Bất phơng trình Giải bất ph ơng trình không chứa tham số Muốn giải một bất phơng trình bậc cao, về cơ bản chúng ta vẫn phải tìm cách: a) Đa vế trái của bất phơng trình (vế phải của bất phơng trình là 0) về dạng tích, thơng của các nhị thức, tam thức bậc hai (cách làm tơng tự nh ở mụcI). b) Dựa vào cách đặt ẩn phụ ( các dạng tơng tự nh ở mục I) để đa về bất phơng trình bậc hai quen thuộc. Ví dụ 1: Giải các bất phơng trình sau 9 5 ) 2 a x x +p 5 ) 6b x x + p Giải: )a 2 2 2 9 5 5 9 2 9 10 0 0 2 2 2 x x x x BPT x x x + + + f fp (*) Xét 2 2 9 10x x + 5 0 2; 2 x x= = = 2 0 0x x= = Ta có bảng xét dấu : 2 5 0 2 2 2 0 * * 2 9 10 * 0 0 x x x x + + + + + + + + (*) 0 0VT + +P Xem bảng xét dấu ta có nghiệm của bpt là: 5 (0;2) ( ; ) 2 x + )b 2 6 5 0 x x BPT x + p (**) Xét 2 6 5 0 1; 5x x x x + = = = Mẫu 0 0x x = = Ta có bảng xét dấu: 2 0 1 5 0 * * 5 6 * 0 0 (**) 0 0 x x x x VT + + + + + + + + + +P Xem bảng xét dấu ,vậy nghiệm bpt (**) là ( ;0) (1;5)x Bài tập t ơng tự : Giải bất phơng trình sau 4 3 2 8 3 32 4 0x x x x + H ớng dẫn : Phân tích vế trái BPT đã cho về dạng tích của các nhị thức , tam thức bậc 2 Cách 1: Tách nhóm các số hạng sao cho hợp lý Ta có: 4 3 2 4 2 3 2 8 3 32 4 4 8 32 4x x x x x x x x x + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 8 4 4 4 8 1x x x x x x x x= + = + Cách 2:Xét nghiệm của đa thức 4 3 2 ( ) 8 3 32 4g x x x x x= + , nếu có nghiệm hữu tỷ p x p q = là ớc (kể cả âm ) của 4;q là ớc của 1 nghiệm hữ tỷ nếu có của ( )g x chỉ có thể là 2; 4 . Dùng lợc đồ Hoocne ta thấy 2x = , và khi đó chia ( )g x cho ( ) ( ) 2 2x x + ta đợc ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 8 1g x x x x x= + + Cách 3: Dùng phơng pháp hệ số bất định 3 11 VD T , ta cũng đa đợc ( ) ( ) 2 2 ( ) 4 8 1g x x x x= + . Vậy ( ) ( ) 2 2 4 8 1BPT x x x + 0 Ta có bảng xét dấu: 2 2 2 4 15 2 4 15 4 0 * 0 * 8 1 * 0 * 0 0 0 0 0 x x x x VTBPT + + + + + + + + + + + + Vậy nghiệm của ( ] ) : ; 2 4 15;2 4 15;BPT x + + Ví dụ2: Giải bất phơng trình 4 4 ( 3) ( 5) 4 (1)x x+ + + Giải: Đặt 3 5 4 4 2 t x x x t + = + = + = (1) trở thành: ( ) ( ) 4 4 1 1 4t t + + 4 2 6 1 0t t + 2 2 3 10 ( ) 3 10 t t t + Từ ( ) 2 2 3 10 4 10 3t x + + 2 8 19 10 0 4 10 3 4 10 3 x x x x + + = + Vậy nghiệm của bpt đã cho là 4 10 3; 4 10 3x x + + Ví dụ 3: Giải bất phơng trình sau 4 3 2 2 21 74 105 50 0x x x x + + p (2) Giải: Thấy 0x = không thoả mãn (2)BPT 2 0x f , chia hai vế (2)BPT cho 2 2 2 25 5 0 (2) 2 21 74 0x x x x x + + + ữ ữ f p , đặt 5 t x x = + BPT trở thành 2 2( 10) 21 74 0t t + p 2 9 2 21 54 0 6 2 t t t + p p p Vậy ta có 9 5 2 5 6 x x x x + + p p 1 5 (0;2) ( ; ) 2 ( ;0) (1;5) VD x x + 5 (1;2) ( ;5) 2 x Kết luận nghiệm của BPT là 5 (1;2) ( ;5) 2 x Ví dụ 4: Giải bất phơng trình sau 4 2 14 24 8x x x +f (4) Giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 (4) 14 2 24 8m BPT x m m x x m + + + +f (4') Xét ( ) 2 2 ( ) 14 2 24 8f x m x x m= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 ' 144 14 2 8 144 112 14 16 2 32 14 16 2 1 4 f m m m m m m m m m m = + + = + + + = = + Chọn m sao cho: ' 0 14 2 0 f m = + f chọn 1m = Khi đó (4') trở thành: ( ) ( ) 2 2 2 1 4 3x x+ f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 1 4 3 4 4 4 2 0 2 4 2 0 2 4 2 0 2 ; 2 6 2 6; x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + f f f f Vậy nghiệm của BPT đã cho là: ( ) ( ) ( ) ; 2 6 2 6; 2 2;x + + Bài tập t ơng tự: Giải BPT sau ( tham số 0a ) 3 4 2 2 6 9 3 0a x a x x a+ + + (4'') H ớng dẫn : * Nếu 0 (4 '') 3a x= *Nếu 0a f , nhân hai vế của (4'') với 4 4 3 2 2 (4'') 6 9 3 0a a x a x ax a a + + + Đặt t ax BPT= trở thành: 4 2 2 6 9 3 0t at t a a+ + + ( ) 2 2 4 9 3 2 1 0a t a t t + + + (4''') Xét ( ) ( ) 2 2 4 9 2 1 4.9 a t t t = + ( ) ( ) 2 2 9 4 4 1 9 2 1t t t= + + = + , vậy (4''')VT có hai nghiệm đối với ẩn a là: 2 2 1 ; 3 3 t t t t a a + + + = = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 (4''') 9( )( ) 1 3 3 3 3 t t t t VT a a t t a t t a + + + = + = + + + + Thay t ax= , ta có (4''') trở thành: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 0ax x a x ax a + + + + Mặt khác ta có ( ) 2 2 3 1 0a x ax a x+ + + f 2 (4'') 3 0ax x + Đáp số : * 0 (4 '') 3a x= 1 1 1 12 1 1 12 *0 (4'') ; 12 2 2 a a a x x + p p 1 * (4 '') 12 a x R II.Bất phơng trình chứa tham số, vấn đề tập nghiệm của bất phơng trình Cơ sở lý thuyết: * 2 0ax bx c+ + f ( 0)a vô nghiệm 2 0,ax bx c x R + + 0 0a p * 2 0 ( 0)ax bx c a+ + p vô nghiệm 2 0,ax bx c x R + + 0 0a f *Cho bất phơng trình: 2 0 (1)ax bx c+ + f . Điều kiện cần và đủ để (1)BPT đợc thoả mãn với x E là: E X , với X là tập nghiệm của (1)BPT ,( Tập E cho trớc có thể là: ( ) [ ) ( ) ( ) ; ; ; ; ; ; ; + + ) Ví dụ1: Cho tam thức: ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 1 2 1f x m x m x m= + + Xác định m sao cho: )a Bất phơng trình ( ) 0f x p vô nghiệm; )b Bất phơng trình ( ) 0f x có nghiệm. Giải: 1 )* 1: ( ) 4 1 0 4 a m f x x x= + fp p Vậy 1m = không thoả mãn đều kiện bài toán. * ( ) ( ) ( ) 2 2 1: ' 1 1 2 1 5m m m m m m = + = + ( ) 0f x p vô nghiệm ( ) 0,f x x R 2 ' 0 5 0 5 0 1 0 m m m a m + f f )b Để xác định m sao cho bất phơng trình ( ) 0f x có nghiệm , ta giải bài toán:''Xác định m sao cho ( ) 0f x vô nghiệm'' * 1 1: ( ) 0 4 1 0 4 m f x x x= + Vậy 1m = không thích hợp. * 1:m Ta có: ( ) 0f x vônghiệm ( ) 0,f x x R p 2 ' 5 0 0 0 1 0 o m m m a m + p p p p p Tóm lại, điều kiện để ( ) 0f x vô nghiệm là 0m p . Vậy, điều kiện để ( ) 0f x có nghiệm là 0m Bài tập t ơng tự : Với những giá trị nào của m thì : 2 2 3 5 1 6, 2 1 x mx x R x x + + p (1) H ớng dẫn: Để ý thấy 2 2 1 0x x + f do 2 0 9 0 a = = f p Vậy ( ) 2 2 2 (1) 2 1 3 5 6 2 1x x x mx x x + + +p ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 4 0 (1') ( ) 9 6 1 0 f x x m x g x x m x = + + = + f Hệ (1') có nghiệm với 1 0, 0 9 0, 0 f g x R f p f Đáp số: 0 5m p Ví dụ 2:Cho bất phơng trình: 2 3 4 0mx x m + + p (2) )a Tìm m để bất phơng trình (2) đợc thoả mãn với 0x f . )b Tìm m để bất phơng trình (1) có nghiệm 0x f Giải: )a Cách giải1: Phơng pháp tam thức bậc hai. Gọi X là tập nghiệm của (1)BPT .Ta tìm ( ) : 0; (*)m X+ + 0m f không thích hợp. + 4 0 : (2) 3 4 0 3 m x x= + fp 4 ; 3 X = + ữ , không thoả mãn (*) + 0m p : ( ) ( ) ( ) 9 4 4 2 1 2 9m m m m = + = + Xét dấu và a : 1 0 9 : (*) 0 2 TH m X R a = p p p thoả mãn 9 1 0 2 2 0 0 * 0 * m a + + + + + P ( ) ( ) 2 2 1 0 9 : 0 0 ; ; 0 2 TH X x x a = + p p 2 1 (*) 0x x 0 9 0 4 2 0 P m S . Tổng hợp các kết quả trên, ta đợc: 4m . Cách giải 2: Phơng pháp hàm số: Đối với học sinh đã đợc học kiến thức về khảo sát hàm số thì phơng pháp giải này là khá hiệu quả ( Nếu nh việc cô lập đợc tham số từ bất phơng trình đã cho là đơn giản). Cơ sở lý thuyết: Giả sử hàm số ( )y f x= có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D , f liên tục trên D . * ( )BPT f x m có nghiệm ( ) x D x D Max f x m . * ( ) , ( ) x D BPT f x m x D Min f x m . * ( )BPT f x m có nghiệm ( ) x D x D Min f x m . * ( ) , ( ) x D BPT f x m x D Max f x m Trở lại bài toán ta có: ( ) 2 (2) 1 3 4m x x + p 2 3 4 1 x m x + p (do 2 1 0,x x R+ f ) Yêu cầu bài toán 2 3 4 , 0 1 x m y x x = + fp (*) Xét ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 0; 3 8 3 3 ' 0 1 3 0; x x x y x x = + + + = = + = + Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) 2 3 4 , 0; 1 x y x x = + + nh sau: 0 3 ' 0 1 4 0 2 x y y + + ]Z Xem bảng biến thiên ta có 1 4 2 y p ( ) , 0;x + , vậy (*) đợc thoả mãn 4m )b Cách giải1( phơng pháp tam thức bâc hai - bạn đọc tự giải) Cách giải2: Phơng pháp hàm số Tơng tự câu )a Yêu cầu bài toán trở thành : ( ) 2 3 4 0; : 1 x x m y x + = + p (***) Tơng tự nh câu )a ta có 1 4 2 y p ( ) , 0;x + 1 (***) 2 m p . Bài tập t ơng tự : Xác định m để bất phơng trình : 2 2 ) 2 1 0a x x m + , [ ] 1; 2x 2 ) 3 6 0, 0b x x m x + f Đáp số: )a 1m hoặc 1m ) 0b m Ví dụ 3: Tìm ( ) ( ) 2 2 : ( , ) 0, ( 0)m f m x x px q ax bx c x R a= + + + + Cách giải: Gọi 2 2 ( ) , ( )h x x px q g x ax bx c= + + = + + . ( ) 0,f x x R x R ta có ( ), ( )h x g x không trái dấu với nhau. 0 0 0 (*) 1 f g a o a b c p q = = f f Chú ý: Trong (*) quy ớc mẫu thức bằng 0 thì tử thức cũng bằng 0 Bài tập áp dụng: Tìm m để ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 0,f x x x x x m x R= + + + Giải: Ta có 2 ( ) 1 0, h h x x x m= + f Bởi thế ( ) 0, ( )f x x R h x và 2 ( )g x x x m= + + là tơng đơng. Vậy 1 1 1 1 1 1 m m= = = Ví dụ 4: Cho ( ) 2 2 2 ( ) 6 4 2f x x a x x a= + Tìm a để ( ) 0,f x x R Giải: Viết lại 2 2 4 2 1 ( ) ( ) 2( 1) 6 4f x f a a x a x x x= = + ( ) 2 ' 2 1 a x = = + 2 2 1 1 2 ( ) 0 2 , 2 2f a a x x a x x = = + = ( ) ( ) 1 1 2 ( )f a a a a a = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( )x x a x x a f x= + = Gọi 2 2 ( ) 2 2 ; ( ) 2h x x x a g x x x a= = + Ta thấy ( ) 0, 1 2 ( ) 0, ( ) 0, 1 2 h x x R f x x R g x x R ' 0 3 0 3 ' 0 1 0 h g a a a + + Đáp số: 3a Bài tập t ơng tự : Tìm a để ( )f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 4 5 3 1 2 0,x x a x a x a a x R + + + + + H ớng dẫn : Viết lại ( ) ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 1f x f a x x a x x a= = = + + Yêu cầu bài toán 0 7 3 0 7 3 4 2 5 4 2 1 2 3 2 1 h g a a a a a = = +