Kiến thức cơ bản: 1./ Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ∆ABC vuông tại A, AH ⊥ BC, M là trung điểm của BC. Ta có: a) AB 2 = BC.BH ; AC 2 = BC.CH b) BC 2 = AB 2 + AC 2 c) AH 2 = BH.CH d) BC.AH = AB.AC e) AH -2 = AB -2 + AC -2 f) BC = 2AM g) AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cotB 2./ Hệ thức lượng trong tam giác thường: Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Ta có: a) AB 2 = CA 2 + CB 2 – 2CA.CB.cosC b) AB = 2R.sinC c) 4AM 2 = 2(AB 2 + AC 2 ) – BC 2 3/ Diện tích tam giác ABC: S = AH.BC = AB.AC.sinA = .AB.BC.CA = p.r = (p = (AB + BC + CA)) = AB,AC     uuur uuur 4/ Diện tích tứ giác ABCD: a) Hình vuông: S = AB 2 b) Hình chữ nhật: S = AB.AD c) Hình thang AB // CD: S = (AB + CD).AH d) Hình bình hành: AB.AH e) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD 5/ Diện tích hình tròn bán kính R: S = π.R 2 6/ Đường thẳng và mặt phẳng: a) ∆ // (P) ⇔ ∆ ∩ (P) = ∅ b) (P) d (P) / /(P) / /d ∆ ⊄   ⊂ ⇒ ∆   ∆  c) ⇒ ∆ // d d) ⇒ ∆ // d e) ⇒ a // b // c hoặc đồng quy Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm M ∈ P ∩ Q ; a ⊂ P ; b ⊂ Q ; a ∩ b = N ⇒ P ∩ Q = MN Ví dụ: Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) S ∈ (SAD) ∩ (SBC) ; AD và BC ⊂ (ABCD) ⇒ AD ∩ BC = N. Vậy: (SAD) ∩ (SBC) = SM 7/ Hai mặt phẳng song song: a) P // Q ⇔ P ∩ Q = ∅ b) ⇒ (a,b) // P c) ⇒ a // Q d) ⇒ a // b e) P // Q ; R // Q ⇒ P // R d f) ⇒ = = Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm M ∈ P ∩ Q ; a ⊂ P ; b ⊂ Q ; a // b ⇒ P ∩ Q = Mx // a // b Tìm M ∈ P ∩ Q ; a ⊂ P ; a // Q ⇒ P ∩ Q = Mx // a Ví dụ: S ∈ (SAD) ∩ (SBC) ; AD // BC ⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx // AD 8/ Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: a) a ⊥ P ⇔ a ⊥ ∀ b ⊂ P b) ⇒ c ⊥ (a,b) c) ⇒ P ⊥ b d) ⇒ a // b e) ⇒ a ⊥ Q f) ⇒ P // Q g) ⇒ b ⊥ a h) ⇒ a // P i) a ∩ P = A ; b ⊂ P ; a ⊥ b ⇔ b ⊥ a' 9/ Hai mặt phẳng vuông góc: a) ⇒ P ⊥ Q b) ⇒ a ⊥ Q c) ⇒ d ⊥ R 10/ Khoảng cách: a) Xác định d(A,∆): Cách 1: Dựng AH ⊥ ∆ tại H ⇒ d(A,∆) = AH Cách 2: Dựng a qua A: a // ∆. Chọn M bất kì thuộc a hoặc ∆ ⇒ d(A,∆) = d(M.∆) Cách 3: Dựng P qua A: P ⊥ ∆ tại B ⇒ d(A,∆) = AB b) Xác định d[A,(P)]: Cách 1: Dựng AH ⊥ (P) tại H ⇒ d[A,(P)] = AH Cách 2: Dựng a qua A: a // (P). Chọn M bất kì thuộc a ⇒ d[A,(P)] = d[M,(P)] Cách 3: Dựng (Q) qua A: (Q) ⊥ (P) tại ∆ ⇒ d[A(P)] = d(A,∆) c) Xác định d[a,(P)] Chọn A∈a ⇒ d[a(P)] = d[A,(P)] d) Xác định d(a,b) với a chéo b: Cách 1: Nếu a ⊥(P) ⊃ b tại H ⇒ d(a,b) = AH với AH ⊥ b (A∈b) Cách 2: Dựng (P) ⊃ a: (P) // b ⇒ d(a,b) = d[b,(P)] 11/ Góc: a) Góc giữa a và P bằng góc giữa a và hình chiếu a' của a trên P. b) Góc giữa P và Q là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm. c) Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì S' = S.cosϕ trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). 12/ Thể tích khối đa diện: a) Khối lăng trụ: V = S.h b) Khối chóp: V = S.h c) Chóp cụt: V = (S + S' + ) d) Nếu hình tứ diện S.ABC bị (P) cắt theo thiết diện là một tam giác A'B'C' thì: b = Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC. Gọi N là trung điểm của SB,M nằm trên cạnh SA sao cho AM = 2MS. Gọi α là mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC và AD tại P và Q a) Chứng minh rằng 4 đường thẳng MN,AB,CD và PQ đồng qui tại một điểm I b) Gọi J và K lần lượt là giao điểm của SC và SD với α,chứng minh rằng ba điểm I ,J ,K thẳng hàng c) Tìm α  (SAC) và α  (SBD) d) Gọi R = MQ  NP , Chứng minh rằng điểm R chạy trên một đường thẳng cố định khi α thay đổi 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là 1 điểm thuộc miền trong tam giác SCD. a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC). b) Tìm giao điểm của BM và (SAC). c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ABM). 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD và M thuộc đoạn AO. a) Tìm giao tuyến của (MCD) với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). b) Gọi I, K là 2 điểm lần lượt trên BC, BD. Tìm giao tuyến của (IKM) với (ABC) và (ABD). 5. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là 2 điểm trên các cạnh AD, SB. a) Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC). b) Giả sử AD ∩ BC = O, OJ ∩ SC = M. Chứng minh A, K, M, L thẳng hàng. 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC. a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC) và giao điểm của (MNP) và SA. b) Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD. 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. Điểm M thay đổi trên cạnh SA a) Dựng giao điểm N của SD và mặt phẳng(BCM) b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(BCM) c) Gọi I = BM ∩ CN.Tìm tâp hợp điểm I khi M chạy trên SA 8. Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy 1 điểm M, trong tam giác SCD lấy 1 điểm N. a) Tìm giao điểm của MN và (SAC). b) Tìm giao điểm của SC và (AMN). c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (AMN). 9. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Trên cạnh BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các đường thẳng CD và AD. b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (MNP) và (ABD). Mặt phẳng (MND) cắt tứ diện theo thiết diện là hình gì? 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA. Chứng minh rằng : a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF là hình thoi c) Ba đường thẳng ME ,NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD) 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM).Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và ABMF là một hình thang c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SBD) 12. Cho tứ diện S.ABC. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trên SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. a) Tìm giao điểm của BC và (IHK) b) Gọi M là trung điểm của IH. Tìm giao điểm của KM với (ABC) 13. Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC)  (JAD) c) Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) ∩ (DMN) 14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M,N là trung điểm SA,SB.Điểm P thay đổi trên cạnh BC a) Chứng minh rằng CD//(MNP) b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang. c) Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,CDA,DAB và ABC a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’,chứng minh rằng : c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng qui 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC) b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD c) Chứng minh rằng FK song song IJ d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK) 18. Cho tứ diện ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của CA; CB. K là điểm thuộc BD: BK = 2KD. 1. Tìm giao điểm E của CD và mp(IJK). Chứng minh: DE = DC. 2. Tìm giao điểm F của AD và mp(IJK). Tính FA/FD. 3. Chứng minh: FK//IJ. 4. lấy M, N bất kỳ trên các cạnh AB, CD. Tìm MN∩(IJK). 19. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. 1. Chứng minh: MN//(SBC); MN//(SAD). 2. Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh: SB//(MNP); SC//(MNP). 3. Gọi G 1 , G 2 là trọng tâm tam giác ABC và SBC. Chứng minh: G 1 G 2 //(SCD). 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA. Chứng minh rằng : a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF là hình thoi c) Ba đường thẳng ME ,NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD) 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh IA = 2IM b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và ABMF là một hình thang c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SBD) 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. E là trung điểm của BC a) Chứng minh rằng MN // BD b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) c) Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH // BD 23. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,M là 1điểm thay đổi trên cạnh AB.Mặt phẳng α qua M và //SA và AD a) Dựng thiết diện của α với hình chóp. Chứng minh thiết diện là hình thang b) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của α với(SCD) thì//SD c) Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện khi M thay đổi trên cạnh SD 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của AB và SC a) Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (SAB) ∩ (SCD) b) Chứng minh rằng MN //(SAD) c) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD d) Gọi P là trung điểm của SA.Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của SA và SC a) Tìm các giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) và (BMN) ∩ (ABCD) ; (BMN) ∩ (SBD) b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = SD c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN) d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng MI //(SBC) và (IJN)//(SAD) 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SC,AB,AD a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD) b) Tìm giao điểm I của AM  (SBD) c) Gọi J = BP  AC. Chứng minh rằng IJ // (SAB) d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Quan hệ vuông góc Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, ∆ABC vuông cân tại B và AB = a a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB). b) Tính diện tích tam giác SBC c) Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. a. Tam giác SBC là tam giác gi ? Chứng minh SH ⊥ (ABCD) b. Chứng minh AC ⊥ SK c. