Chương I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ § 1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 1.1. Khái niệm tập hợp Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Người ta thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp các học sinh trong một lớp học, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp nghiệm của phương trình 2 4 3 0x x− + = ,… Một vật (hoặc đối tượng) nào đó nằm trong tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Ta ký hiệu x X∈ nếu x là phần tử của tập hợp X ; x X∉ nếu x không phải là phần tử của tập hợp X . Một tập hợp được coi là đã cho nếu ta có thể xác định được một đối tượng thuộc hay không thuộc tập hợp. Ví dụ 1. Cho tập hợp { } 1, 2, 3X = thì 2 , 5X X∈ ∉ . Ví dụ 2. Nếu { } 2 : 4 3 0X x x x= − + = thì 1 , 2X X∈ ∉ . Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp A và B . Ta nói 1. ( )A B B A x A x B⊆ ⊇ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ 2. , A B A B x B x A ⊆  ⊂ ⇔  ∃ ∈ ∉  Ví dụ 3. Nếu { } 1, 2, 3, , , A n= và { } 2, 4, 6, , 2 , B n= thì B A⊂ . Hiển nhiên A A⊆ với mọi tập hợp A . Định nghĩa 2. A B A B B A ⊆  = ⇔  ⊆  Nếu A không bằng B ta viết là A B≠ Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là Ø. Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi phần tử. Chẳng hạn tập nghiệm thực của phương trình 2 12 0x x+ + = là tập rỗng. 1.2. Các phép toán trên tập hợp 1.2.1. Hợp và giao Định nghĩa 1. Hợp của một họ các tập hợp { } 1 n k k A = là tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp ; 1, k A k n= , và được ký hiệu là 1 n k k A = ∪ . Định nghĩa 2. Cho các tập hợp 1 2 , , , n A A A . Tập hợp { } 1 : , n k k k A x x A k = ∩ = ∈ ∀ gọi là giao của các tập hợp đã cho. 1 Nếu giao của các tập hợp bằng rỗng ta nói các tập hợp đó rời nhau. Hiển nhiên A A A ∩ = . Ví dụ 1. Nếu { } 0,2,4, ,2 , A n= và { } 1,3,5, ,2 1, B n= − thì { } 0,1,2, , , ;A B n A B Ø∪ = = ∩ =¥ Định lý 1. Với các tập hợp ,A B và C ta có (i). Tính chất giao hoán: A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩ (ii). Tính chất kết hợp: ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ (iii). Tính chất phân phối: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ Chứng minh. 1.2.2. Hiệu hai tập hợp Định nghĩa 3. Cho hai tập hợp A và B . Tập hợp { } : ,A B x x A x B− = ∈ ∉ gọi là hiệu của hai tập hợp A và B . Nếu B A⊆ thì ta gọi hiệu A B − là phần bù của tập hợp B đối với tập hợp A và ký hiệu là A C B . Ví dụ 2. { } 1,2,3,4,5A = và { } 1,5,6,7B = { } 1,2,3A B− = , { } 6,7B A− = Ví dụ 3. { } { } 1,2,3, , , ; 2,4,6, ,2 , A n B n= = { } 1,3,5, ,2 1, A A B C B