Bộ giáo dục và đào tạo Đề chính thức Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 Môn thi: toán; Khối A (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề) Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 32 2 + + = x x y (1) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lợt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phơng trình: ( ) ( )( ) 3 sin1sin21 cossin21 = + xx xx 2. Giải phơng trình: 08563232 3 =+ xx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) = 2 0 23 .cos1cos xdxxI Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có: (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z) 3 Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chơng trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đờng thẳng : 05 =+ yx . Viết phơng trình đờng thẳng AB. 1 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 0422 = zyx và mặt cầu (S): 011642 222 =++ zyxzyx . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó. Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phơng trình 0102 2 =++ zz . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 1 zzA += B. Theo chơng trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn (C): 0644 22 =+++++ yxyx và đờng thẳng : 032 =++ mmyx , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đờng tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 0122 =+ zyx và hai đờng thẳng 1 : 6 9 11 1 + == + zyx , 2 : 2 1 1 3 2 1 + = = zyx . Xác định toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình ( ) ( ) = +=+ + 813 log1log 32 2 22 2 yxyx xyxx (x, y R) Hết Huớng dẫn chấm thi Câu Đáp án Điểm Phần chung cho tất cả các thí sinh 7 điểm Câu I a) Khảo sát hàm số 32 2 + + = x x y 1.00 a/ Tập xác định: = 2 3 \RD 0.25 b/ Sự biến thiên của hàm số Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đờng tiệm cận 3 3 2 2 lim , lim x x y y + = = + , nên đờng thẳng 2 3 =x là tiệm cận đứng 0.25 2 2 1 lim = +∞→ y x , 2 1 lim = −∞→ y x , nªn ®êng th¼ng 2 1 =y lµ tiƯm cËn ngang • B¶ng biÕn thiªn : ( ) 2 3 ;0 32 1 ' 2 −≠∀< + − = x x y Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng       −∞− 2 3 ; vµ       +∞− ; 2 3 0.25 c/ §å thÞ: §å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm       3 2 ;0 vµ C¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm ( ) 0;2− NhËn xÐt : §å thÞ nhËn giao ®iĨm       −= 2 1 ; 2 3 I cđa hai ®êng tiƯm cËn lµm t©m ®èi xøng. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y 0.25 b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun 1.00 * Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = -x. Mµ y’ < 0, nªn: 2 0 1 1 (2x 3) − = − + ⇒ 0 0 0 0 x 1 y 1 x 2 y 0 = − ⇒ =   = − ⇒ =  0.50 * ∆ 1 : y – 1 = -1(x + 1) ⇔ y = -x (loại) 0.25 * ∆ 2 : y – 0 = -1(x + 2) ⇔ y = -x – 2 0.25 C©u II 2.00 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 1.00 * ĐK: 1 sin 2 x − ≠ , sinx ≠ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin cos 2sin cos 3 1 sin 2sin cos 3sin sin2 3cos2 ⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇔ − = + Pt x x x x x x x x x x x x x 0.50 * cos cos 2 3 6 x x π π     ⇔ + = −  ÷  ÷     0.50 3 2 2 = x k (loaùi) 2 18 3 = +x k , k Z (thoả mãn) b) Giải phơng trình 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0 + = 1.00 * Đặt xvxu 56,23 3 == với 0 v Ta đợc 835 23 =+ vu 0.25 * Phơng trình đã cho tơng đơng với Hpt =+ =+ 0 825 832 23 v vu vu 0.25 * Giải hệ phơng trình ta đợc = = 4 2 v u 0.25 * Do đó 2 456 223 3 = = x x x . Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = -2 0.25 Câu 3 Tính tích phân 1.00 * Ta có ( ) 21 2 0 2 2 0 5 2 0 23 coscoscos1cos IIxdxxdxxdxxI === 0.25 * Tính ( ) ( ) 15 8 sin 5 1 sin 3 2 sinsinsin1cos 2 0 5 2 0 3 2 0 2 0 2 2 2 0 5 1 =+=== xxxxdxxdxI 0.25 * Tính ( ) 4 2sin 2 1 . 2 1 2 1 2cos1 2 1 cos 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 =+=+== xxdxxxdxI 0.25 * Vậy 415 8 21 == III 0.25 Câu 4 Tính thể tích của hình chóp A B D C S I H J * Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là đờng cao của hình chóp Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và 0.25 4 mp(ABCD). Hay góc SHI = 60 0 * Đáy ABCD có diện tích là: ( ) 2 3. 