SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRỰC NINH B KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG - NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM & BIỂU ĐIỂM MÔN : TOÁN - LỚP 12 ( Hướng dẫn chấm này có trang ) Lưu ý: • Làm tròn điểm theo quy tắc: 4.25 4.50; 4.50 4.50; 4.75 5.00→ → → . • HS trình bày lời giải khác cách của đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương. Bài: Cho hàm số 3 2 ( 1) 3(1 ) ( ) , m y m x m x mx m C m= − + − + + là tham số. Chứng minh rằng với mọi m , ( ) m C luôn đi qua ba điểm cố định phân biệt thẳng hàng. Bài Nội dung Điểm số * Điểm ( ) 0 0 ; ( ) m M x y C∈ ⇔ 3 2 0 0 0 0 ( 1) 3(1 )y m x m x mx m= − + − + + 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 ( 3 1) 3 0 (1)x x x m x x y⇔ − + + − + − = * Điểm ( ) 0 0 ;M x y là điểm cố định của ( ) m C khi và chỉ khi (1) được nghiệm đúng mọi m 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 3 1 0 (2) 3 0 (3) x x x x x y  − + + =  ⇔  − + − =   * Có (2) ⇔ 2 0 0 0 ( 1)( 2 1) 0x x x− − − = ⇒ (2) luôn có 3 nghiệm phân biệt ⇒ ,( ) m m C∀ luôn đi qua 3 điểm cố định phân biệt. * Có (3) ⇔ 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 2 ( 3 1) 1y x x x x x x= − + = − − + + + + 0 0 1y x⇒ = + ⇒ 3 điểm cố định phân biệt cùng thuộc đường thẳng 1y x= + . Chứng tỏ ,( ) m m C∀ luôn đi qua 3 điểm cố định phân biệt thẳng hàng. Bài: Tìm k để hàm số 2 2 (1 ) 3y x k k x= − + − − + có điểm cực đại. Bài Nội dung Điểm số * TXĐ: D=R. * Có ' 2 2 (1 ) 3 x y k x = − − − + liên tục trên D. ⇒ " 2 3 3 ( 1) ( 3) y k x = − + liên tục trên D; Hs có điểm CĐ ' " 0 0 y y  =  ⇔  <   2 2 3 2 (1 ) 0 3 3 ( 1) 0 ( 3) x k x k x  − − − =  +  ⇔   − <  +  2 ( 1) 2 3 1 0 k x x k   − = + ⇔  − <   ; 2 2 2 1 0 ( 1) 4( 3) k x k x x  <  ⇔ <   − = +  2 2 1 0 [( 1) 4] 12 k x k x  <  ⇔ <   − − =  2 2 2 1 0 ( 1) 4 0 12 ( 1) 4 k x k x k <   <   ⇔ − − >    = − −   2 1 12 ( 1) 4 k x k < −   ⇔  = −  − −  Bài: Cho tứ diện ABCD có ( )AB BCD⊥ , 3AB a= , 3CD a= , 0 30BDC∠ = , tam giác BCD vuông tại đỉnh C .Gọi ,M N tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và AD . a/ Tính thể tích khối tứ diện MBCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( )MBD theo a. b/ Gọi V 1 , V 2 tương ứng là thể tích của các khối tứ diện MNAB và MNBD . Tính tỷ số 1 2 V V . Bài Nội dung Điểm số * ABC∆ vuông cân tại B ⇒ M là trung điểm cạnh AC * Gọi H là trung điểm cạnh BC ⇒ ( )MH BCD⊥ và 1 2 MH AB= ⇒ 1 . . 3 MBCD V MH= S ∆ BCD = 3 1 3 . 2 4 ABCD V a= * Gọi d = ( ,( ))d C MBD ⇒ 1 . . 3 MBCD V d= S ∆ MBD * Có ( ) CD BC CD ABC CD AB ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  CD CM CD BM ⊥  ⇒  ⊥  ; ( ) BM CA BM MD BM ACD BM CD BM AD ⊥ ⊥   ⇒ ⇒ ⊥ ⇒   ⊥ ⊥   ⇒ S ∆ MBD 1 . 