Chuyên đề tô pô: Tô pô đai c ơng: I) các khái niệm cơ bản: 1.1 không gian tô pô: ĐN: cho tập hợ X họ gồm các tập con của X tm: 1) và X . 2) G i , i .N thì Ii i G 3) G i , i .N thì Ii i G . Khi đó X cùng với lập nên một không gian tô pô . Kì hiệu : (X; ). 1.2: Cơ sở của không gian tô pô : Cho không gian tô pô (X; ). Họ con B của goi là một cơ sở của không gian tô pô trên nếu : clXx /; U của X ta tồn tai môt một tập mở V B sao cho; x .UV 1.3 KGTP X gọi là thỏa mãn tiên đề điếm đợc thứ 2 nếu tô pô trên đó có một cớ đếm đợc . 1.4 cho khgtp X ;A,B X khi đó : Ta gọi tập A trù mật trong B nếu B A . Ta nói tập A trù mật khắp nơi trong X nếu X= A . 1.5 Họ hữu hãn địa phơng : Họ {A S } đgl họ hữ hạn địa phơng nếu cVlxx /, của x sao cho S x ={s |S V S A } Là tập hữu hạn. 1.6 Họ rời rạc : Họ {A S } đgl họ rời rạc nếu : nếu cVlxx /, của x sao cho Tập S x ={s |S V S A }có |S x | .1 1.7không gian tách đợc (X; ).,A và B là các tập con của X đgl tách đợc nếu : . == BABA 1.8: Sự định hớng trên một tập ; Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. X V U Chuyên đề tô pô: Cho tập D . Quan hệ trên D đgl một s dịnh hớng trên D nếu : a) m,n,p D thì m .; pmpnn b) m .; Dmm c)m,n D thì p .,: npmpD tập D cùng với một sự định hớng trên nó gọi là một tập định hớng . kí hiệu (D; ). 1.9:Lới : Là một ánh xạ S : D X đgl một lới trên X . n n S kí hiệu {S n ,n ;D } . 1.10. hội tụ theo lới : Gs X là một không gian tô pô ; {S n ,n ;D } là một lới trên X. Lới s n đgl hội tụ về điểm x trong X nếu mỗi lân cận U của x ta có Lới s n nằm trong U từ một lúc nào đó . 1.11: Điểm giới hạn của lới; điểm x là điểm giới hạn của Lới {s n } Dn nếu mọi lân cận U của v ta có L- ới {s n } Dn thờng xuyên găp U. 1.12 ; ánh xạ liên tục :cho các khtpô X và Y khi đó : ánh xạ f : X Y gọi là liên tục nếu tạo ảnh của một tập mở là một tập mở. 1.13:ánh xạ đồng phôi : ánh xạ f : YX đgl phép đồng phôi nếu f là song ánh và f; f 1 là các ánh xạ liên tục . 1.14 : ánh xạ mở: Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. xS n U Chuyên đề tô pô: ánh xạ f : X Y đgl ánh xạ mở nếu ảnh của một tập mở là một tập mở. 1.115: ánh xạ đóng : ánh xạ f : X Y đgl ánh xạ đóng nếu ảnh của một tập đóng trong X là một tập đóng trong Y. 1.16 : ánh xạ thu hẹp : Cho ánh xạ f : X Y khi đó ánh xạ f A : A Y đgl ánh xạ thu hẹp của f lên tập A. 1.17: phủ của một tập : Họ {A S } Ss đgl cái phủ của tập B nếu B Ss s A . Họ {A S } Ss đgl cái phủ của X nếu X Ss s A = . 1.18 : Phủ tơng thích : Ta nói rằng tô pô trên KGTP X là tơng thích với cái phủ {A i } Ii i AMXM ; mở (đóng) trong A i Ii thì M mở (đóng) trong X. 1.19 : T 1 - không gian : KGTP X đgl T 1 nếu :,, yxXyx một lân cân U của x và một lân cận V của y sao cho : y VxU ; . 