Giải tích tổ hợp Xác suất Các quy tắc đếm Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp I Các quy tắc đếm 1/ Quy tắc cộng Một công việc A đợc chia k c«ng viƯc A1 , A2 , … , Ak để thực ; công việc độc lập không liên quan đến Trong : + Công việc A1 có n1 cách thực + Công việc A2 có n2 cách thực + Công việc A3 có n3 cách thực + Công việc Ak có nk cách thực Khi số cách thực công việc A : (n1 + n2 + + nk) cách 2/ Quy tắc nhân Một công việc A đợc thực lần lợt qua k giai đoạn A1 , A2 , , Ak Trong : + Giai đoạn A1 có n1 cách thực + Giai đoạn A2 có n2 cách thực + Giai đoạn A3 có n3 cách thực + Giai đoạn Ak có nk cách thực Với cách thực giai đoạn không trùng với cách thực giai đoạn lại Khi số cách thực công việc A : (n1 n2 nk) cách ã Chú ý : Với toán phải chia trờng hợp sau xét trờng hợp ta phải dùng quy tắc cộng II Hoán vị 1/ Khái niệm : Cho tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) Khi cách thứ tự n phần tử X gọi hoán vị n phần tử 2/ Công thức tính số hoán vị n phần tử Pn = n! = 1.2.3n III Chỉnh hợp 1/ Khái niệm : Cho tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) Khi chỉnh hợp chập k cđa n phÇn tư (0 ≤ k ≤ n , k N) thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử X 2/ Công thức tính số chỉnh hợp chập k n phần tử Ak = n n! (0≤k ≤n) (n − k) ! • Chó ý : Hoán vị chỉnh hợp chập n n phần tử khác Pn = A n = n n! =n! (n − n) ! IV – tæ hợp 1/ Khái niệm : Cho tập hợp X gåm n phÇn tư ( n ≥ 1) Khi tổ hợp chập k n phần tử (0 ≤ k ≤ n , k ∈ N) lµ tập gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử X 2/ Công thức tính số tổ hợp chập k n phần tư Ck = n 3/ C¸c tÝnh chÊt cđa tỉ hợp k n-k ã Cn = Cn k k+1 n! k!(n − k) ! (0≤k ≤n) k+1 • Cn + Cn = Cn + 4/ Chó ý : Ph©n biệt hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp ã Hoán vị thứ tự toàn phần tư cđa tËp X Trường THPT Gị Cơng Đơng GV: Trn Duy Thỏi ã Chỉnh hợp lấy vài phần tử X thứ tự ã Tổ hợp lấy vài phần tử X không thứ tự Giải tích tổ hợp Xác suất Dạng : Bài toán tập hợp số A Một số ý 1/ Số chẵn : Chữ số tận : ; ; ; ; 2/ Số lẻ : Chữ số tận : ; ; ; ; 3/ Dấu hiệu chia hết cho : Tổng chữ sè chia hÕt cho 4/ DÊu hiÖu chia hết cho : Tổng chữ số chia hết cho 5/ DÊu hiÖu chia hÕt cho : Sè tËn cïng lµ ; 6/ DÊu hiƯu chia hÕt cho : Sè ®ã ®ång thêi chia hÕt cho vµ 7/ DÊu hiÖu chia hÕt cho : Hai sè tËn cïng chia hÕt cho 8/ DÊu hiÖu chia hÕt cho : Ba sè tËn cïng chia hÕt cho 9/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 10 : Số tận ã Giả sử số phải lập có dạng : N = a1a 2a 3a a n Khi chọn chữ số a1 , a2 , … , an ta chän nh÷ng ch÷ số bị ràng buộc trớc Ví dụ + a1 phải khác + Nếu N lẻ an phải chọn số lẻ ; ; ; ; B Bµi tËp Bµi : Cho tập A có phần tử 1,2,3,4,5,6,7 Có số có năm chữ số đôi khác đợc lấy từ tập A Giải Cách ã Tập A không chứa số ã Số số có năm chữ số đợc lấy từ tập A số chỉnh hợp chập phần tử nên có A5 = 2520 số Cách : Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a 4a • Chän a1 cã cách (chú ý a1 ) ã Chọn a2 có cách ã Chọn a5 có cách Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3 = 2520 số thoả mÃn Bài : Cho tập A có phần tử 0,1,2,3,4,5,6,7 Có số có năm chữ số đôi khác đợc lấy từ tập A Giải Cách ã Tập A chứa số ã Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a a ã Chọn a1 có cách a1 ã Bốn chữ số lại có A cách chọn Theo quy tắc nhân co A = 5880 số thoả mÃn Cách : Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a 4a ã Chọn a1 có cách a1 ã Chọn a2 có cách ã Chọn a3 có cách ã Chọn a4 có cách ã Chọn a5 có cách Theo quy tắc nhân cã : 7.7.6.5.4 = 5880 sè tho¶ m·n Trường THPT Gị Cơng Đơng GV: Trần Duy Thái Gi¶i tích tổ hợp Xác suất Bài : Cho tËp A = {1,2,3,4,5} 1/ Tõ tËp A cã thÓ lập đợc số gồm có chữ số đôi khác ? Tính tổng số 2/ Từ tập A lập đợc số chẵn gồm có chữ số đôi kh¸c 3/ Tõ tËp A cã thĨ lËp đợc số lẻ gồm có chữ số đôi khác 4/ Từ tập A lập đợc số gồm có chữ số