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). Bài 3: Cho hình chóp S.ABC, ∆ SAB và ABC cân chung đáy AB; gọi M là trung điểm AB và SH là đường cao của ∆ SMC. Chứng minh rằng: 1/ AB ⊥ (SMC) 2/ SH ⊥ (ABC) Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều. Gọi O là trực tâm của tam giác, K là trung điểm của BC a. CM SK ⊥ BC. b. CM SC ⊥ (BOH) với H là trực tâm của tam giác SBC, OH ⊥ (SBC). c. Nối OH cắt SA tại N. CM tứ diện SNBC có các cặp cạnh đối vuông góc. Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC , đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a , I là trung điểm BC . 1 . CMR : ( OAI ) ⊥ ( ABC ) . 2. CMR : BC ⊥ ( AOI ) . 3 . Tính góc giữa AB và mp ( AOI ). Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a/ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD. Chứng minh MN // BD và MN ⊥ (SAC). Bài 7: Cho tứ diện SABC có tam giácABC đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a/2. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh: BC ⊥ mp(SAI) b) Tính góc giữa mp (ABC) và mp(SBC). Từ đó suy ra diện tích tam giác SBC. Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC. 1 . CMR : ( OAI ) ⊥ ( ABC ). 2. CMR : BC ⊥ ( AOI ). 3 . Tính góc giữa AB và mp ( AOI ). Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mf(ABCD). a) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . b) Gọi O là giao điểm của hai đường chÐo AC và BD. Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD). Bai 9: Cho tứ diện OABC. Có OA = OB = OC = a , · · · 0 0 AOB AOC 60 ,BOC 90 = = = . a/ CMR: ABC là tam giác vuông. b/ CM: OA vuông góc BC. c/ Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung với OA và BC. Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt bên (SAB) , (SBC) vuông góc với đáy, SB = a a) Gọi I là trung điểm SC. Cmr: (BID) ⊥ (SCD) b) Tính góc của mp(SAD) và mp(SCD) c) CMR các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông Bài 11: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = BC = a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao tam giác SAB. Ix là đường thẳng vuông góc với mp (ABCtại I, trên Ix lấy S sao cho IS = a. a)Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC) b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC) c) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(AMC) Bài 12: Hình chóp S.ABC. ∆ABC vuông tại A, góc µ B = 60 0 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC). a) CM: SB ⊥ (ABC) b) CM: mp(BHK) ⊥ SC. c) CM: ∆BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy , SA = a 2 . 1/ CMR (SAC) ⊥ (SBD) . 2/ Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) . 3/ Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD ) . Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a, SA ⊥ (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO ⊥ (ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng . a. Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 16) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = AB = AC = a . SA ⊥ đáy a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC ⊥ (SAI) b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. Bài 17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥ (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC) b. Chứng minh SC ⊥ (AHK) c. Chứng minh HK ⊥ (SAC) Bài 18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO ⊥ (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK ⊥ SD Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD là hình vuông tâm O. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC, SD. CMR 1. BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với mặt phẳng (SAD), BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). 2. Bốn điểm A, I, J, K đồng phẳng. 3. Tứ giác AIJK nội tiếp. Tính diện tích tứ giác nếu hình vuông cạnh a, SA bằng 2a. Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB). b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ, chứng minh SH ⊥ AC. c. Gọi M là điểm thuộc cạnh CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 3a , mặt bên SBC là tam giác vuông tại B, mặt bên SCD là tam giác vuông tại D có SD = 5a . a. Chứng minh SA ⊥ (ABCD) và tính SA. b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng (HIJ). CMR AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD). c. Tính diện tích tứ giác AKHL Bài 22: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và BB’. a) Chứng minh rằng BC’ ⊥ (AIJ) b) Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC) c) Tính diện tích tam giác AIJ Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều có ; ( ); 3AB BC DC a SA ABCD SA a = = = ⊥ = . Gọi M và I là các điểm trên cạnh SB, SD sao cho SM = 3/4SB ; SI = 3/7SD. Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N a) Chứng minh rằng SD ⊥ (AMI) b) Chứng minh N là trung điểm SC c) Chứng minh AN ⊥ NI ; AM ⊥ MI d) Tính diện tích thiết diện tạo bởi (AMI) và hình chóp. Bài 24: 24. Cho ∆ABC đều có chiều cao AH = 3a, lấy điểm O trên AH sao cho AO = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp chứa ABC tại O lấy điểm S sao cho OS = BC. a) C/m BC ⊥ AS b) Tính SO, SH theo a c) Qua I∈OH vẽ (α) ⊥ HO, mp (α) cắt AB, AC, SC, SB tại M,N,P,Q. C/m MNPQ là hình thang cân. Khoảng cách Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là trung điểm của SD. a) Chứng minh AC vuông góc với (SBD). b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SAvuông góc với mf(ABCD). a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD). Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA = a, AB = 2a , AD = CD = a. 1/ Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. 2/ Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). 3/ Tính kc giữa các cặp đường thẳng SA và CD , SC và AD , AB và SD , SC và AB Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a.Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là trung điểm của SD. 1) Chứng minh AC vuông góc với (SBD). 2) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc · 0 BAD 60 = , đường cao SO = a. a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. CMR : BC ⊥ (SOK) b) Tính góc của SK và mp(ABCD) c) Tính khoảng cách giữa AD và SB. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở C có CA = a;CB = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a. a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SAC). b) Tính góc giữa SB và mp(ABC). c) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(SBC). d) Gọi I là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC). Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC). b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC . c) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P). Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 1. Tính góc giữa ( SAC ) và ( SAD ) 2. Tính khoãng cách giữa hai đường thẳng SB và AD 3. Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Hãy xác định mp (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân tại B và SA ⊥ (ABC) biết SA = a và BC = a a) Chứng minh: SB ⊥ CB b) Xác định góc giữa SC và (SAB) c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mf(ABCD). a) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . b) Gọi O là giao điểm của hai đường chÐo AC và BD. Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD). Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông , AB = a, BC = a, góc ADC bằng 45 0 . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với đáy, SA = a 2 a) Tính góc giữa BC và mp(SAB) b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) c) Tính khoảng cách giữa AD và SC Bài 12: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. gọi O là tâm của đáy ABCD. a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD). b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC). c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD. Bài 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 60 0 và SA = SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có cạnh SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD. 1/ Chứng minh CD ⊥ (SAD) và HK ⊥ (SAC). 2/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD. Bài 15: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. 1. Chứng minh SAB ⊥ SBC 2. Tính khoảng từ A đến (SBC) 3. Gọi O là trong điểm của AC . Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA ⊥ (ABCD) . a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD). Bài 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a. Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. Bài 18: Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC) 19. Cho hình vuông ABCD và tam giác SAB đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Gọi I là trung điểm của AB. a) Tính d[S,(ABCD)] b) C/m: (SAD) ⊥ (SAB) c) Gọi F là trung điểm của AD. C/m (SCF) ⊥ (SID), tính d[I,(SCF)] 20. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, SC = a, H, K là trung điểm AB, AD. a. CM SH ⊥ (ABCD). b. AC ⊥ SK, CK ⊥ SD. c. Tính khoảng cách từ H đến (SCD), H đến (SBC). d. Góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy. 21. Cho tứ diện SABC có ∆ABC vuông cân tại B và AC = 2a, SA ⊥ (ABC), SA = a. a) Tính d[A,(SBC)] b) Gọi O là trung điểm của AC, tính d[O,(SBC)] 21. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a và CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) với SD = a. a) C/m ∆SBC vuông, tính diện tích ∆SBC b) Tính d[A,(SBC)] 22. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Góc BAD = 60°, SO ⊥ (ABCD) và SO = 3/4a. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. a) C/m (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính d[O,(SBC)] và d[A,(SBC)] c) Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và (P) ⊥ (SBC), xác định và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. 23. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, các cạnh bên bằng a. a) Tính d[S,(ABCD)] b) Gọi (α) là mp qua A và (α) ⊥ SC, tính dt thiết diện tạo bởi (α) và SABCD. Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA = a, AB = 2a , AD = CD = a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. a/ Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). b/ Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng SA và CD , SC và AD , AB và SD , SC và AB Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là trung điểm của SD. a) Chứng minh AC vuông góc với (SBD). b) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD). Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Biết SA = a, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SAvuông góc với mf(ABCD). a)Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (SCD) với (ABCD) . b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.Tính khoảng cách từ O đến mf(SCD). Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc · 0 BAD 60 = , đường cao SO = a. a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. CMR : BC ⊥ (SOK) b) Tính góc của SK và mp(ABCD) c) Tính khoảng cách giữa AD và SB. Bài 28: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông ở C có CA = a;CB = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a. a) Chứng minh mp(SBC) vuông góc với mp(SAC). b) Tính góc giữa SB và mp(ABC). c) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(SBC). d) Gọi I là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC). Bài 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. a) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC). b) Tính khoảng cách giữa : AD và SC . c) Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P). Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a 1. Tính góc giữa ( SAC ) và ( SAD ) 2. Tính khoãng cách giữa hai đường thẳng SB và AD Bài 31: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. gọi O là tâm của đáy ABCD. a) CMR (SAC) ⊥(SBD), (SBD)⊥(ABCD). b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD),từ điểm O đến mp(SBC). c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD. d) Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD). Hãy xác định mp (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? Bài 32: Cho hình chóp S.ABCD, đáy tam giác ABC vuông cân tại B và SA ⊥ (ABC) biết SA = a và BC = a a) Chứng minh: SB ⊥ CB b) Xác định góc giữa SC và (SAB) c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Bài 33: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang vuông , AB = a, BC = a, góc ADC bằng 45 0 . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với đáy, SA = a 2 a) Tính góc giữa BC và mp(SAB) b) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) c) Tính khoảng cách giữa AD và SC Bài 34: Tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. 1. Chứng minh SAB ⊥ SBC 2. Tính khoảng từ A đến (SBC) 3. Gọi O là trong điểm của AC . Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Bài 35) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a. Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM) b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. Bài 36) Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với (ABC), SA = 2a.Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC) Bài 37: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc BAD = 60 0 và SA = SB = SD = a a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD) b) Chứng minh tam giác SAC vuông c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) Bài 38: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) c)Tính diện tích tam giác SBC Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A , BC = a .SA = SB = SC = 3 2 a a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau c)Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) d)Tính diện tích tam giác SAC Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60 o . SA = SB = SD = a)Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD) b)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau c)Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) d)Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) suy ra diện tích tam giác SBD Bài 41: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a , BC = a, SA ⊥ (ABC) ,SA = 2a. Gọi I là trung điểm AB