Đề thi tuyển vào thpt Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút) Đề 1. Câu1. Giải các phơng trình sau. a, 2 3 3x x + = b, 2 2 2 1 1 1 1 x x x x + = + Câu 2. Cho hàm số: y = (m + 1)x - 2m +5 (m -1) a,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 b, Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Tìm điểm cố định đó? c,Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua giao điểm của hai đờng thẳng 3x - 2y = -9 và y = 1 - 2x Câu 3. Hai tỉnh A, B cách nhau 60 km. Có một xe đạp đi từ A đến B. Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có một xe máy cách A 40 km đi đến A rồi trở về B ngay. Tìm vận tốc của mỗi xe biết xe gắn máy về B trớc xe đạp 40 phút và vận tốc xe gắn máy hơn vận tốc xe đạp là 15km/h. Câu 4. Cho ABC có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R). Các đờng cao BE, CF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q a, Chứng minh: EF // PQ b,Chứng minh:OA EF c, Có nhận xét gì về các bán kính của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, AHC Câu 5. Cho a, b, clà các số nguyên khác 0 thoả mãn: a b c Z b c a b c a Z a b c + + + + Chứng minh rằng: a b c= = Đáp án Câu 1 a, pt 2 3 3x x = ĐK: x 3 x 2 - 8x + 12 = 0 x 1 = 6 ; x 2 = 2(loại) b, ĐK: x 1 pt x 2 + x - 3 = 0 x 1,2 = 1 13 2 (t/m) Câu 2 a, m = 3 4 b, m(x - 2) + (x - y +5) = 0 Điểm cố định là (2; 3) c, Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng 3x - 2y = -9 và y = 1 - 2x là (-1 ; 3) Đs: m = 1 Câu3 Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x(km/h) ĐK: x>0 Vận tốc ngời đi xe gắn máy là: x + 15km/h Thời gan ngời đi xe đạp đã đi là: 60 x (h) Thời gan ngời đi xe máy đã đi là: 100 15x + (h) 3 2 1 1 1 1 F H Q E P O C B A Do xe máy đến B trớc 40' = 2 3 (h) nên ta có pt 60 x - 100 15x + = 2 3 x 2 + 75x - 1350 = 0 = 11025 V = 105 x 1 = 15 ; x 2 = - 90 (loại) Vận tốc xe đạp là 15 km/h. Vận tốc ngời đi xe máy là 15 + 15 = 30 km/h Câu 4 a, Tứ giác AFEC nội tiếp à à 1 1 F B= mà à à à à 1 1 1 1 B Q Q F= = EF // PQ b, Ta có à ả 1 2 C B= (góc có cạnh tơng ứng vuông ) ằ ằ AP AQ = OA PQ mà PQ // EF OA EF c,Chứng minh H, Q đối xứng qua AB AQB = AHB chúng có cùng bán kính đờng tròn ngoại tiếp bán kính đờng tròn ngoại tiếp AQB bằng R (bằng bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC ) bán kính đờng tròn ngoại tiếp AHB bằng R Chứng minh tơng tự có bán kính đờng tròn ngoại tiếp BHC; AHC bằng R Vậy các tam giác AHB, BHC, AHC có bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng nhau Câu 5 Đặt x 1 = 2 3 ; ; a b c x x b c a = = Xét f(x) = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x 3 ) = x 3 - ux 2 + vx - 1 Trong đó u = x 1 + x 2 + x 3 = a b c Z b c a + + v = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = a b c c a b + + Z Nhận xét: Nếu đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d Z ; a 0) có nghiệm hữu tỉ x = p q (p, q Z; q 0; (p, q) = 1) thì p là ớc của d còn q là ớc của a. áp dụng nhận xét trên ta có Đa thức f(x) có 3 nghiệm hữu tỉ x 1 , x 2 , x 3 và các nhiệm này là ớc của 1 1 2 3 1 1 1 x x a b c x = = = = = Đề thi tuyển vào thpt Môn: toán (Thời gian làm bài 120 phút) Đề 2. Câu 1. Giải các phơng trình sau a, 2 4 4 2007x x + = b, 2 7( 64) 0x x = Câu 2. Cho pa ra bol (P): y = 2 1 2 x 3 2 1 1 1 1 F H Q E P O K N M a, Gọi A, B là hai điểm trên đồ thị (P) có hoành độ lần lợt là -2; 4. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A, B b, Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = mx - 2m + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi x 1 , x 2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = 24 Câu 3. Một phòng họp có 90 ngời họp đợc sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu ta bớt đi 5 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 3 ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế đợc xếp bao nhiêu ngời? Câu 4. Cho MNK có các góc đều nhọn nội tiếp đờng tròn (O, R). Các đờng cao NE, KF cắt nhau tại H và lần lợt cắt đờng tròn (O, R) tại P, Q a, Chứng minh: EF // PQ b,Chứng minh:OM EF c, Có nhận xét gì về các bán kính của các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác MHN, NHK, MHK Đáp án Câu 1. a, pt 2 2007x = x - 2 = 2007 hoặc x - 2 = -2007 x = 2009 hoặc x = 2005 b, ĐK: x 7 pt x - 7 = 0 hoặc x 2 - 16 = 0 x = 7 ; x = 8 ĐS: x = 7 ; x = 8 Câu 2. a, Vì A, B thuộc (P) nên A(-2; 2) B(4; 8) Phơng trình đờng thẳng qua A, B có dạng y = ax + b vì đờng thẳng đi qua A, B nên ta có hệ pt 2 2 4 8 a b a b + = + = a = 1; b = 4 đờng thẳng cần tìm là y = x + 4 b, Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt x 2 - 2mx + 4m - 6 = 0 = (m - 2) 2 +2 > 0 với mọi m x 1 2 + x 2 2 = 24 (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 24 m 2 - 2m - 3 = 0 m = - 1 ; m = 3 Câu 3. Gọi số dãy ghế có lúc đầu là x (dãy) ĐK: x nguyên dơng và x > 5 Thì mỗi dãy phải xếp 90 x ngời Sau khi bớt 5 dãy thì số dãy ghế là x - 5 dãy Mỗi dãy phải xếp 90 5x ngời Theo bài ra ta có pt : 90 5x - 90 x = 3 x 2 - 5x - 150 = 0 x 1 = 15 ; x 2 = - 10 (loại) Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 6 ngời Câu 4. §Ò thi tuyÓn vµo thpt M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót) §Ò 3. Bài 1: Tính giá trị của biểu thức với Bài 2: Chứng minh rằng n nguyên dương, đều có: chia hết cho 91 Bài 3: a) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: . Tính giá trị lớn nhất của: b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c là các số nguyên không âm: Bài 4: Cho phương trình: (x là ẩn số) a) Giải phương trình khi a=1 b) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm . Khi đó tồn tại hay không giá trị lớn nhất của: Bài 5: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự ấy, (O) là đường tròn đi qua B,C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF. a) Chứng minh E, F nằm trên 1 đường tròn cố định khi (O) thay đổi b) Đường thẳng FI cắt (O) tại E’. Chứng minh EE’ // AB. c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOI nằm trên đường thẳng cố định khi (O) thay đổi. ®¸p ¸n B ài 1. Ta rút gọn x: Ta có: a) b) c) Suy ra: Như vậy: Tính A, ta có: (1) Thay x vào (1) ta được: Bài 2: n nguyên dương, ta có: Ở đó: và Suy ra (1) Lại có: Ở đó: và Suy ra (2) Từ (1) và (2) suy ra và ta có (đpcm.) Bài 3: Ta có: a) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b) Ta có: =3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay là Ta có: Với hoặc , ta có: Với hoặc , ta có: Với hoặc , ta có: Suy ra: Như vậy: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Bài 4: Phương trình đã cho có thể biến đổi thành: a) Với a=1 phương trình đã cho trở thành: b) Mỗi phương trình , có nhiều nhất là 2 nghiệm. Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì mỗi phương trình như trên phải có đúng 2 nghiệm và các nghiệm đó khác 0. Như vậy, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm, điều kiện cần và đủ là: *Với phương trình đã cho có 4 nghiệm là: Như thế: = Tuy nhiên và không đạt được giá trị nên S không có giá trị lớn nhất! Bài 5: a) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có: . Xét AFB và , ta có: FAB= FAC Suy ra AFB Suy ra: Suy ra E, F là các điểm nằm trên đường tròn (A, ) b) Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có: (1) Mặt khác: (2) Và: (4 điểm A, E, I, F cùng nằm trên đường tròn đường kính AO) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra được: . Suy ra EE’ // AB (Theo dấu hiệu góc đồng vị của hai đường thẳng song song) c) Xét và ta có: OAI = ANK= AIO=90 0 Suy ra OAI KAN (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC = const Suy ra K là điểm cố định Dễ dàng nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIKN, suy ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên đường trung trực