ĐỀ TÀI THẢO LUẬN :Hệ phương trình tuyến tính ********* DANH SÁCH NHÓM 8-MÃ LHP 1031FMAT0111 Lớp HC MÃ SV 1.Hoàng Thị Thu Nga (nhóm trưởng) K46T3 10D220146 2.Nguyễn Thị Nga (thư kí) K46T3 10D220145 3.Nguyễn Thị Nga K46T1 10D220030 4.Tô Thúy Nga K46T2 10D220086 5.Nguyễn Minh Ngọc K46T2 10D220087 6.Nguyễn Trần Kim Ngọc K46T2 10D220088 7.Phạm Như Ngọc K46T1 10D220031 8.Nguyễn Thị Thanh Nhàn K46T3 10D220147 9.Nguyễn Thị Thanh Nhàn K46T1 10D220032 10.Phạm Thị Nhàn K46T3 10D220148 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Mục lục Trang Biên bản phân công công việc 3 II. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4 1.Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính 4 2. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm 5 II. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 6 1. Phương pháp khử dần ẩn 6 2. Phương pháp Cramen 7 3. Phương pháp ma trận nghịch đảo 7 III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT- -8 1. Dạng tổng quát 8 2. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường 9 Danh mục tài liệu tham khảo 10 Nhóm 8-Mã LHP 1031 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Biên bản phân công công việc STT Họ và tên Công việc Đánh giá 1 Hoàng Thị Thu Nga 2 Nguyễn Thị Nga (T3) 3 Nguyễn Thị Nga (T1) 4 Tô Thúy Nga 5 Nguyễn Minh Ngọc 6 Nguyễn Trần Kim Ngọc 7 Phạm Như Ngọc 8 Nguyễn Thị Thanh Nhàn (T3) 9 Nguyễn Thị Thanh Nhàn (T1) 10 Phạm Thị Nhàn Nhóm 8-Mã LHP 1031 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính 1.1 Dạng tổng quát Xét hệ m phương trình bậc nhất đối với n ẩn x 1 , x 2 ,…, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 … (1) a m x 1 +a m2 x 2 + … + a mn x n = b m Hệ này gọi là một hệ phương trình tuyến tính ở dạng tổng quát. • a ij được gọi là hệ số của các ẩn x j (i = 1, m ; j = 1, n) • B i (i = 1, m) gọi là các hệ số tự do. a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n • A = … được gọi là ma trận hệ số của hệ (1) a m1 a m2 … a mn a 11 a 12 … a 1n b 1 a 21 a 22 … a 2n b 2 • A = … a m1 a m2 … a mn b m được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1) 1.2 Dạng ma trận Đưa vào các ma trận cột x 1 b 1 x 2 b 2 X = … = (x 1 , x 2 , …, x n )’ ; B = … = (b 1 , b 2 , …, b m )’ x n b m ta có hệ (1) tương đương với một phương trình ma trận AX = B 1.3 Dạng vec-tơ Ta kí hiệu A j là véc-tơ cột thứ i của ma trận A; và xem X, B cũng là các vec-tơ cột, tức là: A j = (a 1j , a 2j , …, a mj )’ X = (x 1 , x 2 , …, x m )’ B = (b 1 , b 2 , …, b m )’ Khi đó hệ (1) có thể viết dưới dạng một phương trình véc-tơ A 1 x 1 + A 2 x 2 + … + A n x n = B Nhóm 8-Mã LHP 1031 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm 2.1 Nghiệm • Một véc-tơ n chiều X 0 = (c 1 , c 2 , …, c n ) được gọi là nghiệm của hệ (1) nếu ta thay các ẩn x j bởi các số c j ( j = 1, n ) vào tất cả các phương trình của hệ ta được các đẳng thức đúng. • Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2.2 Điều kiện tồn tại nghiệm • Định lý Croncke – Capelly Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hệ đó có hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi : r(A) = r(A) • Mệnh đề r(A) < r(Ā) => hệ vô nghiệm r(A) = r(Ā) = n => hệ có duy nhất 1 nghiệm (n là số nghiệm của hệ) r(A) = r(Ā) < n => hệ vô số nghiệm Ví dụ : Xét xem hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm hay không x – y + z = 3 y – 3z = 1 2z = - 1 Giải 1 -1 1 3 A = 0 1 -3 1 0 0 2 -1 Trong A có ma trận hệ số A là 3 cột đầu. Ma trận A và A đều chứa định thức 1 -1 1 0 1 -3 = 2 ≠0 0 0 2 Là định thức cấp con cao nhất khác 0. Do đó r(A) =r(A) = 3 (= số ẩn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Nhóm 8-Mã LHP 1031 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH II. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Phương pháp khử dần các ẩn 1.1 Ba phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình tuyến tính • Đổi chỗ hai phương trình • Nhân hai vế của 1 phương trình với cùng 1 số khác 0 • Nhân hai vế của 1 phương trình với cùng 1 số bất kì, rồi cộng vào hai vế tương ứng của 1 phương trình khác. • Định lí : Ba phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 1.2 Nội dung phương pháp • Biến đổi sơ cấp dòng của ma trận mở rộng A để đưa về dạng đặc biệt hơn (dạng tam giác, dạng hình thang) • Tính r(A), r(Ā) => số nghiệm • Giải từ PT cuối đi lên PT đầu tiên ta được các nghiệm. • Nhận xét: trong quá trình biến đổi sơ cấp Nếu thấy 1 dòng 0 thì có thể xóa đi dòng đó Nếu có 2 dòng giống nhau hoặc tỉ lệ thì có thể bỏ đi 1 dòng Nếu thấy 1 dòng có dạng (0 0 … 0 a) (a ≠0) thì kết luận ngay hệ vô nghiệm. Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 5 x 1 + 3x 2 + 5x 3 =3 -x 1 – 2x 2 + x 3 = -2 x 2 +5x 3 = 4 Giải Viết rút gọn hệ phương trình trên: 2 5 4 5 1 5 3 3 1 3 5 3  2 5 4 5 -1 -2 1 -2 -1 -2 1 -2 0 1 5 4 0 1 5 4 1 3 5 3 1 3 5 3 0 -1 -6 -1 0 1 6 1  0 1 6 1  0 0 -1 3 0 1 5 4 Nhóm 8-Mã LHP 1031 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Như vậy hệ đã cho tương đương với hệ x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 3 x 2 + 6x 3 = 1 -x 3 = 3 =>x 3 = -3 thay vào phương trình thứ 2 =>x 2 = 19; x 1 = -39 Vậy ta có nghiệm duy nhất X 0 = ( -39, 19, -3). 2. Phương pháp Cramen 2.1 Định nghĩa Một hệ có n phương trình tuyến tính, n ẩn với định thức của ma trận hệ số khác 0 được gọi là hệ Cramen. Kí hiệu: D = | A | ≠ 0 D j là định thức nhận được từ |A| sau khi thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do 2.2 Định lý Cramen • Hệ Cramen có nghiệm duy nhất là x j =D j / D n (j = 1, n) • Về lí thuyết công thức Cramen rất gọn nhưng trong thực hành, khối lượng phép tính là rất lớn, nhất là khi n lớn. 3. Phương pháp ma trận nghịch đảo Giả sử hệ PT là hệ Cramen: AX = B Hệ Cramen có nghiệm duy nhất: X = A -1 B Cách giải này cũng chỉ có nhiều ý nghĩa về lí thuyết, trong thực hành, ta ít sử dụng vì khối lượng phép tính là rất lớn. Ví dụ : giải hệ phương trình 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 3x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 6x 1 + 4x 2 + 5x 3 +2x 4 = 2 7x 1 – 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 1 Nhóm 8-Mã LHP 1031 7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giải 2 5 3 1 2 2 5 3 1 2 3 -1 2 1 1 1 -6 -1 0 -1 6 4 5 2 2  2 -6 -1 0 -2 7 -2 4 2 1 3 -12-2 0 -3 2 5 3 1 2 1 -6 -1 0 -1 (d 4 = d 2 + d 3 , bỏ d 4 ) 1 0 0 0 -1 1 3 2 D = 0 -1 1 = -1 ≠ 0 0 0 1 r(A) =r(A) =3 hệ có nghiệm và r = 3<4 hệ có vô số nghiệm.Ứng vớ 3 cột tạo thành định thức cấp 3 khác 0 ta chọn x 1 , x 3 , x 4 làm 3 ẩn cơ sở, x 2 là ẩn tự do, cho x 2 = α. Hệ đã cho tương đương với hệ 2x 1 + 5α +3x 3 +x 4 = 2 x 1 - 6α - x 3 = -1 x 1 = -1 Giải từ PT cuối đến PT thứ hai rồi đến PT thứ nhất ta có x 1 = -1 x 3 = -6α x 2 = α tùy ý x 4 = 4+13α III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 1. Dạng tổng quát a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = 0 … (2) a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = 0 • Dạng ma trận AX =0 với A, X là các ma trận đã biết ở hệ (1) • Hệ PT tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất 1 nghiệm • Nghiệm X 0 = (0, 0, …, 0) gọi là nghiệm tầm thường Nhóm 8-Mã LHP 1031 8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường • Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số của nó nhỏ hơn số ẩn • Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn thì nó có nghiệm không tầm thường • Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng không. Ví dụ: tìm những giá trị của a để hệ có nghiệm không tầm thường ax 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + ax 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 +ax 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + ax 4 = 0 Giải Hệ có nghiệm không tầm thường khi định thức của ma trận hệ số bằng không : a 1 1 1 a+3 1 1 1 1 a 1 1 = a+3 a 1 1 1 1 a 1 a+3 1 a 1 1 1 1 a a+3 1 1 a a +3 1 1 1 = 0 a - 1 0 0 = (a+3) (a – 1) 3 0 0 a – 1 0 0 0 0 a - 1 Vậy a =3 hoặc a = 1 thì hệ có nghiệm không tầm thường Nhóm 8-Mã LHP 1031 9 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Giáo trình toán cao cấp – trường ĐH Thương Mại (NXB thống kê – 2008) 2. tailieu.vn 3. Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp phần 2 Nhóm 8-Mã LHP 1031 10 . tại nghiệm 5 II. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 6 1. Phương pháp khử dần ẩn 6 2. Phương pháp Cramen 7 3. Phương pháp ma trận nghịch đảo 7 III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT- -8 1 r(A) =r(A) = 3 (= số ẩn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Nhóm 8-Mã LHP 1031 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH II. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Phương pháp khử dần các ẩn 1.1 Ba. phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình tuyến tính • Đổi chỗ hai phương trình • Nhân hai vế của 1 phương trình với cùng 1 số khác 0 • Nhân hai vế của 1 phương trình với cùng 1 số bất kì, rồi