Bài Tóan Sự Đồng Biến và Nghòch Biến Của Hàm Số Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khỏang cho trước Bài Tóan Tìm m để y = f(x,m) tăng ( hoặc giảm) trên khỏang I cho trước + Tính y’ = f’(x,m) + Đònh m để f’(x,m) ≥ 0 (≤ 0) ∀ x ∈ I + Lưu ý Các đònh lý về dấu của tam thức bậc II trong đó có so sánh các số α , β với các nghiệm của tam thức bậc II Chẳng hạn: cho f(x) = ax 2 + bx + c (a# 0 ) • f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔    ≤∆ > 0 0a • f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔    ≤∆ < 0 0a • f(x) ≥ 0, ∀ x < α ⇔    ≤∆ > 0 0a hoặc        <− > >∆ ≠ 0 2 0)( 0 0 α α S af a • … Lưu ý: Nếu miền xác đònh của y là D = R \ { } 0 x thì • y đồng biến trên (α ; +∞) ⇔    < >∀≥ α α 0 0' x xy • y nghòch biến trên (α ; +∞) ⇔ … Ví Dụ Minh Họa VD1: Tìm m để hàm số y = - x 3 + mx 2 - m tăng trong khoảng (1;2) Giải: Miền xác đònh: D = R y’ = -3x 2 + 2mx • Để hàm số đồng biến trong khoảng (1;2) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2) ⇔ -3x 2 + 2mx ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2) Ta có ∆ ’ = m 2 TH1: Nếu ∆ ’≤ 0 ⇔ m 2 ≤ 0 ⇔ m = 0 khi đó y’≤ 0 ∀ x. Suy ra hàm số luôn giảm: không thỏa yêu cầu đề TH2: Nếu ∆ ’ > 0 ⇔ m ≠ 0 khi đó phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x 1 <x 2 . x - ∞ x 1 1 2 x 2 + ∞ y’ - 0 + 0 - y Dựa và BBT ta thấy: Hàm số tăng (1;2) ⇔ x 1 ≤ 1 < 2 ≤ x 2 ⇔    ≤ ≤ 0)2( 0)1( af af ⇔    ≤+−− ≤+−− 0)412(3 0)23(3 m m ⇔ m ≥ 3 • Vậy hàm số tăng trong khoảng (2;3) ⇔ m ≥ 3 Cách 2: phương pháp miền giá trò Ta có y’ = -3x 2 + 2mx Để hàm số đồng biến trong khoảng (1;2) khi và chỉ khi y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2) ⇔ -3x 2 + 2mx ≥ 0 ∀ x ∈ (1;2) ⇔ m ≥ x x 2 3 2 ∀ x ∈ (1;2) suy ra m ≥ mọi giá trò của hàm g(x) = x x 2 3 2 = x 2 3 ∀ x ∈ (1;2) ta có g’(x) = 3/2 (luôn tăng) • g(1) = 3/2 • g(2)= 3 (max) Suy ra miền giá trò của hàm g(x) là: T[3/2; 3] Vì m phải ≥ mọi giá trò của hàm g nên nó phải ≥ giá trò lớn nhất Vậy m ≥ 3 thỏa YC đề VD2: Xác đònh m để hàm số y = x 3 – 3(2m + 1)x 2 + (12m +5)x + 2 đồng biến trong khỏang (2; +∞ ) Ta có y’ = 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5 Để hàm số đồng biến trong (2; +∞ ) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ ) ⇔ 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5 ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ ) ⇔ 3x 2 – 12mx -6x + 12m + 5 ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ ) ⇔ 3x 2 – 6x + 5 ≥ 12m(x – 1) ∀ x ∈ (2; +∞ ) ⇔ 12m ≤ 1-x 5 6x -3x 2 + ∀ x ∈ (2; +∞ ) ⇔ 12m ≤ mọi giá trò của hàm g(x) ∀ x ∈ (2; +∞ ) Ta có g’(x) =…… … … … … m ≤ 5/12 thỏa yc đề. Cách 1: Ta có y’ = 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5 Để hàm số đồng biến trong (2; +∞ ) ⇔ y’ ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ ) ⇔ 3x 2 – 6(2m+1)x + 12m +5 ≥ 0 ∀ x ∈ (2; +∞ ) Ta có )16(6 2 −=∆ m TH1: Nếu ∆ ≤ 0 ⇔ 6m 2 – 1 ≤ 0 ⇔ 6 1 6 1 ≤≤− m (1) khi đó y ≥ 0 ∀ suy ra hàm số đồng biến ∀ x nên đồng biến trong (2; +∞ ) ( thỏa YCĐ) TH2: Nếu ∆ > 0 ⇔ 6m 2 – 1 > 0 ⇔ m < - 6 1 v 6 1 < m khi đó phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x 1 < x 2 . Ta có BBT sau: m < - 6 1 v 6 1 < m ≤ 12 5 (2) từ (1) và (2) ta suy ra YCĐ ⇔ m ≤ 5/12 Một số bài tập: Bài 1: Xác đònh m để các hàm số sau luôn đồng biến trong từng khoảng xác đònh của nó: a. y = x 3 – 3(2m+1) x 2 + (12m +5)x +2 b. y = x 3 + (m-1)x 2 + (m 2 – 4) x + 9 c. y = mx mx − + d. y = 2 32 2 − +− x mxx Bài 2: Xác đònh m để các hàm số sau luôn nghòch biến trong từng khoảng xác đònh của nó: a. y = -x 3 + (3-m)x 2 – 2mx + 2 b. y = 2 1 + − x mx c. y = -x + msinx ĐS: m ∈ [-1;1] Bài 3: a. Tìm m để hàm số y = 1 32 2 − +− x mxx đồng biến trên khoảng (3; +∞ ) b. Tìm m để hàm số y = mx mmxx − ++− 22 2 đồng biến ∀ >1. c. Tìm m để hàm số y = 2 26 2 + −+ x xmx nghòch biến trong ( 1; + ∞ ) d. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3(2m+1)x 2 + (12m+5)x + 2 đồng biến trong (-∞ ; -1), (2; +∞) ĐS: a. m ≤ 9; b. m ≤ 4 173 − c. m ≤ -14/5 d. m ∈ ] 12 5 ; 12 7 [− Bài 4: Cho hàm số y = x 3 – (m-1)x 2 – (m+3)x + 2m đònh m để hàm số : a. tăng trên R b. nghòch biến trên (-1;0) c. Tăng trên (0; +∞ ) Bài 5: Cho hàm số y = x mxx − −+ 3 5 2 đònh m để hàm số: a. Giảm trên từng khoảng xác đònh b. Giảm trên (-1;0) c. Tăng trên (-2;2) ĐS: a. m ≤ -4/3 b. m ≤ 5/3 c. m ≥ 7 Vấn Đề 2 Cực Trò Của Hàm Số Phương Pháp: Dấu Hiệu 1: ( Qui tắc dấu đạo hàm) - Tìm miền xác đònh của hàm số - Tính đạo hàm y’ - Lập bảng biến thiên Ví dụ: Tìm các điêm cực trò của hàm số: a. y = x + x 1 • miền xác đònh D = R \ { } 0 • y’ = 2 2 1 x x − • y’ = 0 ⇔ x 2 – 1 = 0 ⇔    −=−= == )2(1 )2(1 yx yx • BBT: Ví dụ 2: y = xe -x • Miền xác đònh D = R Dấu Hiệu 2: ( Qui tắc đạo hàm cấp II) • Miền xác đònh • Tíng y’, y” • Giải phương trình y’ = 0 để tìm nghiệm, giả sử x 1 , x 2 …,x n • Tính y”(x i ) o Nếu y”(x i ) < 0 => y đạt cực trò tại x i o Nếu y”(x i ) < 0 => y đạc cực tiểu tại x i Lưu ý: Dấu hiệu này chỉ dùng khi tính đạo hàm cấp 2 dễ dàng hay có nhiều cực trò Ví Dụ: Tìm Cực Trò của hàm số a. y = x 2 e x • Miền xác đònh D = R • y’ = e x (x 2 + 2x) • y’ = 0 ⇔ (x 2 + 2x) = 0 ( vì e x > 0) •    = = 2 0 x x • y” = e x (x 2 + 4x + 2) o y”(0) = e 2 .2 > 0 => y đạt cực tiểu tại x = 0 o y”(-2) = e (-2) .(-2) < 0 => y đạt cực đại tại x = -2 b. y = x 2 lnx • Mieàn xaùc ñònh D = ( 0; + ∞ ) • y’ = c. y = x – lnx d. y = x xln Tìm Điều Kiện Để Hàm Số Có Cực Trò Phương Pháp: • Tìm miền xác đònh và tính y’ • y có cực trò hay không và có bao nhiêu cực trò là tùy thuộc vào y’ có nghiệm hay không (có bao nhiêu nghiệm) và tại các nghiệm đó y’ có đổi dấu hay không? • Đặc biệt: o y’ là tam thức bậc hai: y’= ax 2 + bx + c (a # 0) thì y có cực trò ⇔ ∆ >0 lúc đó y có một cực đại và một cực tiểu o Nếu bài tóan nói rõ cực trò là cực đại hay cực tiểu thì ta phải kiểm lại với m vừa tìm được thì đạt cực đại hay cực tiểu bằng 2 cách  Cách 1: xét dấu y’ và lập bảng biến thiên  Cách 2: dùng dấu hiệu đạo hàm cấp hai Ví dụ 1: Xác đònh m để hàm số y = mx mxx + ++ 1 2 đạt cực đại tại x = 2 • Miền xác đònh D = • y’ = 2 22 )( 12 mx mmxx + −++ • Hàm số đạt cực đại tại x = 2 => y’(2) = 0 => m= -1 hoặc m = -3 • Với m = -1 o y’ = 2 2 )1( 2 − − x xx ; y’ = 0 ⇔    = = 2 0 x x o BBT • với m = -3 • y’= BBT trên cho thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ m = Ví dụ 2: y = x 3 – 3mx 2 + 3(m 2 – 1)x – (m 2 – 1). Đònh m để hàm số đạt CĐ tại x= 1 Bài Tập: 1. Xác đònh m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò đó a. y = 3 3 1 x + 2mx 2 + (m+6)x -1 b. y = mx 3 – 2x 2 + x c. y = mx mmxx − −+− 22 2. Cho y = mx 4 – 2(m 2 – 1)x 2 + 3m+ 2 a. Đònh m để hàm số có cực tiểu và không có cực đại b. Đinh m để hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại 3. y = x 3 - 3x 2 + 3mx + 1 – m a. với giá trò nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu ? b. Giả sử đồ thò của hàm số có cực đại tại M 1 (x 1 ,y 1 ) và có cực tiểu tại M 2 (x 2 ; y 2 ). CMR 2 )1)(( 2121 21 = −− − xxxx yy 4. y = mx mmmxxm − −−−−+ )2(2)1( 232 với giá trò nào của m thì hàm số đạt CĐ và CT trong khoảng ( 0; 2)? 5. Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – mx + 2 a. Xác đònh m để hàm số đồng biến ∀ x > 3 b. Xác đònh m để hàm số nghòch biến trong ( -1; 2) c. Xác đònh m để hàm số có cực tiểu với hòanh độ nhỏ hơn 2 6. Cho hàm số y = 2 4 x - ax 2 + b. Đònh a và b để hàm số đạt cực trò bằng -2 tại x 0 = 1 7. Cho hàm số y = x 3 – 6x 2 + 3(m-2)x – m – 6. Đònh m để đồ thò của hàm số: a. Cắt trục hòanh tại một điểm b. Cắt trục hòanh tại 3 điểm phân biệt 8. Cho hàm số y = mx mmxmx + ++++ 4)32( 22 . Đònh m để hàm số có hai cực trò và 2 giá trò này trái dấu nhau. 9. Cho hàm số y = mx mxx − +− 3 2 Đònh m để hàm số có cực đại, cực tiểu và thỏa mãn điều kiện | y CĐ – y CT | > 8 . Bài Tóan Sự Đồng Biến và Nghòch Biến Của Hàm Số Điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khỏang cho trước Bài Tóan Tìm. số đồng biến ∀ x nên đồng biến trong (2; +∞ ) ( thỏa YCĐ) TH2: Nếu ∆ > 0 ⇔ 6m 2 – 1 > 0 ⇔ m < - 6 1 v 6 1 < m khi đó phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm x 1 < x 2 . Ta có BBT. mx mmxx − ++− 22 2 đồng biến ∀ >1. c. Tìm m để hàm số y = 2 26 2 + −+ x xmx nghòch biến trong ( 1; + ∞ ) d. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3(2m+1)x 2 + (12m+5)x + 2 đồng biến trong (-∞ ; -1),