Chuyên đề TÍCH PHÂN y y = 2x − x2 Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu THPT Phan Đình Phùng −2 O x Copyright c 2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved” Đồng Hới Tháng 04 - 2012 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com Mục lục Chương Nguyên Hàm 1.1 Nguyên Hàm 5 1.1.1 Khái niệm nguyên hàm 1.1.2 Nguyên hàm số hàm số thường gặp 1.1.3 Tính chất nguyên hàm 5 1.2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1.2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 7 Chương Tích Phân 2.1 Tích Phân 11 11 2.1.1 Khái niệm tích phân 2.1.2 Tính chất tích phân 2.1.3 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 11 11 12 2.2 Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân 13 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Phương Phương Phương Phương hệ số bất định đổi biến dạng đổi biến dạng tích phân phần 13 16 19 23 2.3 Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác 30 b 2.3.1 Dạng pháp pháp pháp pháp sinm xcosn xdx a b b {f (sin x); cos x} dx 2.3.2 Dạng a b 2.3.3 Dạng a a {f (cos x); sin x} dx 32 a f (tan x); cos2 x dx f (x)dx, a ∈ 2.3.4 Dạng 30 b a f (cot x); sin2 x dx π π , π, , 33 35 Chương Ứng Dụng Của Tích Phân 3.1 Tính Diện Tích Tình Phẳng 3.2 Tính Thể Tích Khối Trịn Xoay 39 39 43 Chương Một Số Bài Toán Chọn Lọc 47 4.1 Tích Phân Hữu Tỉ 47 4.2 Tích Phân Vơ Tỉ 47 4.3 Tích Phân Mũ - Lơgarit 48 4.4 Tích Phân Lượng Giác 49 PHỤ LỤC 51 PHỤ LỤC 52 ĐÁP SỐ 53 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chương Nguyên Hàm 1.1 Nguyên Hàm 1.1.1 Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K F (x) = f (x), với x thuộc K Ví dụ 1.1 a) Hàm số F (x) = x3 nguyên hàm f (x) = 3x2 R x3 = 3x2 , với x ∈ R b) Hàm số F (x) = cos x nguyên hàm f (x) = sin x R (sin x) = cos x, với x ∈ R Nhận xét Nếu F nguyên hàm f K ngun hàm f K có dạng F (x) + C với C ∈ R, gọi họ tất nguyên hàm f K, ký hiệu f (x)dx Vậy f (x)dx = F (x) + C √ √ dx = x + C x 5x4 dx = x5 + C Ví dụ 1.2 (1.1) ex dx = ex + C Lưu ý • Người ta dùng ký hiệu f (x)dx để nguyên hàm f • Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K 1.1.2 Nguyên hàm số hàm số thường gặp Bài tốn tìm ngun hàm tốn ngược với tốn tìm đạo hàm.Việc tìm nguyên hàm hàm số thường đưa tìm nguyên hàm hàm số đơn giản Sau nguyên hàm số hàm số đơn giản thường gặp ax + C (0 < a = 1) 0dx = C ax dx = ln a dx = x + C xα du = dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C xα+1 +C α+1 (α = −1) cos xdx = sin x + C sin xdx = − cos x + C 10 dx = tan x + C cos2 x dx = − cot x + C sin2 x Ví dụ 1.3 a) c) x2012 dx = √ xdx = x2013 + C 2013 √ x2 2x x dx = x + C +C = b) d) x−1 dx = x−2 dx = + C = − + C x2 −1 √ x 5 x2 √ dx = x− dx = + C x3 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu 1.1.3 Tính chất nguyên hàm Định lý 1.2 Nếu f , g hai hàm số liên tục K a) [f (x) ± g(x)] dx = f (x)dx ± g(x)dx; b) kf (x)dx = k f (x)dx (k = 0) Ví dụ 1.4 a) b) c) d) 2x3 − 3x2 + dx = 1dx = x4 − x3 + x + C 2x dx + 2x dx = ex − ln |x| + + C x ln 1 dx = xdx − 3dx + dx = x2 − 3x + ln |x| + C x dx = dx = tan x+4 cot x+C − dx−4 2x cos sin x sin2 x 2x3 dx − + 2x dx = ex dx − x x2 − 3x + x−3+ dx = x x 3sin2 x − 4cos2 x dx = 2x cos2 x sin xcos ex − 3x2 dx + Ví dụ 1.5 Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = 4x3 − 