n− = = − 1.2.3. Công thức đối ngẫu De Morgan Nếu mọi tập hợp được xét đến đều nằm trong một tập hợp R nào đó thì R được gọi là không gian. Hiệu R E − của không gian R và tập E R⊆ được gọi là phần bù của tập hợp E và ký hiệu là R C E hoặc CE . Định lý 2. Ta có (i). ( ) ( ) C E CE α α α α ∪ = ∩ (ii). ( ) ( ) C E CE α α α α ∩ = ∪ Chứng minh. 1.2.4. Tích Decartess. Tích Decartess của hai tập hợp X và Y là tập hợp { } x ( , ): ,X Y x y x X y Y= ∈ ∈ Ví dụ. Nếu { } { } , , ; ,X x y z Y a b= = thì 2 { } x Y= ( , );( , );( , );( , );( , );( , )X x a x b y a y b z a z b . 1.3. Ánh xạ 1.3.1. Ánh xạ Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp X và Y . Nếu có một quy luật f sao cho mỗi phần tử x X∈ có một và chỉ một phần tử y Y∈ xác định theo quy luật f đó thì ta sẽ gọi f là một ánh xạ của tập X vào tập Y . Ký hiệu :f X Y→ Phần tử y ứng với phần tử x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x (qua ánh xạ f ), còn phần tử x được gọi là tạo ảnh của y , ký hiệu : ( )f x y f x=a Ví dụ 1. Ánh xạ hằng 0 :f X Y x y → a Ví dụ 2. Cho X Y⊆ . Ánh xạ :f X Y x x → a được gọi là ánh xạ đồng nhất. Định nghĩa 2. Cho ánh xạ :f X Y→ . Với mỗi tập con A X⊂ , ta ký hiệu { } ( ) ( ) :f A y f x x A= = ∈ gọi là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f . Định lý 1. Cho ánh xạ :f X Y→ . Với mỗi tập con ,A X B X⊂ ⊂ , ta có 1. ( )A f A= ∅ ⇔ = ∅ 2. ( ) ( )A B f A f B⊂ ⇒ ⊂ 3. ( ) ( ) ( )f A B f A f B∩ ⊂ ∩ 4. ( ) ( ) ( )f A B f A f B∪ = ∪ Định nghĩa 3. Cho ánh xạ :f X Y→ . Với mỗi tập con B Y⊂ , ta ký hiệu { } 1 ( ) : ( )f B x X f x B − = ∈ ∈ gọi là tạo ảnh của tập hợp B qua ánh xạ f . Định lý 2. Cho ánh xạ :f X Y→ . Với các tập con ,M N Y⊂ ta có 1. 1 1 ( ) ( )M N f M f N − − ⊂ ⇒ ⊂ 2. 1 1 1 ( ) ( ) ( )f M N f M f N − − − ∩ = ∩ 3. 1 1 1 ( ) ( ) ( )f M N f M f N − − − ∪ = ∪ 4. 1 1 1 ( ) ( ) ( )f M N f M f N − − − − = − nếu M N⊃ 1.3.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 3 1.3.3. Ánh xạ ngược 1.3.4. Ánh xạ tích § 2. TẬP HỢP SỐ THỰC 1. Sự cần thiết mở rộng tập hợp số thực. Tập hợp các số hữu tỷ không đủ giải ngay cả những bài toán đơn giản. Chẳng hạn ta dễ dàng chứng minh được không có số hữu tỷ r nào mà 2 2r = . Thật vậy, giả sử ngược lại có số hữu tỷ p r q = với , *p q∈ ∈¢ ¥ và phân số là tối giản mà 2 2 p q   =  ÷   . Từ đó ta suy ra 2 2 2p q= hay p là số chẵn, tức là 2p k= . Do đó ta nhận được 2 2 2q k= và q cũng là số chẵn. Điều đó mâu thuẫn với ( ) , 1p q = . Nếu chỉ hạn chế trong tập hợp các số hữu tỷ thì có những đoạn thẳng không có độ dài. Chẳng hạn độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 không phải là số hữu tỷ p q . Bởi vì nếu ngược lại thì 2 2 2 p q = . 