Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 ( ) ( ) Cbax a baxd ++=+ ∫ 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 Để tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ò ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx= . Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b)= = = = = =Þ a Þ b . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt b a = ò ò . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ò . Giải Đặt dx t ln x dt x = =Þ 2 x e t 1, x e t 2= = = =Þ Þ 2 2 1 1 dt I ln t ln 2 t = = =Þ ò . Vậy I ln 2= . DaoThang68@gmail.com 1 Ví dụ 8. Tính tích phân 4 3 0 cos x I dx (sin x cos x) p = + ò . Hướng dẫn: 4 4 3 3 2 0 0 cos x 1 dx I dx . (sin x cos x) (tan x 1) cos x p p = = + + ò ò . Đặt t tan x 1= + ĐS: 3 I 8 = . Ví dụ 9. Tính tích phân 3 1 2 dx I (1 x) 2x 3 = + + ò . Hướng dẫn: Đặt t 2x 3= + ĐS: 3 I ln 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò . Hướng dẫn: Đặt 3 2 2 2 1 3 x t dt t 8 1 x (t 1) - = Þ + + ò L ; đặt t tan u= L ĐS: I 3 2 3 p = - + . Chú ý: Phân tích 1 0 3 x I dx 1 x - = + ò , rồi đặt t 1 x= + sẽ tính nhanh hơn. 2. Đổi biến số dạng 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( ) b a f x dx ∫ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt= . Bước 2. Đổi cận: , x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = . Bước 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt β β α α = = ∫ ∫ ∫ . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x = - ò . Giải Đặt x sin t, t ; dx cos t dt 2 2 p p é ù = - =Î Þ ê ú ë û 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = = = =Þ Þ 6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t p p = =Þ - ò ò 6 6 0 0 dt t 0 6 6 p p p p = = = - = ò . DaoThang68@gmail.com 2 Vậy I 6 p = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx= - ò . Hướng dẫn: Đặt x 2 sin t= ĐS: I = p . Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x = + ò . Giải Đặt 2 x t an t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2 æ ö p p ÷ ç = - = +Î Þ ÷ ç ÷ ÷ ç è ø x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =Þ Þ 4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 t an t p p + p = = =Þ + ò ò . Vậy I 4 p = . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . Hướng dẫn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) - - = = + + + + ò ò . Đặt x 1 tan t+ = ĐS: I 12 p = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x = - ò . ĐS: I 2 p = . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 - = + + ò . ĐS: I 12 p = . 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân 2 2 3 0 I cos x sin xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t cos x= ĐS: 2 I 15 = . DaoThang68@gmail.com 3 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân 2 5 0 I cos xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t sin x= ĐS: 8 I 15 = . Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân 2 4 2 0 I cos x sin xdx p = ò . Giải 2 2 4 2 2 2 0 0 1 I cos x sin xdx cos x sin 2xdx 4 p p = = ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx 16 4 p p = - + ò ò 2 2 2 0 0 1 1 (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 8 p p = - + ò ò 3 2 0 x 1 sin 2x sin 4x 16 64 24 32 p æ ö p ÷ ç = - + = ÷ ç ÷ ç è ø . Vậy I 32 p = . Ví dụ 14. Tính tích phân 2 0 dx I cos x sin x 1 p = + + ò . Hướng dẫn: Đặt x t tan 2 = . ĐS: I ln 2= . Biểu diễn các hàm số LG theo tan 2 a t = : 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t − = = = + + − 3.2. Dạng liên kết Ví dụ 15. Tính tích phân 0 xdx I sin x 1 p = + ò . Giải Đặt x t dx dt= - = -p Þ x 0 t , x t 0= = = =Þ p pÞ ( ) 0 0 ( t)dt t I dt sin( t) 1 sin t 1 sin t 1 p p -p p = - = -Þ - + + +p ò ò 0 0 dt dt I I sin t 1 2 sin t 1 p p p = - =p Þ + + ò ò ( ) ( ) 2 2 0 0 dt dt t t t 2 4 cos sin cos 2 4 2 2 p p p p = = p - + ò ò 2 0 0 t d 2 4 t tan 2 t 2 2 4 cos 2 4 p p æ ö p ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç æ ö è ø p p p ÷ ç = = - = p ÷ ç ÷ ÷ ç æ ö è ø p ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ç è ø ò . Vậy I = p . Tổng quát: DaoThang68@gmail.com 4 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 p p p = ò ò . Ví dụ 16. Tính tích phân 2 2007 2007 2007 0 sin x I dx sin x cos x p = + ò . Giải Đặt x t dx dt 2 p = - = -Þ x 0 t , x t 0 2 2 p p = = = =Þ Þ ( ) ( ) ( ) 2007 0 2007 2007 2 sin t 2 I dx sin t cos t 2 2 p p - = -Þ p p - + - ò 2 2007 2007 2007 0 cos t dx J sin t cos t p = = + ò (1). Mặt khác 2 0 I J dx 2 p p + = = ò (2). Từ (1) và (2) suy ra I 4 p = . Tổng quát: 2 2 n n n n n n 0 0 sin x cos x dx dx , n sin x cos x sin x cos x 4 p p + p = = Î + + ò ò Z . Ví dụ 17. Tính tích phân 6 2 0 sin x I dx sin x 3 cos x p = + ò và 6 2 0 cos x J dx sin x 3 cos x p = + ò . Giải I 3J 1 3- = - (1). ( ) 6 6 0 0 dx 1 dx I J dx 2 sin x 3 cos x sin x 3 p p + = = p + + ò ò Đặt t x dt dx 3 p = + =Þ ⇒ 1 I J ln 3 4 + = (2). Từ (1) và (2)⇒ 3 1 3 1 1 3 I ln 3 , J ln 3 16 4 16 4 - - = + = - . Ví dụ 18. Tính tích phân 1 2 0 ln(1 x) I dx 1 x + = + ò . Giải Đặt 2 x t an t dx (1 tan t)dt= = +Þ x 0 t 0, x 1 t 4 p = = = =Þ Þ ( ) 4 4 2 2 0 0 ln(1 tan t) I 1 t an t dt ln(1 tan t)dt 1 t an t p p + = + = +Þ + ò ò . Đặt t u dt du 4 p = - = -Þ t 0 u , t u 0 4 4 p p = = = =Þ Þ DaoThang68@gmail.com 5 0 4 0 4 I ln(1 t an t)dt ln 1 tan u du 4 p p ộ ổ ửự p ữ ỗ ờ ỳ = + = - + -ị ữ ỗ ữ ữ ỗ ờ ỳ ố ứ ở ỷ ũ ũ 4 4 0 0 1 tan u 2 ln 1 du ln du 1 t an u 1 tan u p p ổ ử ổ ử - ữ ữ ỗ ỗ = + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ + + ũ ũ ( ) 4 4 0 0 ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I 4 p p p = - + = - ũ ũ . Vy I ln 2 8 p = . Vớ d 19. Tớnh tớch phõn 4 x 4 cos x I dx 2007 1 p p - = + ũ . Hng dn: t x t= - S: 2 I 2 = . Tng quỏt: Vi a > 0 , 0>a , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [ ] ; - aa thỡ x 0 f(x) dx f(x)dx a 1 a a - a = + ũ ũ . Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn Ă v tha f( x) 2f(x) cos x- + = . Tớnh tớch phõn 2 2 I f(x)dx p p - = ũ . Gii t 2 2 J f( x)dx p p - = - ũ , x t dx dt= - = -ị x t , x t 2 2 2 2 p p p p = - = = = -ị ị [ ] 2 2 2 2 I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx p p p p - - = - = = + = - +ị ị ũ ũ 2 2 0 2 cos xdx 2 cos xdx 2 p p p - = = = ũ ũ . Vy 2 I 3 = . 3.3. Cỏc kt qu cn nh DaoThang68@gmail.com 6 i/ Vi a > 0 , hm s f(x) l v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a f(x)dx 0 - = ũ . ii/ Vi a > 0 , hm s f(x) chn v liờn tc trờn on [a; a] thỡ a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx - = ũ ũ . iii/ Cụng thc Walliss (dựng cho trc nghim) 2 2 n n 0 0 (n 1)!! , n !! cos xdx sin xdx (n 1)!! . , n !! 