đôi khác cho số chia hết cho Giải 1/ a) Số số có chữ số đôi khác : P5 = A = 120 (sè) b) TÝnh tổng ã Nhận xét : Trong 120 số có 60 cặp số mà cặp số có tổng b»ng 66666 VÝ dơ : (12345 vµ 54321 ; 13254 53412 ; 43512 23154 ) ã Do , tỉng cđa 120 sè lµ : S = 60.66666 = 3999960 2/ Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a a Vì N số chẵn nên ã Chọn a5 có cách (1 , , 5) ã Chọn a1 có cách • Chän a2 cã c¸ch • Chän a3 cã cách ã Chọn a4 có cách Theo quy tắc nhân có : 3.4.3.2.1 = 72 (số lẻ) 3/ Tơng tự có 2.4.3.2.1 = 48 số chẵn 4/ Gọi số cần tìm N = a1a 2a Vì N số chia hết ta cã : (a1 + a2 + a3 ) chia hÕt cho Nên ta chọn ba chữ số (a1 ; a2 ; a3 ) lµ : {(1,3,5) ; (2,3,4)} ã Trờng hợp : Chọn (1,3,5) cã P3 = A = sè tho¶ m·n ã Trờng hợp : Chọn (2,3,4) cã P3 = A = sè tho¶ m·n Theo quy t¾c céng cã : + = 12 số thoả mÃn Bài : Với số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số tự nhiên có chữ số đôi khác có mặt chữ số Giải Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a Cách : Bớc : Tìm tất số có chữ số khác ã Chọn a1 có cách a1 ã Chọn a2 có cách ã Chọn a3 có cách ã Chọn a4 có cách Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.4 = 720 số Bớc : Tìm tất số có chữ số khác nhng chữ số (bỏ ch÷ sè 5) Cã 5.5.4.3 = 300 sè Bíc : Số số có chữ số đôi khác có mặt chữ số lµ : 720 – 300 = 420 sè C¸ch - Chän a1 = - Chän a2 = … - Chän a4 = Bµi : Có số có chữ số khác tạo thành từ chữ số 1,2,3,4,5,6 mà số nhỏ 345 Giải Gọi số cần tìm N = a1a 2a Vì N < 345 nên a1 , , ã Trờng hợp : a1 = ⇒ N = 1a a Trường THPT Gị Cơng Đơng GV: Trần Duy Thái Gi¶i tích tổ hợp Xác suất + Chọn a2 có c¸ch chän + Chän a3 cã c¸ch chän ⇒ Cã 5.4 = 20 sè d¹ng 1a 2a ã Trờng hợp : a1 = ⇒ N = 2a a + Chän a2 cã c¸ch chän + Chän a3 cã cách chọn Có 5.4 = 20 số dạng 2a a ã Trờng hợp : a1 = ⇒ N = 3a 2a * Chän a2 cã c¸ch chän (1 , , ) - NÕu a2 = th× a3 cã cách chọn (2,4,5,6) Có số dạng 31a thoả mÃn - Nếu a2 = a3 có cách chọn (1,4,5,6) Có số dạng 32a thoả mÃn - Nếu a2 = a3 có cách chọn (1,2) Có số dạng 34a tho¶ m·n ⇒ Cã + + = 10 số dạng 3a 2a thoả mÃn VËy theo quy t¾c céng cã : 20 + 20 + 10 = 50 số thoả mÃn toán Bài : Cho chữ số 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đợc số gồm chữ số chữ số lặp lại lần , chữ số lại có mặt lần Giải Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a a 5a 6a a Vì N chữ số có mặt lần nên ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5 ã Chọn a1 có cách a1 ã Chọn a2 có cách ã Chọn a3 có cách ã Chọn a4 có cách ã Chọn a5 có cách ã Chọn a6 có cách ã Chọn a7 có cách ã Chọn a8 có cách Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 số * Trong N chữ số có mặt lần nên ta hoán vị chữ số N không thay đổi nên N bị lặp lại 3! lần Vậy số số thoả mÃn toán : 35280 = 5880 số 3! Ví dụ : Số 10355564 ta hoán vị chữ số đợc số Bài : Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh Giải ã Số số có chữ số đôi khác : P6 = A = 6! = 720 số ã Bây ta tìm số số có chữ số mà hai chữ số đứng cạnh - Hai chữ số đứng cạnh ta xem nh mét sè a thèng nhÊt VËy chữ số : 2,3,4,5,a Cã A = 5! = 120 sè - Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số a ta đợc 2! Số có thảy : 2!.120 = 240 số mà có hai chữ số đứng cạnh Vậy số số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh lµ : 720 – 240 = 480 sè Bµi : Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thĨ lËp đợc số có chữ số đôi khác cho số có mặt chữ số Giải Trng THPT Gị Cơng Đơng GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tổ hợp Xác suất Gọi số cần tìm N = a1a 2a 3a a 5a • Trêng hỵp : a1 = ⇒ N = 1a 2a 3a a 5a - Cã vị trí cho chữ số - Còn vị trí lại có A8 cách chọn ⇒ Cã A8 = 8400 sè d¹ng 1a 2a 3a a 5a thoả mÃn toán • Trêng hỵp : a2 = ⇒ N = a11a 3a a 5a - Cã vị trí cho chữ số a1 - Còn vị trí lại có A8 cách chọn Có A8 số dạng a11a 3a a 5a thoả mÃn toán ã Nếu a3 = a4 = a5 = a6 = t¬ng tù nh a2 = 4 VËy theo quy t¾c céng cã : A8 + 5.