3x2 + 2, biết F (−1) = Lời giải Ta có f (x)dx = (4x3 − 3x2 + 2)dx = x4 − x3 + 2x + C Vì F (x) nguyên hàm f (x) nên có dạng F (x) = x4 − x3 + 2x + C Mặt khác F (−1) = ⇒ C = Do F (x) = x4 − x3 + 2x + Ví dụ 1.6 Gọi F (x) nguyên hàm f (x) = 1 thỏa F (1) = −1 Tìm x để 2F (x) = − x F (x) + 1 dx = ln |x| + C Vì F (x) nguyên hàm f (x) nên có dạng x F (x) = ln |x|+C Mặt khác F (1) = −1 ⇒ C = −1 Do F (x) = ln |x|−1 Khi 2F (x) = −1 ⇔ F (x) + x = ±e ln |x| = ln |x| = 2(ln |x| − 1) = (thỏa mãn) Vậy −1 ⇔ ⇔ 1 ⇔ x = ± √e ln |x| = − 2ln2 |x| − ln |x| − = ln |x| x = ±e x = ± √ e Lời giải Ta có f (x)dx = BÀI TẬP 1.1 Tìm họ nguyên hàm sau √ a) x7 + 4x3 − x dx d) √ x √ x − 2x (x + 1) dx 1.2 Tìm √ nguyên hàm sau họ x+ x+1 √ a) dx x 2x − d) dx ex b) e) √ x+1− √ dx x sin x + dx x b) x3 + 5x2 − 3x + √ x x e) √ tan2 xdx x dx c) 3x2 + (2x − 3) dx f) cos x − 3x−1 dx c) f) 4x + dx 2x dx sin xcos2 x 1.3 Tìm nguyên hàm F (x) hàm số sau a) f (x) = − x2 , biết F (2) = b) f (x) = x − + 2, biết F (1) = √ x c) f (x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = d) f (x) = x + x3 + 1, biết F (1) = b e) f (x) = ax + , biết F (−1) = 2, F (1) = F (2) = x www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chương Nguyên Hàm 1.2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 1.2.1 Phương pháp đổi biến số Định lý 1.3 Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f (u) liên tục cho f [u(x)] xác định K Khi F nguyên hàm f , tức f (u)du = F (u) + C f [u(x)] u (x)dx = F [u(x)] + C (1.2) Nhận xét Trong thực hành công thức (1.2) thường viết sau f [u(x)] u (x)dx = Đặc biệt d(Ax + B) = Adx ⇒ dx = A d(Ax f (Ax + B) dx = f [u(x)] du(x) = F [u(x)] + C (1.3) + B) nên ta có f (Ax + B) 1 d(Ax + B) = F (Ax + B) + C A A (1.4) Ví dụ 1.7 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = (3x + 3)9 dx b) I = dx − 9x c) I = d) I = 4x − dx 2x + e) I = sin2 xdx f) I = e3x+1 + cos 5x dx sin 5x sin xdx Lời giải (3x + 3)10 + C = (3x + 3)10 + C 10 30 7 b) I = − d(2 − 9x) = − ln |2 − 9x| + C − 9x 1 1 3x+1 c) I = e dx + cos 5xdx = e3x+1 d(3x + 1) + cos 5xd (5x) = e3x+1 + sin x + C 5 3 d) I = 2− dx = 2dx − d(2x + 1) = 2x − ln |2x + 1| + C 2x + 2x + 1 1 1 − cos 2x dx = − cos 2x dx = dx − cos 2xd (2x) = x − sin 2x + C e) I = 2 2 4 1 1 f) I = (cos 4x − cos 6x) dx = cos 4xd (4x) − cos 6xd (6x) = sin 4x − sin 6x + C 12 12 a) I = (3x + 3)9 d(3x + 3) = Ví dụ 1.8 Tìm họ ngun hàm sau 2012 x(x2 + 1) dx √ + ln x dx x a) I = d) I = b) I = tan xdx c) I = e) I = cos5 xdx f) I = ex dx ex + x √ dx x2 + Lời giải a) I = b) I = c) I = d) I = e) I = f) C1: I (x2 + 1) 2012 2013 d(x2 + 1) = (x2 + 1) 2013 2013 +C = (x2 + 1) 4026 + C sin x dx = − d (cos x) = − ln |cos x| + C cos x cos x d (ex + 1) = ln |ex + 1| + C x+1 e √ (1 + ln x) 2 (1 + ln x) + ln x (1 + ln x) d (1 + ln x) = +C = + C 3 2sin3 x sin5 x cos4 x cos xdx = − sin2 x d (sin x) = sin x − + + C 1 x2 + −1 = x2 + d x2 + = + C = x2 + + C 2 C2: I = d x2 + = x2 + + C www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Ví dụ 1.9 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = x (x − 1)2012 dx d) I = √ b) I = e2x dx ex + e) I = x3 dx x2 + ln x − dx x ln x c) I = x5 f) I = √ sin3 x + cos xdx x3 + 1dx Lời giải a) Đặt u = x − ⇒ du = dx Ta có (u + 1)u2012 du = I= = u2013 + u2012 du u2014 u2013 (x − 1)2014 (x − 1)2013 + +C = + +C 2014 2013 2014 2013 b) Đặt u = x2 + ⇒ du = 2xdx Ta có x2 x dx = 2+1 x u−1 1− du du = u u 1 = (u − ln |u|) + C = x + − ln x2 + + C 2 I= √ c) Đặt u = x3 + ⇔ u2 = x3 + ⇒ 2udu = 3x2 dx Ta có x3 x2 I= = d) Đặt u = √ 2u du = u4 − u2 du 3 √ √ x3 + x3 + +C = + +C 15 x3 + 1dx = u5 u3 + u2 − u ex + ⇔ u2 = ex + ⇒ 2udu = ex dx Ta có I= =2 e) Đặt u = ln x ⇒ du = u2 − 2udu = u2 − du u √ √ ex + u3 −u +C = − ex + + C 3 ex ex √ x dx = e +1 dx Ta có x 2u − 1 du = 2− du u u = 2u − ln |u| + C = ln x − ln |ln x| + C I= f) Đặt u = √ + cos x ⇔ u2 = + cos x ⇒ 2udu = − sin xdx Ta có I= =− =2 √ sin2 x sin x + cos xdx = − u2 − u7 2u5 − − cos2 x √ + cos x sin xdx u.2udu = − −u4 + 2u2 2u2 du = √ √ + cos x + cos x +C = − +C u6 − 2u4 du 1.2.2 Phương pháp nguyên hàm phần Định lý 1.4 Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx www.MATHVN.com (1.5) www.MATHVN.com Chương Nguyên Hàm Công thức (1.5) gọi công thức lấy nguyên hàm phần viết gọn dạng udv = uv − vdu (1.6) Ví dụ 1.10 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = (x − 1) ex dx b) I = x cos xdx c) I = x2 ln xdx d) I = ln (2x + 1) dx e) I = x2 e2x−1 dx f) I = ex sin xdx Lời giải a) Đặt u=x−1 ⇒ dv = ex dx du = dx Ta có v = ex I = (x − 1)ex − b) Đặt u=x ⇒ dv = cos xdx ex dx = (x − 1)ex − ex + C = (x − 2)ex + C du = dx Ta có v = sin x I = x sin x − c) Đặt du = x dx Ta có v=x u = ln x ⇒ dv = x2 dx I= sin xdx = x sin x + cos x + C x3 ln x − x3 x3 dx = ln x − x 3 e) Đặt u = ln(2x + 1) ⇒ dv = dx 2x dx = 2x + u = x2 ⇒ dv = e2x−1 dx u=x ⇒ dv = e2x−1 dx dx = x − ln |2x + 1| + C xe2x−1 dx = x2 e2x−1 − I1 1 e2x−1 dx = xe2x−1 − e2x−1 + C 2x−1 2x−1 xe − e +C = 2x2 − 2x + e2x−1 + C 4 du = ex dx ⇒ Ta có v = − cos x I = −ex cos x + Lại đặt 2x + du = dx Ta có v = e2x−1 1 I1 = xe2x−1 − 2 Vậy I = x2 e2x−1 − u = ex f) Đặt dv = sin xdx 1− du = 2xdx Ta có v = e2x−1 I = x2 e2x−1 − Đặt x3 x3 ln x − +C du = 2x+1 dx Ta có v=x I = x ln(2x + 1) − d) Đặt x2 dx = u = ex ⇒ dv = cos xdx ex cos xdx = −ex cos x + I1 du = ex dx Ta có v = sin x I1 = ex sin x − ex sin xdx = ex sin x − I Vậy I = −ex cos x + ex sin x − I ⇔ I = ex (sin x − cos x) + C www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu BÀI TẬP 1.4 Tìm họ nguyên hàm sau √ a) I = 3x − 1dx c) I = 4x2 − x + dx 2x + tan2 xdx f) I = cos 7x cos xdx h) I = dx + cos x i) I = dx cos4 x b) I = sin3 xdx c) I = sin3 x dx cos x e) I = ln x(1 − ln x) dx x f) I = dx x(ln x − ln x + 4) √ dx e) I = 3x + + 3x − d) I = √ g) I = sin4 xdx 1.5 Tìm họ nguyên hàm sau x dx a) I = + x2 d) I = dx e−x + 1.6 Tìm họ nguyên hàm sau x2 dx a) I = (1 − x)100 d) I = dx + 4x + 4x b) I = sin 2xesin x dx b) I = e) I = x x2 + ex dx c) I = dx + e−x + f) I = x5 − 2x2 dx x3 + 1 dx x ln x ln(ln x) 1.7 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = xex dx b) I = (2x − 1) sin 2xdx c) I = x3 ln xdx d) I = ln x2 + 2x dx e) I = x2 cos xdx f) I = ex cos 2xdx www.MATHVN.com 10 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu y b) Vì −3x − = ⇔ x = − nên diện tích hình phẳng cần tìm x−1 S= −3x − dx = x−1 −3 −3x − dx = x−1 −1 y= −3 − x−1 −3x−1 x−1 dx −1 = (−3x − ln |x − 1|)|0 = ln − − (đvdt) −1 x O y x=0 nên diện tích hình phẳng cần tìm x = −3 c) Vì −x3 − 3x2 = ⇔ O x 0 −3 −3 x4 = y = −x3 − 3x2 d) Vì x2 − 2x = −x2 + 4x ⇔ + x3 = −3 27 (đvdt) y 2 2x2 − 6x dx x − 2x − −x + 4x dx = 6x − 2x2 dx = = x=0 nên diện tích hình phẳng cần tìm x=3 S= x3 + 3x2 dx −x − 3x dx = S= 3x2 − y = x2 − 2x −3 x O 2x3 = (đvdt) y = −2x2 + 4x 0 x=0 nên diện tích hình x=1 e) Vì (e + 1)x = (1 + ex ) x ⇔ x (e − ex ) = ⇔ y phẳng cần tìm 1+e 1 x 0 ex2 (ex − xe ) dx = x Đặt u=x ⇒ dv = ex dx 1 x = O |ex − xex | dx |(e + 1) x − (1 + e ) x| dx = S= − e xe dx = − x xex dx du = dx Ta có v = ex e S = − xex |1 + e ex = − + ex |1 = e − (đvdt) 2 www.MATHVN.com 40 www.MATHVN.com 4− f) Vì Chương Ứng Dụng Của Tích Phân √ x2 x2 x2 x4 = √ ⇔4− = ⇔ x = ±2 nên diện tích hình phẳng cần tìm 4 32 √ 2 4− S= √ −2 √ 2 4− = √ −2 √ 2 x2 x2 − √ dx = 4 √ −2 √ 2 x3 x2 dx − √ 12 x2 x2 − √ 4 4− √ −2 √ 2 4− = √ −2 dx x2 dx − √ π x π π = sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt Đổi cận x = ±2 ⇒ t = ± Ta có 2 2 Đặt π π − 4sin2 t.4 cos tdt − = S= −π y 8cos tdt − 2 √ y = 4x −π π (1 + cos2t) dt − =4 π 8 = (4t + sin 2t)|− π − 3 −4 −2√2 −π = 2π + y= 4− x2 √ 2 O x (đvdt) Ví dụ 3.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) [A-02] y = x2 − 4x + y = x + b) [BĐT-96] y = 2x 27y = 8(x − 1)3 27 x2 c) y = x3 ; x + y = trục hoành d) y = ; y = y = x2 x 27 Lời giải x=0 x2 − 4x + = ⇔ x=5 nên diện tích hình phẳng cần tìm a) Vì x2 − 4x + = x + ⇔ | − 4x + y = |x x − 4x + − (x + 3) dx + + x = y 3 x − 5x dx + x = 5x − x2 dx + x2 − 3x + dx + 5x2 = − x3 + y2 ⇔ y2 −33 5x − x2 dx x3 − 3x2 + 6x + 5x2 x3 − = 109 (đvdt) 33 y √ y + = ⇔ y = ±2 nên diện tích hình phẳng cần tìm b) Ta có y = 2x ⇔ x = y , 27y = 8(x − 1)3 ⇔ x = + y =1+ 2 x2 − 5x dx −x + 3x − dx + = Vì x2 − 4x + − (x + 3) dx + 1 x2 − 4x + − (x + 3) dx S= O y x=1 x=3 www.MATHVN.com 41 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu y S= √ −2 y − 1+ 2 y2 dy = √ 2 y5 y3 + 2y − = √ 2 √ 2 √ 2 √ −2 2 3 y + − y dy y = 2x 27y = 8(x − 1)3 √ −2 √ 88 = (đvdt) 15 x O √ −2 Nhận xét Ở tập việc rút ẩn y theo ẩn x khó khăn đưa diện tích cần tính tích phân theo biến y phù hợp √ √ c) C1: Ta có y = x3 ⇔ x = y, x + y = ⇔ x = − y Vì y = − y ⇔ y = (2 − y)3 ⇔ y = nên diện tích hình phẳng cần tìm y √ | y − (2 − y)| dy = S= y = x3 = x + x O 2y − y2 y − = (đvdt) y = C2: (Cần phải vẽ hình) Ta có x + y = ⇔ y = − x Khi x3 = ⇔ x = 0; − x = ⇔ x = x3 = − x ⇔ x = Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm x dx + S= x4 (2 − x) dx = 1 + x2 27 x2 27 ⇔ x = 0, x2 = ⇔ x = = ⇔ x = Dựa 27 x 27 x vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm x2 x − 27 dx + = 27 x2 − x 27 − x3 81 + x3 27 ln |x| − 81 (đvdt) y= 27 x y= x2 27 = y dx x3 x2 2x − d) Ta có x2 = S= y) dy √ y = x2 (2 − y − = 27 ln (đvdt) O x BÀI TẬP 3.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) y = x3 ; Ox; x = −2 x = b) y = −x2 + 6x trục hoành c) y = x y = −x2 d) [BĐT-95] y = x y = sin2 x + x với ≤ x ≤ π x (1 − x) e) y = y = f) y = − − x2 x2 + 3y = x +1 3.