Chuyên đề : Mặt cầu Phần 2 3. Bài toán III (Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu ) Xét mặt cầu ( ) + + =z zS 2 2 2 2 0 0 0 :(x-x ) (y- y ) ( - ) R và mặt phẳng (P) với phương trình + + + =z(P): Ax By C D 0 . Như vậy (S ) có tâm tại 0 z 0 0 I(x ,y , ) và bán kính R. Khi đó khoảng cách h từ tâm I tới (P) là : + + + = + + 0 z 0 0 2 2 2 Ax By C D h A B C + nếu h > R, thì (S ) và (P) không giao nhau + nếu h = R, thì (P) là tiếp diện của mặt cầu, tức là (P) và (S ) tiếp xúc với nhau. Nếu gọi T là tiếp điểm, thì ⊥IT (P) và IT = R + nếu h < R, thì (P) và (S ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C), vậy (C) xác định bởi hệ phương trình ( )  + + =  + + + =  z z z C 2 2 2 2 0 0 0 (x- x ) (y-y ) ( - ) R : Ax By C D 0 Lúc này tâm J của đường tròn giao tuyến (C) chính là hình chiếu của I lên (P). Gọi r là bán kính của (C), thì r được tính theo công thức sau: = − 2 2 r R h Ví dụ 1. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)  + − =  − =  zx 1 0 (d): y 2 0 , và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, ở đây − =z(P):y 0 Bài giải Vì (C) cắt (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, tức là bán kính của hình cầu bằng 4. Vì giao tuyến là đường tròn lớn, nên tâm I của hình cầu nằm trên (P), I lại nằm trên (d’), vì thế ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I Trang 1  + − =  = −   − = ⇔ =     − = =   z z z x 1 0 x 1 y 2 0 y 2 y 0 2 . Vậy I(-1,2,2) là tâm của mặt cầu (S ). Kết hợp với R = 4, suy ra (S ) có phương trình ( ) + + + =zS 2 2 2 :(x 1) (y-2) ( -2) 16 Ví dụ 2. Cho − + − =z(P):5x 4y 6 0 và − + + =z(Q):2x y 7 0 và  − + − =  − + + =  z z x y 2 3 0 (d): x 3y 0 Viết phương trình mặt cầu (S ), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao điểm của (d) với (P), ngoài ra mặt phẳng (Q) cắt hình cầu (S ) theo thiết diện là hình tròn với diện tích π 20 Bài giải Trước hết tìm giao điểm I của mặt cầu. Vì nó là giao điểm của (d) với (P), nên ta có hệ phương trình sau để xác định tọa độ của I  − + − =  =   − + + = ⇔ =     − + − = =   z z z z x y 2 3 0 x 1 x 3y 0 y 0 5x 4y 6 0 1 . Vậy I(1,0,1) là tâm của mặt cầu (S ) Khoảng cách h từ I tới (Q) là + + = = + + 2 1 7 10 h 4 1 1 6 Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện, ta có π = π ⇒ = 2 2 .r 20 r 20 . Khi đó nếu gọi R là bán kính của (S ), thì = + = + = 2 2 2 100 110 R r h 20 6 3 Vậy mặt cầu (S ) có phương trình ( ) + + =zS 2 2 2 :(x-1) y ( -1) 110/3 Ví dụ 3. Cho điểm I(1,2,-2), đường thẳng (d)  − − =  − + =  z 2x y 5 0 (d): y 3 0 và mặt phẳng + + + =z(P):2x 2y 5 0 a) Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm là I, sao cho (P) cắt (S ) theo đường tròn giao tuyến có chu vi bằng π8 b) Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S ) Trang 2 c) Chứng minh rằng (d) tiếp xúc với (S ) Bài giải Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, ta có π = π ⇒ =2 r 8 r 4 Khoảng cách từ I tới (P) là h, với + − + = = + + 2 4 2 5 h 3 4 4 1 Vậy (S ) có bán kính = + = + = 2 2 R h r 9 16 5 Vì lẽ đó (S ) có phương trình ( ) + + + =zS 2 2 2 :(x-1) (y-2) ( 2) 