1.20 : T 2 - không gian ( không gian Haus doff) Không gian tô pô X đgl : T 2 nếu : ;,, yxXyx tồn tại các lân cận U và V sao cho x = VUVyU ,, Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. x y U V Chuyên đề tô pô: . 1.21 : không gian chính quy : KGTP X đgl không gian chính quy nếu : ,Xx tập đóng F không chửa x thì tồn tại hai lân cận U và V sao cho : x .,; = VUVFU 1.22: T 3 - không gian : KGTP X đgl : T 3 - không gian nêu X là T 1 - không gian và X là không gian chính quy . 1.23 : không gian hoàn toàn chính quy . KGTP X đgl không gian hoàn toàn chính quy nếu ;Xx tập F đóng thì tồn tại hàm liên tục f : X ]1;0[ sao cho f(x) =0 nếu x F , f(x) =1 nếu x F . Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. x y U V x F U V Chuyên đề tô pô: KGTP X đgl T 2 1 3 - không gian nếu X là T 1 và X là KG hoàn toàn chính quy . 1.24: không gian chuẩn tắc : KGTP X đgl chuẩn tắc nếu mọi cặp tập đóng rời nhau tồn tại hai lân cân rời nhau. KGTP X đgl T 4 - không gian nếu X là T 1 và X là không gian hoàn toàn chính quy . : 1.25 : tổng các không gian : Cho họ các khong gian tô pô (X ; ) :X . =X . . Đặt X = X ; Xét phép nhúng i : X X . Cho bởi i Xxxx = ;)( . Khi đó tô pô mạnh nhất trên X sao cho các ánh xạ i nói trên liên tục đgl tô pô tông của các tô pô , X cùng vói tô pô tổng gọi là tổng trc tiếp tô pô của các không gian tô pô X nói trên . KH : X = X 1.26: tô pô tích : Cho họ các không gian tô pô : (X ; ) . ký hiệu ; X = X ={ x= (x ) | x Ư}; X . Mỗi . Gọi P : X X là phép chiếu cho bởi P (x) = x ; = )(xx . Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. A B U V A : đóng. B: đóng. X KG HTCQUY Chuyên đề tô pô: Tô pô yếu nhất trên X sao cho các phép chiếu liên tục , đgl tô pô tích của các tô pô , . X = X cùng với tô pô tích đgl không gian tích. (Tích Tikhonop). 1.27 : không gian thơng : Cho không tô pô (x; ) ,R là một quan hệ tơng đơng trên X . Xét tập thơng X/R và ánh xạ ./: RXX cho bởi : T(x) =[x] ,x ,X .khi đó tô pô mịn nhât để trên X /R sao cho ánh xạ nói trên liên tục gọi là tô pô thơng trên X/R . Tập X/R cùng với tô pô thơng gọi là không gian thơng . 1.28 : ánh xạ định giá : G/s F= { f: X f Y } là họ các ánh xạ f: X f Y ( kgtp ). Ta gọi ánh xạ e : X Ff f Y cho bởi : [e(x) ] f =f(x) ; FfXx , là ánh xạ định giá . 1.29; ánh xạ tách các điểm: Họ F= { f: X f Y } các ánh xạ từ không gian tô pô x vào không gian tô pô Y f đgl tách các điểm của X nếu yx , tồn tại f F sao cho f(x) f(y) . Họ F= { f: X f Y } gọi là tách các điểm và tập đóng của X nếu mọi tập đóng A X với Xx \ A tồn tại hàm f F sao cho f(x) ).( Af Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. [x] [y] [z] x X X/R Chuyên đề tô pô: 1.30 : giả mêtric: Hàm d : X Xì : R đgl một giả meetric nếu t/m các đk: 1) d(x,y) = d(y,x) , ., Xyx 2) d(x,y) d(x,z) + d(z,y), .,, Xzyx 3) x= y thì d(x,y) =0. Tập X cùng với một giả meetric trên nó gọi là không gian giả meetric. 1.31: ánh xạ đẳng cự : Cho các không gian giả mêtric (X,d ) và ( Y, ) . khi đó ánh xạ ; F : X Y đgl một phép đẳng cự nếu : ( f(x),f(y)) =d(x,y). Hai không gian giả mêtric (X,d ) và ( Y, ) gọi là đẳng cự với nhau nêu tồn tai một phép đẳng cự f: X .Y 1.32:không gian giả meetrich hóa : Kgt pô X đgl giả meetric hóa đợc nếu tồn tại một một giải meetric d trên đó sao cho d . 1.33: không gian Linđơlốp. KGTP X đgl không gian Linđlốp nếu mỗi phủ mở của X ,chứ một phủ con đếm đợc . 1.34: không gian com pắc : KGTP X đgl không gian compắc mọi phủ mở của X đếu chứa một phủ con hữu hạn . Tập con A đgl tập compac nếu không gian con A của X với tô pô cảm sinh là không gian compac. 1. 35: họ có giao hữu hạn : Họ {A Iii Ư} các tập con của KGTP X đgl có tính giao hữu hạn nếu : . Ji i A ,J I ,J hữ hạn . 1.36: Lọc : Họ các tập con của X cho trớc đgl một lọc trong X nếu t/m các ĐK: 1) nếu A , thì A . 2) nếu A , và B thì A B . 3) Nếu A và A B , thì B . 1.37 : siêu lọc : Lọc trong tập hợp X đgl siêu lọc trong X nếu không có lọc nào ' mà ' và ' . 1.37: lọc hội tụ về điểm x : Lọc trong không gian tô pô X đgl hội tụ về điểm x nếu u(x) . 1.38 : không gian compac điaị phơng : Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. Chuyên đề tô pô: KGTP X đgl cp địa phơng nếu ,Xx một l/c V của x sao cho V là tập compac. 1.39: com păc hóa một điểm: G/s (X, ) là kgt pô không com pắc . .X Đặt X =X { } .khí hiệu : U ={ V | X hoặc V hoặc X \V là tập con đóng com pắc của X} Khi đó : cặp ( X,u) đgl com pắc hóa một điểm của không gian tô pô không com pắc (X, ) . 1.40: Không gian com pắc hóa : Gs (X, ) là KHTP không com pắc . Com pắc hóa KGTP X là cặp ( f, Y ) ; Y là không gian tô pô . f : X Y là phép nhúng đồng phôi sao cho : .)( YXf II) một số kỹ thuật phổ biến của tô pô : 1) kỹ thuật xây dựng tập mở : 2) kỷ thuật lấy cái phủ hữu hạn . 3) kỹ thuật chứng minh một tập là một tập đóng: 4) kỹ thuật cm một ánh xạ liên tục ; 5) Kỷ thật xây dựng hại lân cân rời nhau . 6) Kỷ thuật lấy meetric trên một khong gian nào đó : 7) Kỷ thuật cm một không gian là một kg cp địa phơng . 8) Kỷ thuật lấy cơ sở : 9) Kỷ thuật cm đếm đợc . 10)kỹ thuật xác dịnh các phép toán lấy bao đóng. 11) Kỹ thuật so sánh các tập hợp . Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. x x V V . X ,chứ một phủ con đếm đợc . 1.34: không gian com pắc : KGTP X đgl không gian compắc mọi phủ mở của X đếu chứa một phủ con hữu hạn . Tập con A đgl tập compac nếu không gian con A của X với. không com pắc . .X Đặt X =X { } .khí hiệu : U ={ V | X hoặc V hoặc X V là tập con đóng com pắc của X} Khi đó : cặp ( X,u) đgl com pắc hóa một điểm của không gian tô pô không com. Nguyễn Văn Nho . học viên CH to n 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD to n. Chuyên đề tô pô: KGTP X đgl cp địa phơng nếu ,Xx một l/c V của x sao cho V là tập compac. 1.39: com păc hóa một điểm: G/s