2 MB MD= 2 2 1 1 . . 2 2 AC CD MC= + 2 2 1 1 . . 3. 2 (3 ) ( ) 4 2 a a AC= + ⇒ S ∆ MBD 2 3 . 7. 4 a= ⇒ d 21 . 7 a= * Có ( ) AD BM AD BMN AD BN ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  ⇒ N là hình chiếu vuông góc của A và D trên (BMN) ⇒ 1 2 V V 1 . . 3 1 . . 3 BMN BMN AN S DN S ∆ ∆ = AN DN = ; ⇒ 1 2 V V . . AN AD DN DA = 2 2 AB DB = ; ⇒ 1 2 V V 2 2 2 ( 3) 1 4 a CB CD = = + Bài: Tìm m để hàm số 2 y x x x m= − − + + đồng biến trên R. Bài Nội dung Điểm số * Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên R là hàm số phải xác định trên R 2 0,x x m x R⇔ + + ≥ ∀ ∈ 1 ' 0 1 4 0 4 m m⇔ ∆ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ * Điều kiện đủ: * Với 1 4 m = , hàm số trở thành 2 1 1 , 1 1 2 2 1 1 4 2 2 , 2 2 khi x y x x x x x x khi x −  <   = − − + + = − − + =  −  − − ≥   ⇒ hàm số là hàm không đổi trên 1 ; 2 R −   −∞ ⊂  ÷   ⇒ hàm số là hàm không thể đồng biến trên R Vậy 1 4 m = không thỏa mãn đề bài. * Với 1 4 m > , có 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) , (1) 4 2 2 2 2 x x x m x x x x x x R + + + > + + = + = + ≥ − + = − ∀ ∈ thì 2 2 1 ' 1 2 x y x x m + = − − + + xác định trên R + Từ (1) 2 2 2 1 1 , 1, 0 4 2 x x R do x x m x R khi m x x m + ⇒ ∀ ∈ − < + + > ∀ ∈ > + + 2 2 1 ' 1 1 1 0, 2 x y x R x x m + ⇒ = − − < − + = ∀ ∈ + + ⇒ hàm số là hàm không thể đồng biến trên R Vậy 1 4 m > không thỏa mãn đề bài * KL: không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài. Bài: Tìm m để hàm số 2 y x x x m= − + + đồng biến trên R. Bài Nội dung Điểm số * Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên R là hàm số phải xác định trên R 2 0,x x m x R⇔ + + ≥ ∀ ∈ 1 ' 0 1 4 0 4 m m⇔ ∆ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ * Điều kiện đủ: * Với 1 4 m = , hàm số trở thành 2 1 1 , 1 1 2 2 1 1 4 2 2 , 2 2 khi x y x x x x x x khi x − −  ≥   = − + + = − + =  −  + <   ⇒ hàm số là hàm không đổi trên 1 ; 2 R −   +∞ ⊂ ÷    ⇒ hàm số là hàm không thể đồng biến trên R Vậy 1 4 m = không thỏa mãn đề bài. * Với 1 4 m > , có 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) , (1) 4 2 2 2 2 x x x m x x x x x x R + + + > + + = + = + ≥ + = ∀ ∈ thì 2 2 1 ' 1 2 x y x x m + = − + + xác định trên R + Từ (1) 2 2 2 2 1 2 1 1 , 1 1, 0 4 2 2 x x x R do x x m x R khi m x x m x x m + + ⇒ ∀ ∈ < ⇒ − > − + + > ∀ ∈ > + + + + 2 2 1 ' 1 1 1 0, 2 x y x R x x m + ⇒ = − > − = ∀ ∈ + + ⇒ hàm số là hàm thể đồng biến trên R Vậy 1 4 m > thỏa mãn đề bài * KL: 1 4 m > thỏa mãn đề bài. Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;0;0), B0;-2;0), C(0; 0; -1), 1/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). 