BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU A. Nguyên hàm – Tích phân Dạng 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước Bước 1 : Tìm F(x) = ( ) ( )g x dx G x C= + ∫ (*) Bước 2 : Dựa vào điều kiện đã cho ta thiết lập phương trình để tìm C Bước 3 : Thế giá trị của C vừa tìm được vào (*) Bài tập áp dụng : 1. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số 2 1 2 ( ) x f x x + = thỏa mãn điều kiện ( 1) 3F − = 2. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) cos 3sinf x x x= − thỏa mãn điều kiện ( ) 0F π = 3. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số 3 2 2 3 3 5 ( ) ( 1) x x x f x x − + − = − , biết rằng 1 (0) 2 F = − 4. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số 3 2 ( ) 4 3 2f x x x= − + , biết rằng đồ thị của hàm số ( )F x đi qua M( - 1; 3 ) Dạng 2 : Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng ( hiệu ) của những hàm số có trong bảng nguyên hàm Tính các tích phân sau : 1. 4 1 1 2 dx x x   −  ÷   ∫ 2. 3 2 0 cos 2xdx π ∫ 3. 4 2 2 0 sin cosx xdx π ∫ 4. 3 3 2 6 3 sin sin x dx x π π + ∫ 5. 1 3 0 x e dx ∫ 6. 1 0 3 (3 6 ) x x x dx − + ∫ 7. ln2 2 0 4 2 x x e dx e − + ∫ 8. 9 1 1 3 dx x x x   −  ÷   ∫ 9. 4 0 sin 3 sin 2x xdx π ∫ 10. 2 0 sin 5 cosx xdx π ∫ 11. 2 0 cos7 cos 2x xdx π ∫ 12. 3 3 2 2 2 3 2 4 3x x x dx x + − + ∫ 13. 4 3 ( 2)( 1) dx x x− − ∫ 14. 3 2 0 3 2x x dx− + ∫ 15. 2 3 0 4 5 1 x x dx x + − + ∫ 16. 3 0 2 1 4 3 x dx x − + ∫ Dạng 3 : Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số  Dạng : [ ] ' ( ) . ( ) b a u x u x dx α ∫ Đặt : ( ) '( )u u x du u x dx= ⇒ = Đổi cận : ( ) ( ) x a u u a x b u u b = ⇒ = = ⇒ = [ ] ( )( ) 1 ' ( ) ( ) ( ) . ( ) 1 u bu b b u a a u a u u x u x dx u du α α α α + = = + ∫ ∫ Bài tập : Tính các tích phân sau 1 . 3 0 sin .cosx xdx π ∫ 2. 1 3 4 4 0 (1 )x x dx+ ∫ 3. ( ) 2 2 2 0 4 x x e e dx+ ∫ 4. 2 3 0 cos xdx π ∫ 5. 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ 6. 2 0 sin 1 3cosx xdx π + ∫ 7. 2 2 0 2 1 3 x dx x x + + + ∫ 8. 3 0 1x xdx+ ∫ Dạng : '( ) ( ) b a g x dx g x ∫ Đặt : ( ) '( )u g x du g x dx= ⇒ = Đổi cận : ( ) ( ) x a u g a x b u g b = ⇒ = = ⇒ = ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ln ln ( ) ( ) g bg b b g a a g a g x du g b dx u g x u g a = = = ∫ ∫ Bài tập : Tính các tích phân sau : 1. 2 2 1 2 1 1 x dx x x − − + ∫ 2. 3 0 2sin 2 cos xdx x π + ∫ 3. 2 3 sin cos sin cos x x dx x x π π + − ∫ 4. 1 0 1 x x e dx e + ∫ 5. 2 0 2 3 dx x + ∫ 6. 2 2 0 sin 2 3cos 1 xdx x π + ∫ 7. 2 2 2 0 sin cos cos 2sin 3 x xdx x x π − + ∫ 8. ln2 0 1 x dx dx e − + ∫  Dạng 1 (ln ). b a f x dx x ∫ Đặt 1 lnu x du dx x = ⇒ = Đổi cận : ln ln x a u a x b u b = ⇒ = = ⇒ = Bài tập : Tính các tích phân sau : 1. 1 ln 1 e x dx x + ∫ 2. 2 3 1 ln 2 e x dx x + ∫ 3. 3 1 ln 1 e dx dx x x + ∫ 4. 7 3 1 ln 1 e dx x x + ∫ Hướng dẫn : 1. Đặt ln 1u x = + 2. Đặt lnu x = 3. Đặt ln 1u x= + 4. Đặt 3 ln 1u x= +  Dạng ( ) '( ) b u x a e u x dx ∫ Đặt ( ) '( )u u x du u x dx= ⇒ = Đổi cận : ( ) ( ) x a u u a x b u u b = ⇒ = = ⇒ = ( ) ( ) ( ) '( ) u b b u x u a u a e u x dx e du= ∫ ∫ Bài tập : Tính các tích phân sau : 1. 2 1 1 0 . x x e dx + ∫ 2 . tan 4 2 0 cos x e dx x π ∫ 3. 4 2 1 0 x e dx + ∫ 4. 4 1 x e dx x − ∫ 5. 2 sin2 1 0 cos 2 . x x e dx π + ∫ 6. 1 2 2 1 x e dx x ∫ 7. 3 1 2 1 2 0 (3 2) x x e x dx + + + ∫ 8. 2 sin cos 0 (cos sin ) x x e x x dx π + − ∫ Dạng 4 : Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Tính các tích phân sau : 1. 0 sinx xdx π ∫ 2. 1 2 0 . x x e dx ∫ 3. 2 1 (2 1)lnx xdx+ ∫ 4. 2 2 0 cosx xdx π ∫ Dạng 5 : Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng dạng 1 : Hình phẳng giới hạn bởi (C): ( ); 0; ; y f x y x a x b= = = = có diện tích là ( ) b a S f x dx= ∫ Chú ý : + Nếu đề bài không đề cập đến hai đường thẳng x = a và x = b thì ta phải tìm chúng bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox + Nếu trong đoạn [ ] ;a b phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm thì dấu của ( )f x không đổi trên đoạn [ ] ;a b . Do đó ta có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân + Nếu trong đoạn [ ] ;a b phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm ( ) 1 2 1 2 ,x x x x< thì ta chia đoạn thành ba đoạn nhỏ và đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân Cụ thể : 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x b b a a x x f x dx f x dx f x dx f x dx= + + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a. 3 2 1 2 3 3 y x x= − + − , trục hoành , 0x = và 2x = b. 4 2 ; y x x Ox= − c. 1; ; 2 x y e Ox x= − = d. ln ; ; y x Ox x e= =  Hình phẳng dạng 2 : Hình phẳng giới hạn bởi (C): ( );( ') : ( ); ; y f x C y g x x a x b= = = = có diện tích là ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ Bài tập : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : a. 3 ( ) : 3 1; 1C y x x y= − + = b. ( ) : ln ; ( ) : 1; 1C y x d y x= = = c. 3 ( ) : 12C y x x= − và 2 y x= d. 3 ( ) : 1C y x= = − và tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2 Dạng 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay Khi quay quanh Ox hình phẳng (H) tạo bởi các đường (C) : ( ); 0; ; y f x y x a x b= = = = ta được vật thể tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức sau : 2 ( ) b a V f x dx π = ∫ Bài tập : Tính vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục hoành a. 2 2 4 ; ; 1; 2y x x Ox x x= − = − = b. 2 ; 0; 0; 1 2 y y x x x = = = = − c. 2 2 ; 1y x y= − = . BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH, YẾU A. Nguyên hàm – Tích phân Dạng 1 : Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước Bước 1 : Tìm F(x) = ( ) ( )g x dx G x C= + ∫ (*) Bước 2 : Dựa vào. số ( )F x đi qua M( - 1; 3 ) Dạng 2 : Tính tích phân bằng cách biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng ( hiệu ) của những hàm số có trong bảng nguyên hàm Tính các tích phân sau : 1. 4 1 1. của C vừa tìm được vào (*) Bài tập áp dụng : 1. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số 2 1 2 ( ) x f x x + = thỏa mãn điều kiện ( 1) 3F − = 2. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) cos 3sinf