25 b) Gọi (Q) là tiếp diện. Vì (Q) chứa (d), nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng ( ) ( ) α − − +β − + =z2x y 5 y 3 0 Rõ ràng α ≠ 0 , nên có thể viết lại chùm mặt phẳng dưới dạng ( ) ( ) − − + − + =z2x y 5 m y 3 0 hay + − − + − =z2x (m 1)y m 3m 5 0 Ta có phương trình sau để xác định m + − + + − = ⇔ − = − + + − + 2 2 2 2 2(m 1) 2m 3m 5 5 7m 5 5 2m 2m 5 4 (m 1) m ⇔ − + = − + ⇔ + + = 2 2 2 49m 70m 25 50m 50m 125 m 20m 100 0 ⇔ + = ⇒ = − 2 (m 10) 0 m 10 Vậy tiếp diện (Q) có phương trình − + − =z2x 11y 10 35 0 c) (d) có véc tơ chỉ phương   − − = =  ÷  ÷ − −   r 1 0 0 2 2 1 u , , (1,2,2) 1 1 1 0 0 1 Rõ ràng điểm M(0,-5,-2) thuộc (d). Vậy khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng (d) là h 1 , với     = uur r r 1 IM,u h u . Trang 3 Do = − − uur IM ( 1, 7,0) nên   −   = = − − −  ÷  ÷   − − −   uur r 7 0 0 1 1 2 IM,u , , ( 14, 2, 5) 2 2 2 1 1 7 Do vậy + + = = = = + + 1 196 4 25 15 h 5 R 3 1 4 4 Từ h 1 = R, suy ra đường thẳng (d) tiếp xúc với (S ) Chú ý Có thể giải lại phần c) như sau: (d) tiếp xúc với (S ) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có duy nhất nghiệm  + + + =  = +   = ⇔ = +     − + = + + + + + =   z z z 2 2 2 2 2 2 (x-1) (y-2) ( 2) 25(1) x (y 5)/2 (4) 2x-y-5 0 (2) y 3 (5) y 3 0 (3) [(y 5)/2-1] (y-2) (y 3 2) 25(6) ta thấy (6) ⇔ + + + + = 2 2 2 (y 3) 4(y-2) 4(y 5) 100 ⇔ + + = ⇔ + = 2 2 9y 30y 25 0 (3y 5) 0 Từ đó suy ra hệ (4) (5) (6) (tức là hệ (1) (2) (3)) có nghiệm duy nhất = = =zx 5/3, y -5/3, 4/3 Như vậy (d) tiếp xúc với (S ) tại điểm (5/3, -5/3, 4/3) (cách giải này còn cho phép ta tìm được tiếp điểm của đường thẳng với mặt cầu ) Ví dụ 4. Cho 3 đường thẳng:  − − =  =  z 1 x 5y 2 0 (d ): 0 ,  =  = +   =  z 2 x t (d ): y 2 t 0 , − = = − z 3 y x 8 (d ): 1 1 0 a) Chứng minh (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đôi một cắt nhau và giả sử các giao điểm tạo thành tam giác ABC b) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P), ở đây − − − =z(P):18x 35y 17 2 0 Bài giải a) + Xét (d 1 ) và (d 2 ). Ta có phương trình sau (ẩn t) − + − = ⇔ − − = ⇔ = −t 5(2 t) 2 0 4t 12 0 t 3 . Vậy ∩ = − − 1 2 (d ) (d ) A( 3, 1,0) Trang 4 + xét (d 1 ) và (d 3 ). Từ (d 3 ) suy ra − = − ⇔ = −x 8 y x 8 y , thay vào (d 1 ) có − − − = ⇒ − = ⇒ =8 y 5y 2 0 6 6y 0 y 1 . Vậy ∩ = 1 3 (d ) (d ) B(7,1,0) + Xét (d 3 ) và (d 2 ). Từ (d 3 ) suy ra − = − ⇔ − = − − ⇒ =x 8 y t 8 2 t t 3 .Vậy ∩ = 2 3 (d ) (d ) C(3,5,0) Vậy (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) đôi một cắt nhau. Các giao điểm của chúng tạo thành tam giác ABC với A(-3,-1,0); B(7,1,0), C(3,5,0) b) Theo trên ta có ∩ = 2 3 (d ) (d ) C . Chú ý rằng (d 2 ) có véc tơ chỉ phương = uur 2 u (1,1,0) còn (d 3 ) có véc tơ chỉ phương = − uur 3 u (1, 1,0) . Do = uur uur 2 3 u .u 0 , nên ⊥ 2 3 (d ) (d ) , tức là ABC là tam giác vuông tại C, nên trung điểm H của AB chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi I là tâm mặt cầu (S ) cần tìm. Vì hình cầu qua A, B, C, nên hình chiếu của I xuống (ABC) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức J là hình chiếu của I xuống (ABC). Ta có J là trung điểm của AB, nên tọa độ J là J(2,0,0) Véc tơ pháp r n của (ABC) được xác định như sau     = = =  ÷  ÷   − −   r uur uur 1 2 1 0 0 1 1 1 n u ,u , , (0,0,2) 1 0 0 1 1 1 Phương trình đường thẳng nối IJ có dạng tham số  =  =   =  z x 2 y 0 2t Do I nằm trên − − − =z(P):18x 35y 17 2 0 , nên ta có phương trình sau để xác định t − − = ⇒ =36 34t 2 0 t 1 . Vậy tọa độ tâm I hình cầu (S ) là I(2,0,2) Do hình cầu qua A(-3,-1,0) nên bán kính (S ) là = = + + = 2 2 2 R IA 5 1 2 30 Vậy phương trình (S ) là ( ) + + =zS 2 2 2 :(x-2) y ( -2) 30 Trang 5 II. Củng cố kiến thức 1. Các bài thi vào Đại học, Cao đẳng Bài 1 (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối D 2004) Cho ba điểm A(2,0,1), B(1,0,0), C(1,1,1) và mặt phẳng phương trình + + − =z(P):x y 2 0 Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P) Bài giải Giả sử ∈ 0 z 0 0 I(x ,y , ) (P) là tâm của mặt cầu , và R là bán kính của nó, khi đó ta có  + + − =  + + − =  ⇔ − + + − = − + +   = = =   − + + = − + − + −  0 0 0 0 0 0 z z z z z z 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 x y 2 0 x y 2 0 (x 2) y ( 1) (x 1) y IA IB IC R (x 1) y (x 1) (y 1) ( 1)  + + =  + + =  =    ⇔ − + − + = − + ⇔ − − = − ⇔ =       − + = − − − + − − = − =    0 0 0 0 0 0 0 z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y 2 x y 2 x 1 4x 4 2 1 2x 1 2x 2 4 y 0 2x 1 2x 2y 2 3 2y 2 2 1 Từ đó R 2 = 1. Vậy phương trình mặt cầu là ( ) + + =zS 2 2 2 :(x-1) y ( -1) 1 Chú ý: Có thể làm: Phương trình mặt cầu là ( ) + + + 2 z z S 2 2 :x y 2Ax + 2By + 2C + D = 0 Vì qua A, B, C, nên ta có  + + + + =  + + =   + + + + =  4 1 4A 2C D 0 1 2A D 0 3 2A 2B 2C D 0 , tâm hình cầu là (-A,-B,-C) thuộc (P) nên suy ra – A – B – C – 2 = 0 Từ 4 hệ trên suy ra A = -1, B = 0, C = -1, D = 1. từ đó suy ra ( ) + + =zS 2 2 2 :(x-1) y ( -1) 1 Bài 2 (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối B 2005) Trang 6 Trong không gian cho hình lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 với A(0,-3,0), B(4,0,0), C(0,3,0), B 1 (4,0,4) Tìm tọa độ các đỉnh A 1 , C 1 rồi viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC 1 B 1 . Bài giải Dễ thấy tọa độ của A 1 C 1 là A 1 (0,-3,4) và C 1 (0,3,4) Để viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC 1 B 1 , ta gọi h là khoảng cách từ A tới mặt phẳng này, khi đó phương trình cần tìm có dạng + + + 2 z 2 2 2 x (y 3) = h (1) Xét mặt phẳng BCC 1 B 1 . Ta có B(4,0,0), C(0,3,0), B 1 (4,0,4) ⇒ = − = uur uuur 1 BC ( 4,3,0), BB (0,0,4) Do đó véc tơ pháp r n của nó là   − −   = = =  ÷  ÷     r uur uuur 1 3 0 0 4 4 3 n BC,BB , , (12,16,0)//(3,4,0) 0 4 4 0 0 0 Vậy BCC 1 B 1 có phương trình − + − = ⇔ + =3(x 4) 4(y 0) 0 3x 4y-12 0 Vậy khoảng cách h từ A xuống nó là + − − = = 3.0 4.( 3) 12 24 h 5 5 Thay vào (1), ta có + + + 2 z 2 2 576 x (y 3) = 25 là phương trình mặt cầu cần tìm 3. Bài tập tự giải Bài 1 Trong không gian cho mặt phẳng + + − − =z 2 (P):2x 2y m 3m 0 và mặt cầu ( ) + + + =zS 2 2 2 :(x-1) (y 1) ( -1) 9 Tìm m để (S ) và (P) tiếp xúc với nhau. Tìm tiếp điểm Hướng dẫn: Đáp số:  = −  =  m 5 m 2 và tiếp điểm (3,1,2) Trang 7 Bài 2 Trong không gian cho mặt phẳng + − − =z(P):2x y 5 0 và có các điểm A(0,0,4), B(2,0,0). Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với (P) Hướng dẫn: Đáp số: + + − − − 2 z z 2 2 x y 2x 2y 4 = 0 Bài 3 Trong không gian cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là  − − =  =  z x 5y 2 0 (AB): 0 ,  =  = +   =  z x t (BC): y 2 t 0 , − = = − z y x 8 (CA): 1 1 0 Lập phương trình mặt cầu (S ) qua 3 đỉnh A, B, C và có tâm I thuộc mặt phẳng − − − =z(P):18x 35y 17 2 0 Hướng dẫn: Tìm A, B, C, ta có A(7,1,0), B(-3,-1,0), C(3,5,0) Đáp số: ( ) + + =zS 2 2 2 :(x-2) y ( -2) 30 Bài 4 Trong không gian cho điểm I(3,2,4) và đường thẳng + = = z 3 y x (d): 2 4 1 Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với (d) Đáp số: ( ) + − + =zS 2 2 2 :(x-3) (y 2) ( -4) 41 Bài 5 Lập phương trình mặt cầu tâm I(2,3,-1) và cắt đường thẳng  − + + =  − + − =  z z 5x 4y 3 20 0 (d): 3x 4y 8 0 tại A, B sao cho AB = 16 Đáp số: ( ) + − + + =zS 2 2 2 :(x-2) (y 3) ( 1) 289 Bài 6 Cho mặt cầu ( ) + + 2 zS 2 2 :x y = 4 và + =z(P):x 2 a) Chứng minh (P) cắt (S ). Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến (C) Trang 8 b) Viết phương trình hình chiếu (C 1 ) của (C) trên xOy Đáp số: a) Tâm H(1,0,1), bán kính =R 2 b) − + = 2 2 y (x 1) 1 2 Bài 7 Trong không gian cho đường tròn  + + −   2 z z z 2 2 x y 4x + 6y + 6 + 17 = 0 (C): x - 2y + 2 + 1 = 0 a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C) b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc mặt phẳng + + + =zx y 3 0 Đáp số: a) Tâm H(5/3, -7/3, -11/3), bán kính R = 2 b) ( ) + + − 2 z z S 2 2 :x y 6x + 10y + 2 + 15 = 0 Bài 8 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( ) + + − − − − 2 z z S 2 2 :x y 2x 4y 6 2 = 0 và song song với + − + =z(P):4x 3y 12 1 0 . Đáp số:  + − − =  + − + =  z z 4x 3y 12 26 0 4x 3y 12 78 0 Bài 9 Cho mặt cầu ( ) + + − − − − 2 z z S 2 2 :x y 2x 4y 6 67 = 0 Mặt phẳng + + − =z(Q):5x 2y 2 7 0 Đường thẳng    z 3x - 2y + - 8 = 0 (d): 2x - y + 3 = 0 a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S ) b) Tìm hình chiếu của (d) trên (Q) Đáp số: a)  + + − − + + =   − + + − + − =  z z (8 6 3)x (7 3 3)y 22 287 9 3 0 (8 6 3)x (7 3 3)y 22 287 9 3 0 b)    z z 5x + 2y + 2 - 7 = 0 2x + 3y - 8 + 103 = 0 Bài 10 Lập phương trình mặt phẳng chứa    z z 8x - 11y + 8 - 30 = 0 (d): x - y - 2 = 0 Trang 9 và tiếp xúc với ( ) + + + 2 z z S 2 2 :x y 2x - 6y + 4 -15 = 0 Đáp số:    z z 3x - 4y + 2 - 10 = 0 2x - 3y + 4 - 10 = 0 Trang 10 . Chuyên đề : Mặt cầu Phần 2 3. Bài toán III (Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu ) Xét mặt cầu ( ) + + =z zS 2 2 2 2 0 0 0 :( x-x ) (y- y ) ( - ) R và mặt phẳng (P) với. + =  z z x y 2 3 0 (d ): x 3y 0 Viết phương trình mặt cầu (S ), biết rằng tâm I của mặt cầu là giao điểm của (d) với (P), ngoài ra mặt phẳng (Q) cắt hình cầu (S ) theo thi t diện là hình tròn. =zS 2 2 2 :( x-2) y ( -2) 30 Trang 5 II. Củng cố kiến thức 1. Các bài thi vào Đại học, Cao đẳng Bài 1 (Đề thi Đại học, Cao đẳng khối D 2004) Cho ba điểm A(2,0,1), B(1,0,0), C(1,1,1) và mặt phẳng