LỜI NÓI ĐẦU Sự tồn vận động đối tượng trình phát triển kinh tế - xã hội phức tạp đa dạng Người ta sử dụng nhiều phương pháp tiếp cận khác để nghiên cứu, phân tích lý giải tồn vận động này, từ tìm cách tác động đến đối tượng trình kinh tế nhằm mang lại lợ ích ngày lớn cho thân xã hội lồi người Mỗi cách tiếp cận điều kiện cụ thể có ưu, nhược điểm riêng Phương pháp mơ hình tốn kinh tế phương pháp xem hiệu nghiên cứu kinh tế - xã hội Đây phương pháp khai thác cơng cụ mạnh tốn học, kỹ thuật tinh tốn, nhờ mà phương pháp mơ hình tốn kinh tế cho phép giải tốn với kích cỡ không hạn chế với độ phức tạp mong muốn Trong khn khổ mơn học “ Tốn kinh tế” dành cho chuyên ngành quản trị kinh doanh bậc cao đẳng với thời lượng tín chỉ, tập giảng trang số kỹ mơ hình hóa tốn kinh tế ứng dụng vào giải toán kinh tế Do hạn chế thời lượng giảng dạy, tập giảng đề cập sâu chi tiết, không đề cập đến nhiều nội dung khác thuộc lĩnh vực mơ hình Tốn kinh tế Các nội dung người đọc tìm đọc tài liệu tham khảo liệt kê Tập giảng gồm chương: Chương I: Bài tốn quy hoạch tuyến tính Chương II: Phương pháp đơn hình Chương III: Bài tốn đối ngẫu Chương IV: Bài toán vận tải Mặc dù tập giảng kế thừa nhiều tài liệu cho tập giảng tránh hạn chế định Tôi mong nhận quan tâm đồng nghiệp tất bạn đọc nhằm tạo điều kiện cho tập giảng ngày hoàn thiện Chủ biên: CN Đỗ Thị Vân Dung MỤC LỤC Nội dung Trang LỜI NÓI ĐẦU………………………………………………………………… MỤC LỤC………………………………………………………………………… Chương 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH……………………………… 1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN QHTT…………………………………………… 1.1.1 Lập kế hoạch sản xuất……………………………………………………… 1.1.2 Bài toán vận tải …………………………………………………………… 1.1.3 Bài toán phân cơng lao động……………………………………………… 1.2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TỐN QHTT ……………………………………… 1.2.1 Dạng tổng quát toán QHTT …………………………………… 1.2.2 Dạng tắc toán QHTT……………………………………… 1.2.3 Dạng chuẩn toán QHTT…………………………………………… 1.3 BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI QHTT……………………………………………… 1.3.1 Chuyển toán dạng tổng quát sang toán dạng tắc………… 1.3.2 Chuyển tốn dạng tắc sang toán dạng chuẩn…………… 10 1.3.3 Quan hệ toán xuất phát toán mở rộng………………………… 13 BÀI TẬP CHƯƠNG 1…………………………………………………………………… 14 Lập toán QHTT…………………………………………………………… 14 Chuyển tốn dạng tắc…………………………………………… 16 Chương 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 18 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TỐN QHTT DẠNG CHUẨN……… 18 2.1.1 Thuật toán giải toán min……………………………………………… 18 2.1.2 Thuật toán giải toán max……………………………………………… 24 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG GIẢI BÀI TỐN QHTT DẠNG 28 CHÍNH TẮC…………………………………………………………………………… 2.2.1 Phương pháp giải tốn QHTT dạng tắc……………………… 28 2.2.2 So sánh đại lượng tốn QHTT dạng tắc…………… 28 BÀI TẬP CHƯƠNG 2…………………………………………………………………… 35 Chương 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU…………………………………………………… 41 3.1 ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU…………………………………………… 41 3.1.1 Định nghĩa toán đối ngẫu….……………………………………………… 41 3.1.2 Cách xây dựng toán đối ngẫu ……………………………………… 41 3.2 QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN GỐC VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU……………… 42 3.2.1 Cặp ràng buộc toán đối ngẫu.