(4 A8 ) = 8400 + 33600 = 42000 sè tho¶ mÃn toán Bài tập tự giải Bài : Tìm tất số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 70.000 Đáp số ã Các chữ số lấy : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ã Có 4386 số thoả mÃn Bài 10 : Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7 lập đợc số có chữ số khác đôi cho số vừa tìm đợc lớn 300 nhỏ 600 Đáp số ã a1 chọn , , ã Có 90 số thoả mÃn Bài 11 : Từ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số có chữ số khác đôi thoả mÃn : 1/ Không bắt đầu 123 2/ Không tận Đáp số 1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) Có 594 số thoả mÃn toán 2/ a5 Có 504 số thoả mÃn toán Bài 12 : Từ số 0,1,2,3,4,5 lập đợc số có chữ số khác đôi thoả mÃn không chia hết cho Đáp số ã Dùng phơng pháp loại trừ (Tìm số số chia hết cho trớc ) ã Có 60 số thoả mÃn toán Bài 13 : Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập đợc số có chữ số khác đôi thoả mÃn : 1/ Luôn có mặt chữ số chữ số hàng trăm 2/ Một hai số số chia hết cho Đáp số 1/ Có 52 số cần tìm 2/ Có 76 số cần tìm Bài 14 : 1/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác chữ số đứng số lẻ 2/ Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác có chữ số lẻ chữ số chẵn (chữ số phải khác 0) Đáp số Ta lấy chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1/ Có 42000 số thoả mÃn 2/ ã Chọn số lẻ số lẻ tổ hợp chập : C5 ã Chọn số lẻ số chẵn tổ hợp chập : C5 Mỗi lần hoán vị chữ số đà chọn ta có 6! Số Trường THPT Gị Cơng Đơng GV: Trần Duy Thỏi Giải tích tổ hợp Xác suất ⇒ Cã C C 6! sè cã chữ số chẵn chữ số lẻ ã Khi ta hoán vị nh có trờng hợp có số nhảy lên đứng đầu Xét trờng hợp có C5 C 5! số VËy cã : C3 C3 6! - C3 C 5! = 64800 số thoả mÃn toán 5 Bài 15 : Có số tự nhiên có chữ số đồng thời thoả mÃn tính chất sau : 1/ Chữ số vị trí thứ số chẵn 2/ Chữ số vị trí cuối không chia hết cho 3/ Các chữ số vị trí thứ , thứ thứ đôi khác Đáp số Có 10.10.5 A10 = 2.880.000 số thoả mÃn toán Dạng : Bài toán chọn ngời Bài : Mét líp häc cã 10 häc sinh nam vµ 15 học sinh nữ Hỏi 1/ Có cách chän tõ ®ã mét ®éi gåm 12 ngêi 2/ Chọn đội văn nghệ gồm 13 ngời có 10 nữ phải có nam nữ Giải 1/ ã Tổng số häc sinh cđa líp lµ : 10 + 15 = 25 häc sinh 12 • Chän 12 ngêi bÊt kì 25 ngời có C 25 cách chọn 2/ Ta chia trờng hợp sau 10 * Trờng hợp : 10 nữ nam ⇒ Cã C15 C10 c¸ch chän 11 12 * Trờng hợp : 11 nữ nam ⇒ Cã C15 C10 c¸ch chän * Trêng hợp : 12 nữ nam Có C15 C10 cách chọn Theo quy tắc céng cã : C10 C10 + C11 C10 + C12 C1 = 426335 c¸ch chän 15 15 15 10 Bµi : Mét líp häc cã học sinh nam 12 học sinh nữ Hỏi 1/ Có cách chọn từ đội gồm ngời có nam nữ 2/ Chän mét nhãm gåm 10 ngêi ®ã cã Ýt nhÊt nam Gi¶i 1/ Tỉng sè học sinh lớp : 20 học sinh ã Cách : Chia trờng hợp + Có nam nữ + Có nam nữ + Có nam nữ + Có nam nữ + Có nam nữ Dùng quy tắc cộng ã Cách : Dùng phơng pháp loại trừ - Chọn ngêi bÊt k× 20 ngêi cã C6 cách 20 - Chọn ngời toàn nam nam cã C8 c¸ch - Chän ngời toàn nữ 12 nữ có C12 c¸ch 6 ⇒ Sè c¸ch chän ngời có nam nữ : C 20 - C8 - C12 = 37808 c¸ch 2/ Chia trờng hợp có 183370 cách chọn Bµi : Mét líp häc cã häc sinh nam học sinh nữ có Bình Hỏi 1/ Có cách chọn từ ban đại diện gồm ngời có mặt Bình Trng THPT Gũ Cụng ụng GV: Trn Duy Thỏi Giải tích tổ hợp – X¸c suÊt 2/ Chän mét nhãm gåm ngời có tổ trởng lại thành viên biết Bình Giải 1/ Tổng số học sinh lớp : + = 15 học sinh ã Vì ban đại diện có mặt Bình nên ta cần chọn ngời 14 bạn lại Vậy có C14 cách chọn ban đại diện 2/ Vì Bình tham gia nên có 14 bạn ã Chọn tổ trởng có C14 cách chọn (còn 13 bạn ) ã Chọn bạn lại 13 bạn có C13 cách chọn Theo quy tắc nhân có : C14 C13 = 24024 cách chọn Bài : Mét líp cã 20 häc sinh ®ã cã Nam 1/ Chän mét tæ trùc nhËt có bạn , có tổ trởng lại thành viên Hỏi có cách chọn Nam có mặt tổ 2/ Chọn đội văn nghệ 10 ngời ®ã cã tỉ trëng , th kÝ thành viên Hỏi có cách chọn Nam thiết phải có mặt Giải 1/ Ta