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau √ a) y = x2 − y = |x| − b) y = x, y = − x y = c) [BĐT-38] ax = y ay = x2 với a > d) y = x3 − x2 x = e) (P ) : y = x2 − 4x + hai tiếp tuyến (P ) A(1; 2) B(4; 5) www.MATHVN.com 42 www.MATHVN.com Chương Ứng Dụng Của Tích Phân 3.2 Tính Thể Tích Khối Trịn Xoay Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox b f (x)dx Vx = π (3.4) a Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) (trong f (x) g(x) dấu) hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox b f (x) − g (x) dx Vx = π (3.5) a Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục hoành hai đường thẳng y = a, y = b quanh trục Oy b g (y)dy Vy = π (3.6) a Ví dụ 3.3 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong sau quay quanh Ox b) [BĐT-42] y = xex , x = trục hoành a) y = x3 − x2 , y = 0, x = x = 3 c) [B-07] y = x ln x; y = x = e d) y = − x2 y = x2 + Lời giải a) Thể tích khối trịn xoay cần tìm y O Vx = π x 3 x − x2 y = x3 − x2 =π x − x + x4 dx dx = π x7 − 63 x6 x5 + = 81π (đvtt) 35 b) Vì xex = ⇔ x = nên thể tích khối trịn xoay cần tìm 1 x Vx = π Đặt u = x2 ⇒ dv = e2x dx du = 2xdx Ta có v = e2x π Vx = x2 e2x −π y u=x ⇒ dv = e2x dx πe2 π Vx = − xe2x 2 πe2 xe2x dx = −π Lại đặt x2 e2x dx (xe ) dx = π xe2x dx O 1 π + y = xex du = dx Ta có v = e2x e e2x dx = π 2x e = π e − (đvtt) www.MATHVN.com 43 x www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu c) Vì x ln x = ⇔ x = nên thể tích khối trịn xoay cần tìm e e Vx = π y y= xl nx Đặt O du = x ln xdx Ta có v=x u = ln2 x ⇒ dv = x2 dx e e π 2π Vx = x3 ln2 x − 3 x e x2 ln2 xdx (x ln x) dx = π e πe3 2π x ln xdx = − 3 x3 ln xdx Lại đặt u = ln x ⇒ dv = x2 dx 1 du = x dx Ta có v=x πe3 2πx3 ln x Vx = − e e 2π + x2 dx = πe3 2πx3 + 27 e π 5e3 − (đvtt) 27 = y 2 d) Ta có − x = x + ⇔ x = ±1 Dựa vào hình vẽ ta tích khối trịn xoay cần tìm y = x2 + y = − x2 − x2 Vx = π − x2 + 2 dx −1 −1 O = 12π − x2 dx = 12π x− x x3 = 16π (đvtt) −1 −1 Ví dụ 3.4 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong sau quay quanh Oy 27 x2 a) [BĐT-63] y = 2x − x2 y = b) y = x2 , y = y = x 27 Lời giải √ a) Ta có y = 2x − x2 ⇔ (x − 1)2 = − y ⇔ |x − 1| = − y nên với x ≥ x = + − y; với √ √ √ x < x = − − y Khi + − y = − − y ⇔ y = Dựa vào hình vẽ ta tích khối trịn xoay cần tìm Vy = π 1+ 1−y − 1− 1−y 0 y y = 2x − x2 1 − ydy dy = 4π √ Đặt u = − y ⇔ u2 = − y ⇒ 2udu = −dy Đổi cận: y = ⇒ u = 1; y = ⇒ u = Ta có −2 O x Vy = 4π u.2udu = www.MATHVN.com 44 8πu3 = 8π (đvtt) www.MATHVN.com Chương Ứng Dụng Của Tích Phân b) Từ hình vẽ thấy hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 ; y = x2 27 y = nằm 27 x x2 √ ⇔ x = 27y xét x, y > ta góc phần tư thứ Do xét x, y ≥ ta có y = x2 ⇔ x = y, y = 27 27 27 27 27 √ √ có y = ⇔x= Khi y = 27y ⇔ y = 0; y = ⇔ y = 27y = ⇔ y = Dựa vào x y y y hình vẽ ta tích khối trịn xoay cần tìm 27 y Vy = π 27y dy + π dy − π 3 = 27π 3 27πy 2 729π − y + √ ( y)2 dy 9 dy − π y2 ydy + 729π y = 2 y= 27 x y= ydy x2 27 y2 y = x2 = 243π (đvtt) −9 −3 O x BÀI TẬP 3.3 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong sau quay quanh Ox b) y = sin x, Ox, x = x = π a) [BĐT-89] y = ln x, Ox x = 2 x 2−x , x = x = c) y = e , y = e d) [BĐT-66] y = −3x+10, y = y = x2 (x > 0) 3.4 Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong sau quay quanh Ox Oy b) 4y = x2 y = x a) y = (x − 1)3 x = www.MATHVN.com 45 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com www.MATHVN.com 46 www.MATHVN.com Chương Một Số Bài Toán Chọn Lọc 4.1 Tích Phân Hữu Tỉ 4.1 I = (1 + x)2010 dx x2012 4.2 I = (x2 + 1)1002 3 x − 3x + 4.3 I = 2011 dx 4.4 I = −1 4.5 I = x2001 dx x2 − dx x4 + x2 + dx x4 + x2 + 4.6 I = x2 − dx x4 − 5x3 − 4x2 − 5x + 1 2 x+2 dx (x + 1) (x2 + 2x + 4) 4.7 I = 4.8 I = x2 − dx (x2 − x + 1) (x2 + 3x + 1) √ 10 4.9 I = x(x10 + 1) 4.10 I = dx x6 dx +1 4.2 Tích Phân Vơ Tỉ a 2a x2 4.11 I = + a2 dx (a > 0) 2a √ dx + x2 a 4.13 I = x(2 − x) √ 4.14 I = (a > 0) √ a 1 (a > 0) a a 4.15 I = x2 − a2 dx 4.12 I = dx √ 4.16 I = −1 www.MATHVN.com 47 dx x2 − a2 (a > 0) x2 dx x2 + 2x + www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu √ √ dx + 4x) − x2 (x 4.17 I = 1 4.19 I = √ 4.18 I = 1 x2 − √ dx (x2 + 1) + x4 4.20 I = (1 + + x2 + √ + x2 dx −1 1 √ dx + x + + x2 4.24 I = 1+ 4.26 I = (x + 1) √ dx x2 − 4x + 2x + √ dx (x + 1) x2 + 2x + √ dx x+ 1+x 4.27 I = √ √ dx 2−x+1 x x dx (x + 1)3 (3x + 1) 4.25 I = dx 4.22 I = 4.23 I = + xn x √ n xn ) 4.21 I = √ 2x + √ dx 2x + 2x + + 4.28 I = (x2 √ dx − 2) x2 + 4.3 Tích Phân Mũ - Lôgarit ln 4.29 I = 4.31 I = x2 + x + e x (x + 1) e 4.33 I = ln ex √ dx + ex + e2x 4.30 I = dx 4.35 I = xex + dx x (ex + ln x) 1+x− 4.34 I = x √ ln x − ln x √ dx x + ln x e 4.36 I = x √ ln x √ dx + ln x + − ln x 1 e2 ln x 4.37 I = x ex+ x dx 1 e 1+x dx x (1 + xex ) 4.32 I = e 2e3x − e2x √ x dx ex 4e − + dx dx x ln x ln ex 4.38 I = − ln x − ln x e www.MATHVN.com 48 www.MATHVN.com √ e log3 x 4.39 I = + 3ln2 x x Chương Một Số Bài Toán Chọn Lọc dx 4.40 I = x ln x 4.41 I = (x2 e 4.43 I = + 1) dx 4.42 I = √ x ln x + + x2 √ dx + x2 + x (2 ln x − 1) dx x(x + 1)2 √ 1− x √ − 2x ln (1 + x) dx 1+ x x3 + ln x + 2x2 + dx + x ln x 4.44 I = 4.4 Tích Phân Lượng Giác π π dx + sin x 4.45 I = 0 π 4.47 I = π dx cos5 x 4.48 I = 4.49 I = π π √ dx sin x + cos x 4.50 I = sin x − π dx sin 2x + (1 + sin x + cos x) π 4.51 I = π sin x + sin x dx cos 2x √ 4.52 I = 0 π 4.53 I = π sin x dx cos x + sin xcos2 x sin x dx + cos2 x √ 4.54 I = cos x − cos3 x dx cos3 x π 4.55 I = π sin 2x dx + sin x − cos 2x cos5 x sin 7xdx 4.56 I = 0 π 4.57 I = π π sin x − √ dx sin x − cos x 4.58 I = π π sin (α + x) dx cos2 x π 4.59 I = tan5 xdx 4.46 I = sin x √ sin x + cos x cot x sin x sin x + π dx √ 4.60 I = www.MATHVN.com 49 √ π dx sin x dx √ sin x + cos x www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu π 4.61 I = π 2012 sin x dx 2012 sin x + cos2012 x 4.62 I = 0 π 4.63 I = 1 + sin x x e dx + cos x 4.64 I = 4.65 I = cos x ln 2+x dx 2−x −1 π x2 dx (x sin x + cos x)2 π tan x ln (cos x) dx cos x 4.66 I = ln www.MATHVN.com 50 (1 + sin x)1+cos x dx + cos x www.MATHVN.com PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 Các quy tắc tính đạo hàm u v v u v−uv v2 v − v2 (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv (ku) = ku yx = yu ux = = Bảng đạo hàm hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số y = f (x) c = Đạo hàm hàm số y = f [u(x)] (c = const) x = (xα ) = αxα−1 x = − x2 √ ( x) = (uα ) = αuα−1 u u (x = 0) √ x u = − u2 √ ( u) = (x > 0) (u = 0) u √ u (u > 0) (sin x) = cos x (sin u) = u cos u (cos x) = − sin x (cos u) = −u sin u (tan x) = cos2 x (cot x) = − sin12 x 10 (ex ) = ex (cos x = 0) 11 (ax ) = ax ln a (0 < a = 1) 12 (ln x) = x 13 (loga x) = (tan u) = (sin x = 0) (cot u) = (eu ) (ln u) = (0 < a = 1, x > 0) (cos u = 0) (sin u = 0) eu (au ) = u au ln a (x > 0) x ln a = u cos2 u u − sin2 u u u (loga u) = (0 < a = 1) (u > 0) u u ln a (0 < a = 1, u > 0) Bảng nguyên hàm mở rộng 10 1 dx = a arctan x + C a a2 +x2 1 dx = 2a ln a+x + C a−x a2 −x2 √ √ dx = ln x + x2 + a2 + C +a2 x x √ dx = arcsin |a| + C a2 −x2 x √ dx = a arccos |a| + C x x2 −a2 √ 2 √ dx = − a ln a+ x +a + C +a2 x x x √ √ √ a2 + x2 dx = x a2 + x2 + a ln x + x2 + 2 √ √ a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a arcsin x + C 2 a eax eax sin bxdx = a2 +b2 (a sin bx − b cos bx) + C eax eax cos bxdx = a2 +b2 (a cos bx + b sin bx) + C a2 + C Lưu ý Bảng dùng để tra cứu khơng sử dụng chương trình phổ thông www.MATHVN.com 51 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu PHỤ LỤC Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt π π π π π α 00 300 1800 cos α 1 tan α √ √ 3 600 √ 2 900 sin α 450 √ 2 √ 2 || 3 || cot α || √ 1 √ √ Đẳng thức lượng giác sin2 α + cos2 α = 1 + tan2 α = cos2 α + cot2 α = sin2 α tan α cot α = sin α tan α = cos α cos α cot α = sin α Công thức lượng giác Cơng thức cộng Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b 10 cos a cos b = cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b 11 sin a sin b = sin (a − b) = sin a cos b − cos a sin b 12 sin a cos b = sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a − tan b tan (a − b) = + tan a tan b tan a + tan b tan (a + b) = − tan a tan b Công thức nhân đôi cos 2a = cos2 a − sin2 a Công thức biến đổi tổng thành tích u−v u+v cos 13 cos u + cos v = cos 2 u+v u−v 14 cos u − cos v = −2 sin sin 2 u+v u−v 15 sin u + sin v = sin cos 2 u+v u−v 16 sin u − sin v = cos sin 2 Công thức nhân ba 8a cos 2a = 2cos2 a − 17 sin 3a = sin a − 4sin3 a 8b cos 2a = − 2sin2 a tan a tan 2a = − tan2 a Công thức hạ bậc + cos 2a 8c cos2 a = − cos 2a 8d sin2 a = − cos 2a 8e tan2 a = + cos 2a 18 cos 3a = 4cos3 a − cos a sin 2a = sin a cos a [cos (a − b) + cos (a + b)] [cos (a − b) − cos (a + b)] [sin (a − b) + sin (a + b)] Công thức khác 19 sin x + cos x = 20 sin x − cos x = √ √ sin x + sin x − π π 21 sin4 x + cos4 x = − sin2 2x 22 sin6 x + cos6 x = − sin2 2x www.MATHVN.com 52 www.MATHVN.com ĐÁP SỐ ĐÁP SỐ Chương Nguyên Hàm x8 √ √ 3x x 3√ 2√ x3 + x − 4x x − 4x x + C √ √ √ 2x2 x 10x x 3x 6x 3x e) −3 cos x + ln |x| + C f) sin x − ln + C 1.2a) + + + C b) + − x + ln x + C 2x 2x c) ln − 2x + C d) (ln 2−1)ex + e1 + C e) tan x − x + C f) tan x − cot x + C 1.3a) 2x − x + b) x ln √ 4 x2 1 + x + 2x − c) x + d) 3x + x + x e) x + x + 17 1.4a) 2(3x−1) 3x−1 + C b) − 2(2x+1) + C c) 2 4 6 √ √ 1 x2 − x + ln |2x + 1| + C d) (3x + 1) 3x + − (3x − 1) 3x − + C e) tan x − x + C f) 12 sin 6x + 3x 3x x tan 16 sin 8x+C g) − sin x cos x− sin x cos x+C h) tan +C i) tan x+ +C 1.5a) ln(1+x )+C 3x b) cos − cos x + C c) − sin2 x − ln [cos x] + C d) − ex1 + C e) ln2 x − ln3 x + C f) − ln x−2 + C 1.6a) +1 16 14 12 1 − 49(x−1)98 − 97(x−1)97 − 99(x−1)99 + C b) x + 5x + 5x + x10 + 5x + x + C c) x − ln(x3 + 1) + C 16 14 12 sin2 x + C e) − + C f) ln [ln(ln x)] + C 1.7a) (x − 1) ex + C b) (sin 2x + cos 2x) − x cos 2x + C d) e ex +1 4 c) x ln x − 16 x + C d) x ln x2 + 2x + ln (x + 2) − 2x + C e) x2 sin x + 2x cos x − sin x + C f) x e (cos2x + sin 2x) + C 1.1a) + x4 − 2x3 x + C b) √ + x − x + C c) 3x4 3x − 3x3 + x2 − 3x + C d) Chương Tích Phân √ √ √ √ 11 2.1a) 15 b) 43 c) 23 d) e) − 625 f) 288 2.2a) 59 b) 275 c) + d) e) e − − ln f) − 4042110 4√ 12 2 √ 512 3 2.3a) b) c) 21 d) e) f) 2.4a) b) ln 2187 c) + ln 3√3 d) − + ln e) f) − ln 2 √ π π 2.5a) ln 32 b) − + 32 ln c) 48 + ln 2.6a) 4a b) π c) 6a d) π