1 Bài 1: Hệ phương trình đại số Một số loại hệ phương trình thường gặp: I)Hệ đối xứng loại I 1) Dạng: Hệ phương trình      0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại I nếu      );();( );();( xygyxg xyfyxf 2)Cách giải : - Đặt x y S xy P       . ĐK: 2 4 S P  . - Biểu thị hệ qua S và P . - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện PS 4 2  . Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình : 0 2  PStt . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho. Chú ý 1 : +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y. +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn PS 4 2  . +) Khi PS 4 2  thì x = y = -S/2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn PS 4 2  . Chú ý 2 : Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). II) Hệ đối xứng loại II 1)Hệ :      0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại II nếu : );();( yxgxyf  2)Cách giải : +)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu được phương tình : (x-y).h(x;y) = 0 Khi đó hệ đã cho 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y h x y f x y f x y              ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này). +) Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Đ/k cần: Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x 0 = y 0 (1) Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x 0 duy nhất ,ta được giá trị của tham số. Đó là đ/k cần. Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận. III) Hệ nửa đối xứng của x và y 1)Dạng hệ:      )2(;0);( )1();;();( yxg xyfyxf (Tức là có 1 phương trình là đối xứng ) 2)Cách giải: Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tương đương với:      )2(;0);( 0);().( yxg yxhyx                   0);( 0);( 0);( 0 yxg yxh yxg yx Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng Ví dụ :                 5 5 5 5 2 2 2 2 ty yt tx xy yx IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 1) Hệ phương trình      0);( 0);( yxg yxf được gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2. 2) Cách giải : * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản) * Cách 2) Khử x 2 ( với y  0 ) hoặc y 2 (với x  0): (Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số). VI. Một số hệ phương trình khác. *) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu mực ta thường áp dụng một số pp : + Phân tích thành tích có vế phải bằng 0. + Đổi biến (đặt ẩn phụ) + Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số. Một số ví dụ: 1. Hệ đối xứng I: Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy : 2 2 11 1) 30 xy x y x y xy         2 11 5; 6 5. 6 . 30 p s hpt s p p s p s              ẹS : x = 2; 3; 1; 5 2 - 2 2 3 3 30 35 5; 6 (2;3) ; (3;2) x y xy x y hpt s p              4 4 2 2 1 3) 1 11 1 0; 2 (0;1);(1;0) ( 2 ) 2 1 x y x y p s s hpt p p s p p                         3 3 30 4) : ; 0; ; . 35 . 30 125, 5 6 3 35 x y y x HD x y s x y p x y x x y y p s hpt s s p s sp                           Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4). 5- cho: 5( ) 4 4 1 x y xy x y xy m           a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm. HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1 ẹK : S 2 -4p  0  1 ; 1 4 m m   . b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = 1/4, m = 1. 6) a-Cmr: Hpt coự ngh vụựi moùi m : 2 2 2 2 1 x y xy m x y xy m m           b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt . HDẹS : a- 2 1 1 2 2 2 1 . ; 1 1. p s m hpt p s m m s m p m s m p m                  ẹS:heọS 1 ,P 1 Vn ; 2 2 2 2 4 ( 1) 0 S P m     . Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m. b-HPT có ngh duy nhất  2 2 2 4 0 S P    2 ( 1) 0 m   1 m   . => x = y = 1 Vaọy : (1;1). 