Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: Rút gọn biểu thức (Dùng Cho dạy học ôn thi vào THPT) Các kiến thức cần nhớ 1) Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 A2-B2 = (A-B)(A+B) (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) 2) Các công thức biến đổi thøc: A2 = A (Víi A≥0; B≥0) AB = A B A A = B B (Víi A≥0; B>0) A 2B = A B (Víi A≥0; B≥0) A B = A 2B A2B A B =A = B B AB A A B = B B (Víi B≥0) (Víi A0) C ( A mB ) C = A - B2 A ±B (Víi A≥0; A2≠B) C( A m B) C = A- B A B (Với A0; B0 AB) Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài tập Bài Cho biểu thức: ổ a + aữ a- aữ ửổ ỗ A =ỗ + ữ1ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứ a + 1÷ a - 1÷ a) b) c) d) Tìm giá trị a để A có nghĩa Rút gọn A Tìm a để A=-5; A=0; A=6 Tìm a để A3 = A e) Với giá trị a A = A Bài 2: Cho biểu thøc: Q= 1 x + + x - 2 x + 1- x a/ Tìm điều kiƯn ®Ĩ Q cã nghÜa b/ Rót gän Q c/ Tính giá trị Q x = d/ Tìm x ®Ĩ Q = - e/ Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q nguyên Bài Cho biểu thức: x x- x - x- x a) Tìm điều kiƯn cđa x ®Ĩ P cã nghÜa b) Rót gän P c) Tìm x để P>0 P = d) Tìm x để P = P Bài e) Giải phơng trình P = - x f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị P nguyên Cho biểu thức: ổa +1 A =ỗ ỗ ỗ a - 1ố ửổ a +1 ỗ + aữ a ữ ỗ ữ ỗ ứố a- a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 1ử ữ ữ ứ aữ Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b) Tính giá trị A a = + + 5- 5- Bài 5+ c) Tìm giá trị a để A > A d) Tìm a để A=4; A=-16 e) Giải phơng trình: A=a2+3 Cho biĨu thøc: ỉa ưỉ - a a + a ữa ữvới a>0; a1 ỗ M =ỗ ữ ữ ç ç ÷ a + - a - 1ø ữ ỗ2 ỗ ố a ứố a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M=-4 c) Tính giá trị M a = - + + Bµi Bµi d) Chøng minh r»ng M≤0 víi a>0; a≠1 Cho biĨu thøc: é1- a a ù ỉ ưỉ + a a ỗ ỗ1 ỳ K = ( 1- a2 ) : ê + - a ÷+ víi a>0; a1 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ê 1- a ú è øè 1+ a ø ë ỷ a) Rút gọn K b) Tính giá trị K a=9 c) Với giá trị a K = K d) Tìm a để K=1 e) Tím giá trị tự nhiên a để giá trị K số tự nhiên Cho biểu thức: Q= x 1- x + x 3- x víi x≥0; x≠1 + 1+ x x- a/ Rót gän Q b/ Chøng minh r»ng Q0; x≠9 T =ỗ + :ỗ ữỗ ữ ỗ ữ ỗ3 + x 9- x ÷ èx - x - x ứ ố ứ ỗ Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a/ Rút gän T 7+ 7- + 7- 7+ b/ Tinh giá trị T x = c/ Tìm x để T=2 d/ Với giá trị x T Bµi 16: Cho biĨu thøc A = x − + x −2 a/ Rót gon A b/ TÝnh giá trị A x = 841 Bài 17: Cho P= x −9 − x −5 x + x −1 x−2 x x + x +1 − x −2 − x d) Rót gän P e) Tìm x để P < f) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x x Bµi 18: Cho K = 1 +  x + ÷:  x − − x x + x − x − ÷ ÷ ÷   a) Rút gọn K b) Tính giá trị cña K x = + c) Tìm giá trị x để K >1 x2  Bµi 19: Cho biĨu thøc K =  −  ÷  x −1 x +1  x x +1 a) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b) Rút gọn biểu thức K tìm giá trị x để K đạt giá trị lớn Bài 20: Cho biểu thức: A = b − a ab − a2 a 1/ Tìm điều kiện a , b để biểu thức A đợc xác định Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam §Þnh 2/ Rót gän biĨu thøc A  x +1 x −1 x − x −1  x + 2003 Bµi 21: Cho biĨu thøc K =  − + ÷ x −1 x +1 x x a) Tìm điều kiện x để K xác định b) Rút gọn K c) Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên? x