«n tËp To¸n häc 1 Đề cơng ôn tập thi cao học Môn toán I. ôn tập về hàm một biến số 1.1.Đạo hàm và vi phân 1.2. Tích phân bất định 1.3. Tích phân xác định II. hàm nhiều biến 2.I. Đạo hàm riêng 2.2 Đạo hàm của hàm ẩn 2.3. Đạo hàm cấp cao 2.4. Vi phân và vi phân cấp cao 2.5. Cực trị của hàm số nhiều biến số III. Tích phân 2 lớp 3.1. Tính tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Đề các 3.2. Đổi thứ tự lấy tích phân 3.3. Tích phân hai lớp trong hệ tọa độ cực 3.4. ứng dụng của tích phân 2 lớp IV. Tích phân đờng loại 2 4.1. Tính trực tiếp 4.2. Công thức Green 4.3. Điều kiện không phụ thuộc đờng đi 2 V. Phơng trình vi phân 5.1. Phơng trình vi phân cấp 1 1. Phơng trình biến số phân li: 2. Phơng trình đẳng cấp cấp 1: 3. Phơng trình tuyến tính cấp 1 4. Phơng trình Bernoulli 5.Phơng trình vi phân toàn phần 5.2. Phơng trình vi phân cấp 2 1. Các loại phơng trình cấp 2 có thể giảm cấp đợc 2. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 3. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số là hằng số a. Phơng trình thuân nhất b. Phơng trình không thuần nhất, vế phảI có dạng đặc biệt c. Nguyên lý chồng chất nghiệm: VI.Lý thuyết chuỗi 6.1. Chuỗi số 1. Các định lý về chuỗi hội tụ 2. Chuỗi số dơng Các tiêu chuẩn hội tụ a. Tiêu chuẩn so sánh b. Tiêu chuẩn Dalambe c. Tiêu chuẩn Cauchy 3. Chuỗi đan dấu và Chuỗi có dấu bất kỳ a. Chuỗi đan dấu 3 b. Chuỗi số có dấu bất kỳ Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 6.2. Chuỗi lũy thừa 1. Tiêu chuẩn hội tụ 2. Cách tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa a. Tiêu chuẩn Dalambe b. Tiêu chuẩn Côsi Tài liệu tham khảo 1. G.M.Fichtengon, Cơ sở giải tích toán Tập 1, 2, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 2. Lê Ngọc Lăng (chủ biên) và các tác giả khác, Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2, Nhà xuất bản Giáo dục 1997. 3. Liasko, Boiartruc, Giải tích toán học với các ví dụ và bài tập, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật 1995. 4. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Toán học cao cấp Tập 1,2,3, Nhà xuất bản Giáo dục 1999. 5. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Bài tập toán học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục 1999. 6. Bùi Minh Trí (Chủ biên) Giải tích toán học, Nhà xuất bản Thống kê 2009. 4 Bài 1 ôn tập về hàm một biến số I.đạo hàm và vi phân 1. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 2 2 2 2 2 ' 0 ; ' 1 1 1 ' ; ' 1 ' ; sin ' cos 2 1 cos ' sin ; ' cos 1 cotg ' ; ' sin 1 ' ln ; ln ' 1 1 1 log ' ; arcsin ' ln 1 1 cos ' ; 1 x x x x a y C y y x y y x y x y y x x y x y y x y x x y x y x y tgx y x y x y y e y e x y a y a a y x y x y x y y x y x a x y ar x y y arctg x = + = = + 2 2 1 ' 1 1 cot ' 1 x y x y arc gx y x 5 2. C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm ( ) ( ) + + = + + = + −   =  ÷   ' 2 ' ' ' ' . ' ' ' ' ' x u v w u v w u v u v uv u u v uv v v 3. §¹o hµm cña hµm hîp vµ hµm ngîc a) §¹o hµm cña hµm hîp: ( ) ( ) ,y f u u x ϕ = = , ' ' . ' x u x y y u= VÝ dô 1: 2 2 , x u y e y e u x = ⇒ = = ( ) = = = 2 ' , ' .2 2 . u u x x x u y e u e x x e VÝ dô 2: ( ) 3 2 1 x y x = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = + + = + + + +   = + + +   +   3 3 2 4 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ' ln ln 1 ; 2 2 3 ln 1 3 ln 1 1 1 2 ' 1 3 ln 1 1 x y y x x y x x x x x x x x x x y x x x x b) §¹o hµm cña hµm ngîc: y=y(x) 1 ' ' y x x y = 6 4. Vi phân: y= f(x) ( ) ( ) ' ' dy dy f x dx f x dx = = II. tích phân bất định 1. Khái niệm Cho hàm số ( ) f x hàm số ( ) F x đợc gọi là nguyên hàm của ( ) f x nếu ( ) ( ) 'F x f x = hay ( ) ( ) dF x f x dx = Tập hợp tất cả các nguyên hàm của ( ) f x đợc gọi là tích phân bất định của ( ) f x , ( ) ,x a b và ký hiệu là: ( ) ( ) f x dx F x C = + . 2. Bảng các tích phân đầy đủ 1) ( ) + = + + 1 1 1 x x dx C 1 1 n n x x dx C n + = + + ln dx x C x = + 2) ln x x a a dx C a = + ( ) 0, 1a a > x x e dx e C = + 3) sinxdx osx+Cc = 4) osxdx s inx+Cc = 5) 2 os dx tgx C c x = + 6) 2 cotgx+C sin dx x = 7 7) 2 arcsinx+C 1 dx x = − ∫ 8) 2 arctgx+C 1 dx x = + ∫ 9) 2 2 x arcsin a dx C a x = + − ∫ 10) 2 2 1 x arctg a dx C a x a = + + ∫ 11) 2 2 1 ln 2 dx a x C a x a a x + = + − − ∫ 12) 2 2 2 2 ln dx x x a C x a = + ± + ± ∫ 13) 2 2 2 2 2 x arcsin 2 2 a x a a x dx a x C − = − + + ∫ 14) 2 2 1 ln 2 dx x a C x a a x a − = + − + ∫ 15) 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a C ± = ± ± + ± + ∫ 16) ln sin 2 dx x tg C x = + ∫ 17) ln osx 2 4 dx x tg C c π   = + +  ÷   ∫ 18) ln osxtgxdx c C = − + ∫ 19) ln sinxcotgxdx C = + ∫ 20) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + ∫ ∫ 1 1 ax+b ax+b ax+b ax+bf dx f d F C a a 8 21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ln f x df x dx f x C f x f x = = + 22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ' 2 f x dx f x df x f x C f x = = + 23) ( ) ( ) ( ) 'f x dx f t t dt = (Đổi xuôi) 24) ( ) ( ) ( ) 'f x x dx f t dt = (Đổi ngợc) Muốn tính tích phân bất định của một hàm số ( ) f x ta thực hiện các biến đổi thích hợp để đa nó về dạng các tích phân cơ bản. 3. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định Tính chất 1: ( ) ( ) = kf x dx k f x dx Tính chất 2: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx = Tính chất 3: Nếu ( ) ( ) f x dx F x C = + và ( ) u u x = thì: ( ) ( ) f u du F u C = + 4. Các phơng pháp tính tích phân bất định 1) Phơng pháp đổi biến a) Đổi xuôi: Đặt ( ) = x t ; ( ) ' .dx t dt = ( ) ( ) ( ) ( ) 'f x dx f t t dt g t dt = = Ví dụ : = + 2(1 ) dx I x Đặt x = t 2 => dx = 2tdt 9 = + 2 2(1 ) tdt I t = + + (1 1) 1 t dt t = dt - = + + => = + + + ln 1 ln( 1) (1 ) dt t t C I x x C t b) Đổi ngợc: Đặt ( ) = t x ; ( ) 'dt x dx = ( ) ( ) ( ) 'f x x dx f t dt = Ví dụ: 2 dx I x b = + Đặt 2 x b x t + + = 2 1 x dx dt x b + = ữ + 2 2 x x b dx dt x b + + = + 2 2 tdx dx dt dt t x b x b = = + + 2 ln ln dt I t C x x b C t = = + = + + + 2) Phơng pháp tính tích phân từng phần udv uv vdu = Cần chú ý tách biểu thức ( ) f x dx thế nào để tích phân vdu đơn giản hơn tích phân udv . 10 [...]... đạt cực trị tại điểm M0 ( x 0 , y 0 ) : * Nếu A < 0 thì hàm số đạt cực đại * Nếu A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu - Nếu B 2 AC > 0 thì tại điểm M0 ( x 0 , y0 ) hàm số không có cực trị - Nếu B 2 AC = 0 thì không kết luận đợc là có hay không Lúc dó ta xét cụ thể hàm z = f ( x, y ) 4 Qui tắc tìm cực trị của hàm số z = f(x, y) a) Tính các đạo hàm riêng b) Giải hệ phơng trình: f ( x, y ) f ( x, y ) ; x y... hàm số z = f ( x, y ) trong đó x, y không biến thi n độc lập với nhau mà ràng buộc với nhau bởi điều kiện nào đó, ví dụ bởi phơng trình: ( x, y ) = 0 hay y = y( x ) *Cách tìm: Vì y = y( x ) nên z là một hàm của biến số x, z = f [ x, y ( x )] và ta trở về tìm cực trị của hàm một biến số Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = 1 x 2 y 2 với điều kiện y= x Giải: Bài toán dẫn về tìm cực trị của hàm số: z... + y cos ( xyz ) Z x = ye x + y x cos( xyz ) 25 Zy = z y ( y + 2)e x + y xcos ( xyz ) y ye x + y x cos( xyz ) II đạo hàm cấp cao 2 f f = ữ 2 yx y x f f = ữ 2 f f xy x y = y 2 y y ữ 2 f f = ữ; x 2 x x Nếu các đạo hàm hỗn hợp đều liên tục thì chúng bằng nhau x 2z 2z 2z 2z ; ; Ví dụ: Cho z = arctg Tính 2 ; y x xy yx x 2 z = x ' 1 y 2z y 2 xy = 2 2 = 2 = 2 2... 2 )2 26 II vi phân và vi phân cấp cao 1 Vi phân dz = f ( x, y ) f ( x , y ) dx + dy x y Ví dụ: Cho z = f ( x, y ) xác định bởi phơng trình: F ( x, y, z) = x 2 z + 2 yz 2 + xe z xy 2 = 0 Fx' z 2 xz + e z y 2 = ' = 2 x Fz x + 4 yz + xe z Fy' z 2 z2 2 xy = ' = 2 y Fz x + 4 yz + xe z dz = 1 (2 xz + ez y 2 )dx + (2 z 2 2 xy )dy 2 x + 4 yz + xez 2 Vi phân cấp cao 2z 2 2z 2z 2 z 2 d z = 2 dx + dxdy... x, cos x ) = R ( sin x, cos x ) , hàm lẻ đối với sin x , đặt t = cos x m n (4) sin x cos xdx * Nếu m lẻ thì đặt t = cos x * Nếu n lẻ thì đặt t = sin x * Nếu m, n đều chẵn và ít nhất một trong hai số là âm thì đặt t = tgx *Nếu m, n đều chẵn và dơng thì hạ bậc 18 sin 2 x = 1 cos 2 x 1 + cos2 x , cos2 x = , 2 2 Ví dụ: I = sin 2 x cos 4 xdx = ( sin x cos x ) 2 cos2 xdx 2 1 1 + cos 2 x = sin 2... riêng cấp II: 2 ; x xy y 2 d) Tại mỗi điểm dừng xét riêng từng điểm một ( M0 , M1 , M2 , ) Tìm đại lợng A, B, C và tính luôn B 2 AC 2 e) Kết luận: B AC < 0 Thay giá trị vào hàm A < 0 A > 0 Hàm số đạt cực đại Hàm số đạt cực tiểu z = f ( x, y ) Tính zmax , zmin * B 2 AC > 0 là không có cực trị 29 * B 2 AC = 0 thì cha kết luận đợc Ví dụ : z = 2 x 3 + xy 2 4 x 6 x 2 + y 2 4 = 0 z = 6 x + y 4 =... (2) ta có: 2 2 M1 (0,2); M2 (0, 2); M3 ,0 ữ; M4 ,0 ữ 3 ữ 3 ữ '' '' '' zxx = 12 x; zxy = 2 y; zyy = 2 x M1 (0,2) A = 0; B = 4; C = 0 B 2 AC = 16 > 0 không đạt cực trị M1 (0, 2) A = 0; B = 4; C = 0 B 2 AC = 16 > 0 không đạt cực trị 2 2 2 M3 ,0 ữ A = 12 ; B = 0; C = 2 B 2 AC = 16 < 0 3 ữ 3 3 2 A > 0 Hàm số đạt cực tiểu tại M3 3 ,0 ữ: ữ 3 zmin 2 2 8 2 = 2 = ữ 4 3ữ 3... ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx a a b Tính chất 3: b a b f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx c b a c 3 Công thức Newton - Leibnitz (Niuton - Lepnit) f ( x ) dx = F ( b ) F ( a ) = F ( x ) | b a b a 4 Các phơng pháp tính tích phân xác định a Phơng pháp đổi biến Sau khi đổi biến không cần quay về biến cũ nhng phải đổi cận cho biến mới a Đổi xuôi: Đặt x = ( t ) ; I = 1 Ví dụ: I = 0 ( b a ... 2 sin t x + 1 cos t = , tgt = = 2 cos t 2 x + 2x + 5 x +1 x +1 sin t = I= x2 + 2x + 5 4 x2 + 2x + 5 2 2 2 2 2 2 III Tích phân xác định 1 Khái niệm 20 ( 2 ) 1) Tích phân xác định là một con số, nó không phụ thuộc vào biến tích phân: b f ( x ) dx = f ( u ) du = f ( t ) dt b a a b a 2) Nếu f ( x ) = 1 thì: a 1.dx = a dx = b a b b 3) Nếu đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đổi dấu: b a f ( x )... tổng các phân thức đơn giản gồm 4 loại sau: a) c) A x a ( b) Mx + N ,(đk: với p 2 4q < 0) 2 x + px + q ) d) A ( x a) (x k Mx + N 2 + px + q ) k * Việc tính các tích phân của 4 loại phân thức đơn giản không khó: a) b d ( x a) A dx = A = A ln x a + C xa xa A ( x a) c) k dx = A ( x a ) k d ( x a) = A ( x a) ( Mx + N ) dx (x 2 + px + q ) Làm xuất hiện đạo hàm của mẫu số ở tử số: 13 k +1 k + 1 +C . «n tËp To¸n häc 1 Đề cơng ôn tập thi cao học Môn toán I. ôn tập về hàm một biến số 1.1.Đạo hàm và vi phân 1.2. Tích phân bất định 1.3 Liasko, Boiartruc, Giải tích toán học với các ví dụ và bài tập, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật 1995. 4. Nguyễn Đình Trí và các tác giả khác, Toán học cao cấp Tập 1,2,3, Nhà xuất bản Giáo. và các tác giả khác, Bài tập toán học cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục 1999. 6. Bùi Minh Trí (Chủ biên) Giải tích toán học, Nhà xuất bản Thống kê 2009. 4 Bài 1 ôn tập về hàm một biến số I.đạo