 = ∫ dx x x2 + d) I = ∫ + x dx b) I = ∫ x − x dx d) I ∗5 = ∫ + x2 − 1 − x2 − c) I = ∫ dx d) I ∗6 = (x dx +4 ) 1 + x2 + dx B t ñ ng th c tích phân : b N u f (x ) ≥ ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ a b b N u f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx a a b N u m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a Trong trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bư c ch n sinx,cosx BÀI T P Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 19 Ch ng minh b t ñ ng th c sau : 1 a) ∫ x(1 − x )dx ≤ b) ≤ ∫ x dx ≤ x +1 c) ∫ ( + x + − x )dx ≤ Bài làm: a)Áp d ng AM-GM ta có :  x + (1 − x )  x(1 − x ) ≤   = ∀x ∈ [0,1]   1 1 V y : ∫ x(1 − x )dx ≤ ∫ dx = (ñpcm) 40 b) Xét hàm s : f (x ) = x ∀x ∈ [1,2] x +1 ð o hàm : f ′( x ) = − x2 (x ) +1 x = f ′( x ) = ⇔   x = −1   f (1) = Ta có :    f (2 ) =   x ≤ ≤ ∀x ∈ [1,2] x +1 2 2 x V y : ⇒ ∫ dx ≤ ∫ dx ≤ ∫ dx 51 21 x +1 ⇒ x ≤∫ dx ≤ x +1 Áp d ng Bunhicopxki ta có : + x + − x ≤ 12 + 12 + x + − x = ∀x ∈ [0,1] ∫( V y: ) + x + − x dx ≤ 2(1 − ) ∫( ) 1 + x + − x dx ≤ (ñpcm) e − x sin x π ∫ x + dx < 12e Ch ng minh r ng : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 20 Bài làm : [ ] ⇒ − x ≤ −1 ⇒ e − x ≤ ∀x ∈ 1, ⇒ e − x sin x < 2 x +1 e x +1 ( Xét ∫ e(x ) e e − x sin x dx < ⇒ ∫ x +1 3 ∫ e(x 1 ) dx +1 ) dx +1 ð t : x = tan t ⇒ dx = (tan t + 1)dt π  x = → t = ð ic n:   x = → t = π   π π (tan t + 1)dt = dt = π Do : ∫ e(tan t + 1) ∫ e 12 3 π π T ta đư c đpcm B n đ c t làm : Ch ng minh r ng : π a) π 16 π dx π ≤ + cos x 10 ≤∫ b) π sin x ax = y ( x − y )( x + y + a ) =   Xét : ay = x ⇔ ay = x a > a >   V i x = y ta ñư c : x = y  x = a (n )  ay = x ⇔   x = (l ) a >  V i x + y + a = ta ñư c :  x + ax + a = x + y + a =  x = a  ⇔ ay = x ⇔ ay = x x = a > a >   (n ) (l ) Ta l i có : Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 24  y = ± ax ax = y   x2  ay = x ⇔  y = a a >   a >  V y di n tích c n tính : a a   x2  x2  S = ∫  ax − dx = ∫  a x − dx a a 0 0 a 3 x3  =  ax −  = a2 3a  2 (dvtt ) B n ñ c t làm : Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ñư ng : x − y3 + =  a)  x + y − = x =  y = x2  b)  y = x y =  x = y  c)  x + y − =0 y =   x2 y + =1 d)  a b  a , b ≠  Hình v tương ng ↓↓↓ hình a hình c hình b hình d Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 25 V i m i s nguyên dương n ta ñ t : 15 + + 35 + + n Sn = n6 Tính lim S n n →∞ Bài làm : Sn = n       n  +   +   + +      n   n   n   n    1i = ∑   i =1 n  n  n Xét hàm s f (x ) = x ∀ ∈ [0, 1] Ta l p phân ho ch ñ u [0,1] v i ñi m chia : = x0 < x1 < x2 < .xn−1 < xn = chi u dài phân ho ch l = xi − xi−1 = Ch n ξ i = xi = n n i i ta có lim ∑ (xi − xi −1 ) f (ζ i ) = ∑     n →∞ n i =1 i =1 n  n  ⇒ lim S n = lim S n = ∫ x dx = l →0 n →∞ n V i m i s nguyên dương n ta ñ t : Sn = 1 1 + + + + n +1 n + n + n+n Tính lim S n n →∞ Bài làm :    1   Sn =  + + + + n n 1 +1 +1 +1   +1 n n n  n   1   = ∑  ni  i =1  +1  n n ∀ ∈ [0,1] x +1 Ta l p phân ho ch ñ u [0,1] v i ñi m chia : Xét hàm s f (x ) = Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 26 = x0 < x1 < x2 < .xn−1 < xn = chi u dài phân ho ch l = xi − xi−1 = n   n n 1  i  Ch n ξ i = xi = ta có lim ∑ (xi − xi−1 ) f (ζ i ) = ∑  n →∞ i n  i =1 i =1 n   + 1 n   1 dx ⇒ lim S n = lim S n = ∫ = ln x + = ln x +1 l →0 n→∞ Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c n Trang 27 ... ln x dx 2 = ∫ t dt = t = (2 − 1) x 3 T? ?ch ph? ?n lư ng gi? ?c : β D ng : I = ∫ sin mx.cos nxdx α C? ?ch làm: bi n đ i t? ?ch sang t ng β D ng : I = ∫ sin m x cos n x. dx α C? ?ch làm : N u m, n ch n ð. .. 1)(2 x − 1)  d) x − x + = x − + x + +  4x − x  x+ x? ??  a) ð ng th c t? ?ch ph? ?n : Mu n ch ng minh đ ng th c t? ?ch ph? ?n ta th? ? ng d? ?ng c? ?ch ñ i bi n s nh n x? ?t m t s ñ c ñi m sau * C n t? ?ch ph? ?n. .. đư ng cung đư c t? ?nh sau : b l = ∫ + ( y ′) dx v i a, b h? ?nh đ m đ u cung a 4 )T? ?nh t ng khai tri n nh th c Newton T? ?m c? ?ng th c t ng qu? ?t , ch n s li u th? ?ch h p,sau ñ? ? d? ?ng ñ ng nh t th c, b? ?