2/ Tìm trên đường thẳng OH điểm K sao cho OH.OK = 8 3/ Điểm M di động trên (ABC). Tìm giá trị lớn nhất của AO AM OM + Bài Nội dung Điểm số 1/ * Phương trình (ABC) theo đoạn chắn là: 1 1 2 1 x y z + + = − − . Vậy (ABC) có một véc tơ pháp tuyến là (2; 1; 2)n − − uur * Điểm H(x; y; z) thuộc (ABC) khi và chỉ khi 1 1 2 1 . x y z OH k n  + + =  − −   =  uuuur uur 4 9 1 2 4 2 4 1 2 1 ( ; ; ) 9 9 9 9 4 2 1 2 9 x x y z y H x y z z  =    + + =  − − −   − − ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒     = =  −   − − =   2/ * Ta có O, H, K thẳng hàng và 4 2 4 ( ; ; ) 0 9 9 9 OH − − = ≠ uuuur ur , nên ta có OK uuuur = t. OH uuuur 4 . 9 2 4 2 4 . ( ; ; ) 9 9 9 9 4 . 9 K H K H K H x t x t y t y t K t t t z t z t  = =   − − −  ⇒ = = ⇒   −  = =   *TH1: Điểm O ở ngoài đoạn OK thì OH uuuur và OK uuuur cùng hướng nên OH uuuur . OK uuuur = OH.OK Nên OH.OK = 8 ⇔ OH uuuur . OK uuuur =8 ⇔ ⇔ t = 18 ⇒ (8; 4; 8)K − − *TH2: Điểm O ở giữa O và K thì OH uuuur và OK uuuur ngược hướng nên OH uuuur . OK uuuur = - OH.OK Nên OH.OK = 8 ⇔ - OH uuuur . OK uuuur = 8 ⇔ ⇔ t = -18 ⇒ ( 8;4;8)K − 3/ * Ba điểm O, A, M không thẳng hàng tạo thành tam giác OAM. Gọi 1 2 3 , , ϕ ϕ ϕ ( ) 0; π ∈ là số đo các góc OAM, AMO, MOA của tam giác OAM. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAM. Ta có 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 2sin .cos cos 2 .(sin sin ) 1 2 2 2 2 .sin 2sin .cos sin sin 2 2 2 2 R AO AM OM R ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − − + + = = = ≤ * Gọi β là số đo góc giữa đường thẳng OA và (ABC), thì β không đổi trong 0; 2 π    ÷   Khi đó 1 0 β ϕ π < ≤ < 1 0 2 2 2 ϕβ π ⇒ < ≤ < 1 1 1 1 0 sin sin 1 0 2 2 sinsin 22 ϕβ ϕ β ⇒ < ≤ < ⇒ < ≤ 1 sin 2 AO AM const OM β + ⇒ ≤ = 1 sin 2 AO AM OM β + ⇒ = khi và chỉ khi 2 3 2 3 1 cos 1 2 M AH ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β −  = =   ⇔   ∈   =  ⇔ M thuộc AH và AM = AO. KL: M thuộc AH và AM = AO thì AO AM Max OM +   =  ÷   1 sin 2 β . . GD&ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRỰC NINH B KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG - NĂM HỌC 2009 -2010 HƯỚNG DẪN CHẤM & BIỂU ĐIỂM MÔN : TOÁN - LỚP 12 ( Hướng dẫn chấm này có trang ) Lưu ý: • Làm tròn điểm. đoạn OK thi OH uuuur và OK uuuur cùng hướng nên OH uuuur . OK uuuur = OH.OK Nên OH.OK = 8 ⇔ OH uuuur . OK uuuur =8 ⇔ ⇔ t = 18 ⇒ (8; 4; 8)K − − *TH2: Điểm O ở giữa O và K thi OH uuuur . 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) , (1) 4 2 2 2 2 x x x m x x x x x x R + + + > + + = + = + ≥ + = ∀ ∈ thi 2 2 1 ' 1 2 x y x x m + = − + + xác định trên R + Từ (1) 2 2 2 2 1 2 1 1 , 1 1,