2 p p ỡ - ù ù ù ù ù = = ớ ù - p ù ù ù ù ợ ũ ũ neỏu n leỷ neỏu n chaỹn . Trong ú n!! c l n walliss v c nh ngha da vo n l hay chn. Chng hn: 0 !! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;= = = = = = 6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10= = = = = . Vớ d 21. 2 11 0 10 !! 2.4.6.8.10 256 cos xdx 11!! 1.3.5.7.9.11 693 p = = = ũ . Vớ d 22. 2 10 0 9 !! 1.3.5.7.9 63 sin xdx . . 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 p p p p = = = ũ . II. TCH PHN TNG PHN 1. Cụng thc Cho hai hm s u(x), v(x) liờn tc v cú o hm trờn on [a; b]. Ta cú ( ) ( ) / / / / / / uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + = +ị ( ) b b b a a a d uv vdu udv d(uv) vdu udv= + = +ị ị ũ ũ ũ b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu= + = -ị ị ũ ũ ũ ũ . Cụng thc: b b b a a a udv uv vdu= - ũ ũ (1). Cụng thc (1) cũn c vit di dng: b b b / / a a a f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= - ũ ũ (2). 2. Phng phỏp gii toỏn Gi s cn tớnh tớch phõn b a f(x)g(x)dx ũ ta thc hin Cỏch 1. Bc 1. t u f(x), dv g(x)dx= = (hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm v(x) v vi phõn / du u (x)dx= khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn b a vdu ũ phi tớnh c. Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu. c bit: DaoThang68@gmail.com 7 i/ Nếu gặp b b b ax a a a P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e .P(x)dx ò ò ò với P(x) là đa thức thì đặt u P(x)= . ii/ Nếu gặp b a P(x) ln xdx ò thì đặt u ln x= . Cách 2. Viết lại tích phân b b / a a f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx= ò ò và sử dụng trực tiếp công thức (2). Ví dụ 1. Tính tích phân 1 x 0 I xe dx= ò . Giải Đặt x x u x du dx dv e dx v e = = ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î (chọn C 0= ) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 xe dx xe e dx (x 1)e 1= - = - =Þ ò ò . Ví dụ 2. Tính tích phân e 1 I x ln xdx= ò . Giải Đặt 2 dx du u ln x x dv xdx x v 2 ì ï = ï = ì ï ï ï ï Þ í í ï ï = ï ï î = ï ï î e e e 2 2 1 1 1 x 1 e 1 x ln xdx ln x xdx 2 2 4 + = - =Þ ò ò . Ví dụ 3. Tính tích phân 2 x 0 I e sin xdx p = ò . Giải Đặt x x u sin x du cos xdx dv e dx v e = = ì ì ïï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï î î 2 2 x x x 2 2 0 0 0 I e sin xdx e sin x e cos xdx e J p p p p = = - = -Þ ò ò . Đặt x x u cos x du sin xdx dv e dx v e = = - ì ì ï ï ï ï Þ í í = ï ï = ï ïî î 2 2 x x x 2 0 0 0 J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I p p p = = + = - +Þ ò ò 2 2 e 1 I e ( 1 I) I 2 p p + = - - + =Þ Þ . Chú ý: Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. DaoThang68@gmail.com 8 Ví dụ 7. Tính tích phân 2 4 0 I cos xdx p = ò . Hướng dẫn: Đặt t x= 2 0 I 2 t cos tdt 2 p = = = -Þ p ò L L . Ví dụ 8. Tính tích phân e 1 I sin(ln x)dx= ò . ĐS: (sin 1 cos1)e 1 I 2 - + = . III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 Giả sử cần tính tích phân b a I f(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x a 1 x 2 x b f(x) + 0 - 0 + Bước 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = - + ò ò ò ò . Ví dụ 9. Tính tích phân 2 2 3 I x 3x 2 dx - = - + ò . Giải Bảng xét dấu x 3- 1 2 2 x 3x 2- + + 0 - 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 I x 3x 2 dx x 3x 2 dx 2 - = - + - - + = ò ò . Vậy 59 I 2 = . Ví dụ 10. Tính tích phân 2 2 0 I 5 4 cos x 4 sin xdx p = - - ò . ĐS: I 2 3 2 6 p = - - . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân [ ] b a I f(x) g(x) dx= ± ò , ta thực hiện Cách 1. DaoThang68@gmail.com 9 Tách [ ] b b b a a a I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx= ± = ± ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 11. Tính tích phân ( ) 2 1 I x x 1 dx - = - - ò . Giải Cách 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 I x x 1 dx x dx x 1 dx - - - = - - = - - ò ò ò 0 2 1 2 1 0 1 1 xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx - - = - + + - - - ò ò ò ò 0 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 x x x x x x 0 2 2 2 2 - - æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - + + - - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 +  + x – 1 – – 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx - = - + - + + - + - + ò ò ò ( ) 1 2 0 2 1 1 0 x x x x 0 - = - + - + = . Vậy I 0= . 3. Dạng 3 Để tính các tích phân { } b a I max f(x), g(x) dx= ò và { } b a J min f(x), g(x) dx= ò , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x)= - trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) 0> thì { } max f(x), g(x) f(x)= và { } min f(x), g(x) g(x)= . + Nếu h(x) 0< thì { } max f(x), g(x) g(x)= và { } min f(x), g(x) f(x)= . Ví dụ 12. Tính tích phân { } 4 2 0 I max x 1, 4x 2 dx= + - ò . Giải Đặt ( ) ( ) 2 2 h(x) x 1 4x 2 x 4x 3= + - - = - + . Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + ( ) ( ) ( ) 1 3 4 2 2 0 1 3 80 I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx 3 = + + - + + = ò ò ò . DaoThang68@gmail.com 10 [...]... 1 2 1 Và T = x ( + ) + y ( + ) + z ( + ) y z z x x y 0,25 +) p dụng BĐT C.S ta có: 2  x  y z y+z + z+x + x+ 1 = ( x + y + z) =   y+z ÷ z+x x+y   2 2 2 2 2 2  x y z  x y z ≤ + + + + ) ÷(2x + 2y + 2z) ≤ 2( y+z z+x x+y  y+z z+x x+y 2  1 1  4 x2 1 1 x2 ( y + z)  + ÷≥ +) Ta có: x ( + ) = y z y+ z  y z y+ z 0,25 2 Tương tự  x2 y2 z2  + + Do đó T ≥ 4  ÷≥ 2  y+z z+x x+y 1 Đẳng thức... k 2π ;x = + (k ∈ Z ) Vậy các nghiệm của PT là x = + 18 3 18 3 2 (1 điểm) ĐK: x + y ≠ 0 3  3( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 + =7  ( x + y)2  • Ta có hệ ⇔  x + y + 1 + x − y = 3  x+ y  1 • Đặt u = x + y + x + y ( u ≥ 2 ) ; v = x – y ta được hệ : 3u 2 + v 2 = 13  u + v = 3 • Giải hệ ta được u = 2, v = 1 do ( u ≥ 2 ) ⇔ 3sinx – 4sin3x = 0.25 0.25 0.25 0.25 1  =2 x + y = 1 x = 1 x + y + x+ y ⇔ ⇔... có M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1) B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2) Gọi phương tình mặt cầu đi qua 4 C' M,N,B,C’ có dạng 2 2 2 x + y + z +2 Ax + 2By+2Cz +D = Vì mặt cầu đi qua 4 điểm nên ta có 5  A = − 2 1 + 2 A + D = 0  5  2 + 2 B + 2C + D = 0   B = − ⇔ 2  8 + 4 A + 4C + D = 0  1 8 + 4 B + 4C + D = 0 C = −  2 C  D = 4  Z Vậy bán kính R = Đk: x > - 1 bất phương trình Y D' A' điểm B' 0 N M D A B A2 +. .. )(1 + t )(1 + t 2 ) (1 + t 4 ) 1 + t 4 0.25 x 1 0 + f'(t) 0 + - thi n ta c khi và 2 f(t)  x0 = 2 x0 − 1 = 1 ⇔   x0 = 0 + Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Câu II(2.0đ) 1 (1.0đ) 0.25 0.25 Phương trình đã cho tương đương với 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x cosx=0 ⇔ 4cos3xcosx=2 3cos 2 x + 2s inxcosx ⇔   2cos3x= 3cosx+sinx + cosx=0 ⇔ x= π + kπ... 1 + )dt = 4(− + ) 2 2 1+ t 1+ t 3 4 0 0 1 Vậy I = I 1+ I2 = e + π − 3 3 1 1 1 Ta có