Phòng gd -đt gia bình Đề thi khảo sát đội tuyển lần Iii Trờng thcs lê văn thịnh Môn : Toán 9 ( Thời gian : 150 phút - Không kể giao đề) Ngày. tháng 1 năm 2010 Bài1: ( 5 điểm). Giải phơng trình và hệ phơng trình sau: a) ( ) 3 3 2 1 1 x x x x x x + = ữ + + b) 3 3 3 8 3 8 x x y y y x = + = + Bài 2: ( 4 điểm): Cho phơng trình 2 0ax bx c+ + = ( a và b khác 0). a) Chứng minh rằng: nếu a, b. c là các số nguyên lẻ thì phơng trình bậc 2 trên không có nghiệm hữu tỉ. b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia là : 2 3 16 0b ac = . Bài 3( 4 điểm): a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 0 14 a b c a b c + + = + + = Tính giá trị biểu thức 4 4 4 1P a b c= + + + . b) Cho a,b là các số thực dơng. Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 a b a b a b b a + + + + . Bài 4(5,5 điểm): Cho 3 điểm A,B,C cố định, theo thứ tự đó và cùng nằm trên một đờng thẳng. Vẽ đờng tròn có tâm 0 thay đổi luôn đi qua B,C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AE, AF tới đờng tròn tâm 0 ( E,F là hai tiếp điểm ). Gọi I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF. a) Chứng minh rằng E,F luôn nằm trên một đờng tròn cố định. b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn tâm 0 tại M ( M khác F). Chứng minh rằng EM song song AB. c) Chứng minh rằng: tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NOI luôn nằm trên một đ- ờng thẳng cố định. Bài 5( 1,5 điểm ). Cho xy>0, thỏa mãn đẳng thức: ( ) ( ) 3 3 2 2 3 4 4 0x y x y x y+ + + + + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 P x y = + . Hết Đáp án và thang điểm Bài ý Nội dung Điể m 1 (5 điểm) a 2 điểm Đặt ẩn phụ: 3 1 x a x x = + + và ( ) 3 1 x x b x = + với điều kiện x khác -1 Ta có hệ: 3 2 a b ab + = = , từ đó (a=1, b=2) hoặc (a=2; b=1) Giải hai trờng hợp trên ta đợc đáp số: x=1 Thử lại thấy x=1 thỏa mãn phơng trình 1đ 1đ b( 3 điểm ) trừ vế ta đợc: ( ) ( ) 2 2 5 0x y x y xy + + + = +) x=y suy ra phơng trình: 3 11 0x x = suy ra 0; 11y x= = khi đó y=0 hoặc 11y = . +) 2 2 5x y xy+ + + >0 mọi x,y. Kết luận phơng trình đã cho có 5 nghiệm: (0;0), ( ) ( ) ( ) ( ) 11; 11 , 11; 11 , 11; 11 , 11; 11 1đ 0,5 1 0,5 2 ( 4điểm) a(2 điểm) a,b,c nguyên lẻ, a,b khác 0, ta sẽ chứng minh không thể là số chính phơng. Xét 2 4b ac = +) b 2 là số chính phơng lẻ khi chia cho 8 d là 1( Cần có c/minh) +) a và c nguyên lẻ chia 8 d 4( Cần có c/minh) +) 2 4b ac = chia 8 d 1-4=-3 hay d là 5 +) Số chính phơng khi chia 8 d là 0;1;4( Cần có c/minh) +) mâu thuẫn Vậy phơng trình bậc hai với a,b,c nguyên lẻ không có nghiệm hữu tỉ 0,5 0,5 0,5 0,5 b( 2 điểm ) *) Điều kiện cần: 2 4b ac = >0 và x 1 =3x 2 hoặc x 2 =3x 1 +) Suy ra (x 1 -3x 2 )(x 2 -3x 1 )=0 +) Theo vi ét: 1 2 1 2 b x x a c x x a + = = +) Ta thay vào và biến đổi đợc kết quả 3b 2 -16ac=0 *) Điều kiện đủ: Nếu 3b 2 -16ac=0 suy ra: 2 3 4 4 b ac = >0 Xét 2 4b ac = = 2 4 b >0 ( vì bkhác 0) +) Ta tìm đợc 1 2 3 ; 4 4 b b x x a a = = +) nh vậy phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 4 điểm a 2 điểm +) Từ gt tìm đợc: ab+bc+ca=-7 +) Bình phơng (a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 ) 2 =49 +)Suy ra ( ) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 196a b c a b b c c a+ + + + + + = +) 4 4 4 1 98 1 99P a b c= + + + = + = b)2 điểm +) Từ bđt ta có: ( ) ( ) 1 2 2 a b a b ab a b + + + + + Ta chứng minh: 2a b ab+ +) Ta chứng minh: 1 1 1 ;( ) ( ) 0 2 4 4 a b a b a a b b+ + + + + + +) chỉ ra dấu bằng khi a=b=1/2 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 ( 5,5 điểm) Vẽ hình ghi GT, KL 0,5đ E M B C A a(2điểm) +) Chứng minh: AE 2 =AF 2 =AB.AC không đổi +) Suy ra E,F cùng nằm trên đờn tròn tâm A, bán kính .AB AC 1 1 b( 2 điểm) +) 5 điểm A,E,F,I,0 cùng nằm trên đờng tròn +) Góc AEF bằng góc EMF ( cùng chắn cung EF), góc AIF bằng góc AEF ( cùng chắn cung AF), suy ra hai góc bằng nhau +) Suy ra góc EMF bằng góc AIF + Suy ra hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị, nên hai đờng thẳng song song 0,5 0,5 0,5 0,5 c)2 điểm) +) Gọi giao của EF và AC là P, chứng minh điẻm P cố định +) Gọi J là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác NOI, chính là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác NOIP, thì I thuộc đờng trung trực của PI cố định 1 1 Bài 5 ( 1,5 điểm) 1,5 điểm +) Thực hiện biến đổi phá ngoặc, ghép thành hằng đẳng thức: ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 2 0x y x y+ + + + + + = +) Suy ra x+y=-2 +) Biến đổi P đợc: 1 1 2x y P x y xy xy + = + = = +) lập luận: P lớn nhất thì (2/xy) nhỏ nhất, tơng đơng xy lớn nhất. mà ( ) 2 4x y xy+ dấu bằng xảy ra khi x=y. Từ đó xy lớn nhất bằng 1 khi x=y=-1 +) Vậy P lớn nhất bằng -2 khi x=y=-1 0,5 0,5 0, * HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng F 0 I . Phòng gd -đt gia bình Đề thi khảo sát đội tuyển lần Iii Trờng thcs lê văn thịnh Môn : Toán 9 ( Thời gian : 150 phút - Không