2. Hệ đối xứng loại II: Giaỷi heọ pt : 3 3 3 8 1 : 3 8 x x y hpt y y x           3 4 2 : 3 4 y x y x hpt x y x y             2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x x y y y x             HDẹS : 1-Hpt 2 2 3 3 ( )( 5) 0 3 8 3 8 (0;0) ( 11; 11) ( 11; 11) x y x y x y xy x x y x x y                     2- ẹK : x  0 ; y  0. Hpt : 2 2 ( )( 4) 0 6 4( ) 0 x y x y x y xy x y              (-2; -2) 3- 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x y y x x            Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0  y=x hoaởc y = 1-x. Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2) Khi y = 1 -x VN . 4- 1 3 2 1 1 2 x y x y x y            Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = -2/x + y = x : (1;1) ; (-1;-1) . + y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2)   3) . Hệ nửa đối xứng VD. Giải hệ :        12 11 3 xy y y x x Giải:                          12 0)1)(( 0. 12 0 0. 12 11 33 22 3 xy xyyx yx xy yxxyyx yx xy y y x x 3 4 . 0 . 0 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 0 x y x y x y I y II x x x x x                          + Ta có I):                        2 51 2 51 1 )( 012 ( 0. 3 yx yx yx I xx yx yx + Ta có II) : 2 2 2 . 0 1 ( ) 1 1 3 ( ) ( ) 0;( ) 2 2 2 x y II y x x x VN                   3 4. Hệ đẳng cấp : VD. Cho hệ phương trình : 2 2 2 4 (1) 3 4 (2) x xy y m y xy           a) Giải hệ pt` với m = 1 b) Tìm a để hệ có nghiệm Giải: Cách 1: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty, ta có : Hệ  2 2 2 2 2 2 4 3 4 t y ty y m y ty            2 2 2 ( 4 1) (1 3 ) 4 y t t m y t            2 2 4 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t m t y t            (I) Do y  0 nên từ y 2 (1 - 3t) = 4  1 - 3t > 0  t < 1 3 a) Với m = 1 ta có hệ : 2 2 4 1 1 1 3 4 (1 3 ) 4 t t t y t            Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4). b) Ta có : (I)  2 2 4( 4 1) (1 3 ) (1 3 ) 4 t t m t y t             2 2 4 (16 3 ) 4 0 (*) (1 3 ) 4 t m t m y t             Đặt f(t) = 4t 2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì Hệ có nghiệm  (*) có nghiệm thoả mãn t < 1 3 . Ta lại có 1 8 ( ) 0 3 9 af     m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t 1 < 1 3 < t 2 . Vậy hệ luôn có nghiệm với m. Cách 2 : Khử một ẩn. Hệ  2 2 4 3 4 x xy m y xy            2 4 2 2 4 2 (8 ) (4 ) 0 (*) x m y x x m x m              (x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4). Với m  4 đặt : f(t) = 2t 2 + (8 - m)t - (4 - m) 2 ta có f(0) = -(4 - m) 2 < 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m. Các bài tập luyện tập Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình      8 )1)(1( 22 yxyx myxxy a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phương trình 2 2 2 1 1 2 a x y x y a           Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phương trình 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m            Tìm m để hệ có nghiệm 4)        22 22 xy yx 5)        myxxyyx yx 1111 311 a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2:            2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y (KB 2003) HD: Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú ýy: ý x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Bài 3:        358 152 33 22 yx xyyx HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 4:        )2(1 )1(33 66 33 yx yyxx HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :   tttf 3 3  trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) 4 Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất          x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 HD:      223 2 axx yx xét 23 2)( xxxf  lập BBT suy ra KQ Bài 6:        22 22 xy yx HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2 Bài 7:        )1( )1( 2 2 xayxy yaxxy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 8:        )2(5 )1(2010 2 2 yxy xxy HD : Rút ra y yy y x    55 2 Cô si 52 5  y y x . 