chia trờng hợp sau : ã Trờng hợp : Nam tổ trởng Chỉ cần chọn bạn lại 19 ngời lại Có C19 cách chọn ã Trờng hợp : Nam không tổ trởng - Chọn tổ trởng 19 ngời lại có C1 cách chọn 19 - Chọn thành viên 18 ngời lại có C18 cách chọn ⇒ Cã C19 C18 c¸ch chän VËy theo quy t¾c céng cã : C19 + C1 C18 c¸ch chän 19 2/ Ta chia trờng hợp sau : ã Trờng hợp : Nam lµ tỉ trëng - Chän mét th kÝ 19 ngêi cã C1 c¸ch chän 19 - Chọn thành viên 18 ngời lại có C18 cách Có C19 C18 cách chọn ã Trờng hợp : Nam lµ th kÝ - Chän mét tỉ trëng 19 ngêi cã C1 c¸ch chän 19 - Chän thành viên 18 ngời lại có C18 c¸ch ⇒ Cã C19 C18 c¸ch chän ã Trờng hợp : Nam thành viên - Chän mét tæ trëng 19 ngêi cã C1 c¸ch chän 19 - Chän mét th kÝ 18 ngêi cã C1 c¸ch chän 18 - Chọn thành viên 17 ngời lại có C17 c¸ch 1 ⇒ Cã C19 C18 C17 cách chọn Bài : Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn ngời dự đại hội sinh viên trờng cho ngời có cán lớp Giải Ta chia trờng hợp sau : ã Trờng hợp : Có cán líp Trường THPT Gị Cơng Đơng GV: Trần Duy Thỏi Giải tích tổ hợp Xác suất - Chọn c¸n bé líp c¸n bé cã C1 cách chọn 2 - Chọn bạn lại 18 bạn có C18 cách chọn ⇒ Cã C C18 c¸ch chän Trờng hợp : Có cán lớp - Chän c¸n bé líp c¸n bé cã C c¸ch chän 2 - Chän bạn lại 18 bạn có C18 cách chọn 2 ⇒ Cã C C18 c¸ch chän 2 VËy theo quy t¾c céng cã : C1 C18 + C C18 = 324 cách chọn 2 Bài tập tự giải Bài : Một đội văn nghệ có 20 ngời có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn ngời cho : 1/ Cã ®óng nam 2/ Cã Ýt nhÊt nam nữ §¸p sè 1/ C10 C10 = 5400 c¸ch 3 2/ C10 C10 + C10 C10 + C10 C1 = 12900 cách 10 Bài : Một tập thể gồm 14 ngời có nam nữ có Thanh Thơ , ngời ta muốn chọn tổ công tác gồm ngời Tìm số cách chọn trờng hợp sau : 1/ Trong tổ phải có nam nữ 2/ Trong tổ phải có tổ trởng , tổ viên Thanh Thơ không đồng thời có mặt tổ Đáp số 1/ Có thể dùng phơng pháp loại trừ Có 2974 cách thoả mÃn toán 2/ Hớng dẫn (có thể dùng phơng pháp loại trừ) - Bớc : Tìm số cách chọn tổ trởng tổ viên (A) - Bớc : Tìm số cách chọn tổ trởng tổ viên Thanh Thơ có mặt (B) Kết : A B = 15048 cách Bài : Một lớp học có 30 häc sinh gåm lo¹i : Cã häc sinh giỏi , 10 học sinh trung bình 15 học sinh yếu 1/ Có cách chọn nhóm học sinh có đủ ba loại học sinh yếu 2/ Có cách chọn nhóm học sinh cã ®óng häc sinh u , cã Ýt nhÊt häc sinh giái vµ cã Ýt nhÊt mét học sinh trung bình Đáp số 2 2 2 1/ C1 C1 C10 + C1 C5 C10 + C1 C3 C1 + C15 C1 C10 + C15 C5 C1 15 15 15 10 10 2 2 2/ C15 C1 C10 + C15 C5 C10 + C15 C3 C10 + C15 C5 C1 5 10 D¹ng : Bài toán đếm số điểm , số đa giác , số cạnh Bài : Tính số đờng chéo đa giác lồi n cạnh Giải ã Nối hai đỉnh đa giác ta đợc đờng chéo cạnh ã Vậy số đờng chéo số cạnh đa giác : C n ã Số cạnh đa giác n Trường THPT Gị Cơng Đơng GV: Trần Duy Thỏi Giải tích tổ hợp Xác suất n(n 3) Số đờng chéo đa giác : C n - n = Bµi : Trên đờng tròn cho 10 điểm Hỏi có tam giác nhận điểm làm đỉnh ã Nhận thấy 10 điểm đờng tròn điểm thẳng hàng ã Cứ điểm không thẳng hàng tạo thành tam giác Số tam giác phải tìm lµ : C10 = 120 Bµi : Cho hai đờng thẳng song song Trên đờng thứ có 10 điểm , đờng thứ hai có 15 điểm Hỏi có tam giác tạo điểm đà cho ã Để tạo tam giác cần có điểm không thẳng hàng Do đỉnh tam giác nằm đờng thẳng ã Trờng hợp : Tam giác tạo điểm đờng thẳng thứ hai điểm đờng thẳng thứ hai Ta có 10 C15 tam giác thoả mÃn ã Trờng hợp : Tam giác tạo điểm đờng thẳng thứ hai hai điểm đờng thẳng thø nhÊt Ta cã 15 C10 tam gi¸c thoả mÃn 2 Theo quy tắc cộng cã : 10 C15 + 15 C10 tam gi¸c Bài : Trong mặt phẳng cho đa giác n cạnh Hỏi 1/ Có tam giác tạo thành từ đỉnh đa giác 2/ Có tam giác có hai cạnh cạnh đa giác 3/ Có tam giác có cạnh cạnh đa giác 4/ Có tam giác cạnh cạnh đa giác Giải 1/ Ta biết n đỉnh đa giác đỉnh thẳng hàng Do đỉnh đa giác tạo thành tam giác Vậy số tam giác : C3 n 2/ Tam giác có đỉnh liên tiếp đa giác tam giác có chứa hai cạnh đa giác Các tam giác bắt đầu : A1A2A3 , A2A3A4 , … , An-2An-1An , An1AnA1 , AnA1A2 ⇒ Có n tam giác (để ý số in đậm chạy từ đến n ) Trng THPT Gũ Cụng ụng GV: Trn Duy Thỏi Giải tích tổ hợp Xác suất 3/ Tam giác chứa cạnh đa giác tam giác có hai đỉnh thuộc cạnh đa giác đỉnh thứ đối diện với cạnh đà chọn Nh ứng với cạnh có n đỉnh thoả mÃn ( trừ đỉnh thuộc cạnh hai đỉnh liền kề với hai đỉnh ) Đa giác có n cạnh Có n.