Vũ Ngọc Thành Trường THPT Mường So Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học 05/09/2009 – 01/12/2010 TÌM HIỂU LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Khi ta làm tốn về tích phân . Ắt các bạn đã từng tính những con tích phân cơ bản sau đây : ( ) − + + = + + + ∫ x 2 1 1 1 2 ln x x 1 Ví dụ 1:TínhI dx x 1 x 1 = − − + ∫ 1 3 3 2 2 0 Ví dụ 2 : Tính I 2x 3x x 1dx ( ) π = − ∫ 3 3 2 3 0 Ví dụ 3 : Tính I sinx cosx dx − = + ∫ 2 1 4 x 1 x Ví dụ 4 : Tính I dx 2 1 π = + ∫ 6 2 5 6 6 0 sin x Ví dụ 5 : Tính I dx sin x cos x ( ) π = + ∫ 4 6 0 Ví dụ 6 : Tính I ln 1 tanx dx ( ) π = ∫ 2 7 3 0 sinx Ví dụ 7 : Tính I dx sinx+cosx π = + ∫ 2 8 3 3 0 sinx Ví dụ 8 : Tính I dx sin x cos x π + = + ∫ 3 2 9 3 0 1 sin x Ví dụ 9 : Tính I ln dx 1 cos x Vấn đề dặt ra : Tích phân tổng qt của các con tích phân trên là gì ? Ta nhận thấy các tích phân trên đều có 1 dạng chung đó là : ( ) ∫ b a f x dx trong đó f(x) + f(a+b-x ) = g(x) và g(x) tính được tích phân Vậy phương pháp tính các tích phân có dạng trên là gì ? Ở đây ta hồn tồn làm được theo 1 phương pháp chung .Đó là đổi biến số bằng phép đặt x= a+b- t Thật vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − = ⇒ = − + − + ⇒ = − + − + + − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b b b a a a b b a a b a a b b a Theo tích phân dạng tổng quát ở đó : f x f a b x g x f x f a b x g x f x dx f a b x dx g x d 1 f x dx g x dx 2 x Do f a b x dx f t dt f x dx Bởi vậy : Vũ Ngọc Thành Trường THPT Mường So Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học 05/09/2009 – 01/12/2010 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − + + − + − = + + + + = = + + = + + + + = + + + ∫ ∫ ∫ 2 x 2 1 1 2 1 1 x 2 1 1 1 2 1 2 ln x x 1 Ví dụ Tacó: f x f 1 1 x x ln x x 1 ln x x 1 1 Nên theo công thức tổng quát I dx xln x x 1 dx ? 2 x 1 x 1 Tích phân này hoàn toàn tính được bằng phương pháp tích phân 1:I dx x 1 x 1 từng pha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π π + − = = − − = + + − = = − = − − + = − = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 3 1 3 3 2 2 0 3 3 2 2 2 0 3 3 2 3 0 3 0 Ví dụ 2 : I 2x 3x x 1dx Ví du àn Ta có : f x f 1 x 0 Nên theo công thức tổng quát I 2x 3x 1dx 0 Ta có : f x f 0 x 0 Nên theo công thức to ï 3 : Tính I s ån inx cosx dx g quát : I sinx cosx dx 0 Vũ Ngọc Thành Trường THPT Mường So Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học 05/09/2009 – 01/12/2010 ( ) ( ) ( ) π π − − − + − + − = = = +   + + − =    = = + +  + = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 4 x 1 6 2 5 6 6 0 2 2 1 1 2 4 x 1 1 6 5 6 x Ví dụ 4 : Tính I dx 2 1 sin x Ví d Ta có f x f 1 1 x x x 1 Nên theo công thức tổng quát I dx x dx 2 1 2 Ta có : f x f 0 x 1 2 sin x Nên theo công thức tổng quát ụ 5 : Tính I dx sin x cos sin x I x π π π = = ∫ ∫ 2 2 6 0 0 1 dx 1dx cos x 2 4 Vũ Ngọc Thành Trường THPT Mường So Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học 05/09/2009 – 01/12/2010 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π π π π π −     + + − = + + + =         = + =   + − =    = +  = ∫ ∫ ∫ ∫ 4 6 0 2 7 3 0 4 4 6 0 0 1 t anx Ta có : f x f 0 x ln 1 tanx ln 1 ln2 4 1+tanx 1 Nên theo công th Ví dụ 6 : Tính I ln 1 tanx dx sinx Ví dụ 7 : Tính I dx sinx ức tổng quát I ln 1 t +cosx anx dx ln2dx 2 1 Ta có : f x f x 2 s ( ) ( ) π π π π =   +     = =   +     ∫ ∫ 2 2 2 2 7 3 0 0 2 1 1 2 inx+cosx sin x 4 sinx 1 1 Nên theo công thức tổng quát I dx dx 4 sinx+cosx sin x 4 Vũ Ngọc Thành Trường THPT Mường So Bản Vàng Pheo xã Mường So Phong thổ Lai Châu Tài liệu dành cho học sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học 05/09/2009 – 01/12/2010 ( ) ( ) 2 2 8 3 3 2 8 3 3 0 3 2 9 0 3 0 0 1 Ta có : f x f x 2 1 sinxcosx sinx 1 1 Nên theo công thức tổng quát I dx dx sin x cos x 2 sinx Ví dụ 8 : Tính I dx sin x cos x 1 sin x Ví dụ 9 : 1 T s í in nh xcosx 1 Ta có : I ln dx 1 cos x f x f x ln 2 π π π π π π =   + − =   −   = = + − +   + + = + + − =     ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 3 9 sin x 1 cos x ln 0 1 cos x 1 sin x Nên theo công thức tổng quát I 0 + + = + + = . sinh lớp 12A1 nhân kỉ niệm hơn 1 năm lên đất Lai Châu dạy học 05/09/2009 – 01/12/2010 TÌM HIỂU LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Khi ta làm tốn về tích phân . Ắt các bạn đã từng tính những con tích phân. : Tích phân tổng qt của các con tích phân trên là gì ? Ta nhận thấy các tích phân trên đều có 1 dạng chung đó là : ( ) ∫ b a f x dx trong đó f(x) + f(a+b-x ) = g(x) và g(x) tính được tích phân. x x 1 1 Nên theo công thức tổng quát I dx xln x x 1 dx ? 2 x 1 x 1 Tích phân này hoàn toàn tính được bằng phương pháp tích phân 1:I dx x 1 x 1 từng pha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π π + − = = −