20 2 x theo (1) 20 2 x suy ra x,y Bài 9:        2 )1( 3 yxyx yxyx (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) Bài 10:        ayx ayx 3 21 Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt 2,1  yvxu được hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bài tập áp dụng 1)        495 5626 22 22 yxyx yxyx 2)        )(3 22 22 yxyx yyxx KD 2003 3)        095 18)3)(2( 2 2 yxx yxxx 4)        2 )(7 22 33 yxyx yxyx HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm 5)        mxyx yxy 26 12 2 2 Tìm m để hệ có nghiệm 6)        19 2.)( 33 2 yx yyx dặt t=x/y có 2 nghiệm 7)      64 9)2)(2( 2 yxx yxxx đặt X=x(x+2) và Y=2x+y 8)        4 )1(2 2222 yxyx yxyx đổi biến theo v,u từ phương trình số (1) 9)        22 333 6 191 xxyy xyx Đặt x=1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) 10)        12 11 3 xy y y x x (KA 2003) HD: x=y V xy=-1 CM 02 4  xx vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm 11)        axy ayx 2 2 )1( )1( xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ 12)        3 3 22 xyyx x y y x HD bình phương 2 vế . 5 Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp 1) Bất phương trình bậc hai ; Định lýý về dấu của tam thức bậc hai; Phương pháp hàm số. 2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 2 2 2 2 0B A B A B A B A B A B A B A B A B B A B                        3) Phương trình, bất phương trình chứa căn thức *PT chứa căn thức: 2 0 0( 0) 0 0 2 B A B A B A hayB A B A B A A B C B A B AB C                             * Bất phương trình chứa căn thức: 2 2 2 2 0 0 * 0 * 0 0 0 0 0 * * 0 0 A A A B B A B B A B A B A A B B A B A B B B A B A B                                                          Một số ví dụ BAỉI TAÄP : Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ : a) x 2 + 1 1 x   Hd: 4 2 0 1 1 1 2 0 1 5 2 x x x x x x x                       b)pt: 5 1 3 2 1 0 x x x       ĐK x  1. Chuyeồn veỏ, bỡnh phửụng hai veỏ : x = 2 ; x = 2/11( loaùi ). Vaọy x=2 . c) : 9 5 2 4 pt x x     ĐK 2 x  . Bỡnh phửụng hai laà ta coự : ẹS x = 0 . d) : 16 9 7 pt x x     . ĐS: x = 0, x = -7. e) 2 2 :(4 1) 9 2 2 1 : 1/4 pt x x x x dk x       Bình phương hai lần ta có :ẹS x = 4/3. Baứi 2 : Đặt ẩn phụ: a) 2 2 3 3 3 6 3 x x x x       . ĐS: x = 1, x = 2. b) 2 2 1 1 0 : 0 1 3 x x x x dk x         - ẹaởt : 2 2 1 1 ; 0 2 t t x x t x x         pt  t 2 -3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn. t =1  x = 0 ; x =1. c) 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16 x x x x x         HDẹS: 2 2 : 1 2 3 1 0 3 4 2 2 5 3 5 3. DK x t x x t x x x pt t x                  2 2 2 2 ) 7 2 3 3 19 . 2 7 / 4 5 3 13 4 1; 2 d x x x x x x t x x pt t t t t x x                        Bài 3: 1) 1 3 ( 1)(3 ) x x x x m        a) Giaỷi pt khi m=2 b) Tỡm m pt coự nghieọm. HDẹS: ẹK: . 1 3 ; 2 2 2 : 2( ) t x x t vi a b a b a b             2 0( ) 1) 2 : 2 0 1, 3 2 t l m t t x x t              2) f(t) = -t 2 /2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn : Tacoự : 2 2 2 2. m    Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 9 9 x x x x m       Bỡnh phửụng : ẹaởt t= (9 ) 0 9/ 2 x x t    KSHS 2 ( ) 2 9 ; 9/2 9/4 10 f t t t o t Ds m          d) Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm: 4 4 4 4 4 6 x x m x x m       HDẹS: ẹaởt 4 24 4 0 : 6 0 t x x m pt t t        6 4 4 4 3 ( ) 2 4 2 4 1 6 l o¹ i t P T t x x m m x x                    Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh. Baứi 6. Giải các phương trình sau: 1) 2 2 3 3 3 (2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3 x x x x        -ẹaởt : 2 2 3 3 3 3 2 3 . 9 7 u x u v uv pt u v v x                     3 1; 2 1; 6 2 u v u v x uv              2) 3 2 1 1 x x     .ẹK : x 1  3 3 2 2 1; 0 1 0;1; 2; 1;0;3 1 1;2;10 u x v x v u v u v u v x                        Một số bài tập luyện tập: Bài 1: Tìm m để mxxxx  )64)(3)(1( 2 Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x. HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2 Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 014168 2  xxx 2) xxx 2114  : x = 0 3) 2 2 2( 2 ) 2 3 9 0. : 1 5 x x x x DS x        4) 211 22  xxxx . Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải. 5) 023)3( 22  xxxx (KD 2002) Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm        012 0910 2 2 mxx xx ĐS m  4. Bài 4: Giải bất phương trình: 2212  xxx HD :  nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT  Biến đổi về BPT tích chú ýy ĐK Bài 5: Giải bất phương trình: 7 2 1 2 2 3 3  x x x x HD Đặt 2, 2 1  t x xt AD BĐT cô si suy ra ĐK. Bài 6: Giải bất phương trình 4 )11( 2 2   x x x HD  Xét 2 trường hợp chú ý DK x  -1.  Trong trường hợp x  4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT. Bài 7: Cho phương trình: mxxxx  99 2 Tìm m để phương trình có nghiệm. HD  Bình phương 2 vế chú ýy ĐK  Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t  Sử dụng BBT suy ra KQ Bài 9: Giải bất phương trình (KA 2004) 3 7 3 3 )16(2 2      x x x x x Bài tập áp dụng 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mxx  41624 2) 16212244 2  xxxx 3) 12312  xxx 4) 1212)1(2 22  xxxxx HD: đặt 12 2  xxt coi là phương trình bậc hai ẩn t. 5) 2 2)2()1( xxxxx  6) 2 3 1)2(12   x xxxx 7) 1 1 251 2    x xx 8) 023243 2  xxx . 9) 2 2 4 3 18 29 x x x x       7 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình lượng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lượng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb ( ) 1 tga tgb tg a b tgatgb     b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a; sin2a = 2sinacosa; 2 2 2 , 2 4 2 1 tga tg a a k a k tg a                 3 3 sin3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos ; a a a a a a     c) Công thức hạ bậc 2 2 1 cos 2 1 cos2 cos ; sin ; 2 2 a a a a     d) Công thức chia đôi Đặt   2 2 x t tg x k      . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t x x tgx t t t        ; e) Công thức biến đổi * Đổi tích thành tổng:       1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b             * Đổi tổng thành tích: cos cos 2cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2cos sin ; 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                  f) Một số công thức hay dùng: sin cos 2sin 2 cos 4 4 sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x                                        1 1 ; ; 4 1 4 1 tgx tgx tg x tg x tgx tgx                       2. Một số phương trình lượng giác thường gặp a) phương trình lượng giác cơ bản: + sinx = a 1 2 1 (sin ) 2 PTVN PT cãngh a x k a a x k                  + cosx = a 1 1 2 (cos ) PTVN PT cãngh a a x k a          + tgx = a ĐK: 2 x k     , x = k    (tg = a). + cotgx = a, ĐK: x k   , x = k    (cotg = a). b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. * Phương trình bậc nhất:   ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ; ( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos ( tg tg cotg cotg f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x f x g x f x                                              ) cos ( ) ; sin ( ) cos ( ) sin ( ) ; 2 g x f x g x g x               * Phương trình bậc 2: 2 sin sin 0 a x b x c    đặt t = sinx ( 1 t  ). 2 cos cos 0 a x b x c    đặt t = cosx ( 1 t  ). 2 2 0; 0; atg x btgx c acotg x bcotgx c       c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c. Cách giải: + Cách 1: chia cả hai vế cho 2 2 a b  ; đặt: 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b       ta được PT: 2 2 sin( ) c x a b     ; *) Chú ý: Phương trình có nghiệm  2 2 2 c a b   . + Cách 2: Đặt b tg a   ta được phương trình: sin( ) cos c x a     . d) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 8 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d    Cách giải: * Cách 1: Thử với cos 2 x = 0  sinx =  1 nếu nghiệm đúng phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung. Với cos 2 x  0 chia cả hai vế cho cos 2 x ta được: atg 2 x + btgx + c = d(1 + tg 2 x). * Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2 t  2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c                * Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 2 t  2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c                . 3. Một số phương pháp thường dùng khi giải các phương trình lượng giác: + áp dụng các hằng đẳng thức; + áp dụng các công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ; + Biến đổi về tích bằng 0; + Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm; + Biến đổi về tổng bình phương bằng 0. 4. Các ví dụ: Giải các phương trình sau: Bài 1: x x tgxgx 2 sin 4cos.2 cot  . ĐS: 3 x k      . Bài 2: )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22                xxx  ĐS: 5 ; 2 ; 2 6 6 x k x k x x k            . Bài 3: 2 sin 2sin 2 sin sin 2 2 2 2  x x x x . ĐS: 2 2 ; 2 3 3 x k x x k            . Bài 4: 8 1 3 . 6 3cos.cos3sin.sin 33                  xtgxtg xxxx HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3 ĐS: 6 x k      . Bài 5: 0cos.6)sin.2(3     xxtgxtgx HD: Biến đổi theo sin và cos. ĐS: 3 x k      . Bài 6: 3. 6sin 2sin( ) (1) 2 2sin 6sin( ) (2) 2 y tg x y x y tg x y x              HD: nhân (1) với (2) rút gọn y y tg 22 sin4 2  . đặt 2 y t tg         t = 0, t =± 3 . Bài 7: xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos  HD : BĐ tích thành tổng rút gọn. Bài 8: 2 1 5cos4cos3cos2coscos  xxxxx HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp bằng 0. Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng nxxxT nxxxT sin 2sinsin cos 2coscos      thực hiện rút gọn bằng cách trên. Bài 9: )cos.sin2(cos3sin.2sin. 22 xxxxxtgx  HD: BĐ về dạng: 2 2 (sin cos )(sin 3cos ) 0 x x x x    Bài 10 2 9 sin cos 2 log 4.log 2 4 x x          HD:   sin sin 2 sin 1 2 . lo g 2. lo g 2 4 2 log 2 4 x x x    5. Một số phương trình có tham số: Bài 1. Tìm m để phương trình: sin2x + m = sinx + 2mcosx có đúng 1 nghiệm 3 [0; ] 4 x   . HD: PT  (sinx - m)(2cosx - 1) = 0. Bài 2. Tìm m để phương trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos 2 x có đúng 2 nghiệm x  [0; ]. HD: PT  (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0. 9 Bài 3. Tìm m để phương trình: mcos 2 2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0 có nghiệm x  [0 ; /3]. HD: Đặt t = sin2x. Bài 4: Cho phương trình 02sin24cos)cos.(sin2 44  mxxxx Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn 0; 2        . HD: [-10/3;-2] Bài 5: Cho phương trình 3 cos 2 sin 1cossin2     x x xx a 1) Giải phương trình khi a=1/3. 2) Tìm a để phương trình có nghiệm. HD: Đưa về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1 ĐS [-1/2,2] Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, )        4 3 cos212cos.3 2 sin4 22  xx x 6. Các bài tập luyện tập: 1) 2 1 3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos  xxxxxx . 2) 2cos.3sincos.3sin  xxxx . 3) x x x x cos 1 3cos.2 sin 1 3sin.2  . 4) x x xg 2 sin 2cos1 2cot1 2   . 5) 2)1.2(cos2cos 2  xtgxx . 6) 03cos2cos84cos3 26  xx . 7) 1 1 cos 2 3sin 42 sin2cos)32( 2           x x x x  . 8) 02cos2sincossin1      xxxx . Một số đề thi từ năm 2002 1) Tìm nghiệm thuộc khoảng   0;2  của phương trình 32cos 2sin21 3sin3cos sin5           x x xx x . KA 2002 2) Giải phương trình x xx xtg 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1   (DB 2002) 3) Tìm nghiệm thuộc khoảng   0;2  của phương trình x xtgxxg 2 sin 2 2sin42cot  KB 2003 4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng   0;14 của phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x     KB 2003 5) Giải phương trình 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin2 2 8sin 2 x x g x x x    DB 2002 6) Giải phương trình 2 cos cos sin 1 . 