2. Tiên đề Achimede. Với mỗi số hữu tỷ 0r > luôn tồn tại một số tự nhiên n sao cho n r> . 3. Nhắt cắt Dedekin Định nghĩa 1. Ta gọi tập α các số hữu tỷ là một nhắt cắt nếu (i). , α α ≠ ∅ ≠ ¤ ; (ii). Nếu p α ∈ và số hữu tỷ q p< , thì q α ∈ ; (iii). Trong α không có số lớn nhất. Nhận xét 1. Những số không thuộc nhắt cắt α đếu lớn hơn mọi số thuộc nhắt cắt đó. Tức là nếu p α ∈ và q α ∉ thì p q< . Thật vậy, giả sử ngược lại thì xảy ra hai khả năng sau + q p α = ∈ . + q p α < ∈ thì theo tiên đề (ii) ta được q α ∈ . Định nghĩa 2. Ta gọi tập những số không thuộc nhắt cắt α là lớp trên của nhắt cắt đó và ký hiệu là ' α . Mỗi số thuộc α gọi là số dưới, mỗi số thuộc ' α gọi là số trên. Ví dụ 1. Cho số hữu tỷ r . Tập { } :a a r α = ∈ <¤ là một nhát cắt. (i). Hiển nhiên các số hữu tỷ 1r α − ∈ và 1r α + ∉ . 4 (ii). Nếu p α ∈ và số hữu tỷ q p< , thì p r< . Do đó q p r< < , tức là q α ∈ . (iii). Giả sử tập α có số lớn nhất là m . Khi đó m r< và hiển nhiên 2 m r m r + < < Do đó 2 m r α + ∈ . Điều đó trái với giả thiết m là số lớn nhất. Ngoài ra ta thấy r là số bé nhất trong lớp trên ' α . Thật vậy, theo định nghĩa r α ∉ nên 'r α ∈ . Mặt khác, số hữu tỷ tuỳ ý 'q α ∈ thì q r≥ vì nếu trái lại thì q α ∈ . Ví dụ 2. Tập α gồm mọi số hữu tỷ không dương và những số hữu tỷ dương a mà 2 2a < là một nhát cắt. (i). Hiển nhiên 0 α ∈ và 2 α ∉ . (ii). Giả sử p α ∈ và số hữu tỷ q p< .Khi đó. + nếu 0q < thì q α ∈ ; + nếu 0q > thì 2 2 2q p< < . Do đó ta cũng có q α ∈ . (iii). Giả sử trong α có số lớn nhất là m (đương nhiên 0m > ). Bởi vì 0m > và m α ∈ nên chọn số nguyên dương n đủ lớn sao cho 2 2 2 1 1 2 2 m m m n n n   + = + + <  ÷   , tức là 2 2 1 2 2 m m n n + < − (1) Bởi vì 2 1 2 1 2m m n n n + + ≤ , nên ta sẽ có (1) nếu chọn được n đủ lớn sao cho 2 2 1 2 1 2 2 2 m m m n n m + + < − ⇔ > − Điều đó thực hiện được theo tiên đề Achimede. Như vậy 1 m n α + ∈ và 1 m m n + > , trái với giả thiết rằng m là số lớn nhất trong α . Nhận xét 2. Lớp trên ' α không có số bé nhất. Thật vậy, giả sử tập { } 2 ' : 0; 2r r r α = ∈ > > ¤ 5 Có số bé nhất là 'r α ∈ . Bởi vì 0r > và 2 2r > nên 1r > và 1 0r n − > . Ta chọn n đủ lớn sao cho 2 2 2 1 1 2 2 r r r n n n   − = + − >  ÷   , tức là 2 2 2 1 2 r r n n − < − . Muốn vậy ta chọn n sao cho 2 2 2 2 2 2 r r r n n r < − ⇔ > − . Rõ ràng 1 'r n α − ∈ và 1 r r n − < . Điều mâu thuẫn này chứng tỏ r không phải là số bé nhất trong lớp trên ' α . Nhận xét 3. Mỗi nhát cắt α thuộc một trong hai loại sau: Loại 1. Lớp trên ' α có số bé nhất. Loại 2. Lớp trên ' α không có số bé nhất. Nhận xét 4. Từ ví dụ 1 ta thấy với mỗi số hữu tỷ r tập { } :a a r α = ∈ <¤ Là một nhát cắt loại 1, trong đó r là số bé nhất của lớp trên. Như vậy tập hợp các số hữu tỷ và tập các nhát cắt loại 1 có sự tương ứng 1-1. Ta gọi nhát cắt loại 1 là nhát cắt hữu tỷ và ký hiệu là r + . Nhát cắt { } : 0a a α = ∈ <¤ được ký hiệu là 0 + . Định nghĩa. Ta ký hiệu tập hợp các nhát cắt là ¡ . 