MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC GA = H1 G2 GB = 59 G2 + G2 H2 GC = + GA = + H1 G2 + H1 = G2 G2    G2 + H1  G2G3 + G3 H1 G2 GD = GB GC G3 =    G3 = + G2 H2  + G2 H2   G2  G2G3 + G3 H1 G2G3 + G3 H1 GD + G2 H2 GE = = = G G + G3 H1 + GD H3 + G2 H2 + G2G3 H3 + G3 H1 H3 1+ H3 + G2 H2 Vậy hàm truyền tương đương hệ thống là: G2G3 + G3 H1 + G2 H2 + G2G3 H3 + G3 H1 H3 G1GE G= = G2G3 + G3 H1 + G1GE + G1 + G2 H2 + G2G3 H3 + G3 H1 H3 G1 ⇒ G= G1G2G3 + G1G3 H1 + G2 H2 + G2G3 H3 + G3 H1 H3 + G1G2G3 + G1G3 H1 g Ví dụ 2.3 Tính hàm truyền tương đương hệ thống biểu diễn sơ đồ khối: Gợi ý: Biến đổi tương đương sơ đồ khối sau: Chuyển tổng trước G1(s), sau đổi vị trí tổng ; chuyển điểm rẽ nhánh sau G2(s) hai 60 CHƯƠNG Sau thực phép biến đổi ta sơ đồ khối tương đương đơn giản Độc giả tiếp tục biến đổi để đến kết cuối g Nhận xét: Phương pháp biến đổi sơ đồ khối phương pháp đơn giản trực quan dùng để tìm hàm truyền tương đương hệ thống Khuyết điểm phương pháp biến đổi sơ đồ khối không mang tính hệ thống, sơ đồ cụ thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác người giải toán Ngoài ra, tính hàm truyền tương đương ta phải thực nhiều phép tính phân thức đại số, hệ thống phức tạp phép tính hay bị nhầm lẫn Do đó, phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối thích hợp để tìm hàm truyền tương đương hệ thống đơn giản Đối với hệ thống phức tạp ta có phương pháp hiệu hơn, phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu đề cập đến mục 2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu công thức Mason 1- Định nghóa Để biểu diễn hệ thống tự động, phương pháp sử dụng sơ đồ khối, ta sử dụng phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu Hãy so sánh hai hình vẽ đây, hình 2.14b sơ đồ dòng tín hiệu hệ thống có sơ đồ khối hình 2.14a 61 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC Hình 2.14 Biểu diễn hệ thống sơ đồ dòng tín hiệu a) Sơ đồ khối; b) Sơ đồ dòng tín hiệu Định nghóa Sơ đồ dòng tín hiệu mạng gồm nút nhánh - Nút: điểm biểu diễn biến hay tín hiệu hệ thống - Nhánh: đường nối trực tiếp hai nút, nhánh có mũi tên chiều truyền tín hiệu có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ tín hiệu hai nút - Nút nguồn: nút có nhánh hướng - Nút đích: nút có nhánh hướng vào - Nút hỗn hợp: nút có nhánh nhánh vào Tại nút hỗn hợp, tất tín hiệu tổng đại số tín hiệu vào - Đường tiến: đường gồm nhánh liên tiếp có hướng tín hiệu từ nút nguồn đến nút đích qua nút lần - Độ lợi đường tiến: tích hàm truyền nhánh đường tiến - Vòng kín: đường khép kín gồm nhánh liên tiếp có hướng tín hiệu qua nút lần - Độ lợi vòng kín: tích hàm truyền nhánh vòng kín 2- Công thức Mason Hàm truyền tương đương hệ thống tự động biểu diễn sơ đồ dòng tín hiệu tính theo công thức: G= ∆ ∑ ∆ k Pk k (2.49) 62 CHƯƠNG đó: • Pk - độ lợi đường tiến thứ k • ∆ - định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ =1− Li + Li L j − Li L j Lm + L ∑ i • ∑ i, j ∑ (2.50) i, j ,m ∑ L - tổng độ lợi vòng vòng kín có sơ đồ i i • ∑ dòng tín hiệu Li L j - tổng tích độ lợi vòng hai vòng không i, j dính • ∑LL L i j m - tổng tích độ lợi vòng ba vòng i, j,m không dính ∆k - định thức sơ đồ dòng tín hiệu ∆k suy từ ∆ cách bỏ vòng kín có dính tới đường tiến Pk Chú ý: ∗ “không dính” = nút chung • ∗ “dính” = có nút chung 2.3.2 Một số ví dụ tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason Ví dụ 2.4 Tính hàm truyền tương đương hệ thống mô tả sơ đồ dòng tín hiệu sau: Giải: - Độ lợi đường tiến: P1 = G1G2G3G4 G5 ; P2 = G1G6G4 G5 ; - Độ lợi vòng kín: P3 = G1G2G7 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 63 L1 = −G4 H1 ; L2 = −G2G7 H2 ; L3 = −G6G4 G5 H2 ; L4 = −G2G3G4 G5 H2 64 CHƯƠNG - Định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − ( L1 + L2 + L3 + L4 ) + L1L2 - Caùc định thức con: ∆1 = ; ∆2 = ; ∆ = − L1 Hàm truyền tương đương hệ thống là: G= ( P1∆1 + P2 ∆ + P3∆ ) ∆ G= G1G2G3G4 G5 + G1G6G4 G5 + G1G2G7 (1 + G4 H1 ) + G4 H1 + G2G7 H2 + G6G4 G5 H2 + G2G3G4 G5 H2 + G4 H1G2G7 H2 g Trong trường hợp hệ thống cho dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang dạng sơ đồ dòng tín hiệu Khi chuyển từ sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu cần ý: - Có thể gộp hai tổng liền thành nút - Có thể gộp tổng điểm rẽ nhánh liền sau thành nút - Không thể gộp điểm rẽ nhánh tổng liền sau thành nút Ví dụ 2.5 Tìm hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối sau: Giải: Chúng ta tìm hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối ví dụ 2.2 Để so sánh ví dụ tìm hàm truyền hệ thống cách áp dụng công thức Mason Sơ đồ dòng tín hiệu tương đương hệ thống sau: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 65 - Độ lợi đường tiến: P1 = G1G2G3 ; P2 = G1 H1G3 - Độ lợi vòng kín: L1 = −G2 H2 ; L2 = −G2G3 H3 ; L3 = −G1G2G3 ; L4 = −G3 H1 H3 ; L5 = −G1G3 H1 - Định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) - Các định thức con: ∆1 = ; ∆2 = Hàm truyền tương đương hệ thống laø: G= ( P1 ∆1 + P2 ∆ ) ∆ G= G1G2G3 + G1G3 H1 + G2 H2 + G2G3 H3 + G1G2G3 + G3 H1 H3 + G1G3 H1 g Ví dụ 2.6 Tìm hàm truyền tương đương hệ thống có sơ đồ khối sau: 66 CHƯƠNG Giải Sơ đồ dòng tín hiệu tương đương: - Độ lợi đường tiến: P1 = G1G2G3 ; P2 = G4 - Độ lợi vòng kín: L1 = −G1 H2 ; L2 = −G1G2 H1 ; L3 = −G1G2G3 ; L4 = −G2G3 H3 ; L5 = −G4 - Định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − ( L1 + L2 + L3 + L4 + L5 ) + ( L1 L4 + L1 L5 + L2 L5 + L4 L5 ) − L1 L4 L5 - Các định thức con: ∆1 = ; ∆ = − ( L1 + L2 + L4 ) + ( L1 L4 ) Hàm truyền tương đương hệ là: G= TS ( P1∆1 + P2 ∆ ) = ∆ MS với: TS = G1G2G3 + G4 (1 + G1 H2 + G1G2 H1 + G2G3 H3 + G1 H2G2G3 H3 ) MS = + G1 H2 + G1G2 H1 + G1G2G3 + G2G3 H3 + G4 + G1G2G3 H2 H3 + G1G4 H2 + G1G2G4 H1 + G2G3G4 H3 + G1G2G3G4 H2 H3 g 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.1 Khái niệm Như trình bày đầu chương này, quan hệ ngõ vào ngõ hệ thống liên tục mô tả phương trình vi phân bậc n Nghiên cứu hệ thống dựa phương trình MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 67 vi phân bậc n khó khăn, cần mô tả toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống dễ dàng Phương pháp hàm truyền chuyển quan hệ phương trình vi phân cấp n thành phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace Nghiên cứu hệ thống mô tả hàm truyền thuận lợi phương trình vi