2 x tgx x x x tgx tg           (DB 2002) 7) Cho phương trình 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x      a) Giải phương trình (2) khi 1 3 a  b) Tìm a để phương trình có nghiệm 8) Giải phương trình 2 1 sin 8cos x x  (DB 2002) 9) Giải phương trình 2 cos2 1 cot 1 sin sin2 1 2 x gx x x tgx      (KA 2003) 10) Giải phương trình   3 2sin 6cos 0 tgx tgx x x     (DBKA 2003) 11) Giải phương trình   2 cos2 cos 2 1 2 x x tg x    (DBKA 2003) 12) Giải phương trình 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0 x x x     (DBKB 2003) 13) Giải phương trình   2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x             (DBKB 2003) 14) Giải phương trình 2 2 2 sin . cos 0 2 4 2 x x tg x                 (KD 2003) 15) Giải phương trình     2 cos cos 1 2 1 sin cos sin x x x x x     (DBKD 2003) 16) Giải phương trình 2sin4 cot sin 2 x gx tgx x   (DBKD 2003) 17) Giải phương trình   2 5sin 2 3 1 sin t x x g x    (KB 2004) 18) Giải phương trình :     2cos 1 2sin cos sin 2 sin x x x x x     KB 2004. 10 Bài 4: Hệ thức lượng trong tam giác Một số kiến thức cần nhớ *Một số phép biến đổi thường dùng + Cung liên kết + Các công thức biến đổi. *Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ: + . 4 . 2 2 2 A B C SinA SinB SinC Cos Cos Cos    + . 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C CosA CosB CosC    + tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC + 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot C g B g A g C g B g A g  + 1 2 2 2 . 2 2 . 2  A tg C tg C tg B tg B tg A tg + cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 + sCCosACosBCoCSinBSinASin 22. 222  + CBACCosBCosACos sinsinsin21. 222  + Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC + Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC Các ví dụ Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR . . 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A tg tg tg tg tg tg    Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b) 33 tgCtgBtgA dấu “=” xảy ra khi nào? HD: áp dụng BĐT côsi 3 3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA  lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta được đpcm. Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có : HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP. VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) – cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC =Cos(B-C).cosA + Cos 2 A + Cos(C-A).cosB +Cos 2 B + Cos(A-B).cosC + cos 2 C. thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C… sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos 2 A, cos 2 B, cos 2 C suy ra đpcm. Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có   2 2 2 1 . 2. 1 Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC    Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi 2. 222  CSinBSinASin Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 2tgA = tgB + tgC CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA HD: xuất phát:     tgCtgB tgCtgB CBtg .1 )( đpcm Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*) Mà cos(B - C) =2.cos[ )( CB    ] khai triển suy ra đẳng thức (*). Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:         2 cot 2 cot 2 cot 2222 1 sin 1 sin 1 sin 1 A g A g A g C tg B tg A tg CBA HD: thay 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot. 2 cot. 2 cot C g B g A g C g B g A g  áp dụng công thức nhân đôi. Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có C B A B A C CCosA B CSinBSinASin cos sin sin 2 cos sin sin sin sin 2 . 222   Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR: c b a 111  và 4 5 . 222  CCosBCosACos Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có: CBA R r coscoscos1  Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: bc aA Sin 2 2  , CMR tam giác ABC cân Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk [...]