4. Quan hệ thứ tự trong ¡ Định nghĩa 1. Cho hai nhát cắt α và β . Ta nói hai nhát cắt đó bằng nhau, viết là α β = nếu các tập α và β bằng nhau. Ngược lại ta nói chúng khác nhau, viết là α β ≠ . Định nghĩa 2. Cho hai nhát cắt α và β . Ta nói rằng + α bé hơn β và viết là α β < (hoặc β α > ) nếu tồn tại số hữu tỷ p sao cho p β ∈ và p α ∉ . + α β α β ≤ ⇔ < hoặc α β = + α β β α > ⇔ < . Ta nói rằng + α dương nếu 0 α + > , + α không âm nếu 0 α + ≥ + α âm nếu 0 α + < , + α không dương nếu 0 α + ≤ . 6 Định lý 1. Với các nhát cắt α và β có một và chỉ một trong ba quan hệ , , α β α β α β < = > . Chứng minh. Rõ ràng chỉ xảy ra một trong hai khả năng: (i). nếu α β = thì định lý được khẳng định. (ii). nếu α β ≠ thì hai tập hợp không trùng nhau. Do đó phải tồn tại số hữu tỷ p sao cho + Hoặc p β ∈ và p α ∉ . Khi đó α β < . + Hoặc p α ∈ và p β ∉ . Khi đó α β > . Định lý 2. Cho các nhát cắt , α β và γ . Nếu α β < và β γ < thì α γ < . Chứng minh. Bởi vì β γ < nên tồn tại số hữu tỷ p γ ∈ và p β ∉ . Khi đó, từ α β < và p β ∉ suy ra p α ∉ . Điều đó có nghĩa là α γ < . 5. Các phép toán trên ¡ 5.1. Phép cộng nhát cắt. Bổ đề 1. Giả sử , α β ∈¡ . Nếu γ là tập các số hữu tỷ ; ,r p q p q α β = + ∈ ∈ thì γ ∈¡ . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh γ là một nhát cát. Thật vậy (i). Hiển nhiên γ khác rỗng. Gọi s và t là những số hữu tỷ mà s α ∉ và t β ∉ thì s t p q+ > + với mọi ,p q α β ∈ ∈ . Điều đó suy ra s t γ + ∉ hay γ ≠ ¤ . (ii). Lấy r γ ∈ và s là một số hữu tỷ bé hơn r . Vì r γ ∈ nên tồn tại p α ∈ và q β ∈ sao cho r p q= + . Ta chọn số hữu tỷ t sao cho s t q= + . Khi đó t p< (vì ,s r r p q< = + ). Từ t p< và p α ∈ suy ra t α ∈ . Bởi vì t α ∈ và q β ∈ nên s t q γ = + ∈ (iii). Giả sử rằng r γ ∈ . Khi đó tồn tại p α ∈ và q β ∈ sao cho r p q= + . Trong α tồn tại số hữu tỷ s mà s p> . Khi đó s q γ + ∈ và s q r+ > , hay r không phải là số lớn nhất trong γ . Định nghĩa 1. Giả sử , α β ∈¡ . Nhát cắt { } : ,r p q p q γ α β = = + ∈ ∈ được gọi là tổng của các nhát cắt α và β , ký hiệu là α β + . Định lý 1. Với các nhát cắt , α β và γ ta có 1. α β β α + = + 2. ( ) ( ) α β γ α β γ + + = + + 3. 0 α α + + = . 4. Với mỗi α ∈¡ tồn tại β ∈¡ sao cho 0 α β + + = 5. Nếu β γ < thì α β α γ + < + 6. Với các nhát cắt α và γ tồn tại duy nhất nhát cắt β sao cho α β γ + = . Ta gọi β là hiệu của hai nhát cắt γ và α , ký hiệu là γ α − . 