§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I> Lý thuyết . 1) Hệ trục tọa độ trong khơng gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc được gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian. 2) Tọa độ của véc tơ: .kz jy i x u z) y, (x,u z) y, (x, u ++=⇔⇔= Tính chất: Cho các véc tơ )z ,y ,(x u ),z ,y ,(x u 22221111 == và số k tùy ý, ta có: );z z ;y y ; x (x u u )2 ;z z ,y y , x x u u )1 21212121 0 21212121 0 ±±±=±===⇔= ;z y x u )5 ;zz yy x x uu )4 );kz ;ky ;(kx uk )3 2 1 2 1 2 11 0 21212121 0 1111 0 ++=++== ( ) 0. zz yy x x 0 u .u u u )7 ; z y x.z y x zz yy xx u ,ucos )6 2121212121 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 0 =++⇔=⇔⊥ ++++ ++ = 3) Tọa độ của điểm: z). y, (x, OM z) y, (x, M =⇔= 4) Liên hệ giữa tọa độ của véc tơ và tọa độ của hai điẻm mút: A(x A , y A , z A ), B(x B , y B , z B ) thì .)z - z( )y - (y ) x- (x AB )2 );z - z ,y - y , x- (x AB )1 2 AB 2 AB 2 AB 0 ABABAB 0 ++== 5) Tích có hướng của hai véc tơ: Tích có hướng của hai véc tơ )c' ,b' ,(a'v vàc) b, (a, u là một véc tơ, ký hiệu là [ ]         = b' s' b a ; a' c' a c ; c' b' c b v ,u . Tích có hướng có những tính chất và ứng dụng sau: [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ;v // u 0 v ,u )3 ;v ,usin.v.u v ,u )2 0; v.v ,u u.v ,u )1 000 ⇔==== w ,v ,u )4 0 đồng phẳng ⇔ [ ] [ ] [ ] .AD.AC ,AB 6 1 V )6 ;AC ,AB 2 1 S )5 0; w.v ,u ABCD 0 ABC 0 === ∆ 6) Phương trình mặt cầu tâm I(x 0 ; y 0 ; z 0 ) bán kính R là: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 . Ngược lại, pt x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là pt của mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính d - c b a R 222 ++= nếu d - c b a 222 ++ > 0 II> Bài tập áp dụng. VD1: Trong kg với hệ tọa độ oxyz cho tgABC với A(1;0;1) ,B(-1;1;2) , C(-1;1;0) a) Tính độ dài AB và AC b) Xác đònh góc BAC và góc giữa hai đ/t AB và AC Giải: Ta có AB = (-2;1;1) , AC = (-2;1;-1) a) AB = 6 AC = 6 b)Gọi Ψ là góc giữa hai véc tơ AB & AC . Ta có cosA = cos Ψ = 2/3 ⇒ Ψ nhọn , vậy Ψ là góc giữa hai đ/t AB và AC . Ví dụ 2 :Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,0,1) , B(-1,1,2) , C(-1,1,0) vàD(2,-1,-2) a)Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh một tứ diện. b) Tính đường cao DK của tam giác BCD. c)Tính góc CBD và góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD. d)Tính thể tích của tứ diện ABCD và tính đường cao AH của tứ diện ABCD. Hướng dẫn giải : a/Chứng minh các véctơ AB, AC, AD không đồng phẳng Ta có : 02., ≠−=       ADACAB ⇒ đpcm b) Ta có S = ½ BC.DK ⇒ DK = 2S/BC Mà S =       DKBC, 2 1 = 13 , BC = 2 . Vậy : DK = 13 c/Góc BCD = (CB,CD) = 29 4 .Góc giữa AB và CD là ϕ thì cos ϕ = |cos(AB,CD)|= 102 10 d) Ta có thể tích tứ diện ABCD = 1/6 thể tích hh có ba cạnh xuất phát từ A là AB,AC,AD Vậy : V ABCD = 1/3 Ta có AH = 13 13 3 = S V ABCD III>Bài Tập tự làm. 1. Cho ba véc tơ 5) 5; (-2; a 3),- 2; (2; b 3), 0; (-1; a === Tìm tọa độ của véc tơ x biết: .c 3 2 b - a x d) ;c3 - b 3 1 - a5 x c) ;c 3 2 - b3 a 2 1 - x b) ;c2 - b a x )a +==+=+= .0 c 3 2 - b x 3 1 - a3 h) ;0 c2 b3 - x 3 1 a 2 1 g) ;0 c3 b2 x5 a2 - f) ;0 c2 - b - x3 a )e =+=++=+++=+ 2. Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng: a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1); c) A(0; -2; 5), B(3; 4; 4), C(2; 2; 1); d) A(1; -1; 5), B(0; -1; 6), C(3; -1; 5); e) A(1; 2; 4), B(2; 5; 0), C(0; 1; 5); f) A(1; 1; 1), B(0; -1; 0), C(3; 5; 3); 3. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của M: a) Trên các mặt phẳng tọa độ. b) Trên các trục tọa độ. 4. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua: a) Gốc tọa độ; b) mp(Oxy; c) Trục Oy. 5. a) 3 điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng. b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7). Tìm M ∈ mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất. c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11). Tìm M ∈ mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất. 6. a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại. b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x 1 , y 1 , z 1 ), C(x 3 , y 3 , z 3 ), B’(x’ 2 , y’ 2 , z’ 2 ), D’(x’ 4 , y’ 4 , z’ 4 ). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại. 7. CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật. Tính độ dài các đường chéo, tọa độ tâm và góc giữa hai véc tơ .BD vàAC 8. CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành. Tính độ dài các đường chéo và diện tích của hình bình hành đó. 9. Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số nào? Tìm tọa độ của điểm M. 10. Cho ba véc tơ 1) 2; (3; c 1),- 0; (4; b 1), 1;- (1; a === Tính: ( ) ( ) ( ) .c5 - b ca4 e) ;bc bba2 - a3 d) ;ac cb ba c) ;cba b) ;cba )a 2222222 ++++ 11. Tính góc giữa hai véc tơ b vàa trong mỗi trường hợp sau: 3) 2;- (1; b 1),- 3;- (4; a )c 3);- 0; (6; b 4), 5; (2; a )b 3); 2; (-1; b 1), 3; (4; a )a ====== 12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm A = (3; 1; 0) và B(-2; 4; 1). b) Trên mp(Oxz), tìm điểm cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1). 13. Tính tích có hướng [ ] .v ,u . Biết rằng: ( ) ( ) ;3- 1;- 3; v ,1- 1; 1; u )a == ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 4; 4; v ,1 1;- 1; u )d ;2 1; 4; v ,1 1; 0; u )c ;3 0; 3;- v ,1- 1;- 0; u )b ====== 14. Tính [ ] .w. v ,u Biết rằng: ( ) ( ) 1); 3; (0; w ,3 1; 4; v ,1- 1;- 1; u )a === ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .3 1;- 4;- w ,4 0; 4;- v ,1- 1; 2;- u )c ;1- 1; 2;- w ,3- 1; 3; v ,2- 1;- 0; u )b ====== 15. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ c vàb ,a trong mỗi trường hợp sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1 2; 1; c ,2 1;- 2; b ,4 3; 4; a )b ;3 2; 4; c ,2 1; 0; b ,1 1;- 1; a )a ====== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1 2; 2;- c ,1 1; 1; b ,2- 1; 3;- a )d ;1 0; 2; c ,3 1; 3; b ,5 2; 4; a )c ====== 16. Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1). a) CMR: ∃ ∆ABC; b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC; c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành; d) Tính độ dài đường cao AH và các góc của ∆ABC. e) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B. 17. Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1). a) ∃ tứ diện ABCD; b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối; c) Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. 18. Hãy chứng minh các tính chất sau đây của tích có hướng của hai véc tơ: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;bk ,a b ,ak b ,ka c) ;0 a ,a b) ;a ,b - b ,a a) ==== [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) .b.a b.a b ,a f) ;c.b ,a c ,b.a e) ;b ,c a ,c b a ,c d) 2 222 −==+=+ 19. Tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết V ABCD = 5. Tìm tọa độ đỉnh D. 20. Cho 4 điểm A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0), D(1; 2; 1). a) CMR: ∆ABC vng và tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. b) CMR: ∃ tứ diện ABCD và tính thể tích của tứ diện. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 21. Cho hình lậpphương ABCD cạnh a. M, N là trung điểm của AD, BB’. a) CMR: A’C ⊥ (AB’D’) và A’C ⊥ MN. b) Tính ( ) .V và'AC ,MNcos CMNA' 22. Tứ diện ABCD có SC = CA = AB = ,2a SC ⊥ (ABC), ∆ABC vng tại A. Các điêm M ∈ SA, N ∈ BCAM = CN = t (0 < t < 2a). a) Tính độ dài MN và tìm t để MN ngắn nhất. b) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vng góc chung của BC và SA. $2 :PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu * Giả Sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0 Điểm M(x;y;z) ∈ (S) ⇔ IM 2 = R 2 ⇔ (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 (1) Phương trình (1) gọi là phương trình mặt cầu Đặc biệt khi I ≡ O (góc tọa độ) Phương trình (1) trở thành : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 * Ngược lại phương trình dạng : x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2) y I(a;b;c) z (x;y;z) M R x o với A 2 +B 2 +C-D>0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) và bán kính R= 2 2 2 A B C D+ + − 2. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp ( α ) và mặt cầu (s) có phương trình : ( α ) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 = R 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a,b,c) của (S) trên mp α ⇒ IH = d(I,( α )) Ta xét các trường hợp : a) Nếu IH<R : thì giao của ( α ) ∩ (S) là một đưong tròn tâm H và có bk r = 22 − IHR ; xác đònh bởi hệ pt :    =−+−+− 0=+++ 2222 R)cz()by()ax( DCzByAx với đk : d(I, ( α )) <R b) Nếu IH = R thì ( α ) ∩ (S)= φ *Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn: + bán kính ),( 22 α IdRr −= + Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp(α))  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α) : ta có α na d =  Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α) 3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu      += += += tazz tayy taxx d 3o 2o 1o : (1) và ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:(S) 222 =−+−+− (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A ª ( ) ( ) ( ) 2 Rczbyax:R)S(I, 222 =−+−+− (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R 2 Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB  Tâm I là trung điểm AB  Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R 2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp( α ) 222 )( CBA D I zC I yB S ++ +++ == I A.x )d(I, R I tâmcầu mặt Pt α Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Dùng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 =+−−−++ A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒ hệ pt, giải tìm a, b, c, d Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222 =+−−−++ (2)  A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).  I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α).  Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d. Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A. Tiếp diện ( α ) của mc(S) tại A : ( α ) qua A, → = IA n vtpt  3 .Bài t ập áp dụng. Ví dụ1 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) và tiếp xúc với mp ( α ) có phương trình : x+2y-2z+5=0 Giải :Bán kính R của mặt cầu : R = 1= 2−+2+1 5+12−12+2− 222 )( )()()( Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 = 1 Trong kg (Oxyz) cho mặt cầu (S) & mp ( α ) có pt Ví dụ2 : (S) : x 2 +y 2 +z 2 -6x-2y+4z+5=0 ( α ) : 2x+y-2z-8=0 a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S). b. Viết pt tiếp diện mặt cầu (S) tại M(4;3;0) c. C/m ( α ) cắt (S). Viết phương trình đường tròn giao tuyến. Tìm tâm & bán kính đường tròn giao tuyến Giải : a. Đưa về phương trình : (x-3) 2 +(y-1) 2 +(z+2) 2 =9 ⇒ Tâm I (3;1;-2) ; bk R=3 b. M 0 ∈ (S) ; 0 IM = (1;2;2). Phương trình tiếp diện : x+2y+2z-10=0 c/ d(I;( α ) =1<R=3 ⇒ ( α ) cắt (S) phương trình đường tròn giao tuyến    9=2++1−+3− 0=8−2−+2 222 )z()y()x( zyx * Đường thẳng ∆ ∋ I, ∆ ⊥ α có pt tham số ;      2−2−= +1= 2+3= tz ty tx ; (t ∈ R tham là số) tham số giao điểm ∆ và ( α ) : t= 3 1 − toạ độ tâm đường tròn ; H       3 4 − 3 2 3 7 ;; .BK: r = 22 − IHR = 2 2 Ví d ụ 3: Lập pt mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt đt (d)là giao tuyến của hai mp : 5x–4y+3z+20=0 và 3x – 4y + z –8 = 0 tại hai điểm A và B sao cho AB=16 Giải: Gọi H làhình chiếu vuông góc của I/AB → H là trung điểm AB Từ đó R 2 = IA 2 = IH 2 + AH 2 = IH 2 + 4 2 AB Gọi (P) là mp qua I & vuông góc với (d) (nhận vtcp của (d) là a =(2,1,-2) làm 1 vtpt) có phương trình : 2x+y-2z-9=0 . Ta có H là giao điểm của d và (P) ⇒ H (-3,-7,-11) ⇒ IH =15 suy ra R 2 =289. Vậy phương trình mặt cầu lập là :(x-2) 2 + (y - 3) 2 + (z + 1) 2 = 289 4) Bài t ập về nhà. Bài 1: Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: 1. 0128 222 =++−++ yxzyx 2. 04284 222 =−−++++ zyxzyx 3. 07524 222 =−−++−−− zyxzyx 4. 03936333 222 =+−+−++ zyxzyx Bài 2: Viết phương trình mặt cầu: 1.Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4. 2.Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1). 3.Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7) 4.i qua bn im (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) 5.i qua im A(1;3;0) ,B(1;1;0) v tõm I thuc 0x. Bi 3. 1.Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm I bỏn kớnh R cho trong cỏc trng hp sau: a) I(1; 0; -1), 2R = 8; b) 2R = AB vi A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3); c) I O v tip xỳc vi S 1 (I 1 , r). Vi I 1 (3; -2; 4), r = 1; d) I(3; -2; 4) v i qua A(7; 2; 1); e) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oxy); f) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oxz); g) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oyz). 2. Phng trỡnh no sau õy l phng trỡnh ca mt cu m ta phi tỡm I v R. a) x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0; b) x 2 + y 2 + z 2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0; c) x 2 + y 2 + z 2 - y = 0; d) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2x - 3y + 5z - 2 = 0; e) x 2 + y 2 + z 2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0; f) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 3x + 4y - 2z - 4 = 0; 3. Vit phng trỡnh mt cu trong mi trng hp sau: a) i qua A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) v cú tõm thuc mp(Oxy); b) i qua A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) v cú tõm thuc trc Oz; c) i qua 4 im A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1). 4. Cho 6 im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) vi aa = bb = cc 0; a a, b b, c c. a) CMR: cú mt mt cu i qua 6 im núi trờn; b) CMR: .thng i qua gc O v trng tõm ABC vuụng gúc vi mp(ABC). 5. a) Tỡm tp hp tõm cỏc mt cu i qua im A(a; b; c) cho trc v cú bỏn kớnh R khụng i. b) Cho 4 im A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho 4. MD MC MB MA =+++ c) Cho 3 im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 = MO 2 (O l gc ta ). Bài 4 : Cho họ mặt cong (S m ) có phơng trình: ( ) 04624: 2222 =++++ mmzmymxzyxS m a) Tìm điều kiện của m để (S m ) là một họ mặt cầu . b) CMR tâm của (S m ) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. Bài 5 : Cho họ mặt cong (S m ) có phơng trình: ( ) 05824: 22222 =+++ mymmxzyxS m a) Tìm điều kiện của m để (S m ) là một họ mặt cầu . b) Tìm quĩ tích tâm của họ (S m ) khi m thay đổi. c) Tìm điểm cố định M mà (S m ) luôn đi qua. Bài 6 : Cho họ mặt cong (S m ) có phơng trình: ( ) 03cos2sin2: 222 =++ mymxzyxS m a) Tìm điều kiện của m để (S m ) là một họ mặt cầu . b) CMR tâm của (S m ) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi. c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m 0) ,cắt (C) tại T, S , đờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi . Bài 7 : Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết : a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1). c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7) Bài 8. Tỡm tõm v bỏn kớnh ca cỏc ng trũn sau: . 0 1 z 2y 2x 0 24 6z -4y 12x - z y x a) ; 0 1 2z -2y x 0 10 2z -2y 6x - z y x a) 222222 =+++ =++++ =++ =++++ Bài 9. Lp phng trỡnh tip din () ca mt cu (S): (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2 bit () song song vi mt phng (): Ax + By + Cz + D = 0. Bµi 10 b) Viết p.trình mặt cầu tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mp x + 2y – 2z + 5 = 0. c) Cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(BCD). d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và có tâm I nằm trên mp(α): x + y + z – 3 = 0. §3PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. HĐ 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1. Vectơ pháp tuyến của mp α : n  ≠ 0  là véctơ pháp tuyến của α ⇔ n  ⊥ α 2. Cặp véctơ chỉ phương của mp α : a  b  là cặp vtcp của α ⇔ a  , b  cùng // α 3 Quan hệ giữa vtpt n  và cặp vtcp a  , b  : n  = [ a  , b  ] 4. Pt mp α qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt n  = (A;B;C) A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0 (α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n  = (A; B; C) 5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 1 c z b y a x =++ Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến 6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Vò trí tương đối của hai mp (α 1 ) và (α 2 ) : ° 222111 C:B:AC:B:Acắt ≠⇔βα ° 2 1 2 1 2 1 2 1 // D D C C B B A A ≠==⇔ βα ° 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ===⇔≡ βα ª 0 212121 =++⇔⊥ CCBBAA βα 9.KC từ M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) đến ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 222 ooo CBA D Cz By Ax ++ +++ = )d(M, α 10.Góc gi ữa hai mặt phẳng: 21 21 . . nn nn   = ),cos( βα HĐ 2.CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C : ° ] )( →→ = AC , AB[nvtpt qua  ChayBhayA α Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° → = AB vtpt AB điểm trungMqua n  α Dạng 3: Mặt phẳng ( α ) qua M và ⊥ d (hoặc AB) ° ) (AB n → ⊥ = d a vtpt nên (d) Vì Mqua  α α // Dạng 4: Mp α qua M và // ( β ): Ax + By + Cz + D = 0 ° βα βα α n n vtpt nên // Vì M qua  = Dạng 5: Mp( α ) chứa (d) và song song (d / )  Điểm M ( chọn điểm M trên (d))  Mp(α) chứa (d) nên α aa d = Mp(α) song song (d / ) nên α ba d = / ■ Vtpt [ ] / , d d aan = Dạng 6 Mp( α ) qua M,N và ⊥ β : ■ Mp (α) qua M,N nên α aMN = ■ Mp (α) ⊥ mp (β) nên αβ bn = ° ],[ β α n nvtpt N) (hayM qua  → = MN Dạng 7 Mp( α ) chứa (d) và đi qua M ■ Mp( α ) chứa d nên α aa d = ■ Mp( α ) đi qua )(dM ∈ và A nên α bAM = ° ],[ AM nvtpt A qua → = d a  α HĐ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG Ví d ụ 1 . Viết PT mp( α )đi qua điểm P(1,-2,3)và song song với mặt phẳng( ) β có PT :2x + y–z +1= 0 ø Giải : Vì mp(β) có PT 2x + y – z +1 = 0 nên nó có VTPT là n 1 (2,1,-1) . Do mp( α ) song song với ømp(β) nên mp( α )cũng nhận n 1 (2,1,-1) làm VTPT.Do đó mp( α ) có PT là:2(x-1) + y+2 –(z-3) = 0 hay 2x+y-z+3= 0 Ví d ụ 2.Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1,3,-2) và B(1,2,1) Giải : HD: Mp trung trực của AB qua trung điểm của AB và nhận AB làm véc tơ pháp tuyến Ví d ụ 3.Viết PT mp( α ) đi qua các hình chiếu của điểmM(2,-2,1) lên các trục tọa độ Giải:Hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là M 1 (2,0,0) ,M 2 (0,-2,0), M 3 (0,0,1) . Vậy PT mp cần tìm là : 1 122 =+ − + zyx Ví d ụ 4 : Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau : a. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với Oy b. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với đường thẳng MN với M=(0,2,-3) ; N=(1,-4,1) c. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và song song với mặt phẳng 2x –y +3z +4=0 Giải : a. Mặt phẳng đi qua điểm M0=(1,3,-2) và vuông góc với Oy là mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3,-2) và nhận → n =(0,1,0) làm VTPT nên có phương trình là : y=3 b. Mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3-2) và vuông góc với đường thẳng MN là mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3-2) và nhận MN → =(1,-6,4) VTPT nên có phương trình là : x-6y+4z +25=0 c. Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 2x-y+3z+7 =0 Ví dụ 5: Cho hai điểm M=(2,3,-4) , N=(4,-1,0) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN Giải :Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I=(3,1,-2) của MN và nhận MN → làm VTPT Do đó phương trình mặt phẳng là x-2y+2z + 3=0 Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC với A=(-1,2,3) ; B=(2,-4,3) ; C=(4,5,6) . Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC). Giải :Ta có mặt phẳng qua A,B,C đi qua A và nhận → n =[ AB → . AC → ] =(-18,-9,-39) làm vectơ pháp tuyến . Vậy phương trình mp là : 6x +3y +13z –39 = 0 Ví dụ7 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm P=(3,1,-1) , Q=(2,-1,4) và vuông góc với mặt phẳng 2x-y+3z –1=0 . Giải :Ta có → n =(2,-1,3) ; PQ → =(-1,-2,5) làm cặp vectơ chỉ phương . Nên có vectơ pháp tuyến là → n =(-1,13,5) và đi qua P nên có phương trình là : -x+13y +5z –5=0 Bài tập về nhà. Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt n r biÕt a, ( ) ( ) M 3;1;1 , n 1;1;2= − r b, ( ) ( ) M 2;7;0 , n 3;0;1− = r c, ( ) ( ) M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − = r d, ( ) ( ) M 2;1; 2 , n 1;0;0− = r e, ( ) ( ) M 3;4;5 , n 1; 3; 7= − − r f, ( ) ( ) M 10;1;9 , n 7;10;1= − r Bµi 2: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 1 1 A ; 1;0 , B 1; ;5 2 2     − −  ÷  ÷     c, 2 1 1 A 1; ; , B 3; ;1 3 2 3     −  ÷  ÷     Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ( ) α ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng ( ) β biÕt: a, ( ) ( ) ( ) M 2;1;5 , Oxyβ = b, ( ) ( ) M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − = c, ( ) ( ) M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + = d, ( ) ( ) M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − = Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ (2;1;2); (3;2; 1)a b − r r . Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ: a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z. c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z. Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ: a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z. Bµi 7: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a. Viết phương trình tổng qt các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b. Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói CD. C.ViẾT PTTQ của MP trung trực cạnh AB Bµi 8: Cho hai đt d và d’ lần lượt có PTTS là = − +   = −   = +  x 7 3t d : y 4 2t z 4 3t = +   = − +   = − −  x 1 t ' ;d ' y 9 2t ' z 12 t' Viết PT mp chứa d và song song với d’ Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt : a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận );4,3,2(n làm VTPT. b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. Bài 10: Lập PTTQ của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ. Bài11: (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0. Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q). Bài 12. Vit phng trỡnh cỏc mt phng () trong mi trng hp sau: a) i qua M(-1; 3; 2) v () Oy; b) i qua M(1; 3; 2) v () // mp(Oxz); c) i qua M(1; -2; -3) v vuụng gúc vi ng thng AB vi A(5; -4; 1), B(2; 0; 3) d) i qua M(0; 4; -1) v vuụng gúc vi mp(): 2x y + 3z + 5 = 0. Bài 13. Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2). Vit phng trỡnh mp(ABC). Bài 14. Vit phng trỡnh mt phng () i qua hai im P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) v vuụng gúc vi mp(): 2x y + 3z 1 = 0. Bài15. Cho im A(2; 3; -4). Hóy vit phng trỡnh mt phng i qua cỏc hỡnh chiu ca im A trờn cỏc trc ta . Bài16. Vit phng trỡnh mt phng () i qua im M 0 (2; -1; 2), song song vi trc Oy v vuụng gúc vi mt phng (): 2x y + 3x + 4 = 0. Bài 17. Cho hai t d v d ln lt cú PTTS l = + = = + x 7 3t d : y 5 t z 9 4t = = = + x 3t ' ;d ' y 4 t' z 18 4t ' Vit PT mp cha d v d. Bài 18. Xột v trớ tng i ca mi cp mt phng sau: a) x + 2y - z + 5 = 0 v 2x + 3y 7z - 4 = 0; b) x 2y + z + 3 = 0 v 2x y + 4z 2 = 0; c) x + y + z 1 = 0 v 2x + 2y 2z + 3 = 0; Bài 19. Xỏc nh l v m () // (), bit: a) (): 2x + ly + 2z + 5 = 0 v (): mx + 2y 4z + 8 = 0; b) (): 2x + y + mz 3 = 0 v (): x + ly + 2z + 9 = 0. Bài 20. Hai mp (): 2x - my + 3z - 6 + m = 0; (): (m + 3)x - 2y + (5m + 1)z - 10 = 0. Vi giỏ tr no ca m thỡ: a) () // (); b) () (); c) () ct ();() (). Bài 21. Trong khụng gian 0xyz cho t d : = = x 1 y 2 z 3 2 1 3 v mp (P) cú PT :3x+y+2z+2=0 Vit PT mp cha t d v vuụng gúc vi mp (P). Bài 22.Cho hai t d v d ln lt cú PTTS l = + = = + x 5 2t d : y 1 3t z 13 2t = + = = x 7 3t ' ;d ' y 1 2t ' z 8 Vit PT mp tip xỳc vi mt cu (S) : x 2 +y 2 +z 2 -10x+2y+26z+170=0 v song song vi hai ng thng trờn. Bài 23.Cho mt cu (S) cú ng kớnh l AB bit A(6;2;-5) v B(-4;0;7).Vit PTMP tit xỳc vi mt cu (S) ti A. Bài 24a) Cho mt cu cú phng trỡnh (S): x 2 + y 2 + z 2 6x 2y + 4z + 5 = 0 v im M 0 (4; 3; 0). Vit phng trỡnh mt phng tip xỳc vi mt cu (S) ti M 0 . Bài 25 a) Cho mp(): 2x + y - z7 = 0. Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Oz v to vi mp() mt gúc 60 0 . [...]... 10: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A( 1 ; -3 ; -1), B( -2; 1 ; 3) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB 2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ và vng góc AB Bài 11: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình 1) Viết phương trình mặt phẳng α qua A và vng góc d x −1 y +1 z −1 = = 2 1 2 2) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng α Bài 12: Trong khơng gian. .. độ giao điểm của d và d’ Bµi 11: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 2 x + y + 1 = 0 3 x + y − z + 3 = 0 d:  d’:  x − y + z − 1 = 0 2 x − y + 1 = 0 a.Chứng tỏ rằng d cắt d’ tại I.Tìm tọa độ điểm I b.Viết phương trình mp( α ) chứa d và d’ c.Tính thể tích phần khơng gian giới hạn bởi mp( α ) và các mặt phẳng tọa độ Bµi 12: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết... 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1,0,-1); B(2,-1,3) Viết pt t/số đường thẳng AB  x = 1+ t  Giải : pttsố đường thẳng AB :  y = −t ; (t ∈ R tham số)  z = −1 + 4t  Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số,chính tắc,của đường thẳng d đi qua điểm A(2,0,-1) và có vectơ chỉ phương u = (-1;3;5) x = 2 − t  Giải : pttsố : y = 3t ; t ∈ R tham số z = −1 + 5t  x − 2 y z +1 = = −1 3 5 Ví dụ 3: Trong không. .. // A’C 8 Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0 a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S); b) Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(α): x + y – z + k = 0 theo k; c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) và đ.thẳng ∆ đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(2; -1; 5) và viết p.trình các mặt phẳng tiếp xúc của (S) tại các giao điểm đó 9 Trong khơng gian Oxyz... H hình chiếu của A trên (Q).Suy ra tọa độ A' đối xứng của A qua (Q) Bài 13: Trong khơng gian Oxyz , cho 4 điểm A ( 3;2;0 ) , B ( 0;2;1) , C ( −1;1;2 ) , D(3; −2; −2) ( ABC ) Suy ra DABC là một tứ diện ( S ) tâm D và tiếp xúc mặt phẳng ( ABC ) 1 Viết phương trình mặt phẳng 2 Viết phương trình mặt cầu Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) 1 Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua M và song... độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d Bài 17: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3) 1 Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C 2 Gọi (d) là đường thẳng qua C và vng góc mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Oxy)  x = −2 + 4t  Bài 18: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – 9 = 0 và... qua T và vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) (Đề thi tốt nghiệp 2009) Bài 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình 6y+8z+1=0 1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N 2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện Bài 7: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3),... BC (Đề thi tốt nghiệp 2006) Bài 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng (α ) có phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0 1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng (α ) 2 Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) đi qua điểm E và vng góc mặt phẳng (α ) (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1) Bài 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0;... đương thẳng đi qua hai điểm M và N (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Bài 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1) 1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vng góc với đường thẳng BC 2 Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành (Đề thi tốt nghiệp 2008) Bài 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình: (S):... mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( α )  x = 1 + 2t  Bài 15: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 2; −1; 0 ) và đường thẳng d:  y = −1 − t  z = 2 + 3t  1.Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vng góc với d 2.Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Bài 16: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d : x +1 y + 3 z + 2 = = và điểm A(3;2;0) 1 2 2 1 Tìm tọa độ . §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I> Lý thuyết . 1) Hệ trục tọa độ trong khơng gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc được gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian. 2) Tọa độ. 6), D(2; 4; 6). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho 4. MD MC MB MA =+++ c) Cho 3 im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 . chỉ phương u = (-1;3;5) Giải : pttsố :      5+1−= 3= −2= tz ty tx ; t ∈ R tham số pt chính tắc : 5 1+ = 3 = 1− 2− zyx Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng