MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. B i 1à : Cho c¸c sè d¬ng x, y, z thoa m·n: 1/x + 1/y + 1/z = 4 T×m max cña: P= 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) Với a,b > 0 ta có bđt : 1/(a + b) ≤ 1/4.(1/a + 1/b) (*) Áp dụng bđt (*) với a = (x + y) > 0 ; b = (x + z) > 0 ta có : 1/(2x + y + z) = 1/ [ (x + y) + (x + z) ] ≤ 1/4.[ 1/(x + y) + 1/(x + z) ] Lại áp dụng bđt (*) ta có : . 1/(x + y) ≤ 1/4(1/x + 1/y) . 1/(x + z) ≤ 1/4(1/x + 1/z) > 1/(2x + y + z) ≤ 1/16.(2/x + 1/y + 1/z) Tương tự ta có : . 1/(x + 2y + z) ≤ 1/16.(1/x + 2/y + 1/z) . 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(1/x + 1/y + 2/z) > 1/(2x + y + z) + 1/(x + 2y + z) + 1/(x + y + 2z) ≤ 1/16.(4/x + 4/y + 4/z) > P ≤ 1/4.(1/x + 1/y + 1/z) = 1 (do 1/x + 1/y + 1/z = 4) > đ.p c.m . Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 3/4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - CM (*) , ta có (*) <=> 1/(a + b) ≤ (a + b)/4ab <=> 4ab ≤ (a + b)² <=> 4ab ≤ a² + 2ab + b² <=> 0 ≤ a² - 2ab + b² <=> 0 ≤ (a - b)² > luôn đúng > (*) được CM Dấu " = " xảy ra <=> a = b Cach kh¸c: giả sử u và v là hai số dương ta có: (u+v)(1/u + 1/v) >=4 <=> 4/(u+v) <= 1/u + 1/v có 1/(2x+y+z) = 1/[(x+y)+(x+z)] <=(1/4)*(1/(x+y) + 1/(x+z)) <=(1/16)*(2/x+1/y+1/z) làm tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng các vế của 3 BĐT ta được VT<=(1/16)*(4/x + 4/y + 4/z) = 1 Bài 2:Cho tam giác ABC cố định vuông tại A, đường cao AD. Vẽ đường tròn tâm (O1) ngoại tiếp tam giác ABD và đường tròn (O2) ngoại tiếp tam giác ACD. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm của d với (O1) là E, với (O2) là F. Gọi giao điểm của DE với AB là M, giao điểm của DF với AC là N Hãy xác định vị trí của EF để chu vi của tứ giác BEFC đạt giá trị lớn nhất? @ 3 cõu hi trc cho bit khi d quay quanh A t s (BE+EA)/(AF+FC) luụn khụng i v MN//EF BC c nh nờn ch cn xỏc nh v trớ EF sao cho : BE+EA+AF+FC ln nht. Gi gúc EAB = , AB=c, AC=b khi ú BE+EA = c(sin+cos), (1) BAC vuụng nờn ACF = => AF+FC = b(sin+cos). (2) BE+EA+AF+FC = (sin+cos)(b+c) = (b+c) 2.cos(45-) => =45 BE+EA+AF+FC ln nht. T (1)&(2) => (BE+EA)/(AF+FC) = c/b ( const.) BAD =AFD, t giỏc AMDN ni tip ng trũn do MAN =MDN =90 nờn BAD =MND => AFD = MND => MN//EF. B i 3: Cho hàm số : ( ) ( ) 43 52.162 )( 2 22 + +++ == xx xxx xfy 1/ Tìm tập xác định của hàm số : )(xfy = . 2/ Chứng minh 3y . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu? ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ngoại ngữ Trờng Đại học ngoại ngữ - ĐHQG Hà Nội Năm học 2003- 2004 ) Hớng dẫn: 1/ Tìm tập xác định của hàm số: )(xfy = . 0)2).(1( 2 + xx và 043 2 + xx Vậy TXĐ : 2 x ; 4 x 2/ Chứng minh 3y . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ? ( ) ( ) 43 52.162 )( 2 22 + +++ == xx xxx xfy 43 5)2).(1(61212993 2 222 + +++++ = xx xxxxxx 43 )179)2).(1(6()43.(3 2 222 + +++ = xx xxxxxx 3 )4).(1( )231( 3 22 + + = xx xx Vì với 2 x ; 4 x thì 0 )4).(1( )231( 22 + + xx xx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2.31 2 =+ xx 1891 2 =+ xx ( Bình phơng hai vế không âm) 0199 2 =+ xx 2 59 1 =x ; 2 59 2 + =x B i 4 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 1 xxy = . Hớng dẫn: Ta có TXĐ : x \ 1x . Xét 2 1 xxy = 2 1 2 1 22 = + xx . Vậy 2 1 y suy ra : 2 1 2 1 y Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 22 1 xx = ( hay 2 2 =x ) Min y = 2 1 khi và chỉ khi 2 2 =x Max = 2 1 khi và chỉ khi 2 2 =x . B i 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất : P = 1x 2x 2 2 + + ? Hớng dẫn: TXĐ x R . P = 1x 2x 2 2 + + = 1x 11x 2 2 + ++ = 1x 1 1x 2 2 + ++ Có : 1x 1 1x 2 2 + ++ 1x 1 1x2 2 2 + + 2 1 2 . Vậy 1x 2x 2 2 + + 2 . Min P = 2 khi và chỉ khi 1x 2 + = 1x 1 2 + Min P = 2 khi và chỉ khi x= 0. B i 6 : Cho ba số dơng a ; b ; c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : c ab b ca a bc A ++= Hớng dẫn: Ta có ab abc b ca a bc 2 2 + c b ca a bc 2 + ac cab c ab a bc 2 2 + b c ab a bc 2 + bc bca c ab b ca 2 2 + a c ab b ca 2 + Suy ra : ).(. cba c ab b ca a bc ++ ++ 22 cba c ab b ca a bc ++++ c ab b ca a bc ++ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 1 === cba Vậy với 3 1 === cba thì c ab b ca a bc A ++= đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. B i 7 : Cho 0 cba ;; và thoả mãn: a.b.c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: ( ).( ).( )P a b b c c a = + + + Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : abba .2 + bccb .2+ caac .2+ . Suy ra : cabcabaccbba )).