- PHÒNG GD & ĐT TUY PHƯỚC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học : 2009 – 2010 Môn : TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 120 phút ( Không kể phát đề ) Ngày thi : 29 – 4 – 2010 Bài 1 : ( 2 điểm ) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 ( a, b ∈ N ) Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13. Bài : ( 5 điểm ) a) Tìm x , biết rằng : x = ba c ac b cb a + = + = + b) Cho : a = xy xyc y yb x x 1 ; 1 ; 1 +=+=+ Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 - abc = 4 Bài 3 : ( 3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AB + AC > 2AM Bài 4 : ( 3 điểm ) Cho hàm số y = x 3 . Tìm trên đồ thò hàm số hai điểm A (x A , y A ) và B(x B , y B ) thõa các điều kiện: x A - x B = 2 và y A – y B = 6 Bài 5: ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC có ABC = 45 0 , ACB = 30 0 Chứng minh rằng AB : BC : AC = 2:)31(:2 + Bài 6: ( 2 điểm ) Tính P = 1 + )16 321( 16 1 )4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 ++++++++++++++ - Nguyễn Đình Tự - Trường THCS Phước Thành - LỜI GIẢI TÓM TẮT : Bài 1 : a + 4b  13 ⇒ 10( a+ 4b )  13 ⇒ (10a + b) + 39b  13 mà 39b  13 ⇒ 10a+ b  13 Bài 2 : a) Ta có : x = ba c ac b cb a + = + = + p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , có : x = ba c ac b cb a + = + = + = )(2222 cba cba cba cba ++ ++ = ++ ++ + Nếu a+ b +c ≠ 0 thì x = 2 1 + Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c ; b + c = -a ; a + c = - b. Khi đó từ x = ba c ac b cb a + = + = + Suy ra : x = c c b b a a − = − = − = - 1 Vậy : x = 2 1 hoặc x = - 1. b) Ta có : a 2 + b 2 + c 2 - abc =         +         +       +−         ++         ++       + xy xy y y x x xy xy y y x x 111111 22 2 = (x 2 + 2.x. x 1 + 2 1 x ) + ( y 2 +2.y. y 1 + 2 1 y ) + (x 2 y 2 +2. xy. xy 1 + 22 1 yx ) - ( xy + y x + x y + xy 1 )( xy xy 1 + ) = x 2 + 2 1 x + y 2 + 2 1 y + x 2 y 2 + 22 1 yx + 6 - x 2 y 2 – 1 - x 2 - 2 1 y - y 2 - 2 1 x - 1 - 22 1 yx = 4 ( đpcm ) Bài 3 : M A B C A' Trên tia đối của tia MA lấy A’ sao cho MA = MA’ . ∆ ABM = ∆ A’CM ( c – g – c) ⇒ AB = A’C. Trong tam giác ACA’ có : AC + A’C > AA’ Mà AA’ = 2 AM . Do đó : AB + AC > 2AM Bài 4 : Ta có : x A - x B = 2 ( 1 ) và y A – y B = 6 (2) ⇒ y A – y B = 3 (x A - x B ) mà y A = A x 3 ; y B = B x 3 nên : A x 3 - B x 3 = 3 (x A - x B ) ⇒ A x 1 - B x 1 = x A - x B = 2 ⇒ BA AB xx xx . − = 2 ⇒ BA xx . 2− = 2 ⇒ BA xx . = - 1 - Nguyễn Đình Tự - Trường THCS Phước Thành - ⇒ x A = B x 1− . Thay vào ( 1) có : B x 1− - x B = 2 ⇒ - 1 - x B 2 = 2x B ⇒ x B 2 + 2x B + 1 = 0 ⇒ ( x B + 1 ) 2 = 0 ⇒ x B = - 1 . Thay vào (1) có : x A = 1 . Từ đó suy ra y B = - 3 ; y A = 3. Vậy hai điểm A và B là : A(1;3) và B(-1; -3) thuộc đồ thò y = x 3 thõa đề bài. Bài 5: B C A H Hạ đường cao AH. Tam giác vuông AHB có góc B = 45 0 nên là tam giác vuông cân tại H ⇒ AH = HB . Theo đònh lý Pi ta go ta có : AH 2 + HB 2 = AB 2 2AH 2 = AB 2 ⇒ AH = 2 AB (1) Tam giác vuông AHC có góc C = 30 0 nên là nửa tam giác đều. ⇒ AH = 2 AC (2) HC 2 = AC 2 – AH 2 = (2AH) 2 - AH 2 = 3AH 2 ⇒ HC = 33 2 AHAH = ⇒ BC = BH + HC = AH + 3AH = ( 1 + 3 ) AH ⇒ AH = 31+ BC ( 3 ) Từ ( 1) ; (2) và (3) suy ra : 2 AB = 31+ BC = 2 AC Hay : AB : BC : AC = 2:)31(:2 + ( đpcm) Bài 6 : P = 1 + )16 321( 16 1 )4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 ++++++++++++++ = 1 + 2 1 . 2 3.2 + 2 5.4 . 4 1 2 4.3 . 3 1 + + ….+ 2 17.16 . 16 1 = 1 + 2 5 2 4 2 3 ++ + …+ 2 17 = 1 + 2 1 ( 3 + 4 + 5 + … + 17 ) = 1 + 2 1 . 2 15.20 = 1 + 75 = 76 - Nguyễn Đình Tự - Trường THCS Phước Thành . - PHÒNG GD & ĐT TUY PHƯỚC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học : 2009 – 2010 Môn : TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 120 phút ( Không kể phát đề ) Ngày thi : 29 – 4 – 2010 Bài 1. 2 5.4 . 4 1 2 4.3 . 3 1 + + ….+ 2 17. 16 . 16 1 = 1 + 2 5 2 4 2 3 ++ + …+ 2 17 = 1 + 2 1 ( 3 + 4 + 5 + … + 17 ) = 1 + 2 1 . 2 15.20 = 1 + 75 = 76 - Nguyễn Đình Tự - Trường THCS