Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về tính đạo hàm của những hàm số đơn giản hơn. Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ bài này,ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. 1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số ĐỊNH LÍ 1 Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và cũng có đạo hàm trên J, a) ; b) . Ghi chú. Các công thức có thể viết gọn là và Chứng minh a) Tại mỗi điểm ,ta có * * . Vậy . b) Kết luận này được chứng minh tương tự Nhận xét Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J thì trên J ta có . Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng . Giải Trên khoảng ta có Vậy a) Tính nếu . b) Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng minh rằng với mọi x thuộc R,ta có . 2. Đạo hàm của tích hai hàm số Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm của hai hàm số đó. Liệu điều tương tự có xảy ra đối với tích của hai hàm số hay không? Định lí sau sẽ trả lời câu hỏi đó. ĐỊNH LÍ 2 Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số cũng có đạo hàm trên J,và ; Đặc biệt,nếu k là hằng số thì Ghi chú. Các công thức trên có thể viết gọn là và Chứng minh Đặt . Ta sẽ tìm đạo hàm của f tại một điểm x tùy ý thuộc J. Khi biến số nhận số gia =u(x + \Delta x)-u(x) \Rightarrow u(x + \Delta x)=u(x) + \Delta u [/ct] Tương tự, do nên Ta sẽ sử dụng các đẳng thức trên để tính đạo hàm của hàm số f. * . * . Để ý rằng , . Ta có kết quả: . Khi (hằng số) thì nên ta có . Cách tính đạo hàm như sau đúng hay sai,tại sao? Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số trong mỗi trường hợp sau : a) ; b) . Giải a) b) . a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u,v và w có đạo hàm trên J thì hàm số f xác định bởi (với mọi ) cũng có đạo hàm trên J và . b) Áp dụng ,tính đạo hàm của hàm số tại điểm . 3. Đạo hàm của thương hai hàm số Sử dụng định nghĩa,ta cũng chứng minh được định lí về đạo hàm của thương hai hàm số ĐỊNH LÍ 3. Nếu hai hàm cố và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và Ghi chú. Công thức trên có thể viết gọn là Chứng minh hệ quả dưới đây HỆ QUẢ a) Trên ta có b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có Ghi chú. Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là . Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ,nếu : a) (a là hằng số) b) . Giải a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có . b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho sau đây Đạo hàm của hàm số bằng (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4. Đạo hàm của hàm số hợp a) Khái niệm của hàm số hợp Ví dụ 4. Cho hai hàm số và ,trong đó và . Nếu trong , ta thay biến số u bởi u(x) thì được Đặt .Rõ ràng là một hàm số biến số x. Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u. Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số được cho bởi biểu thức) Cho hai hàm số và . Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x),ta được biểu thức với biến x. Khi đó,hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Trong định nghĩa trên,tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của x sao cho biểu thức có nghĩa CHo và .Hãy tìm hàm số hợp và tập xác định của nó. b) Các tính đạo hàm của hàm số hợp ĐỊNH LÍ 4 a) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có đạo hàm tại điểm thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm và . b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp có đạo hàm trên J và . Ghi chú. Công thức thứ hai trong định lí trên còn được viết gọn là Ví dụ 5. Đối với hàm số được nêu trong ví dụ 4, ta tính đạo hàm của nó như sau: Ta có . Do và . Vậy . Tổng quát ta xét hàm số (với và ). Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian . Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp (còn viết là ) như sau : ; . Ghi chú . Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là Tương tự,ta xét hàm số . a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hơp của hàm số f và hàm số trung gian . b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số cũng có đạo hàm trên J và HỆ QUẢ 2 Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số có đạo hàm trên J,và Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là Ví dụ 6 . GHI NHỚ a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây ) b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây ) c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ): Các dạng bài liên quan: Trắc nghiệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân Đạo hàm và ứng dụng Một số bài tập Baì 70950 Đạo hàm cấp hai của hàm số là: Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68518 Tìm đạo hàm cấp n của Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68517 Tính đạo hàm cấp n của : Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68149 Cho hàm số . Biểu thức có giá trị bằng bao nhiêu? Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68148 Vi phân của hàm số: bằng biểu thức nào sau đây? Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68147 Cho hàm số . Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là: Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68146 Cho hàm số . , ta có Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68145 Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng: Chọn một đáp án dưới đây A. Vì f(0) = 0 nên B. Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại C. Vì nên D. Vì < Click để xem đáp án Baì 68144 Cho hàm số: . Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là: Chọn một đáp án dưới đây A. B. C. D. < Click để xem đáp án Baì 68143 Cho hàm số: . Chọn mệnh đề đúng: Chọn một đáp án dưới đây A. Vì 2 là hằng số nên B. Với thì C. Với x>2 thì D. Hàm số không có đạo hàm tại điểm . Đạo hàm cấp hai Xét hàm số . Hàm số này có đạo hàm . Hiển nhiên, cũng là một hàm số có đạo hàm và đạo hàm của nó là Ta gọi đó là đạo hàm cấp hai của hàm số ban đầu. Một cách tổng quát,ta có định nghĩa sau đây ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f có đạo hàm .Nếu cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm f và kí hiệu là ,tức là . còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f.Đạo hàm cấp hai của hàm số còn được kí hiệu là Ví dụ 1.Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau a) b) . Giải a) . b) . [...]... thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm càng Trong cơ học,giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại thời điểm (hay gia tốc tại thời điểm ) của chât điểm đó ,va được kí hiệu là Vậy Do đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như sau : Gia tốc (tức thời) tại thời điểm của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình đạo hàm cấp hai của... thời điểm ,tức là bằng Gia tốc tại thời điểm đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó Ví dụ 2 Một chất điểm chuyển động có phương trình (Phương trình này gọi là phương trình dao động điều hòa) Khi đó,vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là Gia tốc tức thời tại thời điểm t là Phương trình chuyển động của một chất điểm là (s) ).Tính gia tốc của chuyển động tại . Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc. thì được Đặt .Rõ ràng là một hàm số biến số x. Ta gọi g là hàm số hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u. Một cách tổng quát, ta có khái niệm hàm số hợp như sau (ở đây ta chỉ xét các hàm số. biến x. Khi đó,hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian. Trong định nghĩa trên,tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của x sao cho biểu