e) π f) − + π 2.7a) π b) 9π 17 √ √ √ √ √ √ 3 π π 3+ 17π 16 5π c) π d) e) 5π f) 2.9a) 18 + ln d) 18 e) − − ln f) 12 2.8a) − b) 32 1 42011 −1 1024 29 b) c) 168 d) e) 16 f) 2011.62011 2.10a) 3825 b) 270 c) d) 26 e) 11 − ln f) + ln 4054182 8 √ √ √ √ 2− 1+ 2 1 1 2.11a) ln( + 1) − ln b) ln c) + ln d) ln − e) 18 ln(4 + 7) − 16 ln 15 f) √ √ √ √ √ √ √ 2 2− ln 4+√15 2.12a) e−1 b) e + ln − c) ln ee +2 d) ln(e + 1) e) − f) − 2 + ln 3+23 g) −1 +2 2 ln √ √ √ √ 2−2 10 2−11 π 15 16 d) − 15 e) f) ln − 2.14a) b) − e h) − π i) ln 14 2.13a) b) 576 c) 3 √ √ −7 2 c) d) − e e) e f) −1 2.15a) π − b) π − c) π − π − d) ln + π − π e) π − f) π 2 π −2 2.16a) 2e 9+1 b) − ln c) ln − d) e e) 48 ln − ln2 − 27 f) ln − ln 2.17a) e − 2 √2 π 3π e 44 304 b) 3e + 34 c) e + d) e) − f) ln − 2.18a) 3π + b) − π c) 33 d) e) 105 f) 1155 34 2 4 √ √ √ 2−2 2 2.19a) 3π b) c) d) 15 e) − f) 14 − 26 + ln(1 + √3 ) 2.20a) b) c) ln d) 34 e) 3 27 27 √ √ √ √ ( 3−1)( 6+2) π π 12 ln 1 ln b) + ln c) − − d) ln − e) ln − ln f) 2.22a) 15 − f) 91 2.21a) ln √ √ √ √ √ √ √ ln(2 3−1) 6− √ b) ln 6−2 c) − d) ln e) ln f) 2.23a) ln b) π c) 8π d) ln(1 + 2) − 2−4 4 15 c) e) f) Chương Ứng Dụng Của Tích Phân √ 3.1a) b) 36 c) 12 d) π e) π + ln − f) 4π+ 3.2a) b) c) a d) 32 e) 3.3a) 2π(ln − 1)2 3 15 96 b) π c) π(e2 − 1)2 d) 56π 3.4a) VOx = π VOy = 35 b) VOx = 128 VOy = 32 15 Chương Một Số Bài Toán Chọn Lọc √ 42011 −32011 π 1 π 15 4.2 1001.21002 4.3 4.4 2√2 ln(3 − 2) 4.5 2√3 4.6 ln 4.7 6√3 + ln 4.8 ln 11 2011.22011 √ √ √ √ √ √ 2 1 √ 4.9 10 ln − 60 4.10 π + ln(2+3 3) 4.11 a [ 2−ln( 2−1)] 4.12 a2 − a ln(2+ 3) 4.13 ln( + 1) 4.14 2 √ √ √ 2+ 1 ln 1+√3 4.15 π 4.16 − √2 + ln(1 + 2) 4.17 ln 2+3 + 8√3 arctan − arctan + √3 4.18 √ √ √ √ √ √ √ √ π 3− 3+4 ln 2+5 −ln 1+4 4.19 − 4√2 4.20 √2 4.21 3−2 4.22 2−1 4.23 4.24 3− 2−ln(1+ 2) n √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2(9+4 5) (2 3− 15)( 14+2 5) 3+2 7+5 3+2 21 1 4.25 ln 4.26 √10 ln 2+√5 4.27 ln (1+√2)(1+√5) 4.28 2√10 ln (2√3+√15)(√14−2√5) 4.29 ln 3(2+√3) 4.1 www.MATHVN.com 53 Nguyễn Minh Hiếu www.MATHVN.com √ √ e 4.30 8−ln 4.31 4.32 + ln 2(1+e) 4.33 ln(1 + ee ) − 4.34 e 4.35 − π 4.36 + 1−4 4.37 2 1+2e √ √3 √ √ √ 3−10 − + arcsin √7 − arcsin √7 4.38 ln 4.39 63 ln3 4.40 ln(2 + 3) − 4.41 81 ln − ln 17 68 √ √ −1 4.42 ln − ln − 4.43 e + ln 2+e 4.44 3−π 4.45 4.46 ln − 4.47 114 + ln(2 + 3) 2 2 8√ √ √ √ √ 4.48 cos α + sin α ln(2 + 3) 4.49 − 36 + 2√2 ln 21 4.50 − 2√2 4.51 3−2 + ln (√2−1)(√6+2) 4.52 ( 2+1)( √ 6−2) √ √ √ 3) 25 10 1 ln(1 + 2) 4.53 ln − ln − 4.54 4.55 ln − 4.56 4.57 (1− ln + (1+243)π 4.58 √ √ √ √ √ √ π 3−π 1 √ − 22 ln 4.59 3243 + 16 ln 3+ 4.60 π 4.61 π 4.62 √3π 4.63 e 4.64 4.65 − − √2 ln 4 3−1 3+ 4.66 ln − www.MATHVN.com 54 ... www.MATHVN.com Chương Tích Phân 2.1 Tích Phân 2.1.1 Khái niệm tích phân Định nghĩa 2.1 Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên b hàm f K hiệu số F (b) − F (a) gọi tích phân f từ a đến... Hiếu b f (x) dx, bậc f (x) < bậc g(x) g(x) Bài tốn 2.2 Tính tích phân I = a Phương pháp Phân tích tích phân cần tính thành tổng hiệu tích phân có mẫu nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt thức ∆... Tích Phân 2.2.1 Phương pháp hệ số bất định Mệnh đề 2.3 Mọi đa thức bậc n, (n ≥ 3) phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < www.MATHVN.com 13 www.MATHVN.com Nguyễn Minh