... số 2, 3, 5 ba số cuối gồm các số 1, 4, 6 Có 3!.3! = 36 số + Cặp 3 số đầu gồm các số 1, 3, 6 ba số cuối gồm các số 2, 4, 5 Có 3!.3! = 36 số Vậy có: 3.36 = 108 số Bài 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 HD: Coi hai số 2 và 3 là một cặp Xét 2 trường hợp: + TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số Bài 12 Đại. .. Một số phương pháp thường dùng khi giải phương trình logarit: + Đưa về cùng cơ số; + Đặt ẩn phụ để giải phương trình bậc hai; + Đặt ẩn phụ để giải phương trình mũ; + Đưa về dạng tích bằng 0; + Đáng giá: Dùng BĐT, Hàm số, đốn nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất, Một số ví dụ: Bài 1 Giải các phương trình sau: a) 2 x 3.3x  2.5 x 1  4000; Bài 5 Phương trình và hệ phương trình mũ - Lơgarit 1 Một số. .. 41811 Bài 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị HD: Vì tổng tất cả các số là 21 nên ba số đầu có tổng là 10, ba số cuối có tổng là 11 Có 3 cặp số thoả mãn là: + Cặp 3 số đầu gồm các số 1, 4, 5 ba số cuối gồm các số 2, 3, 6 Có 3!.3! = 36 số + Cặp 3 số đầu... x0) + f(x0) Giải phương trình ẩn x0 rồi tìm f(x0), f’(x0) Cách 2: Đường thẳng  đi qua A có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - x1) + y1  là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:  f ( x)  k ( x  x1 )  y1   f '( x )  k giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm k 2 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị: Đồ thị 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau  hệ phương trình sau có nghiệm:...  m  2 Bài 12: Cho hàm số y = xm 1) Khảo sát khi m = 1 2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Bài 13: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5 Tìm m để hàm số có cực trị Bài 14: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3mx + 5 Tìm m để hàm số có cực trị Bài 15: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3 1) Khảo sát khi m= 5 22 (1)  t2 - (m -1)t + m + 2 = 0  Bài 10 Biện luận số nghiệm của phương trình bằng... hàm số y  Bài 2: Cho hàm số y  ( x  m) 3  3 x 21 (1) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hồnh độ x = 0 x 2  2mx  1  3m 2 Bài 3: Cho hàm số y  (1) xm Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung Bài 4: Cho hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị mx2  (2  m2 ) x  2m  1 Bài 16: Cho hàm số. .. ĐS: 192 Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 3 ĐS: 2 A6 3!  1440 Bài 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5 3 ĐS: 5.4 A5  1200 Bài 7: Một đội văn nghệ có... > 1 Giải (2) 1< x ≤ 2 BBT: f(x) = (x -1)3 -3x ĐS k > -5 Bài 2: log 1 x  2 log 1 ( x  1)  log 2 6  0 Bài 6: Bất phương trình và hệ bất phương trình mũ - lơgarit Một số kiến thức cần nhớ: * Bất phương trình mũ:  a  1: f ( x)  g ( x) a f ( x )  a g ( x)    0  a  1: f ( x)  g ( x)  h( x )  0  2 4 [h( x)  1][ f ( x)  g ( x)]  0 Bài 3: h( x )  0 log x (log 3 ( 9 x  27 ))  1  h(... hàm số y = xm Tìm m để hàm số có 2 cực trị 2 x2  (1  m) x  m2  m Bài 17: Cho hàm số y = xm Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu mx2  x  m Bài 18: Cho hàm số y = x 1 1) Khảo sát khi m = 1 2) Tìm m để hàm số khơng có cực trị x2  2 x  m  2 Bài 19: Cho hàm số y = x  m1 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị x2  2x  m2  2 Bài 20: Cho hàm số y = x1 1) Khảo sát khi... khác 1 BĐ (1) được TH1: y=x thay vào (2) có nghiệm 1 TH2: x  2 thay vào (2) CM vơ nghiệm y chia thành 2 miền y >1 và 0 . 1 Bài 1: Hệ phương trình đại số Một số loại hệ phương trình thường gặp: I )Hệ đối xứng loại I 1) Dạng: Hệ phương trình      0);( 0);( yxg yxf là hệ đối xứng loại. . 5 Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp 1) Bất phương trình bậc hai ; Định lýý về dấu của tam thức bậc hai; Phương pháp. m) 2 < 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m. Các bài tập luyện tập Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình      8 )1)(1( 22 yxyx myxxy