Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên QUAN HỆ VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Hai đường thẳng vuông góc Định nghĩa 1: (a, b) = (∆ 1 , ∆ 2 ) trong đó ∆ 1 ∩ ∆ 2 = O, ∆ 1 // a, ∆ 2 // b. Định nghĩa 2: a ⊥ b ⇔ (a, b) = 90 0 . II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định nghĩa 1: a ⊥ (α) ⇔ a ⊥ ∀∆ ⊂ (α). Định lý 1: )( d O b a )( b d )( a d αα α ⊥⇒      =∩ ⊂⊥ ⊂⊥ Các tính chất: 1. ∃! mp(α)O ∈ (α), a ⊥ (α) với điểm O và đường thẳng a cho trước. 2. ∃! Đường thẳng ∆  O ∈ ∆, ∆ ⊥ (α) với điểm O và mp(α) cho trước. 3. + (α) ⊥ a, a // b ⇒ (α) ⊥ b. + a ≠ b, a ⊥ (α), b ⊥ (α) ⇒ a // b. 4. + a ⊥ (α), (α) // (β) ⇒ a ⊥ (β). + (α) ≠ (β), (α)⊥ a, (β)⊥ a ⇒ (α) // (β). 5. + a // (α), ∆ ⊥ (α) ⇒ ∆ ⊥ a. + a ⊥ ∆, (α) ⊥ ∆, a ⊄ (α) ⇒ a // (α). Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương l ⊥ mp(P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mp(P). Định lý ba đường vuông góc: a'. b a b thì )( trên a cua h/c là a' )( b ),( a ⊥⇔⊥    ⊂⊥ α αα Định nghĩa 3: + a ⊥ (α) ⇔ (a, (α)) = 90 0 . + a ⊥ (α) thì (a, (α)) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên (α). B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG. 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. +/ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt nhau cùng nằm trên ( α ) +/ Cách 2: Chứng minh // ' ( ) ' ( ) d d d d α α  ⇒ ⊥  ⊥  +/ Cách 3: Chứng minh ( ') ( ) ( ')//( ) d d α α α α ⊥  ⇒ ⊥   2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau. +/ Cách 1: Chứng minh ¶ 0 ( , ) 90a b = +/ Cách 2: Tìm hai vec tơ chỉ phương u r và v r của a , b và chứng minh . 0u v = r r VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA ⊥ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD. a) Cm: BC ⊥ (SAB); CD ⊥ (SAD); BD ⊥ (SAC). b) Cm: AH ⊥ SC; AK ⊥ SC. T ừ đó suy ra AH, AI, AK cùng chứa trong 1 mp. c) Cm: HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra HK ⊥ AI. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1 Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên BÀI TẬP: Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ∆ ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC). a) Cm: BC ⊥ (SAB). b) Gọi AH là đường cao của ∆ SAB. Cm : AH ⊥ SC. Bài 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết : SA = SC và SB = SD. a) CM: SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh : IJ ⊥ (SBD). Bài 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mp (ABC) sao cho OH vuông góc với mp (ABC). Chứng minh rằng: a) BC vuông góc với mp (OAH) b) H là trực tâm của tam giác ABC c) 2222 1111 OCOBOAOH ++= Bài 4: Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm AB, K là trung điểm AD. Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABCD) tại H lấy một điểm S khác với H. Chứng minh: a) AC vuông góc với (SHK) b) CK vuông góc với DH và Ck vuông góc với SD Bài 5: Tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC. Chứng minh : a) AH, SK và BC đồng quy b) SC vuông góc với (BHK) c) HK vuông góc với (SBC) Bài 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SB = SD a) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn BD b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD. Chứng minh SH= SK, OH = OK, và HK song song với BD c) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn HK DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. PHƯƠNG PHÁP : Cho đường thẳng d cắt mp ( α ) tại điểm O và ( ) 0 ,( ) 90d α ≠ . Để tính góc ( ) ,( )d α ta thực hiện các bước sau: +/ Lấy ( )A d A O∈ ≠ +/ Chiếu vuông góc A xuống ( α ) ta được điểm H +/ Ta có ( ) ,( )d α = · AOH  Chú ý: +/ Nếu ( )d α ⊥ thì ( ) ,( )d α = 0 90 +/ Nếu d không vuông góc với ( α ) thì ( ) ,( )d α = ( ) , 'd d với d’ là hình chiếu của d trên ( α ) 2. BÀI TẬP : Bài 1: Cho tứ diện S.ABC. Tam giác ABC vuông cân tại B có BA=a, SA ⊥ (ABC), SA=a, AK là đường cao của tam giác SAB. a) Tính sin của góc giữa SC và (SAB). b) Tính góc giữa AH và (SBC). Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho SA = SB = SC= 3 3a2 . a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC). b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC). DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA 1 ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ ⊥ VỚI 1 ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA vuông góc với mp (ABCD) và SA = 2a. Gọi M là một điểm trên cạnh AB; α là mp qua M, vuông góc với AB. Đặt x = AM (0<x<a). a) Tìm thiết diện của hình chop SABCD với α . Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 2 Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên Ví dụ 2: Cho hình tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh = a, SA vuông góc với (ABC) và SA = 2a. Gọi α là mp qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC vói α và diện tích của thiết diện này BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B. AB = a. SA vuông góc với mp (ABC) và SA = 3a . Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0<x<a). Gọi α là mp qua M và vuông góc với AB a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với α b. Tính diện tích của thiết diện này theo a và x. Tìm giá trị của x đểdiện tích thiết diện có giá trị lớn nhất Bài 2: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH. Trên đường thẳng vuông góc với mp (ABC) tai O. Lấy điểm S sao cho Ó = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI =x, (a<x<2a), α là mp đi qua I và vuông góc với OH. a) Xác định α b) Dựng thiết diện của α với tứ diện SABC. Thiết diện là hình gì? c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện Bài 3: Tứ diện SABC có 2 mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. SA = 2 3 a . M là một điểm trên đoạn AB, Đặt AM = x (0 < x < a). Gọi α là mp qua M và vuông góc với BC. a) D là trung điểm của BC, chứng minh α song song với (SAD) b) Xác định thiết diện của α với tứ diện SABC c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 3 . Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên QUAN HỆ VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. Hai đường thẳng vuông góc Định nghĩa 1:. với α . Thiết diện là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 2 Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên Ví dụ 2: Cho hình tứ diện SABC có. Cm: HK ⊥ (SAC). Từ đó suy ra HK ⊥ AI. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1 Trường THPT Trần Quang Khải GV: Đỗ Trung Kiên BÀI TẬP: Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ∆ ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC).