PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. I.LÝ DO C H Ọ N ĐỀ TÀI: Trong khi giải phương trinh bậc hai hai ẩn học sinh thường lúng túng không rõ phương pháp giải. Qua quá trình giảng giải tôi xin đưa ra một số phương pháp giải “phương trình nghiệm nguyên bậc hao hai ẩn”. Việc giải phương trình này còn giúp học sinh có kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bậc hai hai ẩn và phân tích đa thức thành nhân tử, đồng thời cũng biết được cách giải một số phương trình nghiệm nguyên bậc hai hai ẩn. II. N Ộ I DUNG A. Xét phương trình a x 2 a xy a x a y a y 2 a 0 .Trong đó a 0 hoặc a 2 0 , a 5 0 1 2 3 4 5 6 1 B. Các phương pháp giải. a.Ph ương pháp th ứ nhất Viết vế trái thành tổng các bình phương D ạng 1 . A 2 A 0 B 2 C 2 0 B 0 C 0 Ví dụ; giải phương trình nghiệm nguyên: 5x 2 2 y 2 4 xy 9 y 8x 14 0(1) L ưu ý: Để viết vế traí thành tổng các bình phương nhất là bình phương của một tam thức cần có cách tách hợp lý. Ta biết hang tử có bình phương thì hệ sổ là số chính phương, do đó 5x 2 2 y 2 4 x 2 x 2 y 2 y 2 Phương trình (1) 4x 2 x 2 y 2 y 2 4xy 4 x 4 x 9 y 14 0 Ta coi bình phương của một tam thức (a b c) 2 ((a b) c) 2 là bình phương của nhị thức với biểu thức thử nhất là (a+b) và bểu thức thứ hai là c. Vậy (1) 4x 2 x 2 y 2 y 2 4xy 4 x 4 x 9 y 14 0 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 1 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. ((2 x) 2 2.2x( y 1) ( y 1) 2 ) ( x 2) 2 ( y 3) 2 0 2 2 2 2x y 1 x 2 y 3 0 (2x y 1) 2 ( y 3) 2 ( x 2) 2 0 2x y 1 0 y 3 0 x 2 0 x 2 y 3 Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 2x 2 2, 5x 2 3, 5x 2 5 y 2 2 y 2 10 y 2 14 4xy 8 y 4 x 0 14 4 xy 4 y 8x 0 3 12xy 8 y 2 x 0 4, 10x 2 5, 10x 2 Giải: 5 y 2 4 y 2 38 12xy 34 12xy 16 y 20 y 36 x 0 36 x 0 1, 2x 2 5 y 2 14 4xy 8 y 4 x 0 x 2 x 2 4 y 2 y 2 4xy 8 y 4 x 14 0 2 2 2 x 2 y 1 x 3 x 2 y 1 0 y 2 0 x y x y 2, 5x 2 3 0 2 0 3 2 2 y 2 14 4 xy 4 y 8x 0 4x 2 x 2 y 2 y 2 4 xy 8x 4 y 14 0 2 2 2 2x y 1 x 2 2x y 1 0 y 3 0 x 2 0 y 3 0 x 2 y 3 3, 5x 2 10 y 2 3 12xy 8 y 2 x 0 4x 2 x 2 9 y 2 y 2 12xy 2 x 8 y 3 0 2 2 2 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. 