2 1 aADCDABS d =+= 0.25 * Tam giác IBC có diện tích 2 3 2 a SSSS ICDIABdIBC == Suy ra: 5 3 2. a IHSBCIH IBC == vì với trung điểm M của AB thì tam giác MBC vuông cân ,nên 5aBC = 0.25 * Xét tam giác vuông SIH : 5 153 60tan. 0 a IHSI == . Vởy thể tích của hình chóp là : 5 153 3 1 3 a SSIV d == 0.25 Câu 5 Chứng minh bất đẳng thức 1.00 * Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz 1 3 y z y z x x x x + + = t 0, 0, 0 y z u v t u v x x = > = > = + > .Tađợc: ( ) ( ) 2 2 2 1 3 3 3 3 4 4 0 2 3 2 0 2 2 4 + + = = + ữ u v t t uv t t t t t 0.25 * Chia hai v cho x 3 bt ng thc cn chng minh a v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 3 1 1 5u v u v u v u v+ + + + + + + + 0.25 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 5 2 6 1 1 5 2 6(1 ) 5 1 2 6 1 5 4 6 4 0 2 1 2 0 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ữ t u v u v u v t t t u v t t u v uv t t t t t t t t t t t 0.50 * Lại do 2 t ,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM Phần riêng cho từng chơng trình 3.00 Phần đề thi theo chơng trình chuẩn Câu VI.a Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian 2.00 a) Viết phơng trình đờng thẳng 1.00 * Vì ( ) E nên toạ độ của E có dạng E(m; 5 m); Gi F l trung im ca AB thì F (12 m; m 1). Do E,F đối xứng nhau qua điểm I(6;2) 0.25 * Theo giả thiết ( )( ) ( )( ) 0366110. =+= mmmmFMIEFMIE 0.25 * Với m = 6 thì AB có VTPT là: ( ) 3;0 =IE , suy ra pt AB là y = 5 0.25 * Với m = 7 thì VTPT là ( ) 4;1 =IE , suy ra pt AB là x 4y + 19 = 0 0.25 b) Mặt cầu, đờng tròn giao tuyến 1.00 * PT m.c viết thành ( ) ( ) ( ) 25321 222 =++ zyx , nên tâm I(1;2;3) và R=5 0.25 * Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: Rd =<= ++ = 53 144 432.21.2 . Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đờng tròn tâm J, bán kính r. 0.25 5 * Bỏn kớnh ng trũn r = 2 2 R IJ 25 9 4 = = 0.25 * Phơng trình JI là x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nên J=(1+2t;2-2t;3-t) và ( ) PJ , suy ra tâm của đờng tròn là J(3 ;0 ;2) 0.25 Câu VII.a Số phức 1.00 * Phơng trình 0102 2 =++ zz có 2 nghiệm phức là z= -1+3i và z = -1- 3i 0.50 * Do đó A = z 1 2 + z 2 2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 0.50 Phần đề thi theo chơng trình nâng cao Câu VI.b Phơng pháp toạ độ trong không gian 2.00 a) Tìm tham số m 1.00 * (C) : x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 cú tõm l I (-2; -2); R = 2 Điều kiện để ct (C) ti hai im phõn bit A, B là ( ) 2 , < I d (1) 0.25 * K ng cao IH ca IAB, ta cú: S ABC = ã 1 IA.IB.sin AIB 2 = sin ã AIB Do ú S ABC ln nht khi v ch khi sin ã AIB = 1 AIB vuụng ti I 0.25 * Ta đợc IH = IA 1 2 = (tha IH < R) 2 1 4m 1 m 1 = + 1 8m + 16m 2 = m 2 + 1 15m 2 8m = 0 m = 0 hay m = 8 15 0.50 b) Tìm điểm M 1.00 * Toạ độ của M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1 2 qua A (1; 3; -1) cú vộct ch phng a r = (2; 1; -2) 0.25 * Vectơ AM uuuur = (t 2; t 3; 6t 8) AM a uuuur r = (14 8t; 14t 20; 4 t) 0.25 * Ta cú : d (M, 2 ) = d (M, (P)) 2 261t 792t 612 11t 20 + = 35t 2 - 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 53 35 0.25 * Do đó, có 2 điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M 18 53 3 ; ; 35 35 35 ữ 0.25 Câu VII.b GiảI hệ phơng trình 1.00 * iu kin xy > 0 0.25 * Hệ phơng trình 2 2 2 2 2 2 2 2 log (x y ) log 2 log (xy) log (2xy) x xy y 4 + = + = + = 2 2 2 2 x y 2xy x xy y 4 + = + = 0.25 * GiảI hpt ta đợc 2nghiệm là: x 2 y 2 = = và x 2 y 2 = = 0.50 Hết 6 . Bộ giáo dục và đào tạo Đề chính thức Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 Môn thi: toán; Khối A (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề) Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu. chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =a; góc gi a hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm c a cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI). (C) ti hai im phõn bit A, B là ( ) 2 , < I d (1) 0.25 * K ng cao IH ca IAB, ta cú: S ABC = ã 1 IA.IB.sin AIB 2 = sin ã AIB Do ú S ABC ln nht khi v ch khi sin ã AIB = 1 AIB vuụng