().(( 222 +++ . 222 8 cbaaccbba +++ )).().(( . 8 +++ )).().(( accbba Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 === cba Vậy với 1 === cba thì minP = 8 B i 8 : Cho ba số dơng thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: ( ) ( ) ( ) [ ] abcaccbbaP . +++++= Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c ta có: 3 3 abccba ++ 3 31 abc 3 3 1 abc abc 27 1 . (1) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 accbbaaccbba ++++++++ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 accbbacba +++++ ( ) ( ) ( ) 3 32 accbba +++ ( ) ( ) ( ) 3 3 2 accbba +++ )).().(( accbba +++ 27 8 (2) Nhân vế với vế của (1) và (2) ta đợc : abcaccbba ).).().(( +++ 27 8 27 1 Suy ra : 729 8 +++ )).().(.( accbbaabc Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= 3 1 . Vậy maxP= 729 8 a=b=c= 3 1 . B i 9 : Cho ba số dơng a ; b; c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 ( ).M a b c a b c = + + + + ữ Hớng dẫn: Vì a ; b; c là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 abccba ++ (1) Vì a 1 ; b 1 ; c 1 là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 1 3 111 abccba ++ (2) Từ (1) và (2) suy ra : 3 3 abccba ++ Suy ra : 9 111 ++++ cba cba ).( . 3 1 3 111 abccba ++ Vậy min M = 9. B i 10 : Cho ba số dơng a; b; c có a + b + c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 1 1 1A a b c = + + + ữ ữ ữ Hớng dẫn: Ta có: + a 1 1 = ++ + a cba 1 = a c a b +++ 11 4 2 4 a bc + b 1 1 = ++ + a cba 1 = b c b a +++ 11 4 2 4 b ac + c 1 1 = ++ + a cba 1 = c b c a +++ 11 4 2 4 c ab Suy ra : + + + cba 1 1 1 1 1 1 4 222 222 64 cba cba + + + cba 1 1 1 1 1 1 64. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 3 1 === cba . Vậy Min A= 64 khi và chỉ khi 3 1 === cba . B i 11 : Cho x ; y là hai số dơng thoả mãn điều kiện 2 22 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của: yx 11 + ? Hớng dẫn: Ta có : 3 222 11 3 112 x xx x xx x x ++=+ Suy ra : 3 2 2 + x x (1) 3 222 11 3 112 y yy y yy y y ++=+ Suy ra : 3 2 2 + y y (2) Vậy từ (1) và (2) suy ra : 6 11 2 22 +++ yx yx . Suy ra : 2 11 + yx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 11 x xx == ; 2 11 y yy == và 2 22 =+ yx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=1. Với x=y=1 thì yx 11 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2. B i 12 : Cho 1 + ba . Tìm giá trị nhỏ nhất của : 33 ba + . Hớng dẫn: Ta có : 1 + ba ab 1 323 331 aaab + 233 331 aaba ++ 233 331 aaba ++ 4 1 4 1 3 233 + ++ aaba . 4 1 2 1 3 2 33 + + aba . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 1 =a . B i 13 : Cho 0>cba ;; . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 a b c P b c a = + + + ữ ữ ữ Hớng dẫn: Vì a; b; c là ba số dơng. áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: b a b a 21 + . c b c b .21 + . a c a c .21 + Suy ra : a c c b b a a c c b b a 222111 + + + abc abc a c c b b a 8111 + + + 8111 + + + a c c b b a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 === cba Vậy với 1 === cba thì 1 1 1 a b c P b c a = + + + ữ ữ ữ giá trị nhỏ nhất bằng 8. B i 14 : Cho biểu thức + + + + + + + + = 1 11 1 1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a M : a) Rút gọn biểu thức M ? b) Cho a+b=1 hãy tính giá trị nhỏ nhất của M ? Hớng dẫn: a) Rút gọn biểu thức M TXĐ : 0a 0b 1ab . + + + + + + + + = 1 11 1 1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a M : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 11111 11 11111 + +++++ + +++++ = abab abababaababa abab abababaababa M : ( ) ( ) 1 12 1 12 + + = ab a ab aab M : . ( ) ( ) 12 1 1 12 + + = a ab ab aab M . abM = b) Cho a + b =1. Hãy tính giá trị nhỏ nhất của M Khi a+b=1 với 0 a 0 b . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ab ba + 2 suy ra : 2 1 ab hay 2 1 ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 1 == ba . VËy víi 2 1 == ba th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M b»ng 2 1 − . MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. B i 1à : Cho c¸c sè d¬ng x, y, z thoa m·n: 1/x + 1/y + 1/z. hàm số : ( ) ( ) 43 52.162 )( 2 22 + +++ == xx xxx xfy 1/ Tìm tập xác định của hàm số : )(xfy = . 2/ Chứng minh 3y . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu? ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10. minP = 8 B i 8 : Cho ba số dơng thoả mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của: ( ) ( ) ( ) [ ] abcaccbbaP . +++++= Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm a, b, c ta có: 3 3