(n 4) tam giác thoả mÃn 4/ Số tam giác cạnh cạnh đa giác : C3 - n – n(n – 4) n Bµi : Trong mặt phẳng cho đa giác 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh đợc lấy từ đỉnh đa giác Hỏi 1/ Có tất tam giác nh ? Có tam giác có cạnh cạnh đa giác 2/ Có tam giác có cạnh cạnh đa giác ? Có tam giác cạnh cạnh đa giác Đáp số 1/ ã C 20 = 1140 tam giác có đỉnh đỉnh đa giác ã Có 20 tam giác có hai cạnh cạnh đa giác 2/ ã Có 16.20 = 320 tam giác có cạnh cạnh đa giác ã Có 800 tam giác cạnh cạnh đa giác Bài : Cho đa giác lồi n cạnh Kẻ tất đờng chéo đa giác biết đờng chéo đồng quy Có giao điểm hai đờng chéo nằm đa giác Giải ã Mỗi giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo t¬ng øng nhÊt víi tứ giác lồi có đỉnh đỉnh đa giác ã Do có tứ giác lồi có nhiêu giao điểm hai đờng chéo nằm đa giác ã Vậy số giao điểm phải tìm : C n Bài : Cho đa giác A1A2A2n ( n 3) nội tiếp đờng tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , … , A2n nhiÒu gÊp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n ®iĨm A1 , A2 , … , A2n T×m n Trường THPT Gị Cơng Đơng 10 GV: Trn Duy Thỏi Giải tích tổ hợp Xác suất 2n ã Số tam giác : C ã Số đờng chéo đa giác qua tâm O n đờng chéo ã Ta thấy hai đờng chéo qua O tạo thành hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh đa giác C n Theo gi¶ thiÕt ta cã : C3 = 20 C ⇔ n = 2n n Phần : Xác suất A Lý thuyết I / Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu 1/ Phép thử ngẫu nhiên 1.1 Khái niệm : Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) thí nghiệm hay hành động mà : - Kết không đoán trớc đợc - Có thể xác định đợc tập hợp kết sảy phÐp thư ®ã 1.2 KÝ hiƯu PhÐp thư ngÉu nhiên hay kí hiệu : T 1.3 Ví dụ • VÝ dơ : “ Gieo mét sóc sắc Khi : - Không đoán đợc số chấm mặt xuất - Xác định đợc tập hợp kết sảy : Xuất mặt chấm , chấm , chÊm , chÊm , chÊm , chấm Vậy hành động gieo súc sắc phép thử ngẫu nhiên ã VÝ dơ : “ Gieo mét ®ång xu ” Khi : - Không đoán đợc mặt xuất - Xác định đợc tập hợp kết sảy : Đồng xu lật ngửa lật sấp Vậy hành động gieo đồng xu phép thử ngẫu nhiên 2/ Không gian mẫu phép thử 2.1 Khái niệm : Tập hợp tất kết xảy phép phép thử gọi không gian mẫu phép thử 2.2 Kí hiệu Không gian mẫu đợc kí hiệu : ( Đọc ômêga) 2.3 Ví dụ : Xác định không gian mẫu phép thử hai ví dụ ã VÝ dơ : “ Gieo mét sóc s¾c ” Khi ®ã : Ω = {1 , , , , , 6} • VÝ dơ : “ Gieo mét ®ång xu ” Khi ®ã : Ω = {S , N} ( N : lËt ngöa , S : lËt sÊp ) 3/ BiÕn cè cđa phÐp thư 3.1 Kh¸i niƯm Cho phÐp thử T a/ Biến cố A liên quan đến phép thử T kiện mà việc xảy hay không xảy A phụ thuộc vào kết phép thử T b/ Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu : A Khi ta nói biến cố A đợc mô tả tập A 3.2 Chó ý - BiÕn cè cđa mét phÐp thư ta hay kÝ hiƯu lµ : A , B , C , D … hc A1 , A2 , … - Ta lu«n cã : Ω A ⊂ Ω Trường THPT Gị Cơng Đơng 11 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tích tổ hợp Xác suất - Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn đợc mô tả tập không gian mẫu phép thử T - Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố đợc mô tả tập rỗng 3.2 Ví dụ Xét phép thư T : “ Gieo mét sóc s¾c ” ã Không gian mẫu T : = {1 , , , , , 6} • XÐt biÕn cè A : “ Sè chÊm mặt xuất số lẻ Khi : - Nếu kết phép thử T xuất mặt chấm (hoặc , chấm ) rõ ràng biến cố A không x¶y - NÕu kÕt qu¶ cđa phÐp thư T xuất mặt chấm (hoặc , chấm ) rõ ràng biến cố A xảy Vậy có kết thuận lợi cho A : mặt , , chấm xuÊt hiÖn ⇒ Ω A = {1 ; ; 5} • XÐt biÕn cè B : “ Sè chấm mặt xuất số nguyên dơng Thì rõ ràng biến