của KI là đường thẳng cố định. Từ đó ta có (đpcm). §Ò thi tuyÓn vµo thpt M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót) §Ò 4. Bài 1: a) Chứng minh rằng biểu thức: Không phụ thuộc vào x và y b) Chứng minh rằng: Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: a) A =   ≤  ÷   a - b b - c c - a 1 1 + + - c a b 2007 2008 Với b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bài 3: Giải phương trình căn thức: Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm A(-3;0) và B(-1;0). Xét điểm M, N thay đổi trên trục tung sao cho AM vuông góc với BN. a)Chứng minh rằng AN vuông góc với BM và OM.ON không đổi. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm tọa độ hai điểm cố định đó. b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí của M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất. ®¸p ¸n Bài 1. a) Chứng minh rằng biểu thức: A= Không phụ thuộc vào x và y. b)Chứng minh rằng: Lời giải: a) Điều kiện để A có nghĩa: . Với và . Ta có: (Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm) Và như vậy: A=0, A không phụ thuộc vào x,y. ĐPCM. Với và . Thay . Ta đuợc và ta có: Như kết quả ở trường hợp ban đầu, ta được A=0, không phụ thuộc vào x, y. ĐPCM. b) Ta có Vì là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia hết cho 6. Hay nói cách khác chia hết cho 6. Từ đó dễ dàng suy ra chia hết cho 6. ĐPCM. Bài 2. a) Chứng minh bất đẳng thức: Với b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải: Ta có: Như thế: Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử: Ta cố định giá trị hai biến a, c và tìm giá trị của b: sao cho A đạt giá trị lớn nhất. Vì a, c cố định, biểu thức A đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất. Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Như thế: Hay là : (Vì ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c) là một hoán vị của b) Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với: Điều này hiển nhiên đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Trở lại bài toán, ta có: Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi Bài 3. Giải phương trình căn thức: Lời giải: Ta có: Vậy phương trình có nghiêm là hoặc Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm và . Xét điểm M, N thay đổi trên trục tung sao cho AM vuông góc với BN. a)Chứng minh rằng AN vuông góc với BM và OM.ON không đổi. Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua hai điểm cố định. Tìm tọa độ hai điểm cố định đó. b)Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Xác định vị trí của M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất. Lời giải: a) Xét tam giác AMN có NB và AO là hai đường cao, giao nhau tại B. Do đó MB cũng là đường cao của tam giác. Từ đó suy ra AN vuông góc với BM. ĐPCM. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BN với AM, AM với BN Dễ dàng nhận thấy: (góc, góc) Suy ra: (góc, góc) Suy ra: (góc, góc) Suy ra: Từ đó, ta có: Hay nói cách khác OM.ON không đổi. Gọi I, J là giao điểm của đường tròn đường kính MN với trục Ox. Xét đường tròn đường kính MN có MN là đường kính, IJ là dây cung, MN vuông góc với IJ nên MN đi qua trung điểm của IJ. Hay nói cách khác OI=OJ. Ta có: (góc, góc) Suy ra: Hay nói cách khác: Suy ra: I( , J( I, J là các điểm cố định mà đường tròn đường kính MN đi qua. ĐPCM. b) Gọi K là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN với trục Ox [...]