xy + yz + xz ≥ 2 xyz ⇔ + + ≥ 2 nên x y z 1 Khi đó I 2 = 4 ∫ Câu IV (1.0đ) x 3 0 2 x Ta tính I1 = ∫ x e dx Đặt t = x3 ta có I1 = Ta tính I 2 = ∫ 1 ) dx Ta có I = ∫ x 2 e x dx + ∫ 1 0.25 0.25 1 1 1 y −1 z −1 ( y − 1)( z − 1) ≥ 1− +1 − = + ≥2 (1) x y z y z yz Tương tự ta có 1 1 1 x −1 z −1 ( x − 1)( z − 1) ≥ 1− +1 − = +. .. phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4x + 3 và y = x + 3 1 3 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x 2 - 4x + 3 = x + 3 ìx+ 3³ 0 ï ï ï 2 x Û ï é - 4x + 3 = x + 3 Û íê ï ïê2 ï ê - 4x + 3 = - x - 3 x ïë ỵ x é =0 ê ê = 5 x ë Bảng xét dấu x 0 x - 4x + 3 1 3 0 – 5 + 3 ò ( x 2 - 5x ) dx + Þ S= 1 0 + 2 0 1 5 ò ( - x 2 + 3x - 6 ) dx + 1 3 ò( x 2 - 5x ) dx 3 5 2 ỉ x 5x ư x ÷ + ỉ x + 3x - 6x ư + ỉ - 5x ư = 109 ÷ ÷ ç ç =... C10 + C10 − + dx 1 10 C10 11 Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 0 S= 3 Chứng minh rằng: 1 + 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 2 3 4 20 21 1 1 1 2 1 2 n +1 − 1 n Cn + Cn + + Cn = 2 3 n +1 n +1 DaoThang68@gmail.com 18 BÀI TẬP TỰ GIẢI 1 Tìm ngun hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x + cos x  π , biết rằng F  − 4 ÷ = ln 2 sin x − cos x   2 Tính các tích phân sau: e2 2 2 x + 5 -... DaoThang68@gmail.com Giải hệ phương trình : ( log y − log x = ( y − x ) x 2 − xy + y 2 3 3  2 2   x2 + y 2 = 4  ) Hết Ghi chú :-Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Ia Ib ĐÁP ÁN Điể m -Tập xác định , tính y/ -Nghiệm y/ và lim -Bảng biến thi n -Đồ thị (1) PT hồnh độ giao điểm : x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 2 ⇔ x(x + 2mx + m + 2) = 0... b = c = 3 3 Cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong VIa:1 x + y − 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC CD: Điểm C ∈ CD : x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t )  t +1 3 − t  ; Suy ra trung điểm M của AC là M  ÷ 2   2  t +1  3 − t + 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) Điểm M ∈ BM : 2 x + y + 1 = 0 ⇒ 2  + 2  2  Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − 1 = 0 tại I (điểm... hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4 x + 3 và trục hồnh Giải 2 Ta có x - 4 x + 3 = 0 Û t 2 - 4t + 3 = 0, t = x ³ 0 t x é =1 éx = 1 é = ±1 Û ê Û ê Û ê ê =3 êx = 3 ê = ±3 t x ë ë ë 3 3 òx Þ S= 2 - 3 - 4 x + 3 dx = 2 ò x 2 - 4x + 3 dx 0 é ù = 2 êò ( x 2 - 4x + 3 ) dx + ò ( x 2 - 4x + 3 ) dx ú ê ú ê0 ú 1 ë û 1 3 3 3 éỉ ư ỉ ư ù 16 x x = 2 êç - 2x 2 + 3x ÷ + ç - 2x 2 + 3x ÷ ú= ÷ ÷ ç3 ç3 ÷ ÷ êè ø0 è ø1 ú 3 . ) ( ) ( ) 1 1 1 1 + + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ++ = + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++ =+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++ − =+ ∫ cos 1 sin ( ) (. ) Cbax a dx bax ++ = + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++ −= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 + + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln += ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠< ;+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu. - + - = = và Ox. Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 ( ) ( ) 1 3 2 2 0 1 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx= - - + - + - + - ò ò 1 3 3 3 2 2 0 1 x x 8 2x 3x 2x 3x 3 3 3 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - - + + + - + +