I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 1 − = − x y x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = – x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB. Câu II: (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình : 2 2 1 6 x xy y x y xy − − =   − =  2) Giải phương trình: 4 4 3sin 5cos 3 0x x+ − = Câu III: (1 điểm) Tính tích phân 6 2 2 1 4 1 dx x x+ + + ∫ Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 120 0 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Câu V: (1 điểm) Với mọi số thực dương a; b; c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) = + + − − − a b c P a b c II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo cương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), 1 ;0 , (2;0) 4    ÷   B C . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: 1 7 3 9 : 1 2 1 ∆ − − − = = − x y z và 2 ∆ : 3 7 1 2 1 3 = +   = −   = −  x t y t z t Câu VII.a: (1 điểm) Ký hiệu x 1 và x 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2x 2 – 2x + 1 = 0. Tính giá trị các số phức: 2 1 1 x và 2 2 1 x . B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;-10), phương trình đường phân giác trong thuộc đỉnh A và đường trung tuyến thuộc đỉnh B, lần lượt là x + 2y -1 = 0; 2x – y + 3 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh A và B của tam giác. 2) Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai điểm A(3;0;0) và B(2;-2;0). Xác định điểm C thuộc trục tung Oy sao cho A, B, C thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B, sao cho mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng Oxy một góc 6 π . Câu VII.b: (1 điểm) Giải bất phương trình x x x 2 4 2 (log 8 log )log 2 0+ ≥ HẾT SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI 8 TUẦN HỌC KỲ II MÔN TOÁN – KHỐI 12B, D Thời gian : 180 phút Câu Nội dung Điểm Câu 1(2đ) Cho hàm số 2 1 − = − x y x . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = – x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB. 1. a) TXĐ D= R\ {1} b) Sự biến thiên của hàm số - Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận Ta có 1 1 lim ; lim x x y y − + → → = −∞ = +∞ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số. Vì lim lim 1 x x y y →+∞ →−∞ = = nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. - Bảng biến thiên Ta có y’ = > ∀ ∈ − x D x 2 1 0, ( 1) x - ∞ 1 + ∞ y’ + + y + ∞ 1 1 - ∞ Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ( - ∞; 1) ; (1; + ∞) c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2) và trục hoành tại điểm ( -2;0) Đồ thị nhận giao điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng 2. Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị hàm số là nghiệm của PT 2 2 2 0 1 x x m x mx m x − = − + ⇔ − + + = − . PT luôn có hai nghiệm phân biệt x A ; x B với mọi m hay đường thẳng (d) luôn cắt ĐTHS tại hai điểm phân biệt A, B. Ta có AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) ⇒ AB ngắn nhất ⇔ AB 2 nhỏ nhất ⇔ m = 0. Khi đó 24=AB ????? 0.5đ 0,5.0đ 0.5đ Câu 2(2đ) 1) Giải hệ phương trình : 2 2 1 6 x xy y x y xy − − =   − =  2) Giải phương trình: 4 4 3sin 5cos 3 0x x+ − = SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 2009-2010 ĐÁP ÁN ĐỀ THI 8 TUẦN HỌC KỲ II MÔN TOÁN – KHỐI 12B, D Thời gian : 180 phút 1. 2 2 3 2 1 ( ) 1 ( ) 6 6 2 3 3 17 3 17 3 17 3 17 ; ; ; 2 2 2 2 x y xy x xy y x y xy xy x y x y xy x y xy Nghiem la x y x y  − =    = − − = − − =     ⇔ ⇔    − − = − − = − = −      = −        − − − + − + = = = =  ÷  ÷  ÷  ÷     4 4 4 2 2 2 2 2 2) 3sin 5cos 3 0 5 3(1 sin )(1 sin ) 0 cos 0 2 (2 8sin ) 0 1 sin 4 6 x x cos x x x x x k cos x x x x k π π π π + − = ⇔ − − + =  = = +    ⇔ − = ⇔ ⇔   =  = ± +    0.5đ 0,5đ 0.5đ 0.5đ Câu 3(1đ) Tính tích phân 6 2 2 1 4 1 dx x x+ + + ∫ Tính 2 1 4 1 dx J x x = + + + ∫ 2 2 2 6 2 1 1 4 1 4 2 1 1 ln( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 3 1 ln( 4 1 1) ln( 4 1 1) ln 2 12 4 1 1 4 1 1 t t x x dx tdt tdt t Ta co dt t C t t t t J x C I x x x − = + ⇒ = ⇒ =   = − = + + +   + + + +       ⇒ = + + + + ⇒ = + + + = −  ÷  ÷ + + + +     ∫ ∫ 0.5đ 0.5đ Câu 4(1đ) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 120 0 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Ta có tam giác SAB, tam giác SAC vuông tại S nên AB=AC= x Trong tam giác ABC ta có 2 2 2 2 2 0 2 2 3 os120 2 . 2 3 AB AC BC x a a c x AB AC x + − − = = ⇒ = Từ đó suy ra 6 3 a SA = . Vậy 3 0 1 1 1 2 . . . . . .sin120 3 3 2 36 ABC a V SA S SA AB AC ∆ = = = ( đvtt). 0.5đ 0.5đ C B A S Câu 5(1đ) Với mọi số thực dương a; b; c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) = + + − − − a b c P a b c Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 3 3 2 2 8 6 2 2 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 8 − − + + + + ≥ ⇔ ≥ + + a a a b c b c b c a b c b c . Dấu " = " xảy ra ⇔ 2a = b + c. Tương tự: 3 3 2 2 6 2 2 6 2 2 ; ( ) 8 ( ) 8 − − − − ≥ ≥ + + b b c a c c a b c a a b Suy ra: 1 4 4 + + ≥ = a b c P . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3 . Kết luận: minP = 1 4 0.5đ 0.5đ Câu6 (2đ) Câu7 (1đ) A. Theo cương trình chuẩn: Câu VI.a: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), 1 ;0 , (2;0) 4    ÷   B C . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: 1 7 3 9 : 1 2 1 ∆ − − − = = − x y z và 2 ∆ : 3 7 1 2 1 3 = +   = −   = −  x t y t z t 1. +) PT đường thẳng chứa các cạnh AB, AC và BC lần lượt là : 12x +9y – 3 =0 (d 1 ); 3x+4y-6=0 ( d 2 ); y=0 (d 3 ) +) PT đường phân giác trong của góc B là : 4x – 2y-1=0 +) PT đường phân giác trong của góc là C: x+3y-2=0 +) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I 7 7 ; 14 14    ÷   , bán kính R= d( I, BC)= 7 14 Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác là (C) 2 2 7 7 49 14 14 196 x y     − + − =  ÷  ÷     2. Ta có ( ) 1 1 1 7 3 9 : (7;3;9) ; 1;2; 1 1 2 1 x y z A u ∆ ∆ − − − = = ⇒ ∈ − − ur 2 2 2 3 7 ( ) : 1 2 (3;1;1) ( ); (7; 2; 3) 1 3 x t y t B u z t = +   ∆ = − ⇒ ∈ ∆ − −   = −  uur Vì 1 2 . ; 0AB u u   ≠   uuur ur uur nên hai đường thẳng chéo nhau. M(7+t;3+2t;9-t) ∈∆ 1 ; N(3+7t’;1-2t’;1-3t’) ∈∆ 2   ⊥ ∆ =  ⇔ ⇔ = =   ⊥ ∆ =    MN MN u t t MN MN u 1 1 2 2 . 0 ' 0 . 