phân, nhiên hàm truyền có số khuyết điểm sau: - Chỉ áp dụng điều kiện đầu - Chỉ áp dụng cho hệ thống tuyến tính bất biến, áp dụng để mô tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian - Nghiên cứu hệ thống miền tần số Một phương pháp khác sử dụng để khảo sát hệ thống tự động phương pháp không trạng thái Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc cách đặt n biến trạng thái Phương pháp không gian trạng thái khắc phục khuyết điểm phương pháp hàm truyền 2.4.2 Trạng thái hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái Trạng thái Trạng thái hệ thống tập hợp nhỏ biến (gọi biến trạng thái) mà biết giá trị biến thời điểm to biết tín hiệu vào thời điểm t ≥ to, ta hoàn toàn xác định đáp ứng hệ thống thời điểm t ≥ to Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái chọn biến vật lý biến vật lý Ví dụ động DC hệ bậc hai, có hai biến trạng thái chọn tốc độ động dòng điện phần ứng (biến vật lý) Tuy nhiên ta chọn hai biến trạng thái khác Phương pháp mô tả hệ thống cách sử dụng biến trạng thái gọi phương pháp không gian trạng thái Véctơ trạng thái n biến trạng thái hợp thành véctơ cột gọi vectơ trạng thái, ký hiệu: 68 CHƯƠNG x = [ x1 T x2 K xn ] (2.51) Baèng cách sử dụng biến trạng thái, ta chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc viết dạng ma trận sau: &  x( t ) = Ax( t ) + Br( t )   c( t ) = Cx( t ) + Dr( t ) (2.52) đó:  a11 a A =  21  M   an1  a12 K a1n   b1   b  a22 K a2n  B =  2 C = [ c1 c K c n ] D = d M  M M     an2 K ann  bn     Phương trình (2.52) gọi phương trình trạng thái hệ thống Nếu A ma trận thường, ta gọi (2.52) hệ phương trình trạng thái dạng thường; A ma trận chéo, ta gọi (2.52) hệ phương trình trạng thái dạng tắc Đối với hệ thống hợp thức chặt (bậc tử số hàm truyền nhỏ bậc mẫu số) D = Hệ thống mô tả hệ phương trình trạng thái (2.52) biểu diễn dạng sơ đồ trạng thái sau: Hình 2.15: Sơ đồ trạng thái hệ thống Sau xét phương pháp thành lập hệ phương trình trạng thái hệ thống từ dạng mô tả toán học khác phương trình vi phân hay hàm truyền 69 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân 1- Vế phải phương trình vi phân mô tả hệ thống chứa đạo hàm tín hiệu vào Cho hệ thống mô tả phương trình vi phaân: dn c( t ) dt n + a1 d n−1 c( t ) dt n−1 + L + an−1 dc( t ) + an c( t ) = bo r( t ) dt (2.53) Để ý biểu thức (2.53) hệ số ao = Nếu ao ≠ ta chia hai vế phương trình vi phân cho ao để dạng (2.53) Qui tắc đặt biến trạng thái - Biến tín hiệu ra: x1 ( t ) = c( t ) - Biến trạng thái thứ i ( i = 2, n ) đặt theo qui tắc: biến sau đạo hàm biến trước: & xi ( t ) = xi−1 ( t ) Phương pháp đặt biến trạng thái (biến sau đạo hàm biến trước) gọi phương pháp tọa độ pha Áp dụng cách đặt biến trạng thái mô tả trên, ta có: x1 ( t ) = c( t ) & x2 ( t ) = x1 ( t ) ⇒ & x2 ( t ) = c( t ) & x3 ( t ) = x2 ( t ) ⇒ x3 ( t ) = &&( t ) c ⇒ xn ( t ) = M & xn ( t ) = xn−1 ( t ) dn−1 c( t ) dtn−1 ⇒ & xn ( t ) = dn c( t ) dtn Thay biến trạng thái vào phương trình (2.53) ta được: & x n ( t ) + a1 xn ( t ) + L + an−1 x2 ( t ) + an x1 ( t ) = bo r( t ) Kết hợp phương trình với quan hệ biến trạng thái ta hệ phương trình sau: 70 CHƯƠNG &  x1 ( t ) = x2 ( t ) &  x2 ( t ) = x3 ( t)  (2.54)   x ( t) = x ( t ) & n  n−1 &  xn ( t ) = − an x1 ( t) − an−1 x2 ( t ) − L − a2 xn−1 ( t ) − a1 xn ( t ) + bo r( t )  Viết lại (2.54) dạng ma trận: &  x1 ( t )    &    x2 ( t )    M = M    &  xn−1 ( t )   x ( t)   − a  &n   n 0 M M − an−1 − an−2   x1 ( t )        x2 ( t )       M   M  +  M  r( t )     K   xn−1 ( t )   K − a1   xn ( t )   bo      K K Đáp ứng hệ thống:  x1 ( t )     x2 ( t )  c( t ) = x1 ( t ) = [1 K 0]  M     xn−1 ( t )  x ( t)   n  Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là: &  x( t ) = Ax( t) + Br( t )   c( t ) = C x( t ) với:  x1 ( t )     x2 ( t )  x( t ) =  M     xn−1 ( t )  x ( t)   n     A= M    − an  (2.55) 0 M M − an−1 − an−2  0  0 K    M  B= M     K  0  b0  K − a1    K C = [1 K 0] Ví dụ 2.7 Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào - tín hiệu mô tả phương trình vi phân sau: & 2&&&( t ) + 5&&( t ) + 6c( t ) + 10c( t ) = r( t ) c c 71 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC Giải Chia hai vế phương trình vi phân cho 2, ta được: &&&( t ) + 5&&( t ) + 3c( t) + 5c( t ) = 5r( t ) & c c Đặt biến trạng thái sau: x1 ( t ) = c( t ) ; & x2 ( t ) = x1 ( t ) ; & x3 ( t ) = x2 ( t ) Áp dụng công thức (2.55), ta có hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống sau: &  x( t ) = Ax( t) + Br( t )   c( t ) = C x( t )  x1 ( t )    x( t ) =  x2 ( t )  x3 ( t)   với:  A=   − a3  0  0  =0     − a1   −5 −3 −2 5    − a2 0   B=0=       b0  0 5     C = [1 0] g 2- Veá phải phương trình vi phân mô tả hệ thống có chứa đạo hàm tín hiệu vào Xét toán xây dựng hệ phương trình trạng thái cho hệ thoáng: dn c( t ) dt n + a1 = bo d n−1 c( t ) dt n−1 dm r( t ) dt m + K + an−1 + b1 dm−1 r( t ) dt m−1 dc( t ) + an c( t ) = dt + K bm−1 dr( t ) + bm r( t ) dt (2.56) Để áp dụng công thức đây, m phải thỏa điều kiện m = n –1 (các hệ số bo, b1, 0) 72 CHƯƠNG Qui tắc đặt biến trạng thái Biến tín hiệu ra: x1 ( t ) = c( t ) Biến trạng thái thứ i ( i = 2, n ) đặt theo qui tắc: & xi ( t ) = xi−1 ( t ) − βi−1 r( t ) Với cách đặt biến trạng thái trên, hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống là: &  x( t ) = Ax( t) + Br( t )   c( t ) = C x( t ) đó:    A= M    − an  0 M M − an−1 − an−2   β1    β  K    M  B= M     K  βn−1   βn  K − a1     K C = [1 K 0] β1 = bo β = b − a β 1   với: β3 = b2 − a1β2 − a2β1   βn = bn−1 − a1βn−1 − K an−1β1  Sau ta chứng minh kết cho hệ bậc ba, trường hợp tổng quát hệ bậc n suy tương tự Xét hệ bậc ba có quan hệ tín hiệu vào tín hiệu qua phương trình vi phân: d3 c( t ) dt3 + a1 d2 c( t) dt2 + a2 dc( t ) d2 r( t) dr( t) + a3 c( t ) = bo + b1 + b2 r( t ) dt dt dt (2.57) Đặt biến trạng thái sau: x1 ( t ) = c( t ) (2.58) & & x2 ( t ) = x1 ( t ) − β1 r( t ) = c( t ) − β1 r( t ) (2.59) & & x3 ( t ) = x2 ( t ) − β2 r( t ) = &&( t ) − β1 r( t ) − β2 r( t ) c (2.60) Với cách đặt biến trạng thái trên, ta có: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 73 (2.59) ⇔ (2.60) ⇔ &&( t ) = x3 ( t ) + β1 r( t ) + β2 r( t ) & c (2.62) ⇔ &&&( t ) = x3 ( t ) + β1 &&( t ) + β2 r( t ) & & c r (2.63) & c( t ) = x2 ( t ) + β1 r( t ) (2.61) Thay (2.58), (2.61), (2.62) (2.63) vào phương trình (2.57) ta được: &  & r  x3 ( t ) + β1&&( t ) + β2 r( t ) + a1  x3 ( t ) + β1 r( t ) + β2 r( t ) + &   & + a2  x2 ( t ) + β1 r( t ) + a3 x1 ( t) = bo &&( t ) + b1 r( t ) + b2 r( t ) r   & & & ⇔ x3 ( t) = −β1&&( t ) − β2 r( t ) − a1 x3 ( t ) − a1β1 r( t ) − a1β2 r( t) r & − a2 x2 ( t ) − a2β1 r( t ) − a3 x1 ( t ) + bo &&( t ) + b1 r( t ) + b2 r( t ) r & ⇔ x3 ( t ) = − a3 x1 ( t ) − a2 x1 ( t ) − a1 x3 ( t ) + ( b0 − β1 )&&( t) r & +( b1 − β2 − a1β1 )r( t ) + ( b2 − a1β2 − a2β1 )r( t ) (2.64) Choïn β 1, β cho đạo hàm tín hiệu vào biểu thức (2.64) bị triệt tiêu: bo − β1 =  b1 − β2 − a1β1 = Đặt: β = b ⇒ β2 = b1 − a1β1 β3 = b2 − a1β2 − a2β Thay vaøo (2.64) ta được: & x3 ( t ) = − a3 x1 ( t ) − a2 x1 ( t ) − a1 x3 ( t ) + β3 r( t ) Kết hợp (2.59), (2.60) (2.65) ta hệ phương trình: &  x1 ( t ) = x2 ( t ) + β1 r( t )  &  x2 ( t ) = x3 ( t ) + β2 r( t )  x ( t ) = − a x ( t ) − a x ( t ) − a x ( t ) + β r( t ) 1 3  &3 Viết lại dạng ma trận: đó: &   x1 ( t )   β1   x1 ( t)   &       x2 ( t ) + β2  r( t )  x2 ( t ) =      x3 ( t )  − a3 − a2 − a1   x3 ( t ) β3        &  β1 = bo  β2 = b1 − a1β1 β = b − a β − a β 2  (2.65) 74 CHƯƠNG  x1 ( t )    c( t ) = x1 ( t ) = [1 0]  x2 ( t )  x3 ( t )   Đáp ứng hệ thống: Trên vừa chứng minh cách dẫn hệ phương trình trạng thái cho hệ bậc ba trường hợp vế phải phương trình vi phân có chứa đạo hàm tín hiệu vào Sau ví dụ áp dụng Ví dụ 2.8 Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có quan hệ tín hiệu vào tín hiệu qua phương trình vi phân: &&&( t ) + 5&&( t) + 6c( t ) + 10c( t) = 10r( t ) + 20r( t ) & & c c Giải Đặt biến trạng thái sau: x1 ( t ) = c( t ) & x2 ( t ) = x1 ( t ) − β1 r( t ) & x3 ( t ) = x2 ( t ) − β2 r( t ) Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là: &  x1 ( t)   &    x2 ( t ) =  &    x3 ( t )  − a3 − a2   x1 ( t )   β1      x2 ( t ) + β2  r( t )        − a1   x3 ( t ) β3  β1 = bo =  β2 = b1 − a1β1 = 10 − × = 10 β = b − a β − a β = 20 − × 10 − × = −30 2  Thay thông số hệ vào phương trình trạng thái, ta được: &   x1 ( t )     x1 ( t)   &       x2 ( t ) +  10  r( t )  x2 ( t ) =      x3 ( t )  −10 −6 −5  x3 ( t )  −30       &  Đáp ứng hệ thống:  x1 ( t )    c( t ) = x1 ( t ) = [1 0]  x2 ( t )  x3 ( t )   g 75 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 2.4.4 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền sơ đồ khối 1- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Nếu hệ thống cho dạng hàm truyền, ta dùng phép biến đổi Laplace ngược để chuyển quan hệ hàm truyền thành phương trình vi phân, sau áp dụng phương pháp thành lập hệ phương trình biến trạng thái trình bày mục 2.4.3 Sau ví dụ: Ví dụ 2.9 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối sau Giải: Hàm truyền hệ thống kín: G( s) Gk ( s) = = + G( s) H ( s) 10 10( s + 2) s( s + 3) = 10 s( s + 3)( s + 2) + 10 1+ s( s + 3) ( s + 2) ⇒ C( s) 10( s + 2) 10( s + 2) = = R( s) s( s + 3)( s + 2) + 10 s + 5s2 + 6s + 10 ⇒ ( s3 + 5s2 + 6s + 10)C( s) = 10( s + 2) R( s) ⇒ &&&( t ) + 5&&( t) + 6c( t ) + 10c( t) = 10r( t ) + 20r( t ) & & c c Xem tiếp lời giải trình bày ví dụ 2.8 g 2- Phương pháp tọa độ pha Một phương pháp