Phương trình mũ và bất phương trình mũ §5:PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỦ 1. CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐẲNG THỨC Cho a ; b * R∈ và m ; n Z∈ khi đó ta có các tính chất sau - TC1: nmnm aaa + =. - TC2 : ( ) mn m n aa . = - TC3: ( ) nn n baba = - TC4: nm n m a a a − = - TC5: n n n b a b a =       - TC6: m n a a n m= ⇔ = 2. Chú ý . Nếu m, n R∈ thì điều kiện a, b > 0 khi đó các tính chất như trên II.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ a. PHƯƠNG PHÁP: Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa). Biến đổi phương trình (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ;0 1 ** h x p x h x p x a a a x x ϕ ϕ  = < ≠  ⇔      =       khi đó ta có - PT (*) ( ) ( ) h x p x⇔ = . - PT (**) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 . 0 x x h x p x ϕ ϕ  >  ⇔      − − =       b. Các ví dụ Giải các phương trình sau 1. ( ) 2 1 1 3 2 2 2 4 x x x − +   =       ĐK : 0 1 x x >   ≠  . PT ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 2 3 1 2.2 2 2 1 x x x x x x + − + ⇔ = ⇔ = − 2 5 3 0 3 9x x x x⇔ − − = ⇔ = ⇔ = . 2. ( ) ( ) 2 5 6 3 2 3 2 x x− + = − ( ) ( ) 2 5 6 2 2 3 2 3 2 5 6 0 3 x x x x x x − − =  ⇔ + = + ⇔ − + = ⇔  =  3. 2x 1 x 1 2 4.9 3.2 + − = ⇔ ( ) 2x 1 2 2 x 1 1 2 3 2 + − − − = ⇔ 2x 3 2x 3 2 3 2 − − = ⇔ 2x 3 3 1 2 −   =     ⇔ 2x – 3 = 0 ⇔ 3 x 2 = . 4. x 2 x x 3 2x 4 10.3 2.3 11.2 + + − = − ⇔ x x 27.4 64.3= ⇔ x 3 4 4 3 3     =         ⇔ x = 3. 5. 1 1 x x x 2x 1 2 2 4 3 3 2 − − − − − − − = − ⇔ 2x 1 2 4 4 3 3 − −   =     ⇔ 3 x 2 = − . 6. 1 2 2 1 3 18 .2 .3 x x x x− − + = 2 2 3 3.18 .3 3 2 x x x x ⇔ = 4 2 4 3 1 3 .3 3 3 4 2 9 2 x x x x x x − ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔ = − . Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 1 Phương trình mũ và bất phương trình mũ 7. 2 x 1 x 1 x x , x 0 + − = > Khi x = 1 PT⇔ 2 0 1 1 = đúng. Khị x ≠ 1 và x > 0 PT ⇔ x + 1 = x 2 –1 ⇔ x 2 – x – 2 = 0 ⇔ x = 2 ; -1(loại) Vậy: Nghiệm x = 1 ; 2 8. x x x x= ĐK: x > 0 Khi x = 1 PT ⇔ 1 1 1 1= ⇔ 1 = 1 đúng. Khi x ≠ 1 và x > 0 PT ⇔ x x 2 x x= ⇔ x x 2 = ⇔ x 2 – 4x = 0 ⇔ x = 4 ; 0 (loại) Vậy ghiệm x = 1 ; 4. 9. 10 5 10 15 16 0.125.8 x x x x + + − − = 10 5 10 60 4. 3. 4. 3 10 15 10 15 10 60 2 2 2 2 2 4. 10 15 x x x x x x x x x x + + + − − − − − + ⇔ = ⇔ = ⇔ = − − 10. 3 2 1 2 .3 .5 4000 x x x+ − + = 2 40.2 .3 .5 9.4000 30 900 30 30 2 x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 11. ( ) 2 2 2 2 1 1 2 5 3 2 5 3 x x x x+ − − − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3 5 9 5 9 x x x x x x x x ⇔ − = − ⇔ − = − 2 2 2 2 3 3 25 5 125 5 5 5 3 5 9 3 27 3 3 x x x x       ⇔ = ⇔ = ⇔ =  ÷  ÷  ÷       12. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4.2 2 4 0 2 .2 4.2 2 4 0 2 2 4 2 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x+ − − − − − − + = ⇔ − − + = ⇔ − − − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 2 4 2 1 0 2 1 0 x x x x x x − −  − = ⇔ − − = ⇔  − =   13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 8 8 log 6 9 log 6 9 log 6 9 2log 1 log 1 2 8 2 3 2 3 2 1 log 6 9 0 x x x x x x x x x x x x − + − + − + − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = 2 6 9 1x x⇔ − + = c. BÀI TẬP Giải các phương tình sau 1. 