5.2. Phép nhân nhát cắt 7 Bổ đề 2. Cho các nhát cắt 0 α + > và 0 β + > . Khi đó, tập { . : ,r p q p q γ α β = = ∈ ∈ và mọi số hữu tỷ âm } là một nhát cắt. Định nghĩa 2. Ta gọi nhát cắt xây dựng trong Bổ đề 2 là tích của hai nhát cắt không âm α và β , ký hiệu là . γ α β = . Định nghĩa 3. Với mỗi nhát cắt α cho trước ta gọi số α được xác định như sau là giá trị tuyệt đối của nhát cắt α khi 0 khi <0 α α α α α + +  ≥  =  −   Rõ ràng 0 α + > với mọi α và 0 α = nếu và chỉ nếu 0 α + = . Định nghĩa 4. Giả sử , α β ∈¡ . Tích . α β được định nghĩa như sau ( ) ( ) . ; 0 , 0 . . ; 0 , 0 . ; 0 , 0 α β α β α β α β α β α β α β + + + + + +  − < >   = − > <   < <   Định lý 2. Cho các nhát cắt , , α β γ bất kỳ ta có 1. . . α β β α = 2. ( ) ( ) . . . . α β γ α β γ = 3. ( ) . . . α β γ α β α γ + = + 4. .0 0 α + + = 5. . 0 0 0 α β α β + + + = ⇔ = ∨ = 6. .1 α α + = 7. Nếu α β < và 0 γ + > thì . . α γ β γ < 8. Nếu 0 α + ≠ thì với mỗi β ∈¡ đều tồn tại một và chỉ một γ ∈¡ sao cho . γ α β = . Ta gọi nhát cắt γ là thương của β và α , ký hiệu là β α . Định lý 3. Với các nhát cắt hữu tỷ ,p q bất kỳ ta có 1. ( )p q p q + + + + = + 2. . ( . )p q p q + + + = 3. p q p q + + < ⇔ < Chứng minh. 1. Nếu r p q + + ∈ + thì r s t= + trong đó ,s p t q< < . Do đó r p q< + , tức là ( )r p q + ∈ + . 8 Ngược lại, nếu ( )r p q + ∈ + thì r p q< + . Đặt 0, , 2 2 h h h p q r s p t q= + − > = − = − thì ta có ,s p t q + + ∈ ∈ và r s t= + . Như vậy r p q + + ∈ + . 2. Chứng minh như tính chất 1. 3. Nếu p q + + < thì sẽ có số hữu tỷ r sao cho r q + ∈ và r p + ∉ . Do đó p r q< < tức là p q< . Ngược lại, nếu p q< thì p q + ∈ . Mặt khác ta lại biết p p + ∉ . Như vậy p q + + < . 6. Tính chất trù mật của tập ¡ Định lý 1. Nếu các nhát cắt α β < thì tồn tại nhát cắt hữu tỷ r + sao cho r α β + < < . Chứng minh. Nếu α β < thì tồn tại số hữu tỷ p sao cho ,p p β α ∈ ∉ . Chọn số hữu tỷ r p> sao cho r β ∈ (điều này thực hiện được vì trong β không có số lớn nhất). Vì ,r r r β + ∈ ∉ nên r β + < . Mặt khác p r + ∈ và p α ∉ nên r α + < . Định lý 2. Với mỗi nhát cắt bất kỳ α ta có p α ∈ khi và chỉ khi p α + < . Chứng minh. Với số hữu tỷ p bất kỳ ta có p p + ∉ . Do đó nếu p p p p α α + + ∈  ⇒ <  ∉  Ngược lại, nếu p α + < thì tồn tại số hữu tỷ q sao cho q p q p p q α α + ∈  ⇒ ∈  ∉ ⇒ ≤  . 