x 3x +   x −  + − − 1÷ ÷:  ÷ x −3 x −9 ÷  x −3  x +3    Bµi 22:Cho P =   a) Rót gän P b) Tìm x để P < -1/2 c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 23: Cho biểu thøc M = 2( x + 1) x − 10 x + + + x −1 x + x + x3 1 Với giá trị cỉu x biểu thức có nghĩa Rút gọn biểu thức Tìm x để biểu thức có giá trị lớn Bài 24: Cho biêủ thức A = A = a (2 a + 1) + a + − a + 8+2 a −a a +2 1) Rút gọn A 2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên a 3+ x x −  x2 + x x − x −1 ữì ữ x x + x +1 x x −1  Bµi 25: Cho biĨu thøc: A = a) Tìm điều kiện biến x để biểu thức A đợc xác định b) Rút gän biĨu thøc A Bµi 26: Cho biĨu thøc: Q = x + x − 10 − x − − x− x −6 1) Rót gän biĨu thøc Q x −3 x −2 a +3 a −1 a − − + 4−a a −2 a +2 Víi x ≥ vµ x ≠ 2) Tìm giá trị x để Q = Bµi 27: Cho biĨu thøc : P = (a>0;a ≠ 4) a) Rút gọn P b) Tính giá trị cđa P víi a = Bµi 28: Cho biÓu thøc  m −m−3   m +1 m −1 m  − − −  ÷:  ÷  m −1  ÷ m −1÷  m −1 m +1 m −1    a) Rót gän A b) So s¸nh A víi A= Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài 29: Cho biểu thức x 3− x   x +1 x +2  P= + + ÷:   x − 2x − ÷  x + x + x x −1 ÷ ÷     a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > c) Tính giá trị P, biết x + x = d) Tìm giá trị x ®Ó : (2 ) ( )( x +2 p +5 = x +2 2− x −4 Bµi 30: Cho biÓu thøc )  x+2   x −4 x  P= − x ÷:   1−x − x +1÷ ÷  x +1    a/ Rót gọn P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để đạt giá trị nhỏ Bài 31: Cho biÓu thøc : A = 1+ 1− a 1− 1+ a + + 1− a + 1− a 1+ a − 1+ a 1+ a 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Chøng minh r»ng biÓu thức A dơng với a Bài 32: Cho M = − a − a + 3+ a a) Rút gọn M b) Tìm a để / M / c) Tìm giá trị lớn M Bµi 33: Cho biĨu thøc 3+ x 3− x 4x   x +2 C=  − − − ÷:  3− x 3+ x x −9÷ 3− x x − x ÷ ÷   a) Rút gọn C b) Tìm giá trị cđa C ®Ĩ / C / > - C c) Tìm giá trị C để C2 = 40C Bài 34: Cho biÓu thøc A=  2x + x − 2x x + x − x  x − x 1+  − ÷  ÷2 x − 1 x x x Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) Rút gọn A b) Tìm x để A = − c) Chøng tá A ≤ bất đẳng thức sai x+ x −4 x −1   x −3 Bµi 35: Cho biÓu thøc P =   x − x − + − x ÷:  − x − ÷ ÷  ÷    a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P <    x −2 1  Bµi 36: Cho biĨu thøc P =   x + − x x − x + x − ÷:  x − − x − ÷ ÷     a/ Rót gän P b/ Tìm x để P < ; c/ Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bài 37: Cho biÓu thøc  x +2 x +3 P=  x−5 x +6 − 2− x −  x +2  ÷:  − x −3÷    x  ÷ x +1÷  a/ Rót gän P ≤− P Bµi 38: Cho biĨu thøc : b/ Tìm x để a a a a +1  a + − ÷: a− a a+ a ÷ a−2   A=   a) Với giá trị a A xác ®Þnh b) Rót gän biĨu thøc A c) Với giá trị nguyên a A có giá trị nguyên Bài 39: Cho biểu thức a − 25a   25 − a a −5 a +2 M=  − ÷:  − − ÷  a − 25 ÷  a + a − 10 − a a +5÷   Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) Rút gọn M b) Tìm giá trị a để M < c) Tìm giá trị lớn M Bài 40: Cho biÓu thøc  2x x + x − x x + x  x −1 x P=  − + ÷  x −1 ÷ 2x + x −1 x −1 x x −1   a) Rót gọn P b) Tìm giá trị lớn A = P x − x+ x c) T×m giá trị m để x > ta cã: ( ) P x + x + − > m ( x − 1) + x Bµi 41: Cho biĨu thøc  x x −3  x +2 x −4 P= + − ÷:  ÷  x −2 x −x ÷  x x −2÷     a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P > c) Tính giá trị nhỏ P d) Tìm giá trị m để có giá trị x > tho¶ m·n: m ( ) x − p = 12m x − Bµi 26: Cho biĨu thøc P= x (1− x) 1+ x  − x x  1+ x x  :  + x ÷  − x ÷  ÷  1+ x ÷  − x    a) Rút gọn P b) Xác định giá trị cđa x ®Ĩ (x + 1)P = x -1 x +3 Tìm x để Q max P x Bµi 43: Cho biĨu thøc : c) BiÕt Q =   1   A=  + − ÷:  ÷+  1- x + x   − x + x x Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = + c) Víi giá trị x A đạt giá trị nhá nhÊt  x +1 x+2  + + ÷ (Víi x ≥ 0; x ≠ ) x + x +1 1− x x x −1 ÷   Bµi 44: Cho P = x :   a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P = Bµi 45: Cho biĨu thøc: P = 3(x + x − 3) x+ x −2 x +1 − x +2 +  x −2  − 1   x 1 − x  a/ Rót gän P b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm giá trị x để P = x Bµi 46: Cho biĨu thøc P= ( ) a −1 a+ ( ) a −1 − 3−2 ( ) a −1 a a −1 a −1 + a) Rót gän P b) So s¸nh P víi biĨu thøc Q = a −1 a −1 Bµi 47: Cho biĨu thøc  xy x + xy y   xy xy P = 1+  + ÷:   ÷  x + xy y + xy x+ y    a) Rót gän P  ÷ ÷  b) Tìm m để phơng trình P = m có nghiệm x, y thoả mÃn Bài 48: Cho biÓu thøc: P = 3(x + x − 3) x+ x −2 + x +3 x +2 − a/ Rót gọn P b/ Tìm x để P < 15 Bµi 49: Cho biĨu thøc : 10 x −2 x x+ y =6 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định A=( x −1 + x +1 )2 x2 −1 − 1− x2 1) Tìm điều kiện x để biểu thøc A cã nghÜa 2) Rót gän biĨu thøc A 3) Giải phơng trình theo x A = -2 2 x+x   x +2  − ÷:  ÷ x −1 ÷  x + x +1 ÷  x x −1    Bµi 50: Cho biĨu thøc : A =   a) Rót gän biĨu thøc b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A x = +  x −4   x +2 x  :  − − Bµi 51: Cho biĨu thøc: P =  x−2 x 2− x   x x −2     a/ Rót gän P ; b/ Tìm x để P = 3x - x c/ Tìm giá trị a để có x tho¶ m·n : P( x + 1) > x + a Dạng : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuéc vµo biÕn: a) A = a b +b a : - ( a a - b b) ab a- b x y - y x ( x + y)2 - xy b) B = xy x- y ỉ + ab + bư a ÷ víi a>0; b>0; ab ữ :ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ a+ b ø è víi x>0; y>0; x≠y ỉ 2+ a ưỉ a - 2÷ a3 + a - a - 1ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ứỗ a + a +1 a - ÷ a ÷ ç è ø c) C = ç ç ç è d) D = 2x x +1 x + 10 + + x + x +2 x + x + x +5 x +6 æ a +b b a e) E = ỗ ỗ ỗ ỗ a+ b è f) F = víi a>0; a≠1 b ÷ ab÷ ( a - b) + : ÷ ÷ a+ b ø a a - a a +1 + a- a a+ a ổ ỗ aỗ ỗ è 11 víi x≥0 víi a>0; b>0; a≠b ưỉ a + a - 1ử ữ ữ ỗ + ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ a ứố a - a + 1ứ với a>0; a1 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định  x x +3  x +  − x ÷ ÷ − x ÷ (víi x x ) ữ x − 3x +   g)   Email: diepngoc0307@gmail.com 12 ... cđa A x = 9−2 + x −1 x Bài 15:Cho b) Tìm x để A > Bµi 16: Cho biĨu thøc A = x − + x −2 a/ Rót gon A b/ Tính giá trị A x = 841 Bài 17: Cho P= x −9 − x −5 x + x −1 x−2 x x + x +1 − x −2 − x d)... 11 x - 2 x +3 víi x≥0; x≠1 x +2 x - x- x +3 a) Rút gọn L b) Tính giá trị L x = + + - 2- 2+ Bài 10 c) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa L Cho biĨu thøc: A= 2- x + x +3 x - x- x +6 a) Tìm điều kiện để A... a) Rót gọn P b) Tìm x để P < -1/2 c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 23: Cho biÓu thøc M = 2( x + 1) x − 10 x + + + x −1 x + x + x3 − 1 Víi gi¸ trị cỉu x biểu thức có nghĩa Rút gọn biểu thức Tìm x để biểu