2 128 x = HD 128 = 2 7 2. 1 1 3 729 x− = HD 729 = 3 6 . 3. 2 4 2 5 3 3 9 x x x− − + = ĐS x = 2. 4. 4 6 3 4 5 25 x x − − = ĐS x = 7 5 5. 3 4 2 2 3 9 x x − − = ĐS 8 7 x = 6. 2 2 1 9.2 8. 3 x x+ = HD Bình phương 2 vế 7. 5 17 7 3 32 0.25.128 x x x x − + − − = ĐS x = 13 8. 2 sin 1 sin 2 os2 2 1 5 4.5 25 25 x x c x   + =  ÷   ĐS 2 4 x k x k π π π π  = +    = +   9. ( ) ( ) 4 4 10 3 10 3 x x x x − + + = − 10. ( ) ( ) 3 3 1 5 2 5 2 x x x − − + + = − 11. 1 1 3 6 .2 .3 x x x x− − + = ĐS 2x = 12. 1 2 2 9 3 .2 144 x x x− − − = ĐS 19 3 x = 13. 1 1 2 2 3 18 .2 .3 x x x x − + − = ĐS x = -1 14. 1 2 2 9 3 .2 12 x x x− − − = ĐS x = 5 15. 2 3 2 3 3 3 3 .5 3 .5 x x x x+ + = ĐS 3x = . 16. 3 3 2 2 3 .7 3 .7 x x x x+ + = ĐS x = 3 17. 4 4 3 3 2 .7 2 .7 x x x x+ + = ĐS x = 2 18. 3 x-1 +3 x +3 x+1 = 9477 HD9477 = 13.3 6 ĐSx = 7 19. 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 x x x x− − + − = − ĐS 3x = ± 20. 1 1 2 1 1 1 3.4 3 .9 6.4 2 .9 x x x x+ − + + − + + = − ĐS 1 2 x = − Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 2 Phương trình mũ và bất phương trình mũ 21. 1 1 3 5 5 2 2 x x x x+ + + − = + 22. 3 1 2 1 2 2 9 2 2 3 x x x x + + − − = − ĐS x = 9 2 9 log 2 2    ÷   23. 1 1 2 2 2 2 5 9 3 5 x x x x + − − − = − ĐS x = 3 2 24. 3 2 2 3 7 9.5 5 9.7 x x x x + = + ĐS x = 0 25. ( ) ( ) 2 5 10 2 2 x x x x x + − − + = + ĐS 1 5 x x = −   =  26. ( ) 2 4 2 5 4 1 x x x − − + = ĐS 5 13 2 2 x x  ± =   = −   27. ( ) 2 2 3 3 x x x x − − = − ĐS 1 2 4 x x x = −   =   =  28. ( ) 3 1 1 x x − + = ĐS x = 3 29. 2 2 3 2 6 2 5 2 3 3 2 x x x x x x+ + − + − − = − ĐS 3 2 4log 2 x x =   = −  30. 3 2 3 4 2 1 2 1 .2 2 .2 2 x x x x x x − + − + + − + = + HD Biến đổi về tích ( ) ( ) 3 2 2 1 4 1 2 2 x x x − + − − − 31. 2 2 2 ( 1) 1 4 2 2 1 x x x x + + − + = + HD ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 .2 x x xx x + + + − = 32. 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x− + + + + + + = + HD 2 2 2 2 3 7 3 2 6 5 4 4 4 x x x x x x+ + − + + + = 33. 8.3 3.2 24 6 x x x + = + HD 6 2 .3 x x x = 34. 2 2 log log 3 3 6 x x+ = 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ. a. PHƯƠNG PHÁP Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau khi biến đổi có dạng ( ) ( ) ( ) * h x g x a b= với 0 , 1a b< ≠ ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế của phương trình (*) khi đó phương trình (*) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .log 1 .log 2 a b f x g x b f x a g x  =  =   b. Các ví dụ Giải các phương trình sau 1. 1 1 3 .2 72 x x x + − = ; ĐK x 1≠ PT 1 1 lg 3 .2 lg72 x x x + −   ⇔ =  ÷  ÷   1 lg3 lg2 lg72 1 x x x + ⇔ − = − ( ) ( ) ( ) 1 lg3 1 lg2 1 lg72x x x x⇔ − − + = − 2 2 lg3 lg108 2lg12 0 lg12 lg3 x x x x  =  ⇔ − + = ⇔  =   2. 