cố B xảy Khi B biến cố chắn B đợc mô tả không gian mẫu Ω • XÐt biÕn cè C : “ Sè chấm mặt xuất số nguyên dơng > Thì rõ ràng biến cố C không xảy số chấm súc sắc nhiều chấm Khi biến cố C biến cố đợc mô tả tập rỗng II Xác suất biến cố 1/ Định nghĩa - Cho phép thử T với không gian mẫu tập hữu hạn phần tử kết phép thử T đồng khả - Gọi A biến cố liên quan đến phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A - Khi xác suất A số , kí hiệu P(A) , đợc xác định công thức : P(A) = A (1) Trong + A số phần tử A + số phần tử Vậy để tính xác suất biến cố A phép thử T ta làm theo bớc sau : - Xác định không gian mẫu đếm số phần tử ( số kết qu¶ cã thĨ x¶y cđa phÐp thư T ) - Xác định số kết thuận lợi cho A ( số phần tử A) - áp dụng công thức (1) 2/ Chú ý • ≤ P(A) ≤ • P(Ω) = , P() = ã Xác suất số dơng nhỏ , xác suất biến cố chắn , xác suất biến cố kh«ng thĨ b»ng 3/ VÝ dơ VÝ dơ : Gieo súc sắc cân đối đồng chất a/ Mô tả không gian mẫu b/ Tính xác suất để số chấm mặt xuất số chẵn b/ Tính xác suất để số chấm mặt xuất số nguyªn tè ( Chó ý : Sè nguyªn tè số nguyên dơng có hai ớc và số số nguyên tố nhỏ ) Giải a/ Không gian mẫu : = {1 , , , , , 6} Số phần tử không gian mÉu :  Ω = b/ • Gäi A biến cố : Số chấm mặt xuất số chẵn ã Tập mô tả A lµ : Ω A = {2 , , 6} Số kết thuận lợi cho A :  Ω A = 12 Trường THPT Gò Cụng ụng GV: Trn Duy Thỏi Giải tích tổ hợp – X¸c st ⇒ X¸c st cđa A lµ : P(A) = = = 0,5 c/ ã Gọi B biến cố : Số chấm mặt xuất số nguyên tố ã Tập mô tả B : B = {2 , , 5} ⇒ Sè kÕt qu¶ thuận lợi cho B : B = Xác suất A : P(B) = = = 0,5 VÝ dô : Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để : a/ Số chấm mặt xuất hai súc sắc số chẵn b/ Tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc số Giải Số kết xảy phép thử :  Ω = 62 = 36 a/ • Gäi A biến cố : Số chấm mặt xuất hai súc sắc số chẵn ã Tập mô tả A : Ω A = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ; (4,6) ; (6,4) ; (6,6) } ⇒ Số kết thuận lợi cho A : Ω A = ⇒ X¸c st cđa A lµ : P(A) = = 36 b/ • Gäi B lµ biÕn cè : “Tỉng sè chÊm mặt xuất hai súc sắc số ã Tập mô tả A lµ : Ω A = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) } ⇒ Sè kÕt thuận lợi cho A : A = Xác suất A : P(A) = = 36 Bài tập áp dụng Bài 1: Chọn ngẫu nhiên số nguyên dơng nhỏ Tính xác suất để : 1/ Số đợc chọn số nguyên tố 2/ Số đợc chọn chia hết cho Giải ã Không gian mÉu : Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8} ⇒ Sè kÕt qu¶ xảy phép thử : = 1/ ã Gọi A biến cố : số đợc chọn số nguyên tố ã Tập mô tả A : A = {2,3,5,7} Số kết thuận lợi cho A :  Ω A = ⇒ X¸c suÊt cđa A lµ : P(A) = = = 0,5 2/ ã Gọi B biến cố : số đợc chọn chia hết cho ã Tập mô tả A : B = {3,6} Số kết thuận lợi cho B :  Ω B = ⇒ X¸c st cđa B lµ : P(B) = = = 0,25 Bài : Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để : Trng THPT Gũ Cụng ụng 13 GV: Trần Duy Thái a/ Tỉng sè chÊm trªn mặt xuất hai súc sắc b/ Có súc sắc xuất hiƯn mỈt chÊm c/ Cã Ýt nhÊt mét súc sắc xuất mặt chấm Giải tích tổ hợp Xác suất Giải Số kết xảy phép thử : Ω = 62 = 36 a/ • Gäi A biến cố : Số chấm mặt xuất hai súc sắc số chẵn ã Tập mô tả A : A = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ; (5,2)} Số kết thuận lợi cho A lµ :  Ω A = 21 ⇒ Xác suất A : P(A) = 21 = 36 12 b/ ã Gọi B biến cố : Có súc sắc xuất mặt chấm ã Tập mô tả B : Ω B = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) } Số kết thuận lợi cho B lµ :  Ω B = 10 ⇒ Xác suất B : P(B) = 10 = 36 18 c/ ã Gọi C biến cè : “Cã Ýt nhÊt mét sóc s¾c xt mặt chấm Có hai khả nẳng xảy : + Cã mét xt hiƯn mỈt chấm + Cả hai xuất mặt chấm ã Tập mô tả C : C = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ; (6;6) } Số kết thuận lợi cho C lµ :  Ω C = 11 Xác suất C : P(C) = 11 36 Bài : Chọn ngẫu nhiên ngời có tên danh sách 20 ngời đợc đánh số từ đến 20 Tính xác xuất để năm ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn 10 Giải ã Số kết sảy số