2 2 2 2x 3 y 1 x 1 2x 3 y 1 0 x 1 0 y 1 0 x 1 y 1 y 1 0 4, 10x 2 5 y 2 38 12xy 16 y 36 x 0 x 2 9x 2 4 y 2 y 2 38 12xy 16 y 36 x 0 ( 3x 2.3x. 2 y 5 2 y 5 ) x 2 6x 9 y 2 4 y 4 0 2 2 2 3x 2 y 5 x 3 3x 2 y 5 0 x 3 0 y 2 0 x 3 y 2 y 2 0 5, 9x 2 x 2 4 y 2 34 12xy 20 y 36 x 0 2 2 3x 2 y 5 x 3 0 3x 2 y 5 0 x 3 0 x 3 y 2 D ạng 2 . A 2 B 2 C 2 m 2 n 2 A m p 2 B n C p và các hoán vị của chúng. Ví d ụ : Giải phương trình: x 2 x 4x 2 (2 x 6 y 2 4x 1) 2 0 24 4 y 2 (2 y) 2 0 25 3 2 4 2 0 2 5 2 3 2 2 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. Do 2x-1 lẻ nên 2 x 1 3 2 y 4 x 2; 1 y 2 Hoặc 2 x 1 5 2 y 0 x 3; 2 y 0 Phương trình đã cho có nghiệm: (x,y) = (2,2), (3,0), (-1,-2),(-3,0);(2;-2);(-1;2);(-2;0) Bài tập: Giải các phương trình nghiệm nguyên dương: 1, x 2 100 6xy 13 y 2 2, x 2 Giải: 4xy 5 y 2 169 1, x 2 100 6xy 13 y 2 x 2 6xy 9 y 2 4 y 2 100 x 3 2 y 100 6 2 8 2 0 2 10 2 x 3 6 x 9 2 y 8 y 4 Hoặc x 3 8 2 y 6 x 11 y 3 Hoặc x 3 10 2 y 0 x 13 y 0 Hoặc x 3 0 x 3 2 y 10 y 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x, y 9; 4 11; 3 3;5 2, x 2 x 2 4xy 4 xy 5 y 2 4 y 2 169 y 2 169 x 2 y 2 y 2 169 12 2 5 2 0 2 13 2 4 16 x 4 6 y 1 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai, hai ẩn. x 2 y 12 y 5 x 22 y 5 hoặc x 2 y 5 y 12 x 19 y 12 hoặc x 2 y 0 y 13 x 26 y 13 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x, y 22; 5 19;12 26;13 b.Ph ương pháp th ứ hai: Phân tích vế trái thành nhân tử A 0 D ạng 1 . A.B.C =0 B 0 C 0 D ạng 2 . A.B.C = m.n.p (Với m, n,p là các số nguyên) A m B n C p và các hoán vị của chúng. Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 3x 2 10xy 8 y 2 96 3x 2 6xy 4 xy 8 y 2 96 ( x 2 y)(3x 4 y) 96 16.6 12.8 24.4 Do x,y là các số nguyên dương nên (3x 2x x 4 y) ( x 4 y 2 y 2 y) 3 Hoặc 2x 4 y 12 x 2 y 8 x 4 (loại) y 6 Hoặc 2x 4 y 24 x 2 y 4 x 16 y 6 (loại) Vậy phương trình đã cho có nghiệm: Bài t ậ p: Giải các phương trình nghiệm nguyên: x, y 4;1 1, y 2 x 2 x 6 5 . x 2 4, 5 5, x 2 6 xy x y x xy 5 y 2 3xy 3 y 121 2 6 0 Giả i: 1, y 2 4 y 2 x 2 x 6 4x 2 4x 24 (2 y) 2 (2 y) 2 (4x 2 (2x 4x 1) 2 1) 23 23 2 y 2x 2 y 2x 1 2 y 2x 1 23 1 23 1 .23 ( 1).( 23 ) 23 .1. 0 x 2 x 2 4 y 2 y 2 4xy 8 y 4 x 14 0 2 2 2 x 2 y 1 x 3 x 2 y 1 0 y 2 0 x y x y 2, 5x 2 3 0 2 0 3 2 2 y 2 14 4 xy 4 y 8x 0 4x 2 x 2 y 2 y 2 4 xy 8x 4 y 14 0 2 2 2 2x y 1 x 2 2x y 1 0 y 3 0 x 2. x) 2 2.2x( y 1) ( y 1) 2 ) ( x 2) 2 ( y 3) 2 0 2 2 2 2x y 1 x 2 y 3 0 (2x y 1) 2 ( y 3) 2 ( x 2) 2 0 2x y 1 0 y 3 0 x 2 0 x 2 y 3 Bài tập: giải các phương trình nghiệm nguyên: 1, 2x 2 2,