3 2 2 3 7 9.5 5 9.7 x x x x + = + 3 2 3 2 3 2 8.7 8.5 7 5 lg7 lg5 3 .lg7 2 .lg5 0 0 x x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = . 3. 1 2 3.2 5.2 2 21 x x x+ + + − 2 6.2 5.2 4.2 21 7.2 21 2 3 log 3 x x x x x x⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . 4. 1 5 . 8 500 x x x − = ĐK: x 0≠ Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 3 Phương trình mũ và bất phương trình mũ PT ( ) 1 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3 5 .2 5 .2 2 5 log 2 log 5 3 log 5 x x x x x x x x x x x x − − − − − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ( ) 2 2 2 log 5 3log 5 1 3 0x x⇔ − − − = 5 3 1 log 2 x x  =   =   5. 1 2 1 4.9 3 . 2 x x− + = ( ) 2 1 2 3 2 3 2 1 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 .3 2 .2 3 2 log 3 log 2 x x x x x x + − − − − − − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( ) 2 1 3 2 3 log 0 2 3 0 2 2 x x x   ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ =  ÷   . 6. 2 1 1 5 .2 50 x x x − + = ĐK: x 1≠ − PT ( ) ( ) ( ) 2 1 lg5 lg2 lg50 1 lg5 2 1 lg2 1 lg50 1 x x x x x x x − ⇔ + = ⇔ + + − = + + ( ) ( ) 2 lg5 lg5 2lg2 lg50 lg2 lg50 0x x⇔ + + − − + = ( ) 2 2 lg5 2lg5 1 2 0 1 lg5 x x x x  =  ⇔ − − − = ⇔  =   7. 2 3 5 6 2 5 x x x− − + = ( ) ( ) 2 3 5 6 2 2 2 2 2 log 2 log 5 3 log 2 5 6 log 5 x x x x x x − − + ⇔ = ⇔ − = − + ( ) ( ) 2 5 3 3 1 2 log 5 0 2 log 2 x x x x  =   ⇔ − − − = ⇔    = +  8. 1 3 .8 36 x x x+ = ĐK x 1≠ − PT ( ) 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 .2 3 .2 2 3 log 2 log 3 2 log 3 1 x x x x x x x x x x x x − − − − + + + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + ( ) ( ) 2 2 2 2 (log 3) 1 log 3 2 1 log 3 0x x⇔ + − + − = . 9. 2 3 7 12 3 5 x x x− − + = ( ) ( ) 2 3 7 12 2 3 3 3 3 log 3 log 5 3 log 3 7 12 log 5 x x x x x x − − + ⇔ = ⇔ − = − + ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 log 5x x x⇔ − = − − ( ) ( ) 3 5 3 3 1 4 log 5 0 4 log 3 x x x x  =   ⇔ − − − = ⇔    = +  10. 2lg 10 x x x= : ĐK x > 0 PT 2lg 2 lg 1 10 lg lg10 2lg lg 1 0 1 lg 10 2 x x x x x x x x x  =  =  ⇔ = ⇔ − − = ⇔ ⇔   = =     c. BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. 2 2 2 3 x x− = ĐS 2 2 1 1 log 3 1 1 log 3 x x  = − +  = + +   2. 2. 2 1 1 2 5 x x− + = ĐS 2 2 1 log 5 log 5 2 x − = − 3. 6 x + 8 = 2 x + 1 + 4.3 x HD 6 3 .2 x x x = ; 3 log 2x = 4. 2 2 1 1 1 3.4 .9 6.4 .9 3 2 x x x x+ + + + = − ĐS 4 9 21 log 62 x = 5. 1 1 1 9 2 x x x + + − −   =  ÷   ĐS 3 log 2x = ± 6. 3 x - 1 = 4. 7. 2 x + 3 + 3 x - 1 = 2 x -1 + 3 x . 8. 4 3 3 4 x x = Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 4 Phương trình mũ và bất phương trình mũ 9. 2 1 1 2 5 x x− + = . 2 3 7 12 3 5 x x x− − + = 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ a. TH 1 . Nếu phương trình có dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 . . 0 . . . 0 f x f x f x f x f x a b c a b c d α α α α α  + + =   + + + =  - Phương pháp. Đặt t = ( ) f x α ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành 2 3 2 . . 0 . . . 0 a t b t c a t b t c t d  + + =  + + + =  Giải phương trình tìm t suy ra x. - Ví dụ Giải các phương trình sau 1. 1 2 2 2 9 10.3 1 0 x x x x+ − + − − + = Giải: 2 2 1 10 9 .3 1 0 9 9 x x x x+ + − + = . Đặt 2 3 , 0 x x t t + = > Ta được 2 10 9 0t t− + = 1 9 t t =  ⇔  =  2 2 0 2 0 x x x x  + = ⇒ ⇔  + − =  2 0 1 1 x x x x = − =   ∨   = − =   2. 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = Giải: PT 2 2 2 2 2 4 2 3 2 3.2 4 0 2 x x x x x x x x   −  ÷ − −   − ⇔ − = ⇔ − − = Đặt 2 2 x x t − = ĐK t > 0 PT trở thành 2 1 3 4 0 4 t t t t = −  − − = ⇔  =  Khi t = 4 2 2 4 x x− ⇔ = 2 2 0x x⇔ − − = 1 2x x ⇔ = − ∨ = 3. 3x 1 2x x 2 7.2 7.2 2 0 + − + − = Giải: PT 3x 2x x 2.2 7.2 7.2 2 0⇔ − + − = Đặt 2 , 0 x t t= > PT trở thành 3 2 2 7 7 2 0t t t− + − = 2 ( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + = 1 1 2 2 t t t⇔ = ∨ = ∨ = 0 1 1x x x⇔ = ∨ = ∨ = − 4. Cho phương trình ( ) 2 1 1 1 1 2 9 2 3 2 1 0 x x m m + − + − − + + + = .Tìm m để PT sau có nghiệm Giải: PT ( ) 2 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 1 0 x x m m   + −  ÷ + −   ⇔ − + + + = Đặt 2 1 3 x t − = PT trở thành 2 3 ( 2) 2 1 0t m t m− + + + = ĐK −1≤ x ≤1 3 9t⇔ ≤ ≤ Ta tìm a để PT 2 3 ( 2) 2 1 0t m t m− + + + = có nghiệm t thỏa 3 9t≤ ≤ Ta có ( ) 2 2 2 3 2 1 3 ( 2) 2 1 0 3 2 1 2 2 t t t m t m t t t m m t − + − + + + = ⇔ − + = − ⇔ = − Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số 2 3 2 1 ( ) 2 t t f t t − + = − với đường thẳng d: y = m trên đoạn [ ] 3, 9 . Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 5 Phương trình mũ và bất phương trình mũ Xét hàm số 2 3 2 1 ( ) 2 t t f t t − + = − ta có ( ) ( ) 2 / 2 3 12 3 2 t t f t t − + = − ; ( ) / 2 2 3 4 1 0 2 3 t f t t t t  = − ⇔ − + = ⇔  = +   Bảng biến thiên PT có nghiệm khi 10 6 3 38m+ ≤ ≤ 5. 2. 3 3 1 2. 3 3 1 4 4 4 2 2 2 5.2 2 0 5. 1 0 2 2 x x x x x x x x x + − + + + − + + + + + − + = ⇔ − + = ( ) 3 2 2 2. 3 5 2 .2 1 0 2 x x xx + − − − −+ ⇔ − + = ( ) 3 2 2 2. 3 2.2 5.2 2 0 x x xx + − − − −+ ⇔ − + = 6. − − − + = 3x 1 5 3x 5.2 3.2 7 0 Đặt: − = 3(x 1) t 2 > 0 Khi x ≥ 1 PT trở thành − + = 12 5t 7 0 t ⇔ + − = 2 5t 7 t 12 0 ⇔  =   = −   t 1 12 t loai 5 ⇒ ( ) 3 x 1 2 1 − = ⇔ x = 1 Khi x < 1 PT trở thành − + =7t 7 0 ⇔ t = 1 ⇒ ( ) 3 x 1 2 1 − = ⇔ x = 1 (loại). Vậy nghiệm x = 1. 7. x 2 x 1 x 1 2 2 1 2 1 + + + − − = + Đặt t = x 1 2 + > 0 PT trở thành − − − =t t 1 1 0 Khi t ≥ 1 PT ⇔ 0t + 1 –1 = 0 đúng ∀t ≥ 1 ⇔ ∀x ≥ -1 Khi t < 1 PT ⇔ 2t + 1 = 0 ⇔ − = = 1 1 t 2 2 > 0 ⇒ x = 2. Vậy nghiệm: [ ) S 1; = − ∞ 8. 2 9 10 2 2 4 x x− + = 2 2 10.2 144 0 x x ⇔ + − = Đặt 2 x t = PT trở thành t 2 + 10t -144 = 0 18 8 t t = −  ⇔  =  8 2 8 3 x t x⇒ = ⇔ = ⇔ = 9. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 4.2 1 x x x x + + + + = + − + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 8.2 2 4.2 4.2 1 x x x x + + + + ⇔ = + − + . Đặt 2 1 2 x t + = , t > 0 PT trở thành: 2 2 2 3 10 8. 4. 4. 1 6 1 0 3 10 t t t t t t t t  = − = + − + ⇔ − − = ⇔  = +   . 10. 4 4 1 8.3 9 9 x x x x+ + + = ( ) 4 4 4 4 2 2 3 3 8.3 .3 9.9 3 0 8. 9 0 3 3 x x x x x x x x   ⇔ + − = ⇔ − + =  ÷  ÷   - Bài tập 1. 1 8 3.4 3.2 8 0 x x x+ − − + = .ĐS 0 2 x x =   =  2. 1 3 25 6.5 5 0 x x+ − + = ĐS x = - 5 3. 2 2 1 1 9 3 6 0 x x+ + − − = ĐS x =0 4. 4 x - 6.2 x + 8 = 0 5. 2 2 1 3 9 36.3 3 0 x x− − − + = ĐS 1 2 x x = ±   = ±  6. 2 2 2 2 1 4 5.2 6 0 x x x x+ − + − − − − = ĐS 3 2 x = 7. 8 x - 7.4 x + 7.2 x + 1 - 8 = 0 8. 3 6 3 x x + = 9. 2 2 2 2 2 5 x x x x+ − − + = 10. 3 x + 3 3 - x = 12 Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 6 t - 3 9 + f / (t) + 0 - - 0 + + 26 10 6 3+ 38 f(t) Phương trình mũ và bất phương trình mũ 11. 2 2 1 1 5 5 24 0 x x+ − − − = ĐS 1x = ± 12. | 1| 2 2 9 27 x x + − = 13. 2 2 18 2 6 x x + + − = 14. ( ) 2 3 2. 0,3 3 100 x x x = + . HD ( ) 3 0,3 10 x x   =  ÷   15. ( ) 3 3 5 9.5 27 5 5 64 0 x x x x− − + + + − = 16. 3 3 1 2 8.2 6 2 1 2 x x x x −   − − − =  ÷   17. 2 1 1 1 5.3 7.3 1 6.3 9 0 x x x x− − + − + − + = 18. 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x+ + + − + = HD 2 2 x− 19. 1 3 1 3 4 14.2 8 x x x x m + + − + + − − + = Tìm giá trị m phương trình có nghiệm. 20. 9 x - 2.3 x + 2 = m Tìm giá trị m phương trình có nghiệm x ∈ (- 1;2). 21. 4 x - 2 x + 3 + 3 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm x ∈ (1; 3) 22. 2 2 1 - x 1 - x 9 8.3 4 xx m ++ − + = Tìm giá trị m phương trình có nghiệm. 23. 9 x - 6.3 x + 5 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 1 nghiệm x ∈ [0; + ∞). 24. | | | | 1 4 2 3 x x m + − + = Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm. 25. 4 x - 2(m + 1).2 x + 3m - 8 = 0 Tìm giá trị m phương trình có hai nghiệm trái dấu. 26. 2 2 9 4.3 6 x x m− + = Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm. b. TH 2 . Nếu phương trình có dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . . . 0 f x f x f x a b c α α β β + + = - Phương pháp. Chia hai vế của phương trình cho ( ) ( ) 2 2 f x f x α β     khi đó phương trình ( ) ( ) 2 0 f x f x a b c α α β β     ⇔ + + =  ÷  ÷     . Đặt t = ( ) f x α β    ÷   ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành 2 . . 0a t b t c+ + = Giải phương trình tìm t suy ra x. - Ví dụ .Giải các phương trình sau 1. 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = Giải PT 3 2 2 2 2 3. 4 2 0 3 3 3 x x x       ⇔ + − − =  ÷  ÷  ÷       Đặt 2 3 x t   =  ÷   , t>0 ta có PT trở thành 3 2 3 4 2 0t t t+ − − = 1 2 3 t t = −   ⇔  =  Do ĐK ta chỉ nhận 2 3 t = ⇔ x =1. 2. ( ) − − − + = x 1 x x 1 x 1 2 2 3 9 Giải: PT⇔ ( ) − − − + = x 1 2x 1 x 1 2 2.3 9 ⇔ ( ) − − − + = x 1 2x 2 x 1 2.2 2.3 9 ⇔ − −     + =  ÷  ÷     2x 2 x 1 2 2 2 1 3 3 Đặt 1 2 3 x t −   =  ÷   ĐK t > 0 PT trở thành 2t 2 + t – 1 = 0 1 1 2 t t = −   ⇔  =  chọn = 1 t 2 ⇒ 1 2 1 3 2 x −   =  ÷   ⇔ 1 3 2 2 x −   =  ÷   ⇔ 3 2 1 log 2x − = ⇔ 3 2 log 3x = . Vậy nghiệm 3 2 log 3x = . Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 7 Phương trình mũ và bất phương trình mũ - Bài tập Giải các phương trình sau 1. x x x 27 12 2.8+ = .ĐS x = 0. 