Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân CHỦ ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tuần 2 : 6 tiết – Từ 04/04 đến 09/04 MỤC TIÊU Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Phương pháp đổi biến số. Tính nguyên hàm từng phần. 2. Định nghĩa và các tính chất của tích phân. Tính tích phân của hàm số liên tục, công thức Niu-tơn − Lai-bơ-nit. Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân. 3. Diện tích hình thang cong. Các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân. Các dạng toán cần luyện tập 1. Tính nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần. 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm. 3. Tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần. 4. Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân. 5. Tính diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhận trục hoành làm trục nhờ tích phân. CHUẨN BỊ: Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập ôn tại lớp và bài tập rèn luyện ở nhà cho học sinh Hoc sinh : Xem lại bài củ và giải các bài tập giáo viên đã giao trước TIẾN TRÌNH ÔN TẬP Hoạt động 1 : Ôn tập hệ thống lý thuyết Hoạt động 2 : Rèn luyện các dạng toán cần luyên tập Bài 1 : Tìm nguyên hàm ( )F x của các hàm số sau : a. 2 1 ( ) 3 4 x f x x e x = − + biết rằng F(1) = 1 b. 2 ( ) sin 2 . os3 3tanf x x c x x= + biết rằng ( ) 0F π = Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung Em hiểu thế nào về yêu cầu của bài toán ? Khi ( )f x có nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm này sai Tìm ( )F x = ( )f x dx ∫ Tìm C trong ( )F x thỏa điều kiện bài toán Hai học sinh lên bảng thực hiện hai bài tập a. Ta có : 2 3 1 ( ) 3 4 2 ln 4 x x F x x e dx x x e C   = − +  ÷   = − + + ∫ Do (1) 1 4F C e= ⇒ = − Vậy nguyên hàm cần tìm là : 1 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân khác nhau bởi một hằng số . Với yêu cầu của bài toán ta phải chỉ ra đúng một nguyên hàm thỏa điều kiện bài toán , tức là phải đi tìm hằng số C 3 ( ) ln 4 4 x F x x x e e= − + − b. ( ) 2 ( ) sin 2 . os3 3tanF x x c x x dx= + ∫ = 2 1 3 (sin 5 sin ) 3 2 cos x x dx x   − + −  ÷   ∫ = 1 1 cos5 cos 3tan 3 10 2 x x x x C− + + − + Do ( ) 0F π = ⇒ C = 2 3 5 π + Vậy nguyên hàm cần tìm là : 1 1 2 cos5 cos 3tan 3 3 10 2 5 x x x x π − + + − + + Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau : 3 . (1 2 )a x dx+ ∫ b. 2 sin .cosx xdx ∫ c. (1 )cosx xdx− ∫ d. 2 3 (1 2 ) x x x e dx+ − ∫ e. 2 4 dx dx x − ∫ f. 2 1 2 2 x dx x x + + + ∫ g. 3 2 x dx x + ∫ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Hãy phân chia theo từng cách giải của các bài nguyên hàm trên Giáo viên gọi 3 học sinh giải bài a, e, g Gọi 2 học sinh giải bài e , g Gọi 2 học sinh giải bài : c , d Học sinh thảo luận và đưa ra kết luận + Biến đổi thông thường Bài a , e , g + Đổi biến số : bài b , f +Nguyên hàm từng phần : bài c và d Học sinh nhận xét Bài giải các bài tập trên Bài 3 : Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các nguyên hàm cơ bản Tính các tích phân sau : a. 2 2 3 1 2x x dx x dx − ∫ b. 3 ln2 0 1 x x e dx e dx + ∫ c. 2 2 sin 2 sin 7x xdx π π − ∫ d. 1 1 2 ( 2)( 3) dx x x − − − ∫ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Các tích phân được giải bằng phương pháp nào ? Biến đổi hàm số thành tổng của các hàm số cơ a. 2 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Trình bày cách biến đổi các hàm số trên thành tổng của những hàm số có trong bảng nguyên hàm ? Gọi học sinh thực hiện bài tập bản có trong bảng nguyên hàm Học sinh trả lời 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln 2 2 x x dx dx x x dx x x x −     = − = +  ÷  ÷     = − ∫ ∫ b. 3 ln2 0 1 x x e dx e dx + ∫ = ln2 ln2 2 2 0 0 1 ( ) 2 1 1 2 ( 1) 2 2 2 x x x x e e dx e e − −   + = −  ÷   = − − − = ∫ c. 2 2 sin 2 sin 7x xdx π π − ∫ = 2 2 1 (cos5 cos9 ) 2 x x dx π π − − ∫ = 2 2 1 1 1 sin 5 sin9 2 5 9 x x π π −   −  ÷   = 4 45 d. 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ( 2)( 3) 3 2 3 3 2ln 2ln 2 2 dx dx x x x x x x − − −   = −  ÷ − − − −   − = = − ∫ ∫ Bài 4 : Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số a. 2 1 2x dx+ ∫ b. 1 2 1 2 1 1 x dx x x dx − + + + ∫ c. 1 2 7 0 ( 2)x x dx− ∫ d. cos 0 sin x e xdx π ∫ e. 1 2 2 0 ( 4) x dx x + ∫ f. 2 2 0 sin (1 cos ) x dx x π + ∫ g. 1 ln 2 e x dx x + ∫ h. 1 3 2 0 4x x dx+ ∫ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Em hãy nêu những dạng biểu thức đướ dấu tích phân như thế nào thì ta chọn phương pháp đổi biến số để tính tích phân ? Dạng tổng quát là : [ ] ( ) ( ) . '( )f x g u x u x= Cụ thể : '( ) ( ) ( ) g x f x g x = [ ] ( ) ( ) . '( )f x u x u x α = a. Đặt 2u x= + 2 2u x⇒ = + 2dx udu ⇒ = Đổi cận 1 3 2 2 x u x u = ⇒ = = ⇒ = 3 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Hãy nhận dạng các tích phân đã cho và đề xuất cách đổi biến 1 ( ) (ln ).f x g x x = ( ) '( ) ( )f x u x u x= ……. 2 2 2 3 3 2 4 3 1I udu u= = = − = ∫ b. Đặt 2 1u x x= + + c. Đặt : 2u x= − d. Đặt : cosu x= e. Đặt : 2 4u x= + f. Đặt : 1 cosu x= + g. Đặt : ln 2u x = + h. Đặt : 2 4u x= + Bài 5 : Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần a. 1 0 ( 1) x x e dx+ ∫ b. 2 0 ( 1)cosx xdx π − ∫ c. 3 1 (2 5)lnx xdx+ ∫ d. 2 2 0 sinx xdx π ∫ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Hãy nêu lại các dạng biểu thức dưới dấu tích phân như thế nào thì ta chọn phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân đó . Nêu cách chọn u và v’ Dạng thường gặp : sin( ) cos( ) ( ) ( ). ln( ) ax b ax b ax b f x P x e ax b + +     +   =     +   Học sinh thực hiện a. 1 ' x x u x du dx v e v e = + ⇒ = = ⇒ = 1 0 ( 1) x x e dx+ ∫ = 1 1 0 0 ( 1) x