0 uuuur uur uuuur uur . Vậy đường vuông góc chung đi qua hai điểm A, B 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu VII.a:(1điểm) Ký hiệu x 1 và x 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2x 2 – 2x + 1 = 0. Tính giá trị các số phức: 2 1 1 x và 2 2 1 x . PT có hai nghiệm 1 2 1 1 (1 ), (1 ) 2 2 = − = +x i x i 2 2 1 2 1 1 2 ; 2⇒ = = −i i x x 0.5đ 0.5đ Câu6 (2đ) Câu7 (1đ) B. Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1;-10), phương trình đường phân giác trong thuộc đỉnh A và đường trung tuyến thuộc đỉnh B, lần lượt là x + 2y -1 = 0; 2x – y + 3 = 0.Xác định toạ độ các đỉnh A và B của tam giác. 2) Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai điểm A(3;0;0) và B(2;-2;0). Xác định điểm C thuộc trục tung Oy sao cho A, B, C thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B, sao cho mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng Oxy một góc 6 π . 1.Vì A thuộc phân giác trong (l A ): x+2y-1 = 0 ⇒ A = (1-2y A ; y A ) Gọi M là trung điểm AC ⇒ M(1-y A ; 2 10− A y ). Vì M thuộc đường trung tuyến (m B ): 2x-y+3 = 0, nên ta có pt: 10 2 2 3 0 4 2 A A A y y y − − − + = ⇔ = , tức là A(-7; 4); M(-3;-3) N/X: trung tuyến m B vuông góc với phân giác trong l A tại I(-1;1), nên tam giác ABM cân đỉnh A ⇒ B & M đối xứng nhau qua l A , tức I(-1;1) là trung điểm đoạn BM, cho nên B(1; 5). 2. Gọi C(0; c; 0) thuộc trục tung Oy, ta có );0;2;1( −−=AB ( ) 0;;3 cAC −= . Khi đó điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là ACA &B cùng phương, tức là 6 21 3 −=⇔ − = − − c c ⇒ C(0; - 6; 0). Vì mp(P) chứa đường thẳng AB, không vuông góc với mặt phẳng (Oxy), nên mp(P) cắt trục Oz tại D(0; 0; d) (d khác 0), cắt trục Oy tại C, phương trình mp(P) có dạng 1 63 =+ − + d zyx ; gọi ( ) 1;0;0; 1 ; 6 1 ; 3 1 =       −= k d n , giả thiết mp(P) hợp với mp(Oxy) 0.5đ 0.5đ 0.25đ một góc 6 π , ta có phương trình 6 cos 1 36 1 9 1 .1 1 00 2 π = ++ ++ d d ⇔ 15 6 5 12 )12()365(3 2 3 365 6 222 2 ±=⇔=⇔=+⇔= + ddd d Các mp thoả mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: 2x – y + 15 z – 6 = 0 và 2x – y - 15 z – 6 = 0 (Cách khác: mp(P) chứa A, B thì chứa C, hơn nữa nó không vuông góc với mp(Oxy), nên nó cắt trục cao Oz tại D(0; 0; d) (d khác 0) H là hình chiếu của O lên AC, thì 5 6 63 6.3. 2222 = + = + = OCOA OCOA OH , khi đó tam giác ODH vuông tại O, 6 π =∠DOH chính là góc tạo bởi mp(P) với mp(Oxy) Nên ta có OD = OH.tan 15 6 15 6 6 ±=⇒= d π , có hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu bài toán lần lượt có pt: 2x – y + 15 z – 6 = 0 và 2x – y - 15 z – 6 = 0) Câu VII.b: (1 điểm) Giải bất phương trình x x x 2 4 2 (log 8 log )log 2 0+ ≥ x x x 2 4 2 (log 8 log )log 2 0+ ≥ ⇔ x x 2 2 log 1 0 log + ≥ ⇔ x x 1 0 2 1  < ≤   >  0.5đ 0.25đ 1,0đ . phương trình x x x 2 4 2 (log 8 log )log 2 0+ ≥ HẾT SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 200 9-2 010 ĐỀ THI 8 TUẦN HỌC KỲ II MÔN TOÁN – KHỐI 12B, D Thời gian : 180 phút Câu. Giải phương trình: 4 4 3sin 5cos 3 0x x+ − = SỞ GD-ĐT NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NĂM HỌC 200 9-2 010 ĐÁP ÁN ĐỀ THI 8 TUẦN HỌC KỲ II MÔN TOÁN – KHỐI 12B, D Thời gian : 180 phút. ngang của đồ thị hàm số. - Bảng biến thi n Ta có y’ = > ∀ ∈ − x D x 2 1 0, ( 1) x - ∞ 1 + ∞ y’ + + y + ∞ 1 1 - ∞ Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ( - ∞; 1) ; (1; + ∞) c) Đồ