Trờng THCS Thái Phơng Giáo án Bồi toán Hình học9 Bài tập bồi dỡng HSG chơng I - hình học 9 Chủ đề 1 : Hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông A. Kiến thức : Vận dụng các hệ thức trong tam giác vuông. B. Bài tập vận dụng. Bài 1. Cho hình thang ABCD có đờng cao AD = 12cm . Hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau , BD = 15cm . Tính diện tích hình thang ABCD. Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A 1) Biết hai trung tuyến AM = 3cm , BN = 4cm . Tính các cạnh của tam giác ABC. 2) Biết AB = a , hai đờng trung tuyến AM , BN vuông góc với nhau . Tính hai cạnh AC, BC theo a. 3) Biết BC = 2a , BM, CN là hai trung tuyến . Tình MB 2 + MC 2 theo a, từ đó tìm GTLN của MB + MC theo a. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A ,đờng cao AH . Gọi HE, HF lần lợt là các đờng cao của tam giác AHB và tam giác AHC . 1) Chứng minh BC 2 = 3 AH 2 + BE 2 + CF 2 2) Cho BC = 2a không đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của BE 2 + CF 2 . 3) Chứng minh : 3 2 BH BE BC = . Tính theo a giá trị 3 3 2 2 BE CF+ Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AH . Gọi E, F lần lợt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC . Đặt AH = x , BC = 2a ( a không đổi ). 1) Chứng minh : 3 AH = BC.BE.CF = BC. HE. HF Tính S AEF theo a và x . Tính x để S AEF đạt giá trị lớn nhất . Bài 5. Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC . AM cắt DC tại N . Chứng minh rằng: 1 1 1 = + 2 2 2 AB AM AN Bài 6 . Cho hình thoi ABCD , đờng cao AH . Cho biết AC = m ; BD = n và AH = h . Chớng minh rằng : 1 1 1 = + 2 2 2 h m n Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A , AH và BK là hai đờng cao . Chứng minh rằng : 1 1 1 = + 2 2 2 BK BC 4AH Bài 8 ,. Cho tam giác ABC nhọn , BD và CE là hai đờng cao cắt nhau tại H. Các điểm M và N nằm trên các đờng thẳng HB và HC sao cho ã ã 0 AMC = ANB = 90 . Chứng minh AM = AN . Bài 9 . Cho tam giác ABC nhọn , AH là đờng cao , trung tuyến AM. Chứng minh rằng : 2 2 2 ) 2 .a BC AB AC AB AH= + b) 2 2 2 2 2 2 BC AM AB AC+ = + . Bài 10 . Cho hình thoi ABCD có à 0 A 120 = . tia Ax tạo với tia AB một góc bằng 15 0 và cắt cạnh BC tại M , cắt đờng thẳng CD tại N. Chứng minh rằng : 1 1 4 + 2 2 2 AM AN 3AB = Chủ đề 2 : Tỉ số lợng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. A. Kiến thức gồm : - Tỉ số lợng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. - Tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau. - Một số hệ thức lợng giác , bảng lợng giác đặc biệt. B. Bài tập vận dụng. GV : Đặng Văn Phơng Năm Học 2010 - 2011 Trờng THCS Thái Phơng Giáo án Bồi toán Hình học9 Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn , BC = a , AB = c , AC = b. Chứng minh rằng : sin sin sin a b c A B C = = Bài 2 .Cho tam giác ABC nhọn BC = a , AB = c , AC = b. Chứng minh rằng : a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA Bài 3. Cho tam giác ABC có các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Chứng minh rằng : cotgB + cotg C 2 3 . Bài 4 . Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a , AB = c , AC = b. Chứng minh : 2 2 2 2 2 ) ) l = ( ) a b b c a tgB b a c b c = + + ( l a là độ dài đờng phân giác của  ) Bài 4. Chứng minh rằng : 2 2 ) cos 2 cos sin b) sin2 2sin .cosa = = ( Xét tam giác ABC cân tại A có à A 2 = ) Bài 5 Không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số . Hãy tính sin30 0 , cos30 0 , sin 15 0 , cos15 0 . Bài 6 . Cho tam giác ABC nhọn , các đờng cao AD, BE , CF . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 cos cos cos DEF ABC S A B C S = Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b, BC = a . Chứng minh rằng : a) A A B C 1 sin b) sin .sin .sin 2 2 2 2 8 2 a bc Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A , AD là phân giác ( AB < AC ) . Chứng minh : 1 1 2 + = AB AC AD Bài 9. Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4cm. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AB , AC . Nối CM vad DN cắt nhau tại P . a) Chứng minh CM DN . b) Tính tỉ số lợng giác của góc CMN. c) Tính diện tich tam giác MDN. Bài 10.Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng : a) sin 2011 B + cosB 5 4 b) sin 2009 B + cos 2009 B < 1 Bài tập bồi dỡng HSG chơng Ii - hình học 9 Chủ đề 1 . Sự xác định đờng tròn .Liên hệ giữa đờng kính và dây của đờng tròn . Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. A. Kiến thức : 1.Định nghĩa , sự xác định đờng tròn . 2.Vị trí của một điểm đối với đờng tròn. 3. So sánh độ dài đờng kính và dây . 4. Quan hệ vuông góc giũa đờng kính và dây . B. Bài tập Chủ đề về đờng tròn. I. Sự xác định đờng tròn . Tính chất đối xứng của đờng tròn . GV : Đặng Văn Phơng Năm Học 2010 - 2011 Trờng THCS Thái Phơng Giáo án Bồi toán Hình học9 Bài 1. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB . Hai dây AC và BD cắt nhau tại H . Chứng minh rằng : AH. AC + BH . BD = AB 2 . Bài 2 . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp đờng tròn (O ; R) . Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Vẽ đờng kính AF của (O) . a) Chứng minh BH // FC . b) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành . c) Vẽ OM vuông góc với BC tại M. Chứng minh H, M, F thẳng hàng . d) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng : S AHG =2S AGO Bài 3. Cho hình thoi ABCD cạnh a . Gọi R và r lần lợt là hai bán kính của đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 4 R r a + = Bài 4 . Cho hình vuông ABCD cạnh a , gọi E và F là hai điểm di động trên cạnh AB và AD sao cho AE + EF + AF = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên EF . a) Chứng minh H thuộc một đờng tròn cố định . b) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất . Bài 5. Chứng minh rằng trong một tam giác , chín điểm gồm trung điểm của ba cạnh , chân các đ- ờng cao , trung điểm của các đoạn thẳng nối từ các đỉnh tam giác đến trực tâm cùng thuộc một đ- ờng tròn ( Đờng tròn Euler) Bài 6. Trong mặt phẳng cho 2011 điểm và trong ba điểm bất kì bao giờ cũng tìm đợc hai điểm có khoảng cách giữa chúng bé hơn 1. Chứng minh rắng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 1006 điểm . II. Đờng kính và dây của đờng tròn. Bài 1. Cho nửa đờng tròn (O) , đờng kính AB và một dây CD . Vẽ AP và BS vuông góc với CD ( P , S thuộc CD ) . Chứng minh rắng : a) P và S nằm ngoài đờng tròn tâm (O) . b) PC = DS c) S APSB = S ACB +S ADB Bài 2. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và dây CD quay xung quanh điểm I cố định nằm trong (O) ( I khác O ) . a) Chứng minh P, S nằm ngoài (O) . b) So sánh PC và DS c) Xác định vị trí của dây CD để AP + BS đạt giá trị lớn nhất. d) Xác định vị trí của dây CD để dây CD ngắn nhất . Bài 3. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB , dây CD cắt đờng kính tại I. Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B trên dây CD . Chứng minh CH = DK. Bài 4 . Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và dây CD . Qua C và D kẻ CH và DK cùng vuông góc với CD cắt đờng kính AB lần lợt tại H và K .Gọi I là trung điểm CD. a) Chứng minh AH = BK b) S HCD + S KCD = CD . OI Bài 5 . Cho đờng tròn (O ; R ) . Các điểm A, B, C, D cùng thuộc (O ; R ) . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD . Bài 6. Cho đờng tròn (O ; R ) . Gọi A là điểm nằm ngoài (O ; R ) . Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) tại B , C . Xác định vị trí của d để AB + AC lớn nhất . Bài 7 . Cho hình vuông ABCD , AC cắt BD tại O . Gọi M và N là trung điểm của OA và BC . Chứng minh 4 điểm C, M, N , D cùng nằm trên một đờng tròn và DN > MC . Bài 8.Cho đờng tròn tâm O bán bính R và một điểm P cố định nằm bên trong đờng tròn (O) với OP = a < R . Lấy hai điểm A, B di động trên đờng tròn (O ; R ) sao cho ã 0 90APB = . Vẽ OM và PH vuông góc với AB . a) Tính MP 2 + MO 2 và HP 2 + HO 2 theo R b) Gọi I là trung điểm OP . Tính IM c) Tìm vị trí của M để diện tích của tam giác OMP lớn nhất . Tìm giá trị lớn nhất đó. GV : Đặng Văn Phơng Năm Học 2010 - 2011 Trờng THCS Thái Phơng Giáo án Bồi toán Hình học9 Bài 9 . Cho đờng tròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định nằm trong (O) . Hai dây AC và BD thay đổi nhng luôn vuông góc với nhau tại P . a) Chứng minh : AC 2 + BD 2 không đổi . b) Xác định vị trí của AC và BD sao cho diện tích của tứ giác ABCD lớn nhất . Bài 10. Cho hình vuông OAPQ . Trên cạnh PQ và PA lần lợt lấy điểm E và F di động sao cho QE + AF = EF . Vẽ đờng thẳng qua O vuông góc với OE cắt đờng thẳng AP tại G . 1) Chứng minh : OQE OAG = 2) Kẻ OH vuông góc với EF tại H . Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đờng tròn cố định . 3) Đờng thẳng EF cắt đờng thẳng AO ở D . Chứng minh đờng phân giác góc ã OED vuông góc với OE . 4) Chứng minh ã 0 EOF = 45 Bài 11 . Cho hình vuông ABCD có cạnh a .Gọi O là giao điểm của hai đờngchéo . Lấy các điểm E, F , G, H trên các cạnh AB , BC , CD , DA tơng ứng sao cho AE = BF = CG = DH = x . ( x< a ) 1. Chứng minh 4 điểm E, F , G , H cùng thuộc đờng tròn tâm O . 2. Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông . 3. Tính diện tích hình vuông EFGH theo a và x . Tìm vị trí của E trên cạnh AB sao cho diện tích ấy nhỏ nhất . Bài 12 . Cho (O ; R ) và hai dây bẳng nhau AB và CD . Biết AB vuông góc với CD tại I và IA = 1cm , IB = 7 cm . Tính bán kính R . III . Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đên dây. Bài 1. Cho đờng tròn tâm O và hai dây AB = CD . Gọi OH , OK lần lơt là khoảng cách từ tâm O đến AB và CD . Chứng minh : a) AH = CK b) OH = OK Bài 2 . Cho đờng tròn (O) , điểm A nằm bên trong đờng tròn . Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA . So sánh độ dài hai dây BC và EF . Bài 3 Cho đờng tròn tâm O hai dây AB = CD . Gọi H là trung điểm của AB , K là trung điểm của CD . Kéo dài AB và CD cắt nhau ở P. So sánh PH và PK . Bài 4. Cho điểm A cố định ở bên trong (O ; R ) ( A khác O ) và dây BC quay quanh A . Xác định vị trí của dây cung BC để dây BC ngắn nhất . Chủ đề 2 : Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn . Tiếp tuyến của đờng tròn , Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. A. Kiến thức cần nhớ . 1. Ba vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn , hệ thức liên hệ giữa d và R . 2. Tiếp tuyến của đờng tròn , tính chất của tiếp tuyến 3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến . 4. Cách vẽ tiếp tuyến . 5. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. 6. Đờng tròn nội tiếp tam giác , tam giác ngoại tiếp đờng tròn , đờng tròn bàng tiếp. B. Bài tập I . Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Bài 1 .Cho đờng tròn (O ; R ) và đờng thẳng d không giao nhau . A là điểm bất kì trên (O) . Xác định điểm A để khoảng cách từ A đến đờng thẳng d là lớn nhất . Bài 2 . Cho điểm A nằm ngoài (O ; R ) . Đờng thẳng d đi qua A , gọi B ,C là giao điểm của đờng thẳng d và đờng tròn (O) . Xác định vị trí của đờng thẳng d để tổng AB + AC nhỏ nhất . GV : Đặng Văn Phơng Năm Học 2010 - 2011 Trêng THCS Th¸i Ph¬ng Gi¸o ¸n Båi to¸n H×nh häc9 GV : §Æng V¨n Ph¬ng N¨m Häc 2010 - 2011 . Th i Phơng Giáo án B i toán Hình học9 B i tập b i dỡng HSG chơng I - hình học 9 Chủ đề 1 : Hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông A. Kiến thức : Vận dụng các hệ thức trong tam giác. vuông t i A . Chứng minh rằng : a) sin 2011 B + cosB 5 4 b) sin 20 09 B + cos 20 09 B < 1 B i tập b i dỡng HSG chơng Ii - hình học 9 Chủ đề 1 . Sự xác định đờng tròn .Liên hệ giữa đờng. 1 sin b) sin .sin .sin 2 2 2 2 8 2 a bc B i 8. Cho tam giác ABC vuông t i A , AD là phân giác ( AB < AC ) . Chứng minh : 1 1 2 + = AB AC AD B i 9. Cho hình vuông ABCD có độ d i m i cạnh