…………………………………………… 42 3.2.2 Mối liên hệ PATU toán gốc tốn đối ngẫu…………… 44 3.3 GIẢI BÀI TỐN GỐC VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU …………………………… 44 3.3.1 Giải tốn đối ngẫu theo phương pháp đơn hình ……………………… 44 3.3.2 Giải toán đối ngẫu dựa vào quan hệ với toán gốc ……………… 45 3.3.3 Giải toán gốc dựa vào quan hệ với toán đối ngẫu ……………… 45 BÀI TẬP CHƯƠNG 3…………………………………………………………………… 48 Chương 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI………………………………………………………… 53 4.1 Nội dung đặc điểm toán.………………………………………… 53 4.1.1 Nội dung toán.…………………………………………………………… 53 4.1.2 Tính chất chung tốn.……………………………………………… 54 4.2 Phương pháp vị để giải toán ……………………………………… 54 4.2.1 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát …………………… 54 4.2.2 Phương pháp vị giải toán vận tải ……………………………… 55 BÀI TẬP CHƯƠNG 4…………………………………………………………………… 59 Chương BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Mục tiêu: Sau đọc xong chương học sinh sẽ: - Hiểu dạng toán quy hoạch tuyến tính - Hiểu cách biến đổi dạng tốn quy hoạch tuyến tính - Hiểu mối quan hệ toán xuất phát toán mở rộng - Vận dụng để xây dựng toán QHTT biến đổi dạng toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc 1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT 1.1.1 Lập kế hoạch sản xuất Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại; lượng dự trữ nguyên liệu; tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau: Nguyên Bánh đậu Bánh thập liệu xanh cẩm Bánh dẻo Lượng dự trữ Đường 0,04 kg 0,06 kg 0,05 kg 500 kg Đậu 0,07 kg kg 0,02 kg 300 kg Lãi ngàn ngàn 2,5 ngàn Hãy lập mơ hình tốn tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà lãi đạt cao Giải Gọi x1, x2, x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo cần sản xuất Điều kiện: xj ≥ (j = 1,2,3) Khi Tiền lãi thu là: f(x) = f(x1, x2, x3) = 3x1 + 2x2 + 2,5x3 (ngàn) Lượng đường sử dụng là: 0,04x1 + 0,06x2 + 0,05x3 (kg) Ta phải có 0,04x1 + 0,06x2 + 0,05x3 ≤ 500 Lượng đậu sử dụng là: 0,07x1 + 0,02x3 ≤ 300 Vậy ta có mơ hình tốn: (1) f(x) = f(x1, x2, x3) = 3x1 + 2x2 + 2,5x3 max Với điều kiện: (2)  , x1  , x  , x  0 ; , x1  , x  0 (3) xj ≥ (j = 1, 2, 3) Ta nói tốn qui hoạch tuyến tính ẩn tìm max hàm mục tiêu f(x) = 3x1 + 2x2 + 2,5x3 1.1.2 Bài toán vận tải Ta cần vận chuyển vật liệu xây dựng từ hai kho K1 K2 đến ba công trường xây dựng C1, C2, C3 Tổng số vật liệu có kho, tổng số vật liệu yêu cầu công trường, khoảng cách từ kho đến công trường cho bảng sau: Cự ly CT K2: 40T C2 25T C3 20T 5km 2km 3km x12 x13 4km 3km 1km x21 K1: 20T C1 15T x11 kho x22 x23 Hãy lập kế hoạch vận chuyển cho: - Các kho giải phóng hết hàng; - Các công trường nhận đủ vật liệu cần thiết; - Tổng số T(tấn) x km phải thực nhỏ Giải Gọi xij số vật liệu vận chuyển từ kho Kj đến công trường Cj Điều kiện: xij ≥ (i = 1,2; j = 1, 2, 3) Khi đó: Tổng số T x km phải thực là: f(x) = 5x11 + 2x12 + 3x13 + 4x21 + 3x22 + x23 Tổng số vật liệu vận chuyển từ kho K1 đến công trường x11 + x12 + x13 Để giải phóng hết vật liệu, ta phải có x11 + x12 + x13 = 20 Tổng số vật liệu vận chuyển từ kho K2 đến công trường x21 + x22 + x23 Để giải phóng hết vật liệu, ta phải có x21 + x22 + x23 = 40 Tổng số vật liệu vận chuyển công trường C1 x12 + x21 Để C2 nhận đủ vật liệu, ta phải có x11 + x21 = 15 Tổng số vật liệu vận chuyển công