Chuyên đề số chính phương modulo n Lời nói đầu: "Số học là bà chúa của toán học" và một trong những phần hết sức hấp dẫn của số học là đồng dư thức. Bài viết này đề cập tới Luật tương hỗ Gauss -một vấn đề hay của lý thuyết đồng dư. Nhắc lại định nghĩa: Cho số nguyên dương n. Số nguyên a được gọi là số chính phương (mod n) nếu tồn tại là tập hợp các số chẵn trong khoảng (p/2;p). Khi đó là các số lẻ trong khoảng (p/2;p). Giả sử là tập hợp tất cả các số chẵng trong khoảng (0;p/2); ta có: m+n=(p-1)/2. Dễ thấy tập A={ là bội của 2003 và S(n)=3. Vậy giá trị nhỏ nhất của S(n) khi n chạy trên các bội của 2003 là 3. Ta xét tiếp bài toán sau đây: Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ p khác 3 sao cho 3 là số chính phương (mod p). Để trả lời cho bài toán trên ta xét định lí sau đây: Định lí 3: Cho p là số nguyên tố lẻ khác 3. Gọi n là số các số là bội của 3 thuộc khoảng . Khi đó: chia hết cho . Bài 2: Cho p>3 là số nguyên tố có dạng . Cmr: thuộc khoảng (p/2;p). Khi đó: }. Từ đó dễ dàng suy ra Đ.P.C.M. Bổ đề 2: Ký hiệu: . Ta có: ={ ; A_{2}={ }; A_{3}={ }. Ta có: . Dễ có: nên bổ đề được chứng minh. Từ ba bổ đề trên ta đi đến kết quả hết sức quan trọng sau đây gọi là LUẬT TƯƠNG HỖ GAUSS - Đây là một trong những thành tựu đẹp nhất của lý thuyết số. Cho là hai số nguyên tố lẻ phân biệt. Khi đó: 1. Nếu có ít nhất một trong hai số có dạng thì p là số chính phương (mod q) khi và chỉ khi q là số chính phương (mod p). 2. Nếu cả hai số đều có dang 4k+3 thì p là số chính phương (mod q) khi và chỉ khi q là số không chính phương (mod p). Áp dụng: Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố lẻ p khác 5 sao cho 5 là số chính phương (mod p). Bài 2: Yêu cầu như bài số 1 nhưng thay 5 bởi 7. Hai ví dụ trên đây minh họa cho hai trường hợp (1); (2) ở trên; các bạn có thể tự tìm thêm các ví dụ khác để làm cho thạo. Có thể thấy sức mạnh lớn lao của luật tương hố Gauss trong giải toán số học. Viết lại các kết quả mà đã đề cập ở trên 1 lần nữa( theo cách khác đi đôi chút): Cho p là 1 số nguyên tố lẻ , a là 1 số nguyên A> 1>Định nghĩa (kí hiệu legendre): CMR : mọi uớc nguyên tố của đều có dạng Bài 2: Cho a,b,c là ba số nguyên và nguyên tố cùng nhau: CMR : mọi ước nguyên tố của a đều có dạng 6k+1. Bài 3: CMR : x,y Z thì: không nguyên. Một số BT 1)p=4k+3 CMR pt x^2+(p+1)/4=0(modp) vô nghiệm 2)p=a^2+b^2 Gs a lẻ và dương .CMR a là TD chính phương mod p Nếu p=8k+1 thì a,b đều là TDCP modp 3)p>5 CMR tồn tại n thuộc{1, ,9} mà n,n+1 là TDCP modp(TH riêng là BT vô địch IReland-có một cm khác của Mr Stoke) Bài 1 và 2 đều là những ứng dụng đơn giản của luật tương hỗ. Tuy nhiên bài 2 cần dùng luật tương hỗ Gauss với ký hiệu Jacobi chứ không phải ký hiệu Legendre. Bài 3 thì tớ chưa kịp nghĩ cách hay, mới có cách củ chuối này Giả sử trái lại N=8 8 2 1 1 p p     ⇒ = − ⇒ = −  ÷  ÷     9n = 10 5 1 1 p p     ⇒ = − ⇒ = −  ÷  ÷     (1) N=4 5 1 p   ⇒ = −  ÷   (2) mâu thuẫn với Thêm bài nữa nhé CMR một số nguyên tố có tính chất mọi phi thằng dư cp là căn nguyên thủy khi và chỉ khi p là số nguyên tố Fermat Trước hết mọi căn nguyên thủy của một số nguyên tố đều là phi chính phương modulo vì , hay . Ta tìm số mà mọi phi chính phương modulo đều là căn nguyên thủy của Trong có đúng phi chính phương modulo , nghĩa là có đúng căn nguyên thủy của . Mặt khác ta có trong số căn nguyên thủy của là nên Dễ thấy một số dạng là số nguyên tố thì cũng có dạng . Vậy , hay là số nguyên tố Fermat. Ta dễ thấy điều ngược lại : Nếu là số nguyên tố Fermat thì mọi phi chính phương modulo đều là căn nguyên thủy của . Thật vậy: trong thì có đúng căn nguyên thủy và số phi chính phương modulo . Mà mọi căn nguyên thủy của là phi chính phương modulo nên tập các số phi chính phương modulo cũng chính là tập các căn nguyên thủy của . cách củ chuối này Giả sử trái lại N=8 8 2 1 1 p p     ⇒ = − ⇒ = −  ÷  ÷     9n = 10 5 1 1 p p     ⇒ = − ⇒ = −  ÷  ÷     (1) N=4 5 1 p   ⇒ = −  ÷   (2) mâu thuẫn với. có dạng 6k +1. Bài 3: CMR : x,y Z thì: không nguyên. Một số BT 1) p=4k+3 CMR pt x^2+(p +1) /4=0(modp) vô nghiệm 2)p=a^2+b^2 Gs a lẻ và dương .CMR a là TD chính phương mod p Nếu p=8k +1 thì a,b đều. số học. Viết lại các kết quả mà đã đề cập ở trên 1 lần nữa( theo cách khác đi đôi chút): Cho p là 1 số nguyên tố lẻ , a là 1 số nguyên A> 1& gt;Định nghĩa (kí hiệu legendre): CMR : mọi uớc