cách chọn ngời 20 ngêi VËy  Ω = C 20 ã Gọi A biến cố : ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn 10 Số kết thuận lợi cho A số cách chọn 10 ngời có số thø tù tõ ®Õn 10 VËy  A = C10 Khi xác suất A lµ : P(A) = C10 C5 20 Bài : Một hộp đựng cầu đỏ cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác xuất để có đỏ xanh Giải ã Tổng số cầu hộp : 10 ã Sè kÕt qu¶ cã thĨ x¶y cđa phÐp thư số cách chọn ngẫu nhiên 10 Vậy : = C10 ã Gọi A biến cố : Bốn đợc chọn có đỏ xanh Trng THPT Gị Cơng Đơng 14 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tích tổ hợp Xác suất Ta tìm số kết thuận lợi cho A tức số cách chọn có đỏ xanh + Trờng hợp : Chọn đỏ xanh ⇒ Cã C C6 c¸ch chän 2 + Trêng hỵp : Chọn đỏ xanh Có C C6 cách chọn + Trờng hợp : Chọn đỏ xanh Có C C6 c¸ch chän 2 Số kết thuận lợi cho A :  Ω A = C C6 + C C6 + C C6 C14C3 + C 2C6 + C3 C1 97 4 VËy P(A) = = C10 105 Bài : Gieo đồng thời ba súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để tổng số nút xuất mặt ba Đáp số P(A) = 21 = 63 72 Bài : Ba cửa hàng bán xe m¸y nh Cã ngêi kh¸ch A1 , A2 , A3 độc lập chọn ngẫu nhiên cửa hàng để mua xe Tính xác suất để : 1/ Ba ngêi vµo cïng mét cưa hµng 2/ Hai ngời khách vào cửa hàng , ngời vào cửa hàng Giải Ta đánh sè ba cưa hµng lµ : , , ã Ba ngời khách A , B , C độc lập chọn ngẫu nhiên cửa hàng để mua xe nên số khả xảy : 33 = 27 Có thể liệt kê nh sau : Ω = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , … , (3,3,3)} 1/ Gäi A lµ biÕn cè : “ Ba ngêi vµo cïng mét cửa hàng Số kết thuận lợi cho A lµ :  Ω A = ( Cã khả (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ) ⇒ P(A) = = 27 2/ Gọi B biến cố : Hai ngời khách cïng vµo mét cưa hµng , ngêi vµo cưa hàng Số kết thuận lợi cho B số cách chọn hai ngời vào cửa hàng ngời lại vào cửa hàng Ta chia trờng hợp sau : ã Trờng hợp : (1,1,2) tức ngời vào cửa hµng , mét ngêi vµo cưa hµng Có cách chọn trờng hợp + A1 , A2 vµo cđa hµng vµ A3 vµo cưa hµng + A1 , A3 vµo cđa hµng vµ A2 vµo cưa hµng + A2 , A3 vµo cđa hµng vµ A1 vµo cưa hàng Hoàn toàn tơng tự : ã Trờng hợp : (1,1,3) có cách ã Trờng hợp : (2,2,1) có cách ã Trờng hợp : (2,2,3) có cách ã Trờng hợp : (3,3,1) có cách ã Trờng hợp : (3,3,2) có cách Vậy có thảy : 6.3 = 18 c¸ch ⇒ P(B) = 18 = 27 Bài : Công ty FPT cần tuyển nhân viên Có ngời nộp đơn , có nam nữ Giả sử khả ứng cử nh Tính xác suất để : 1/ Hai ngời trúng tuyển nam 2/ Hai ngời trúng tuyển nữ 3/ Hai ngêi tróng tun cã Ýt nhÊt n÷ Đáp số : 1/ P(A) = 1 ; 2/ P(B) = ; 3/ P(C) = 15 Trường THPT Gị Cơng Đơng 15 GV: Trần Duy Thỏi Giải tích tổ hợp Xác suất III.Biến cố đối 1/ Định nghĩa Cho A biến cố Khi biến cố không xảy A , kí hiệu A , đợc gọi biến cè ®èi cđa A VÝ dơ : “ Gieo mét ®ång xu” - XÐt biÕn cè A : “ MỈt ngưa xt hiƯn ” ⇒ BiÕn cè ®èi cđa A : Mặt ngửa không xuất 2/ Nhận xét ã Gọi không gian mẫu A ã Gọi A tập kết thuận lợi cho A A Khi tập kết thuận lợi cho A lµ : Ω ΩA = Ω \ Ω A IV Quy tắc nhân xác suất 1/ Biến cố giao a/ Kh¸i niƯm : Cho hai biÕn cè A B Biến cố Cả A B xảy gọi biến cố giao hai biÕn cè A vµ B vµ kÝ hiƯu lµ : AB VËy AB lµ biÕn cè : “ Cả A B xảy b/ Nhận xét : Gọi A B lần lợt tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết thuận lợi cho biến cố giao AB : AB = Ω A ∩ Ω B c/ VÝ dô Chän ngÉu nhiªn mét em häc sinh líp - Gọi A biến cố : Bạn học sinh giỏi Toán - Gọi B biến cố : Bạn học sinh giỏi Văn Biến cố giao A B Bạn học giỏi Văn Toán Tổng quát Cho k biến cố A1 , A2 , … , Ak Khi ®ã biÕn cè giao cđa k biÕn cè lµ : “ TÊt c¶ k biÕn cè A1 , A2 , … , Ak xảy , kí hiệu : A1A2Ak 2/ Hai biến cố độc lập a/ Khái niệm : Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hởng tới xác suất xảy biến cố b/ VÝ dơ XÐt phÐp thư T lµ : “ Gieo hai ®ång xu cïng mét lóc ” - Gäi A biến cố : Đồng xu thứ xuất mặt sấp - Gọi B biến cố : Đồng xu thứ hai xuất mặt ngửa Khi rõ ràng A B chẳng liên quan đến A B hai biÕn cè ®éc lËp c/ NhËn xÐt NÕu hai biến cố A B độc lập với A B ; A B ; A B độc lập với Tổng quát Cho k biÕn cè A1 , A2 , … , Ak ; k biến cố đợc gọi độc lập với việc xảy hay không biến cố không làm ảnh hởng tới xác suất xảy biến cố lại 3/ Quy tắc nhân xác suất ã Nếu A B hai biến cố độc lập với : P(AB) = P(A).P(B) • NÕu A1 ; A2 ; A3 ba biến cố đôi độc lập với : P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3) Bài tập áp dụng Bài 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm ngời bắn cung 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập : 1/ Ngời bắn trúng hồng tâm lần 2/ Ngời bắn trúng hồng tâm lần Giải ã Gọi A1 ; A2 ; A3 biến cố ngời bắn trúng hồng tâm lần bắn thứ , thứ hai thứ ba Trng THPT Gị Cơng Đơng 16 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tích tổ hợp Xác suất ã Khi A1 ; A ; A lµ biÕn cè ngêi bắn không bắn trúng hồng tâm lần bắn thứ , thứ hai thứ ba ã Theo gi¶ thiÕt ta cã : P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0,2 vµ P( A1 ) = P( A ) = P( A ) = – 0,2 = 0,8 1/ Gäi B lµ biÕn cè : Ngời bắn trúng hồng tâm lần ” Khi ®ã : B = A1 A A ∪ A1 A2 A ∪ A1 A A3 VËy P(B) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384 2/ Gäi C lµ biÕn cè : “ Ngời bắn trúng hồng tâm lần ” NhËn xÐt : BiÕn cè ®èi cđa C C : Ngời không bắn trúng hồng tâm lần Khi : P( C ) = A1 A A = 0,8.0,8.0,8 = 0,512 ⇒ P(C) = - P( C ) = – 0,512 = 0,488 Bµi : Gieo ba đồng xu cân đối cách độc lập Tính xác suất để : 1/ Cả ba đồng xu sÊp 2/ Cã Ýt nhÊt mét ®ång xu sÊp Giải Do đồng xu cân đối nên xác suất xuất mặt sấp (S) mặt ngửa (N) b»ng P(S) = P(N) = 0,5 1/ Gäi A biến cố : Cả ba đồng xu ®Òu sÊp ” Khi ®ã : A = SSS VËy P(A) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = 0,53 = 0,125 2/ Gäi B lµ biÕn cè : “ Cã Ýt nhÊt mét ®ång xu sÊp ” Nh vËy biÕn cố đối B B : Cả ba ®ång xu ®Ịu ngưa ” ⇒ P( B ) = P(NNN) = P(N).P(N).P(N) = 0,53 = 0,125 VËy P(B) = - P( B ) = – 0,125 = 0,875 Bài tập tự giải Bài : Một hộp chứa 16 viên bi với bi trắng , bi đen bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi hộp Tính xác suất để : 1/ Lấy đợc viên bi đỏ 2/ Lấy đợc viên bi bi đỏ 3/ Lấy đợc viên bi trắng , đen đỏ Đáp số 1/ P(A) = 560 2/ P(B) = 143 280 3/ P(C) = 40 Bµi : Mét hép chøa 16 viên bi với bi trắng , bi đen bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi hộp Tính xác suất để : 1/ Lấy đợc viên bi trắng 2/ Lấy đợc viên bi trắng Đáp số 1/ P(A) = 21 65 2/ P(B) = 165 2/ P(B) = 27 65 Bµi : Chän ngÉu nhiªn sè tõ tËp {1 , , … , 11} Tính xác suất để : 1/ Tổng ba số đợc chọn 12 2/ Tổng ba số đợc chọn số lẻ Đáp số 1/ P(A) = 16 33 Bµi : Gieo mét súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt b chấm Xét phơng tr×nh : x2 + bx + = (1) TÝnh x¸c suÊt cho : 1/ Pt (1) cã nghiƯm 2/ Pt (1) v« nghiƯm 3/ Pt (1) có nghiệm nguyên Gợi ý Trng THPT Gị Cơng Đơng 17 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tổ hợp Xác suất + b {1,2,3,4,5,6} + TÝnh ∆ = b2 – XÐt dÊu cña Đáp số 1/ P(A) = 2/ P(B) = 3/ P(C) = Bµi : Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu trắng , đen Hộp thứ hai chứa trắng , đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để : 1/ Hai lấy màu 2/ Hai lấy khác màu Đáp số 1/ P(A) = 12 25 Trường THPT Gị Cơng Đơng 2/ P(B) = 18 13 25 GV: Trần Duy Thái ... Trờng hợp : (1,1,3) có cách ã Trờng hợp : (2,2,1) có cách ã Trờng hợp : (2,2,3) có cách ã Trờng hợp : (3,3,1) có cách ã Trờng hợp : (3,3,2) có cách Vậy có thảy : 6.3 = 18 cách P(B) = 18 = 27 Bài. .. Chọn số lẻ số lẻ tổ hợp chập : C5 ã Chọn số lẻ số chẵn tổ hợp chập : C5 Mỗi lần hoán vị chữ số đà chọn ta sÏ cã 6! Sè míi Trường THPT Gị Cơng ụng GV: Trn Duy Thỏi Giải tích tổ hợp – X¸c suÊt ⇒ Cã... 0,1,2,3,4,5,5,5 ã Chọn a1 có cách a1 ã Chọn a2 có cách ã Chọn a3 có cách ã Chọn a4 có cách • Chän a5 cã c¸ch • Chän a6 cã cách ã Chọn a7 có cách ã Chọn a8 có cách Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4.3.2.1