trường C2 x12 + x22 Để C2 nhận đủ vật liệu, ta phải có x12 + x22 = 25 Tổng số vật liệu vận chuyển công trường C3 x13 + x23 Để C3 nhận đủ vật liệu, ta phải có x13 + x23 = 20 Vậy ta có mơ hình tốn: (1) f(x) = 5x11 + 2x12 + 3x13 + 4x21 + 3x22 + x23 Với điều kiện:  x11  x12  x13  20;  x  x  x  40; 22 23  21  (2)  x11  x 21  15;  x  x  25; 22  12  x13  x 23  20  (3) xij  (i = 1, 2; j = 1, 2, 3) Ta nói tốn qui hoạch tuyến tính ẩn tìm hàm mục tiêu f(x) = 5x11 + 2x12 + 3x13 + 4x21 + 3x22 + x23 1.1.3 Bài tốn phân cơng lao động Một lớp học cần tổ chức lao động với hai loại công việc: xúc đất Lao động lớp chia làm loại A, B, C, với số lượng 10, 20, 12 Năng suất loại lao động công việc cho bảng đây: Lao động A(10) B(20) C(12) Xúc đất Chuyển đất Công việc Hãy tổ chức lao động cho có tổng suất lớn Lập toán: Gọi xij số lao động loại j làm công việc i (j = 1,2; xij 0, nguyên ) Khi đó, suất lao động công việc đào đất là: 6x11 + 5x12 + 4x13; Còn chuyển đất là: 4x21 + 3x22 + 2x23; Ta thấy để có suất lớn khơng thể có lao động dư thừa, tức phải cân hai cơng việc Vì ta có tốn sau: 6x11 + 5x12 + 4x13  max;  x11  x12  x13  x 21  x 22  x 23    x  x 21  10; Với điều kiện  11  x12  x 22  20;  x13  x 23  12;  1.2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN QHTT 1.2.1 Dạng tổng quát toán QHTT n (1) f ( x )  c j x j  m in ( m a x ) j 1  n   a ij x  j 1  n  ( )   a ij x  j 1  n   a ij x  j 1  j  bi , (i  I1 ); j  bi , (i  I ); j  bi , (i  I ); (3) xj  (j  J1); xj ≤ (j  J2); xj tuỳ ý (j  J3); Trong - f(x) hàm mục tiêu; - I1, I2, I3 rời I1  I2  I3 = 1, 2, , m  - J1, J2, J3 rời J1  J2  J3 = 1, 2, , n - A = (aij)mxn: Ma trận hệ số ràng buộc; - B = (b1, b2, , bm): Véctơ hệ số tự do; - C = (c1, c2, , cm): Véctơ hệ số ẩn hàm mục tiêu; - x = (x1, x2, , xn): Véctơ ẩn số Khi * Mỗi véctơ x = (x1, x2, , xn) thoả (2) (3) gọi phương án (PA) toán * Mỗi phương án x = (x1, x2, , xn) thoả (1), nghĩa hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ (lớn nhất) tập phương án, gọi phương án tối ưu (PATU) toán * Giải toán QHTT tìm PATU tốn vơ nghiệm, nghĩa khơng có PATU 1.2.2 Dạng tắc tốn QHTT n (1) f ( x )   c j x j  m in ( m a x ) j 1 n ( )  a ij x j  b i ( i  1, m ) j 1 (3) x j  ( j  1, n ) Nhận xét: Bài tốn QHTT dạng tắc tốn dạng tổng quát, - Các ràng buộc phương trình; - Các ẩn khơng âm Ví dụ 1: Bài tốn sau có dạng tắc: (1) f ( x)  x1  x2  x3  x4   x1  x  x  12;  (2) 12 x1  x  x3  x  3;  x  x  x  x    (3 ) x j  ( j  1, n ) 1.2.3 Dạng chuẩn toán QHTT n (1) f ( x )   c j x j  m in ( m a x ) j 1 n ( )  a ij x j  b i ( i  1, m ) j 1 (3) x j  ( j  1, n ) Trong đó: - Các hệ số tự b1, b2, , bm không âm - Trong ma trận hệ số ràng buộc A = (aij) mxn có đầy đủ m véctơ cột đơn vị e1, e2, , em: 1  0 0       0 1  0 e    ; e2    ; ; em              0 0 0 1        Khi *Các ẩn ứng với véctơ cột đơn vị gọi ẩn Cụ thể ẩn ứng với véctơ cột đơn vị ek ẩn thứ k *Một phương án mà ẩn không gọi phương án *Một phương án có đủ m thành phần dương (nghĩa ẩn dương) đượi gọi không suy biến Ngược lại, phương án có m thành phần dương (nghĩa có ẩn 0) gọi suy biến Ví dụ 2: Xét tốn QHTT sau: (1) f ( x)  x1  x2  x3  x4  x5  x6   x1  x4  x5  12;  (2) 12 x1  x3  x6  3;  x  x  x  x   ( ) x  ( j  1, ) Ta thấy tốn có dạng tắc, - Các hệ số tự b1 = 12, b2 = 3, b3 = không âm - Ma trận hệ số