... ra khi và chỉ khi và chỉ khi dấu Mặt khác: Do đó Ta có: , , , cùng Từ (4) và (5) suy ra (8) Từ (4) và (6) suy ra (9) (8) và (9) mâu thuẫn lẫn nhau, từ đó suy ra hệ (I) vô nghiệm (III) Từ (10) và (11) suy ra (14) Từ (10) và (12) suy ra (15) Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu Với hoặc , thay vào (III) ta được Với suy ra , thay vào (III) ta được Thử lại, với đều thỏa mãn phương trình (1) ban đầu Vậy... ta đặt (5) Thay (5) vào (4) rồi rút gọn ta được: (6) Từ (6) suy ra , ta đặt (7) Thay (7) vào (6) rồi rút gọn, ta được: (8) Từ (8) suy ra , ta đặt (9) Từ (3), (5), (7), (9) ta có: ; Và ; ; ; (10) So sánh (2) và (10) ta thấy vô lý, từ đó suy ra (0;0;0) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho Bài 4: a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt Chứng minh rằng với mọi n, , chia hết cho 5 và không chia hết cho 5... thỏa mãn phương trình Ta có: Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0 (1) Suy ra và đều có chữ số tận cùng là 5 Suy ra vế trái (1) chia hết cho 10 (2) Mặt khác vì q2 là số chính phương nên q2 không thể tận cùng bằng 7, và do đó vế phải của (1) không thể chia hết cho 10 (3) (2) và (3) suy ra điều vô lý Vậy không tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn bài toán Bài 4: a) Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 5... nghiệm không lặp khi hoán vị và Và Ta có, với hệ: Đẳng thức (9) không thể xảy ra trong trường hợp với c) Ta có, với hệ: Đẳng thức (10) không thể xảy ra trong trường hợp Ta có, với hệ: với Vì nên hoặc hoặc vì , và do đó và sẽ xảy ra trường hợp hoặc Điều này trái với giả thi t ban đầu Vậy , , lặp khi hoán vị thỏa mãn bài toán và Bài 3: Chứng minh rằng: là 4 bộ nghiệm không với m, n Lời giải: Dễ dàng... là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O) Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O) §Ò thi tuyÓn vµo thpt M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót) §Ò 10 Bài 1: a) Tìm tất cả các số nguyên dương n để b)Cho hệ: Tính biểu thức P= Bài 2: a) Giải phương trình: b) Cho x Bài 3: a) Cho b) Cho P= Tính P=( và Chứng tỏ: Tìm giá... do đó là số nguyên Từ đó suy ra phương trình là phương trình có các hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ, nên các nghiệm đó đều phải là nghiệm nguyên Ta có: Điều này vô lý vì theo đề bài Từ đó suy ra giả thi t phương trình không phải là số nguyên tố có nghiệm hữu tỉ là sai Suy ra ĐPCM Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB sao cho , Đường thẳng qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường... số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng Lời giải: a)Ta có: ĐPCM b) Gọi 3 số nguyên dương đã cho là m, n, p Không mất tính tổng quát ta giả sử m0 thỏa mãn x + y 6, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: b) Cho a>0, b>0, c>0, d>0.Chứng... tương tự với ta suy ra được: Vậy , b) Xét tam giác vuông DAB, ta có: Gọi X, Y, Z lần lượt là tiếp điểm của (I) với DA, DB, AB Ta có: Mặt khác Do đó Theo kết quả tính ở câu a), dễ dàng nhận thấy: Vậy: §Ò thi tuyÓn vµo thpt M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót) §Ò 6 Bài 1: Tính tổng Bài 2: a) Giải phương trình theo tham số m: b) Tìm thỏa mãn phương trình: Bài 3: Tìm số nguyên tố p để: và đều là các số... B’N, C’P là các đường phân giác của tam giác Từ đó suy ra A’M, B’N, C’P đồng quy ĐPCM b) Xét tam giác BDI Ta có: Mặt khác: IBD = IBC + IDB = ACB = CBD = IBC + CAD = C IC = Do đó: Từ đó suy ra ĐPCM §Ò thi tuyÓn vµo thpt M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót) §Ò 9 Bài 1: Xét dãy số với: và Chứng minh rằng: Bài 2: Tìm k, m, n đôi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức: phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số . máy đã đi là: 100 15x + (h) 3 2 1 1 1 1 F H Q E P O C B A Do xe máy đến B trớc 40' = 2 3 (h) nên ta có pt 60 x - 100 15x + = 2 3 x 2 + 75x - 1350 = 0 = 1102 5 V = 105 x 1 = 15. 90 x = 3 x 2 - 5x - 150 = 0 x 1 = 15 ; x 2 = - 10 (loại) Vậy lúc đầu phòng họp có 15 dãy ghế và mỗi dãy có 6 ngời Câu 4. §Ò thi tuyÓn vµo thpt M«n: to¸n (Thêi gian lµm bµi 120 phót) §Ò. suy ra (9) (8) và (9) mâu thuẫn lẫn nhau, từ đó suy ra hệ (I) vô nghiệm (III) Từ (10) và (11) suy ra (14) Từ (10) và (12) suy ra (15) Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu suy ra hoặc . Với , thay