2. x x x 8 18 2.27+ = . ĐS x = 0. 3. 2 4 2 2 3 45.6 9.2 0 x x x+ + + − = 4. 2 2 2 2.49 9.14 7.4 0 x x x − + = 5. 12.9 x - 35.6 x + 18.4 x = 0. 6. 1 1 1 2 1 2 25 3.10 2 0 x x x + + + − = . 7. 2 2 2 2 6 10 3 5 2 6 10 3 4.15 2.5 0 x x x x x x+ − + − + − + − = 8. 3.16 2.81 5.36 x x x + = 9. 6.9 13.6 6.4 0 x x x − + = 10. 2 4 2 2 3 45.6 9.2 x x x+ + + − ĐS x = -2 11. 1 1 1 5.25 3.10 2.4 x x x + − ĐS x = - 1 12. 1 1 1 49 35 25 0 x x x+ + + − − = c. TH 3 .Nếu phương trình có dạng : ( ) ( ) . . 0 f x f x a b c α β + + = trong đó 1 αβ = . - Phương pháp Đặt ( ) ( ) 1 f x f x t t α β = ⇒ = ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành 2 . . 0a t c t b+ + = Giải phương trình tìm t suy ra x. - Ví dụ. Giải các phương trình sau 1. ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 0 x x − + + − = Giải Đặt ( ) 2 1 x t = + ta được PT 1 2 2t t + = 2 2 2 1 0t t⇔ − + = 2 1 2 1 t t  = − ⇔  = +   1 1 x x = −  ⇔  =  2. ( ) ( ) x x 2 3 2 3 14− + + = Giải Đặt ( ) = − x t 2 3 ĐK t > 0 PT trở thành + = 1 t 14 t ⇔ t 2 – 14t + 1 = 0 , ⇔ ( ) = ± 2 t 2 3 ⇔ x = ± 2 3. ( ) ( ) x x 2 3 2 3 4− + + = Giải. Đặt   = −  ÷   x t 2 3 ĐK t > 0 PT trở thành t 2 – 4t + 1 = 0 ⇔ = ±t 2 3 ⇒ x = ± 2. - Bài tập Giải các phương trình sau 1. ( ) ( ) 7 4 3 3. 2 3 2 0 x x + − − + = 2. ( ) ( ) 4 15 4 15 62 0 x x + + − − = . 3. ( ) ( ) 3 3 3 8 3 8 6 x x + + − = 4. ( ) ( ) 7 48 7 48 14 0 x x + + − − = 5. ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 x x x x− + − + + + − = − 6. ( ) ( ) 3 5 3 5 7.2 x x x + + − = 7. ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 6 x x x + + − = 8. ( ) ( ) 1 3 5 1 5 1 2 x x x+ + − − = 9. ( ) ( ) ( ) 26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 0 x x x + + + − + − = 10. ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 x x x − + + = 11. ( ) ( ) 3 7 3 5 7 3 5 2 x x x m + + + − = Tìm giá trị m phương trình có nghiệm 4. ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM LÀ DUY NHẤT a. Phương pháp Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 8 Phương trình mũ và bất phương trình mũ - Nếu phương trình cần giải có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x g x f x a b a g x  =  =   và ta có thể đoán ra được một nghiệm 0 x α = - Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ ( ) f x y a= với đồ thị (C / ) của hàm số mủ ( ) g x y b= - Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ ( ) f x y a= với đồ thị (C / ) của hàm số ( ) y g x= . - Từ tính chất Nếu hàm số ( ) y f x= là một hàm số đồng biến và hàm số ( ) y g x= là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại thì (C) và (C / ) cắt nhau tại duy nhất một điểm. - Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệm 0 x α = . - Chú ý: Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: + B 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số . + B 2 : Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) . b. Ví dụ .Giải các phương trình sau 1. 