khác thường áp dụng để xây dựng hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền phương pháp tọa độ pha Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là: C( s) bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm = R( s) sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an (2.66) 76 CHƯƠNG Để thuận lợi cho việc xây dựng hệ phương trình biến trạng thái, biểu thức (2.66) hệ số ao = (nếu ao ≠ , ta chia tử số mẫu số cho ao) m = n − (các hệ số bo, b1, 0) Đặt biến phụ Y(s) cho: C( s) = ( bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm )Y ( s) (2.67) R( s) = ( sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an )Y ( s) (2.68) Deã thấy rằng, cách đặt Y(s) trên, biểu thức (2.66) thỏa mãn Biến đổi Laplace ngược hai vế (2.67) (2.68) ta được: c( t ) = bo r( t ) = dm y( t ) dt m dn y( t ) dt n + b1 + a1 dm−1 y( t ) dt m−1 dn−1 y( t ) dt n−1 + L + bm−1 + L + an−1 dy( t ) + bm y( t ) dt dy( t ) + an y( t ) dt (2.69) (2.70) Xét phương trình vi phân (2.70), ta đặt biến trạng thái sau:  x1 ( t ) = y( t )  & &  x2 ( t ) = x1 ( t ) = y( t )  x3 ( t ) = x2 ( t ) = &&( t ) & y   M  dn−1 y( t )  xn ( t ) = xn−1 ( t ) = &  dtn−1  (2.71) Áp dụng kết trình bày mục 2.4.2.1, từ phương trình vi phân (2.70) ta suy hệ phương trình trạng thái: (2.72) & x( t ) = Ax( t ) + Br( t ) đó:  x1 ( t )     x2 ( t )  x( t ) =  M     xn−1 ( t )  x ( t)   n     A= M    − an  0 M M − an−1 − an−2  K   M   K  K − a1   K 0 0   B = M    0 1    (2.73) Mặt khác thay biến trạng thái biểu thức (2.71) vào phương trình vi phân (2.69) ta được: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 77 c( t ) = bo xn ( t ) + b1 xn−1 ( t ) + L + bm−1 x2 ( t ) + bm x1 ( t ) Viết dạng véctơ: (2.74) c( t ) = Cx( t ) C = [ bm với: bm−1 K b1 bo ] (2.75) Tóm lại, cách đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, hệ phương trình biến trạng mô tả hệ thống là: &  x( t ) = Ax( t ) + Br( t )   c( t ) = C x( t ) với ma trận trạng thái xác định biểu thức (2.73) (2.75) Ví dụ 2.10 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối phương pháp tọa độ pha Giải: Hàm truyền hệ thống (xem lại ví dụ 2.9): C( s) 10s + 20 = R( s) s3 + 5s2 + 6s + 10 Đặt biến phụ Y(s) thỏa: C( s) = (10s + 20)Y ( s) R( s) = ( s3 + 5s2 + 6s + 10)Y ( s) Suy ra: & c( t ) = &&( t ) + 10 y( t ) + 20 y( t ) y & r( t ) = &&&( t ) + &&( t ) + y( t ) + 10 y( t ) y y Đặt biến trạng thaùi: x1 ( t ) = y( t ) & & x2 ( t ) = x1 ( t ) = y( t ) & x3 ( t ) = x2 ( t ) = &&( t ) y ... + G1G2 H1 + G1G2G3 + G2G3 H3 + G4 + G1G2G3 H2 H3 + G1G4 H2 + G1G2G4 H1 + G2G3G4 H3 + G1G2G3G4 H2 H3 g 2 .4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2 .4. 1 Khái niệm Như trình bày đầu chương này, quan hệ... đương hệ thống là: G= ( P1∆1 + P2 ∆ + P3∆ ) ∆ G= G1G2G3G4 G5 + G1G6G4 G5 + G1G2G7 (1 + G4 H1 ) + G4 H1 + G2G7 H2 + G6G4 G5 H2 + G2G3G4 G5 H2 + G4 H1G2G7 H2 g Trong trường hợp hệ thống cho dạng sơ... TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 63 L1 = −G4 H1 ; L2 = −G2G7 H2 ; L3 = −G6G4 G5 H2 ; L4 = −G2G3G4 G5 H2 64 CHƯƠNG - Định thức sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = − ( L1 + L2 + L3 + L4 ) + L1L2 - Các định