ràng buộc A là:  0 1 0 A   12 0     1 1 1 0    Có chứa đầy đủ véctơ cột đơn vị e1 (cột 5), e2 (cột 6), e3 (cột 2) Do tốn có dạng chuẩn, *Ẩn thứ x5 *Ẩn thứ x6 *Ẩn thứ x2 Nhận xét: Trong toán trên, cho ẩn thứ k = hệ số tự thứ k, cịn ẩn khơng = 0, nghĩa x5 = 12; x6 = 3; x2 = 6; x1 = 0; x3 = 0; x4 = 0; Ta phương án toán: x = (0, 6, 0, 0, 12, 3) Phương án khơng suy biến có đủ thành phần dương Ta gọi phương án ban đầu toán Chú ý: Tổng quát, toán QHTT dạng chuẩn bất kỳ, cho ẩn thứ k = hệ số tự thứ k (k = 1, 2, , m), ẩn không = 0, ta phương án toán Ta gọi phương án ban đầu toán 1.3 BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN QHTT 1.3.1 Chuyển tốn dạng tổng qt sang tốn dạng tắc Ta biến đổi tốn QHTT dạng tổng quát dạng tắc sau: Khi gặp ràng buộc dạng n  a ij x i  b j i 1 ta đưa vào ẩn phụ xn+i  để biến phương trình n  a ij x  x n i  bi j i1 Khi gặp ràng buộc dạng n  a ij x i  b i i 1 ta đưa vào ẩn phụ xn+i 0 để biến phương trình n a ij x j  x n  i  bi i 1 Khi gặp ẩn xj ≤ 0, ta đổi biến x j   x 'j với x 'j 0 ' Khi gặp ẩn xj tuỳ ý, ta đổi biến xj = x j - x ''j với x 'j  0; x ''j  Chú ý: Khi tìm PATU tốn dạng tắc ta cần tính giá trị ẩn ban đầu bỏ ẩn phụ, PATU toán dạng tổng quát cho Ví dụ 1: Biến đổi tốn QHTT sau dạng tắc: 10 Bài tốn đối ngẫu toán là: (1) g(y) = -2y1+ 3y2 - 3y3 → max  y1  y  12;  (2)  y1  y  y  1;  y  y  y  3  (3) yj > ( j  1, ) Giải toán đối ngẫu kết cho thấy toán có PATU 0 y0 = ( y10 , y2 , y3 )  (9 / 2, / 2, 0) với g(y0) = -9/2 0 Bây ta tìm PATU x0 = ( x1 , x2 , x3 ) toán gốc a Thay y0 = (9/2, 3/2, 0) vào ràng buộc (2’), ta thấy ràng buộc thứ 2: y1 + 2y2 – y3 > không xảy dấu = (VT = 15/2) Do x2   y10  /  0;  b Do   y2  /   nên ta có: 0  x10  x  x   x10  x        0 0  x1  x  x     x1  x     x  / 2;    10  x2   /  Vậy PATU toán gốc cho x0 = (1/2,0,-7/2) với f(x0)=g(y0) = -9/2 Ví dụ 2: Cho tốn QHTT sau: (1) f(x) = -16x1+ 7x2 +9y3 → 1    x1  x  x  ; 3 (2)    x1  x   (3) xj > (j = 1,3) Hãy lập tốn tìm PATU tốn đối ngẫu Giải: (1’) g(y) = y1  y2  max    y1  y2   16  (2’   y  y     y1    (3’) y1, y2 tuỳ ý Ta giải toán cho kết cho thấy tốn nàycó PATU x0 = (0,7/5, 4/5) với f(x0) = 17 Bây ta tìm PATU y0 = ( y10 , y2 ) toán đối ngẫu 47  x2  /  0;  Do   x3  /   nên ta có:  0   y1  y2  7;   y     y1  9;   y2   Vậy PATU toán đối ngẫu y0 = (9,2) với g(y0)= f(x0) = 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, TS Phan Quốc Khánh, Th.s Trần Huệ Nương.Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục 2000 2, Th.s Nguyễn Đình Tùng Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục 2000 3, TS Lê Khánh Luận Quy hoạch tuyến tính NXB Lao Động.2006 4, Th.s Bùi Phúc Trung Quy hoạch tuyến tính NXB Lao Động - Xã hội 2010 5, Giáo trình quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội 6, Giáo trình quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Kinh tế Quốc Dân 7, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế - Trường Đại học kinh tế Quốc Dân 8, Th.s Nguyễn Đức Phương - Bài giảng quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Công Nghiệp BÀI TẬP CHƯƠNG 48 Giải tốn theo phương pháp đơn hình lập toán đối ngẫu toán QHTT Dựa vào kết tốn gốc để tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu Bài 1: f(x) = 2x1 – 2x2 + 3x3 →  x1  x  x  1;   x1  x  x  xj > (j = 1, 3) Bài 2: f(x) = x1 + 2x2 - 3x3 → max   x1  x  x  6;   x1  x  x  2x  x  2x   xj > (j = 1, 3) Bài 3: f(x) = x1 + 2x2 - 3x3 → max  x1  x  x   ;   x1  x  x  2x  x  2x   xj > (j = 1, 3) Bài 4: f(x) = 5x1 + 10x2 +7x3 → max  x1  x  x3  30;   x1  x  x3  25;  x  x  x  40  xj > (j = 1, 3) Bài 5: f(x) = -3x1 + x2 + 3x3 –x4 →  x1  x  x  x  2;   x1  x  x  x  x  x  x  x   xj > (j = 1, 4) Bài 6: 49 f(x) = 3x1 - x2 + 2x3 +x4 → max  x1  x  x  x  10;    x1  x  x  x  8; 4 x  x  x   xj > (j = 1, 4) Bài 7: Cho toán gốc: (1) f(x) = 27x1 +50x2 + 18x3 → max  x1  x  x3  2;  (2)   x1  x  x3  4;  x  x  x  2  (3) x1; x2 tuỳ ý; x3 < a Lập toán đối ngẫu b Giải toán đối ngẫu suy kết toán gốc Bài 8: Cho toán: (1) f(x) = -3x1 -3x2 + 8x3 + 6x4→  x1  x  x  x  114;  (2)  x1  x  x  33;  x  x  x  x   49  (3) xj > ; j = 1, a Lập toán đối ngẫu b Dựa vào nghiệm x0 = (5; 8; 0; 10) tìm nghiệm tốn đối ngẫu Bài 9: Cho toán gốc: (1) f(x) = 2x1 +3x2 –x5 →  x  x3  x  x5  24;  (2)  x1  x  x3  x5  72;  x  x  x  28  (3) x3 < 0, x5 > a Viết toán đối ngẫu b Cho x0 = (28; 0; 0; 24; 0) Xác định phương án tối ưu toán đối ngẫu Bài 10: f(x) = 7x1 + 6x2 – 12x3 + x4 → max 2 x1  x2  x3  x4   3x2  x3  x4  1 2 x  x  x  10  a Lập toán đối ngẫu 50 b Giải toán đối ngẫu suy kết toán gốc c Dựa vào nghiệm x6 = (0; 6; 0; 10) tìm nghiệm tốn đối ngẫu Bài 11: Cho toán gốc f(x) = 5x1 – 9x2 + 15x3 + 7x4 + 6x5 →  x1  x2  x3  x4  x5   4 x1  x3  x4  x5   x  x  x  x  1  xj ≥ (j = 2,5 ) a Viết toán đối ngẫu b Cho x0 = (0; 1; 0; 2; 0) Xác định phương án tối ưu toán đối ngẫu Bài 12: Cho toán gốc: f(x) = -2x1 – 6x2 + 15x3 – x4 – 4x5 → max  x1  x2  x3  x4  x5    x2  x3  x4  x5  x  x  x  x   xj ≥ a Viết toán đối ngẫu b Cho x0 = (0; 0; 16; 31; 14) Xác định phương án tối ưu toán đối ngẫu Bài 13: Giải phương pháp đơn hình đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = x1 + 3x2 + 4x3 + x4 →  x1  x2  x4  3x  x  x  18  3x  x  x  x  20   x j  0( j  1, 4)  f(x) = 3x1 + 5x2 – 7x3 + x4 →  x2  x3  3x4  10  x  x  4x  x  3  3x  x  x    x  0( j  1, 4)  j f(x) = -2x1 + 4x2 – 3x3 – x4 + 5x5 →  x1  x2  3x3  x4  x5  2 x  x  x  15  5 x  x  x  x  18   x j  0( j  1, 5)  f(x) = 4x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 → 51 min  x1  x2  x3  21  x  x  x  x  27   x  x  x  x    x j  0( j  1, 4)  f(x) = 5x1 + x2 – 3x3 + x4 + 5x5 + 2x6 → 5 x1  x2  x5  x6  18  9 x1  x2  x5  x6  11 6 x  x  x  3x  x  24   x j  0( j  1, 6)  Bài 14: Cho toán gốc f(x) = -2x1 – 6x2 + 5x3 – x4 – 4x5 → max  x1  x2  x3  x4  x5    x2  x3  x4  x5  x  x  x  x   xj ≥ (j = 1, ) a Viết toán đối ngẫu b Cho x = (0; 0; 16; 31; 14) Dựa vào nghiệm toán gốc tìm nghiệm tốn đối ngẫu Bài 15 Một Xí nghiệp xử lí giấy, có ba phân xưởng I, II, III xửlí hai loại giấy A, B Do hai phân xưởng có nhiều khác nhau, nên nếucùng đầu tư 10 triệu đồng vào phân xưởng cuối kỳ phân xưởng I xửlí tạ giấy loại A, tạ giấy loại B Trong có phân xưởng II xử líđược tạ giấy loại A, tạ giấy loại B Phân xưởng III xử lí đư ợc tạ giấyloại A, tạ giấy loại B Theo u cầu lao động cuối kỳ Xí nghiệp phải xửlí giấy loại A, giấy loại B Hỏi cần đầu tư vào phânxưởng tiền để xí nghiệp hồn thành công việc với giá tiền đầu tư nhỏ Bài 16 Một gia đình cần 1800 đơn vị prôtêin 1500 đơn vịlipit thức ăn ngày Một kilơgam thịt bị chứa 600 đơn vị prơtêin và600 đơn vị lipit, kilôgam thịt heo chứa 600 đơn