x x e e dx+ − ∫ = 1 1 0 0 ( 1) x x x e e e+ − = b. 1u x du dx= − ⇒ = ' cos sinv x v x = ⇒ = 2 0 ( 1)cosx xdx π − ∫ = ( ) 2 0 1 sinx x π −    2 0 sin xdx π − ∫ = 2 0 ( 1) cos 2 x π π − + = 2 2 π − c. Đặt ln dx u x du x = ⇒ = 2 ' 2 5 5v x v x x= + ⇒ = + 3 1 (2 5)lnx xdx+ ∫ 4 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân = ( ) 3 3 2 1 1 5 5 lnx x x x dx x     + − +  ÷     ∫ = 3 2 1 24ln3 5ln 2 x x   − +  ÷   = 19ln3 4 − d. 2 2 0 sinx xdx π ∫ ( ) 2 0 1 cos2 2 x x x dx π = − ∫ = 2 2 0 0 1 1 cos 2 2 2 xdx x xdx π π − ∫ ∫ 2 0 1 2 xdx π ∫ = 2 2 0 4 x π = 2 16 π Đặt u x du dx = ⇒ = 1 ' os2 sin 2 2 v c x v x= ⇒ = 2 0 1 cos2 2 x xdx π ∫ 2 2 0 0 1 1 sin 2 sin 2 4 4 x x xdx π π = − ∫ 2 0 1 cos 2 8 x π = = 1 1 (cos cos0) 8 4 π − = − Bài 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a. 4 2 2 3; 0; 1; 3y x x y x x= + + = = − = b. 2 2; 3 2y x y x= − = − + c. 2 2 12 36; 6y x x y x x= − + = − d. 3 2y x x= − và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng 1 Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu các dạng hình phẳng đã học ? Thông thường mỗi hình phẳng được xác định bởi mấy đường ? Học sinh phải nêu được 2 dạng Mỗi hình phẳng được xác định bởi 4 đường. Khi giả thiết cho không đúng với mẫu của hình phẳng đã học ta phải tìm cách đưa về dạng mẫu bằng cách tìm thêm a. Diện tích hình phẳng cần tìm là : ( ) 3 4 2 1 2 3S x x dx − = + + ∫ 3 5 3 1 2 1192 3 5 3 15 x x x   = + + =  ÷   b. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là : 5 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân đường còn thiếu hoặc phân chia hình phẳng đã cho thành tổng hoặc hiệu của những hình phẳng mẫu 2 2 2 3 2 3 4 0 1 4 x x x x x x − = − + ⇔ + − = =  ⇔  = −  Diện tích hình phẳng cần tìm là : 1 2 4 1 1 2 2 4 4 ( 2) ( 3 2) 3 4 ( 3 4) S x x dx x x dx x x dx − − − = − − − + = + − = + − ∫ ∫ ∫ 1 3 2 4 3 ( 4 ) 3 2 x x x − = + − = 125 125 6 6 − = c. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là : 2 2 2 12 36 6 2 18 36 0 2 7 x x x x x x x x − + = − ⇔ − + = =  ⇔  =  Diện tích cần tìm là : 7 2 2 2 ( 12 36) (6 )S x x x x dx= − + − − ∫ 7 2 2 7 2 2 2 18 36 (2 18 36) x x dx x x dx = − + = − + ∫ ∫ = 7 3 2 2 2 ( 9 36 ) 9 9 3 x x x− + = = d. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 1) là d: 2y x= + Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : 3 1 3 2 0 2 x x x x = −  − − = ⇔  =  Diện tích cần tìm là : 2 3 1 27 3 2 4 x x dx − − − = ∫ Bài 7 : Tính vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a. (4 ); 0y x x y= − = b. sin ; 0; 0; 2 2 x y y x x π = = = = c. ln ; 0;y x y y e= = = 6 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu lại công thức tính thể tích vật thể tròn xoay đã học ? 2 ( ) b a V f x dx π = ∫ a. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox: 0 (4 ) 0 4 x x x x =  − = ⇔  =  Thể tích cần tìm là : ( ) 4 2 0 (4 )V x x dx π = − ∫ ( ) 4 4 3 2 0 4 5 4 3 0 8 16 16 512 2 5 3 15 x x x dx x x x π π π = − +   = − + =  ÷   ∫ b. Thể tích cần tìm là : 2 2 2 0 0 sin (1 cos ) 2 2 x V dx x dx π π π π = = − ∫ ∫ ( ) 2 0 sin 2 x x π π = − 1 2 2 π π   = −  ÷   c. Ta có : ln 0 1x x = ⇔ = Thể tích cần tìm là : 2 1 ln e V xdx π = ∫ Đặt 2 2ln ln ' 1 x u x du dx x v v x = ⇒ = = ⇒ = 2 2 11 1 ln ( ln ) 2 ln e e e xdx x x xdx= − ∫ ∫ = 1 2 ln e e xdx− ∫ Đặt 1 lnu x du dx x = ⇒ = ' 1v v x = ⇒ = 11 1 1 ln ( ln ) 1 e e e e xdx x x dx e x = − = − = ∫ ∫ Vậy thể tích cần tìm là : ( 2)v e π = − 7 Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Các bài tập Rèn luyện 1.Tính các tích phân sau : Biến đổi thành tổng của các hàm số có trong bảng nguyên hàm Phương pháp đổi biến số Phương pháp tích phân từng phần 1. 2 2 0 3 4 1 x x dx x − + + ∫ 2. 1 2 0 4 dx x − ∫ 3. 4 2 0 3 2x x dx− + ∫ 4. 4 4 0 sin xdx π ∫ 5. 0 sin cos3x xdx π ∫ 6. 2 0 sin 4 x dx π π   −  ÷   ∫ 7. 2 2 4 (cot 2)x dx π π + ∫ 8. 2 0 (cos4 cos3 sin 4 sin 3 )x x x x dx π − ∫ 9. 4 2 1 3 1x x dx x x + + ∫ 10. 1 32 2 0 (2 .3 ) x x x dx− ∫ 1. 1 3 4 0 (1 )x x dx+ ∫ 2. 4 2 3 2 1 2 x dx x x + + − ∫ 3. ( ) 1 2 2 0 5 4 x x + ∫ 4. 3 0 sin .cosx xdx π ∫ 5. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 6. 1 ln 3 e x dx x + ∫ 7. 1 2 5 3 0 ( 1)x x dx− ∫ 8. 1 2 0 1 x dx− ∫ 9. ( ) 1 3 0 2 x x e dx e + ∫ 10. 2 5 0 sin xdx π ∫ 1. 2 1 ln e x xdx ∫ 2. 1 2 1 0 . x x e dx − ∫ 3. 2 0 ( 1)cosx xdx π + ∫ 4. 2 0 ( 3)sin 2x xdx π − ∫ 5. 2 0 ( 1) os 2 x x c dx π + ∫ 6. 1 ln( 1) e x x dx+ ∫ 7. 4 2 0 2 1 os x dx c x π + ∫ 8. 3 2 2 0 ( 1) x x e dx+ ∫ 9. 0 ( cos ) x x e x dx π + ∫ 10. 2 1 ln e x dx x ∫ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường sau : a. 3 3 2y x x= − − và trục hoành b. 1 ln , ,y x x x e e = = = và trục hoành c. 3 1 ; 0 1 x y x x − − = = − và trục hoành d. 3 1y x= − và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ bằng -2 e. 2 ; 2; 0 x y y x= = = 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a. 3 1 2 ; 0; 0; 1 x y e y x x + = = = = b. 2 2 ; 0y x x y= − = c. 2 4 2 ; ; 1; 2y x x Ox x x= − = − = d. 2 ; 0; 0; 1 2 y y x x x = = = = − 8 . Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân CHỦ ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tuần 2 : 6 tiết – Từ 04/04 đến 09/04 MỤC TIÊU Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm. Bảng nguyên hàm. một số hàm số sơ cấp. Phương pháp đổi biến số. Tính nguyên hàm từng phần. 2. Định nghĩa và các tính chất của tích phân. Tính tích phân của hàm số liên tục, công thức Niu-tơn − Lai-bơ-nit. Phương. pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân. 3. Diện tích hình thang cong. Các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân. Các dạng toán cần luyện tập 1. Tính nguyên