7. Số thực. Định nghĩa. Ta gọi mỗi nhát cắt là một số thực. Nhát cắt loại 1 là một số hữu tỷ, nhát cắt loại 2 là một số vô tỷ - tập hợp các số vô tỷ được ký hiệu là Ι. Ta vẫn ký hiệu tập hợp số thực là ¡ . Ví dụ. Nhát cắt { } { } 2 : 0 2q q q α − = ∈ ∪ ≤ < ¤ Cho ta một số vô tỷ mà ta thường ký hiệu là 2 . Định lý (Dedekin). Giả sử A và B là tập hợp những số thực thoả mãn điều kiện (i). ,A B≠ ∅ ≠ ∅ 9 (ii). A B∪ = ¡ (iii). A B∩ = ∅ (iv). nếu ,A B α β ∈ ∈ thì α β < . Khi đó tồn tại một và chỉ một số thực γ sao cho α γ ≤ với mọi A α ∈ và γ β ≤ với mọi B β ∈ . Chứng minh. Duy nhất. Giả sử tồn tại hai số 1 2 γ γ < thoả mãn giả thiết của Định lý. Khi đó 1 2 α γ γ β ≤ < ≤ với mọi A α ∈ và B β ∈ . Chọn 3 γ sao cho 1 3 2 γ γ γ < < (thực hiện được bởi tính trù mật của ¡ ). Bởi vì A B ∪ = ¡ , nên từ 3 2 γ γ β < ≤ với mọi B β ∈ suy ra 3 A γ ∈ ; từ 1 3 α γ γ ≤ < với mọi A α ∈ suy ra 3 B γ ∈ . Điều đó mâu thuẫn với A B∩ = ∅ . Tồn tại. Ta gọi γ là tập hợp mọi số hữu tỷ p thoả mãn điều kiện p α ∈ với mọi số A α ∈ . Ta sẽ chứng minh rằng 1. γ là một số thực (i). A A α ≠ ∅ ⇒ ∃ ∈ . Bởi vì α là nhát cắt nên tồn tại số hữu tỷ p α ∈ . Do đó γ ≠ ∅ . Do B ≠ ∅ nên có thể lấy được số B β ∈ . Chọn số hữu tỷ q β ∉ . Khi đó q α ∉ với mọi A α ∈ . Bởi vì (iv) nên α β < , tức là q γ ∉ . Vậy γ ≠ ¤ . (ii). Lấy p γ ∈ và giả sử q p< . Vì p γ ∈ nên tồn tại một số A α ∈ sao cho p α ∈ và q p< nên q α ∈ (theo tiên đề (ii) đối với nhát cắt Dedekin). (iii). Với mỗi số p γ ∈ đều có số A α ∈ sao cho p α ∈ . Do α là nhát cắt nên tồn tại q α ∈ và q p> (theo tiên đề (iii) đối với nhát cắt). Vì q α ∈ với A α ∈ nên q γ ∈ . Điều đó chứng tỏ γ không có số lớn nhất. 2. γ thoả mãn điều kiện của định lý Rõ ràng α γ ≤ với mọi A α ∈ Giả sử tồn tại số B β ∈ mà β γ < . Vì β γ < nên tồn tại số hữu tỷ p sao cho ,p p γ β ∈ ∉ . Nhưng nếu p γ ∈ thì tồn tại số A α ∈ sao cho p α ∈ . Từ đó suy ra β α < . Điều đó mâu thuẫn với (iv). Vậy γ β ≤ với mọi B β ∈ . Hệ quả. Với các giả thiết của Định lý trên thì hoặc A chứa số lớn nhất hoặc B chứa số nhỏ nhất. Chứng minh. Do giả thiết A B∪ = ¡ nên phải có A γ ∈ hoặc B γ ∈ . Nếu A γ ∈ thì γ là số lớn nhất trong A , nếu B γ ∈ thì γ là số bé nhất trong B Mặt khác do A B∩ = ∅ nên không thể đồng thời A γ ∈ và B γ ∈ . 8. Cận trên và cận dưới Định nghĩa 1. Cho tập số thực E . Ta nói (i). Tập hợp E bị chặn trên nếu tồn tại số β sao cho với mọi x E∈ thì x β ≤ . Khi đó ta cũng nói β là một cận trên của tập E . 10 [...]... vậy trong ¡ mọi tập hợp số thực đều có cận trên đúng và cận trên đúng § 3 HÀM SỐ 3 .1 Khái niệm hàm số 3.2 Các phương pháp cho hàm số 3.3.Các phép toán trên hàm số 3.4 Các hàm số đặc biêt 3.4 .1 Hàm số đơn điệu 3.4.2 Hàm số bị chặn và hàm số không bị chặn 3.4.3 Hàm số chẵn và hàm số lẻ 3.4.4 Hàm số tuần hoàn 3.5 Hàm số hợp 12 3.6 Hàm số ngược 3.7 Các hàm sơ cấp đơn giản 13 ... : xε < α + ε 1  n  Định nghĩa 3 Nếu β = sup E và β ∈ E thì β được gọi là giá trị lớn nhất của E , ký hiệu là β = max E Nếu α = inf E và α ∈ E thì α được gọi là giá trị nhỏ nhất của E , ký hiệu là α = min E Định lý Cho tập hợp số thực không rỗng E Khi đó 1 Nếu E bị chặn trên thì tồn tại sup E 2 Nếu E bị chặn dưới thì tồn tại inf E * Ví dụ 1 Cho E =  : n ∈ ¥  Khi đó sup E = 1 E , inf E =... minh 1 Ký hiệu A là tập số thực được xác định như sau: α ∈ A ⇔ x ∈ E :α < x còn B là tập số thực không thuộc A Như vậy không có phần tử nào của A là cận trên của E và mọi phần tử của B đều là cận trên của E Muốn chứng minh tồn tại cận trên đúng ta chứng minh B có số bé nhất Trước hết ta thấy A, B thoả mãn các giả thiết của định lý Dedekin (i) Bởi vì E ≠ ∅ nên tồn tại phần tử x ∈ E và mọi số α < x đều... Dedekin (i) Bởi vì E ≠ ∅ nên tồn tại phần tử x ∈ E và mọi số α < x đều thuộc A nên A ≠ ∅ Do E bị chặn trên nên tồn tại y sao cho x ≤ y với mọi x ∈ E , nghĩa là B ≠ ∅ (ii) A ∪ B = ¡ (iii) A ∩ B = ∅ 11 (iv) Lấy α ∈ A, β ∈ B Vì α ∈ A nên tồn tại x ∈ E sao cho α < x ; vì β ∈ B nên x ≤ β Như vậy α < β Theo hệ quả của Định lý Dedekin thì hoặc A chứa số lớn nhất hoặc B chứa số bé nhất Lấy số bất kỳ... không phải là số lớn nhất của A Vậy trong A không có số lớn nhất và trong B có số nhỏ nhất 2 Chứng minh tương tự 9 Hệ số thực mở rộng Định nghĩa 1 Hệ thống số thực mở rộng, ký hiệu là ¡ gồm tập hợp số thực ¡ và hai ký hiệu −∞, + ∞ thoả mãn các điều kiện sau đây: 1 với mọi x ∈ ¡ x x = =0 −∞ +∞ x + (+∞ ) = +∞; x − (+∞ ) = −∞ −∞ < x < + ∞ ; 2 Nếu x > 0 thì x x.( +∞) = +∞; x.(−∞) = −∞; = +∞ 0 3 Nếu x < 0 thì... đó ta cũng nói α là một cận dưới của tập E (iii) Tập hợp E bị chặn nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Nhận xét Nếu α là một cận dưới của tập hợp E thì mọi số 1 < α cũng là cận dưới của E Nếu β là một cận trên của tập hợp E thì mọi số 1 > β cũng là cận trên của E Định nghĩa 2 (i) Cận trên β nhỏ nhất của tập hợp E gọi là cận trên đúng của tập E , ký hiệu là β = sup E Hay ∀x ∈ E x ≤ β β = sup . N − − − ∩ = ∩ 3. 1 1 1 ( ) ( ) ( )f M N f M f N − − − ∪ = ∪ 4. 1 1 1 ( ) ( ) ( )f M N f M f N − − − − = − nếu M N⊃ 1. 3.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 3 1. 3.3. Ánh xạ ngược 1. 3.4. Ánh xạ tích §. cho 2 2 2 1 1 2 2 m m m n n n   + = + + <  ÷   , tức là 2 2 1 2 2 m m n n + < − (1) Bởi vì 2 1 2 1 2m m n n n + + ≤ , nên ta sẽ có (1) nếu chọn được n đủ lớn sao cho 2 2 1 2 1 2 2 2 m. B . Ví dụ 2. { } 1, 2,3,4,5A = và { } 1, 5,6,7B = { } 1, 2,3A B− = , { } 6,7B A− = Ví dụ 3. { } { } 1, 2,3, , , ; 2,4,6, ,2 , A n B n= = { } 1, 3,5, ,2 1, A A B C B n− = = − 1. 2.3. Công thức