a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC) c) Gọi N là trung điểm AC ,tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC) Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, · · ABC BAD = = 90°, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. C/m ∆SCD vuông và tính d[H,(SCD)]. Bài 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. C/m : MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC. Bài 44 (CĐ CN1 2006): Cho hình nón có đường cao h, mặt phẳng (α) qua đỉnh S tạo với mặt đáy một góc bằng 60° đi qua hai đường sinh SA, SB và cắt mặt đay theo dây AB có số đo cung bằng 60°. Tính diện tích thiết diện SAB. Bài 45 (CĐ KTĐN 2006): Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), ∆ABC vuông tại B, SA = AB = a, BC = 2a. Gội M, N là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính S AMN . Bài 46 (CĐ GTVT): Cho hai tia Ax và By vuông góc nhau có AB ⊥ Ax, AB ⊥ Ay và AB = a. Lấy điểm M ∈ Ax, N ∈ By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính d(AM,BI). [...]... Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’ a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ ⊥ o (ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30 Tính thể tích hình. .. MN ⊥ SP và tính thể tích hình chóp AMNP Bài 41 (ĐH K.A 2006): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB Bài 42 (ĐH K.A 2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, (SAD) là tam giác đều vuông với (ABCD) Gọi M, N, P... SABCD Bài 55: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30 o Tính thể tích hình chóp SABCD · · Bài 56: Cho hình chóp SABC có BAC = 90°, ABC = 30°; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) Bài 49: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao SA = a Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại... thể tích hình chóp SAHK b/ Chứng minh CE ⊥ (ABD) ⊥ (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Bài 57: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60 o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a 1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy 2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp b/ Chứng minh SC ⊥ (AB'D') Bài 51: Cho hình chóp... d[AB,(CEB')] Bài 33 (Điện lực 2006): Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi O' là tâm hình vuông A'B'C'D', tính thể tích khối tứ diện A'O'BD Bài 34 (Kỷ thuật Y tế 2006): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA · ⊥ (ABC), ACB = 60°, BC = a, SA = a Gọi M là trung điểm SB, chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) và tính V của MABC Bài 40:(Cao đẳng 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a,... K.B 2007): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AN, N là trung điểm của BC C/m MN ⊥ BD và tính d(MN,AC) Bài 52 (ĐH K.D 2002): Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm Tính d[A,(BCD)] Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh SA vuông góc với... ABC.A’B’C’có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = avà hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’, B’C’ Bài 44 (ĐH K.A 2009): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa (SBC) và (ABCD)... đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a, AA' = 2a, AC' = 3a Gọi M là trung điểm của A'C', I là giao điểm của AM và A'C Tính thể tích tứ diện IABC và d[A,(IBC)] Bài 48: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P Tính thể tích khối chóp SAMNP Bài 52: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB... 52: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E a/ Tính thể tích khối tứ diện ABCD c/ Tính thể tích khối tứ diện CDEF Bài 53: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a, SA vuông góc với đáy ABC , 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC 2) Gọi G là... sao cho AC , BD cùng vuông ∆ và AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính d[A,(BCD)] Bài 8: Cho 2 đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng Biết rằng AC = h, AB = a, CD = b và góc giữa 2 đường thẳng AB và CD bằng 60° Tính V tứ diện ABCD Bài 54 (ĐH K.D 2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và B, BA = BC . ABCD: a) Hình vuông: S = AB 2 b) Hình chữ nhật: S = AB.AD c) Hình thang AB // CD: S = (AB + CD).AH d) Hình bình hành: AB.AH e) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD 5/ Diện tích hình tròn. S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), ABCD là hình vuông tâm O. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC, SD. CMR 1. BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với. qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK. Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a. Gọi B’, D’ là hình chiếu