vị prôtêin 300 đơn vịlipit, kilôgam thịt gà chứa 600 đơn vị prôtêin 600 đơn vị lipit Giá mộtkilơgam thịt bị 84 ngàn đồng, giá kilôgam thịt heo 71 ngàn đồng, giá kilôgam thịt gà 90 ngàn đồng Hỏi gia đình nên mua kilơgam thịt loại để bảo đảm tốt phần ăn ngày tổng số tiền phải mua nhỏ 52 Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI Mục tiêu: Sau đọc xong học sinh sẽ: - Hiểu nội dung đặc điểm toán vận tải - Hiểu phương pháp vị để giải toán vận tải - Vận dụng để giải toán vận tải 4.1 Nội dung đặc điểm toán 4.1.1 Nội dung tốn a Bài tốn Có m địa điểm A1, A2, Am sản xuất loại hàng hoá với lượng hàng tương ứng a1, a2, , am Có n nơi tiêu thụ loại hàng B1, B2, , Bn với yêu cầu tương ứng b1, b2, ,bn Để đơn giản ta gọi Ai: điểm phát i, i = 1, m Bj: điểm thu j, j = 1, n Hàng chở từ điểm phát (i) tới điểm thu (j) Ký hiệu: cij – chi phí vận chuyển chở đơn vị hàng từ điểm phát (i) đến điểm thu (j) xij - lượng hàng chuyên chở từ i tới j Bài toán đặt là: xác định đại lượng xij cho đường (i; j) cho tổng chi phí chuyên chở nhỏ với giả thiết: m n    b j i 1 j 1 Tức lượng hàng phát lượng hàng yêu cầu điểm thu b Mơ hình tốn học Dạng toán học toán vận tải m n  c x ij ij i 1  j 1  n  xij  , i  1, m  j 1 m  xij  b j , j  1, n  i 1  x  0, i  1, m; j  1, n  ij m n   , b j  0;    b j i 1 j 1  Bài toán gọi toán cân thu phát m - Trường hợp n    b j Ta đưa toán cân thu phát cách thêm i 1 j 1 m vào trạm thu giả Bn+1 với yêu cầu bn+1 = n    b j , đồng thời cin+1 = ( i ) Lượng i 1 53 j 1 hàng lấy từ trạm phát Ai cung cấp cho trạm thu giả Bn+1, nghĩa lượng hàng giữ lại trạm phát Ai m - Trường hợp n  a   b Ta đưa toán cân thu phát cách thêm i i 1 j j 1 n vào trạm phát giả Am+1 với yêu cầu am+1 = m  bi   a j , đồng thời cm+1j = ( j ) j 1 i 1 Lượng hàng lấy từ trạm phát giả Am+1 cung cấp cho trạm thu Bj, nghĩa lượng hàng yêu cầu trạm thu Bj không thoả mãn c Bài toán vận tải dạng bảng Ta đưa toán vận tải vào bảng gọi bảng vận tải Bj b1 Ai a1 a2 c11 am c12 x11 c21 x12 c22 x21 b2 x22 ci1 xi2 cml x1j c2j x2j xm2 bn c1n x1n c2n x2n cij xij cm2 xm1 c1j ci2 xi1 bj cin xin cmi xmj cmn xmn Các khái niệm tốn dạng bảng: + Ơ chọn: Là có lượng hang xij > 0, cịn gọi sử dụng + Ơ loại: Là khơng có hàng, tức xij = + Dây chuyền: Là đoạn thẳng hay liên tiếp đoạn thẳng gấp khúc mà hai đầu mút hai ô nằm hàng cột với ô chọn khác thuộc dây chuyền bảng vận tải + Chu trình: Là dây chuyền khép kín Như hàng cột mà chu trình qua qua hai đó, số chu trình + Ma trận X = (xij)mxn thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc gọi phương án toán + Phương án X = (xij)mxn gọi phương án cực biên toán vận tải tập hợp ô tương ứng với thành phần dương khơng tạo thành chu trình + Phương án X = (xij)mxn gọi phương án cực biên khơng suy biến có m + n – ô chọn + Phương án X = (xij)mxn gọi phương án cực biên suy biến có m + n – ô chọn 54 + Phương án X = (xij)mxn gọi phương án tối ưu (hay nghiệm) tốn thoả mãn điều kiện (5.1), ký hiệu X 4.1.2 Đặc điểm tốn - Một phương án cực biên có tối đa m + n – thành phần dương - Các véc tơ Aj tương ứng với biến xij có thành phần i thành phần m + j thành phần lại - Bài tốn ln có lời giải 4.2 Phương pháp vị để giải tốn 4.2.1 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát Để xây dựng phương án cực biên xuất phát người ta dùng phương pháp sau: *Phương pháp góc Tây - Bắc: Bước 1: Chọn dịng 1, cột bảng vận tải Bước 2: Phân lượng hàng h a1 , b1 vào ô (1; 1) Bước 3: Đánh dấu hàng (cột), theo lượng hàng trạm phát (trạm thu) hết (đã đủ) Bước 4: Quay trở bước thực công việc ô cịn lại *Phương pháp chi phí nhỏ nhất: Bước 1: Chọn có cước phí thấp nhất, giả sử ô (i; j)   Bước 2: Phân lượng hàng h = , b j vào ô (i; j) Bước 3: Đánh dấu ô thuộc hàng i trạm phát Ai hết hàng cột j trạm thu Bj nhận đủ hàng Bước 4: Quay trở lại bước thực công việc ô lại *Phương pháp xấp xỉ Fogels: - Định nghĩa độ lệch hàng (cột) hiệu số có cước phí thấp thứ nhì trừ có cước phí thấp thứ hàng (cột) Bước 1: Chọn hàng cột có độ lệch lớn Bước 2: Chọn có cước phí thấp thuộc hàng cột đó, giả sử (i; j)   Bước 3: Phân lượng hàng h = , b j vào ô (i; j) Bước 4: Đánh dấu ô thuộc hàng i trạm phát Ai hết hàng cột j trạm thu Bj nhận đủ hàng Quay trở bước tiếp tục thực thuật toán 4.2.2 Phương pháp vị giải toán vận tải a Tiêu chuẩn tối ưu Phương án cực biên không suy biến X = (xij)mxn gọi phương án tối ưu tồn số ui (i = 1, , m) cho hàng số vj (j = 1, , n) cho cột ui  v j  cij  ui  v j  cij  bảng vận tải cho  (i; j ) : xij  0(*) (i; j ) : xij  0(**) Phương trình (*) ứng với (i; j) chọn Phương trình (**) ứng với (i; j) ô loại 55 Các số ui vj gọi hệ thống vị, ui gọi vị hàng, vj gọi vị cột b Thuật toán vị Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát X0 = (xij)mxn Sử dụng phương pháp Nếu phương án tìm phương án suy biến ta bổ sung ô chọn không để phương án cực biên khơng suy biến, chọn có vai trị chọn khác Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu phương án + Xây dựng hệ thống vị Cho ui giá trị tuỳ ý giá trị khác xác định cách (*) có (n+m) ẩn (m+n-1) phương trình độc lập tuyến tính + Tính số kiểm tra ij Đặt ij  ui  v j  cij (i  1, m, j  1, n) Tính ij ứng với ô loại + Nếu ij  0(i  1, m, j  1, n) phương án xét phương án tối ưu  + Nếu ij  0(i  1, m, j  1, n) phương án xét chưa tối ưu, chuyển sang bước Bước 3: Xây dựng phương án + Chọn ô điều chỉnh:   Ơ (r,s) gọi điều chỉnh nếu:  rs  max ij  0(i  1, m, j  1, n) + Tìm chu trình điều chỉnh: Là chu trình với xuất phát điều chỉnh, cịn lại chọn Gọi V tập hợp thuộc chu trình điều chỉnh + Đánh dấu chu trình, ô điều chỉnh đánh dấu (+) xen kẽ đánh dấu (-), (+) hết chu trình Gọi V + tập hợp có dấu (+), V- tập có dấu (-) Khi đó, V  V   V  + Xác định lượng hàng điều chỉnh: q   xij : (i, j )  V   , q  + Điều chỉnh sang phương án mới: X1 = (xij) mxn với:  xij , (i, j )  V     xij  q, (i, j )  V    xij  q, (i, j )  V  Gọi X1 đóng vai trị X0 quay lại bước lặp tìm phương án tối ưu *Chú ý: - Nếu ô điều chỉnh không ta xét theo hàng từ xuống bảng vận tải gặp trước ta chọn làm điều chỉnh - Nếu chọn (i0, j0) thoả mãn: q. i j  max q. ij   giá trị hàm mục tiêu giảm nhanh c Ví dụ Ví dụ 1: Giải tốn vận tải với số tiền cho bảng sau: 56 Thu 46 Phát 79 50 60 50 45 76 20 52 10 13 5 10 13 10 13 13 Giải: Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát: Sử dụng phương pháp chi phí nhỏ xây dựng phương án cực biên ta phương án cực biên không suy biến cho bảng sau: Thu 46 45 76 20 52 Phát 10 13 79 x x x 45 34 10 13 50 x x x 20 30 60 x x x 46 14 13 10 13 50 42 x x x 30 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu phương án: + Xây dựng hệ thống vị: Cho u4 = 0, ô (4,3), (4,5) ô sở nên tính v3 = v5 = 13 Xét cột chẳng hạn ta thấy (1,3) ô sở nên tính u1 = 7-5=2, Tiếp tục tính tương tự xác định toàn vị hàng cột bảng dưới: + Tính số kiểm tra: Tính ij (i  1, 4, j  1,5) ta thấy 15   0,  21   nên phương án xét chưa tối ưu, ta chuyển sang bước Thu 46 45 Phát 10 79 -2 45 50 -3 60 -6 46 13 50 -2 10 Vj 76 20 13 10 20 30 -8 -7 -8 10 14 13 -2 42 13 -3 -2 -7 8 ui 34 57 52 8 13 Bước 3: Xây dựng phương án mới: + Chọn ô điều chỉnh:  21  max 5;3  nên chọn ô (2, 1) làm ô điều chỉnh đánh dấu (+) vào ô điều chỉnh + Chọn chu trình điều chỉnh: Chu trình điều chỉnh bảng sau: Thu 46 45 76 20 52 ui Phát 79 50 60 50 10 -2 10 (+) 13 -3 14 -7 13 -2 42 30 10 -2 10 Vj -8 13 (-) 20 -6 46 -8 (+) -3 -2 -7 -3 34 45 (-) 13 8 13 + Xác định lượng hàng điều chỉnh: q  46;30  30 + Điều chỉnh sang phương án mới: X1 = ( x1 ) theo công thức cho bước thuật toán ta bảng sau: ij Thu 46 45 76 20 52 ui Phát 79 50 60 50 Vj 10 -2 (+) 10 -3 10 -3 (+) 10 -2 42 (+) 13 + Lặp lại trình ta chu trình bảng Ta được: q  16; 20;8  + Điều chỉnh sang phương án X2 cho bảng dưới: 58 -5 20 -8 13 -6 46 13 -2 -8 (-) -8 30 34 45 (-) 13 -2 -5 -7 44 13 (-) 13 Thu 46 45 76 20 52 ui Phát 79 50 10 -2 10 50 Vj 13 -6 -5 7 13 10 -2 52 42 -2 -4 -3 10 -2 -5 12 -3 13 -5 8 -5 -5 34 45 38 60 13 -3 10 Ta thấy ij  0(i  1, 4, j  1,5) nên phương án tương ứng bảng tối ưu với giá trị hàm mục tiêu f* = 45 * + 34 * + 12 * + 8*3 + 52*6 + 42*7 + 8*10 = 1211 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1, TS Phan Quốc Khánh, Th.s Trần Huệ Nương.Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục 2000 2, Th.s Nguyễn Đình Tùng Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục 2000 3, TS Lê Khánh Luận Quy hoạch tuyến tính NXB Lao Động.2006 4, Th.s Bùi Phúc Trung Quy hoạch tuyến tính NXB Lao Động - Xã hội 2010 5, Giáo trình quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Quốc Gia Hà Nội 6, Giáo trình quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Kinh tế Quốc Dân 7, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế - Trường Đại học kinh tế Quốc Dân 8, Th.s Nguyễn Đức Phương - Bài giảng quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Cơng Nghiệp 59 BÀI TẬP CHƯƠNG Giải toán vận tải sau, sử dụng phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát: Bài 1: Thu 60 70 40 30 80 20 10 10 10 20 20 15 20 30 11 20 100 145 30 150 150 150 25 Phát 100  60 10 Đáp số: X *   60   0  30  20  ; f ( X * )  460  20   Bài 2: Thu Phát 0 10 Đáp số: X *   0  0 5 0 0 0 5  ; f ( X * )  435 10   15 15  Bài 3: Thu Phát 120 Đáp số: 0 0 * X   20   60 0 75 25 120 25 0  150  ; f ( X * )  940 30   0  61 ... Trường Đại học Kinh tế Quốc Dân 7, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế - Trường Đại học kinh tế Quốc Dân 8, Th.s Nguyễn Đức Phương - Bài giảng quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Công Nghiệp BÀI TẬP CHƯƠNG... Đại học Kinh tế Quốc Dân 7, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế - Trường Đại học kinh tế Quốc Dân 8, Th.s Nguyễn Đức Phương - Bài giảng quy hoạch tuyến tính - Trường Đại học Công Nghiệp 35 BÀI TẬP... chuẩn Bài toán > < Bài toán max < > 3.1.2 Cách xây dựng toán đối ngẫu Số ẩn toán số ràng buộc tốn Bài tốn tìm (max) tốn tìm max (min) Hệ số ẩn số hàm mục tiêu toán hệ số vế phải ràng buộc toán