5 12 13 x x x + = ( ) 5 12 1 1 13 13 x x     ⇔ + =  ÷  ÷     Phương trình (1) có một nghiệm x = 2 Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ 5 12 13 13 x x y     = +  ÷  ÷     với đường thẳng d:y = 1. Mà hàm số 5 12 13 13 x x y     = +  ÷  ÷     nghịch biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = 2. 2. 6 2 32 x x − = ( ) 1 3 1 32 1 2 x x   ⇔ − =  ÷   Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ 3 1 x y = − với đồ thị (C / ) của hàm số mủ 1 32 2 x y   =  ÷   . Mà hàm số 3 1 x y = − đồng biến trên R, hàm số 1 32 2 x y   =  ÷   nghịch biến trên R nên (C) cắt (C / ) tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = 2. 3. x 1 x 4 3   = +     (1) Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = -1. Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 9 Phương trình mũ và bất phương trình mũ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ x 1 y 3   =     với đường thẳng d:y = x + 4 Mà hàm số x 1 y 3   =     nghịch biến trên R, hàm số y = x + 4 đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = -1. 4. ( ) ( ) .2 3 2 2 1 x x x x x= − + − Giải: PT ( ) ( ) ( ) 2 .2 3 2.2 2 0 2 2 2 1 0 x x x x x x x x x⇔ + − − + = ⇔ − + − − = ( ) ( ) 2 2 1 0 x x x⇔ − + − = ( ) ( ) 2 2 0 2 1 1 2 1 x x x a x x x = − =  ⇔ ⇔   = − = −   Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ 2 x y = với đường thẳng d :y = 1- x . Mà hàm số 2 x y = đồng biến trên R, hàm số 1y x= − nghịch biến trên R nên dcắt (C) tại duy nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b) Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là 1 2 x x =   =  5. ( ) ( ) 2 1 1 3 3 2 2 2 3 x x x x x x x − − + − = − Giải: PT ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 3 3.3 2.3 2 2 0 3 3 2 2 2 0 x x x x x x x x x x x x − − − − ⇔ + + − + = ⇔ + + − + = ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 2 2 0 x x x x x − ⇔ + + − + = ( ) ( ) 1 2 3 1 2 0 x x x x −   ⇔ + + − =   ( ) 1 2 0 3 1 2 0 x x x x − + =  ⇔  + − =  ( ) ( ) 2 1 2 1 3 3 x x a x  =  ⇔ +    =  ÷     Giải PT (1) Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ 2 3 x y   =  ÷   với đường thẳng d:y = 1 1 3 3 x + Mà hàm số 2 3 x y   =  ÷   nghịch biến trên R, hàm số y = 1 1 3 3 x + đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b) Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là 1 2 x x =   =  6. 2 2 2 1 3 x x x x x − + + = (1)với x > 0 Giải Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 10 [...]... các bất phương trình sau 2 x −1 + 6 x − 11 1 >4 x−2 2 x −1 + 2 x − 3 Giải: BPT ⇔ >0 x−2  2 x −1 + 2 x − 3 < 0 Khi x < 1 thì  suy ra x 0 Khi 1< x < 2 thì  suy ra 1 < x < 2 không thỏa BPT x − 2 < 0  2 x −1 + 2 x − 3 > 0 Khi x > 2 thì  suy ra x > 2 thỏa BPT x − 2 > 0 Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x 2 32 −... ⇔ x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 5 15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1 Giải:Đặt t = 2x với t > 0 ta có BPT trở thành 30t + 1 ≥ t − 1 + 2t - Khi t =1 thỏa BPT t > 1 t > 1 ⇔ 2 ⇔1< t ≤ 4 - Khi t >1 BPT ⇔ 30t + 1 ≥ 3t − 1 ⇔  2 30t + 1 ≥ 9t − 6t + 1 t − 4t ≤ 0 t < −1  −1 ≤ t < 1 −1  ⇔ ≤ t < −1 (1) - Khi t 1 − x ⇔ x − 1 > 1 − x  ÷ 2  2 - Nếu 1 – x < 0 ⇔ x > 1 BPT đúng với ∀x > 1 - Nếu 1 – x = 0 ⇔ x = 1 BPT ⇔ 0 > 0 sai - Nếu 1 – x > 0 ⇔ x < 1 BPT ⇔ -x3 + 1 > 1 – x ⇔ 1 + x + x2 < 1 ⇔ -1 < x < 0 Vậy: Nghiệm S = (-1 ; 0) ∪ (1 ; +∞) 7 25.2 x − 10 x + 5 x > 25 2 x − 1 > 0  x 2 x 2 x x 2 x Giải BPT ⇔ 2 (5 − 5 ) > 5 − 5 ⇔ (2 − 1)(5 − 5 ) > 0 ⇔  2 x (I) hoặc 5 − 5 > 0  x > 0... 2 2 1 1 ⇔ 2− x − x ≤ 2 ⇔ 2 − x − x ≤ 2−2 ⇔ − x 2 − x ≤ −2 ⇔ − x 2 − x + 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ −2 ∨ x ≥ 1 4 2 x − x −1 1 ĐK: x2 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 Bpt ⇔ x 2 − 2 x ≥ x − 1 − x ≥ ÷  3 - Nếu x ≤ 0 BPT ⇔ 2 x 2 − 2 x ≥ 1 − 2 x ⇔ 3 x − 2 x + 1 ≤ 0 PTVN - Nếu x ≥ 2 BPT ⇔ x 2 − 2 x ≥ −1 đúng ∀x ≥ 2 Vậy nghiệm x ≥ 2 2 13 2 x 2 > 4.13 ⇔ 22 x > 26 ⇔ x > 3 4 4 x − 22( x − 1) + 8 3 ( x − 2) > 52 ⇔ 22 x − 22 x.2−1... − x + 4 − 9 > 0 BPT ⇔ 3 ( Đặt t = 3x − x+ 4 ) với t > 0  t < −1 2 ⇒ t > 9 ⇔ 3x − BPT trở thành t − 8t − 9 > 0 ⇔  t >9  x+4 x−2 > 0  >9 ⇔ x−2> x+4 ⇔  2 ( x − 2 ) > x + 4  x > 2 ⇔ 2 ⇔ x > 5 Vậy x > 5 là tập hợp nghiệm của bất phương trình  x − 5x > 0 Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 14 Phương trình mũ và bất phương trình mũ 4 9 x 2 2 x − x2 −2 x 1 − 2 ÷ 3 Giải :BPT ⇔ 32( x Đặt... c ≤ 0 t suy ra x - Ví dụ Giải các bất phương trình sau 3x x −1 1 1 1  ÷ −  ÷ − 128 ≥ 0 4 8 Giải :BPT ⇔ 2−6 x − 8.2−3 x − 128 ≥ 0 Đặt t = 2−3 x ĐK t > 0 4 Bất PT trở thành t2 – 8t – 128 ≥ 0 ⇔ (t + 8)(t – 16) ≥ 0 ⇔ t ≥ 16 ⇔ 2−3 x ≥ 24 ⇔ x ≤ − 3 1 1 2 4 x − 1 − 2 x − 2 − 3 ≤ 0 Giải: 1 1 1 BPT ⇔ 22 x − 2 x − 12 ≤ 0 Đặt t = 2 x > 0 1 1 1− 2x ≤0 Bất PT trở thành t 2 − t − 12 ≤ 0 ⇔ -3 ≤ t ≤ 4 ⇔ 0...  2 Giải bất phương trình  a.t + b.t + c < 0 β  tìm t suy ra x - Ví dụ Giải bất phương trình sau 2.14 x + 3.49 x − 4 x ≥ 0 Giải: x 2x x 7 7 7 BPT ⇔ 2   + 3   − 1 ≥ 0 Đặt t =   với t > 0  ÷  ÷  ÷ 2 2 2 t ≤ −1 x 1  7  1 ⇔ x ≥ − log 7 3 2 BPT trở thành 3t + 2t – 1 ≥ 0 ⇔  1⇒t ≥ ⇔ ÷ ≥ t ≥ 2 3 2 3 3  - Bài tập Giải các bất phương trình sau 1 3 25− x 1 3.4 x − 2.6 x > 9 x 2 + 2... 30 + 5 x.30 x 5 > 6 x 5 < 6 x   Giải :BPT ⇔ 5.5 + 6.6 > 30 + 5 6 ⇔ ( 5 − 6 ) ( 5 − 6 ) > 0 ⇔  2 x (I) hoặc  2 x (II) 5 > 6 5 < 6   2x x 2x x x 2x  x < log 6 5 1  (I) ⇔  (II) vônghiệm Vậy tập hợp nghiệm là log 5 6 < x < log 6 5 1 2  x > 2 log 5 6  1 Chú ý: log 5 6 < log 6 5 2 2 ( 5x + 24 ) − 5x − 7 ≥ 5 x + 7 10 x Giải Đk 5 − 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ log 5 7 BPT ⇔ 2 ( 5 x + 24 ) ≥ 5 x + 7 + 5 x − 7... (1, +∞ ) ta có xlim f ( t ) = +∞, x →1+ f ( t ) = +∞ →+∞ +∞ t 1 3 Bảng biến thiên: f(t)/ 0 + +∞ +∞ y 6 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị của là m ≥ 6 thoả mãn bất phương trình (2) Vậy m ≥ 6 thì BPT có nghiệm - Bài tập Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long 15 Phương trình mũ và bất phương trình mũ Giải các bất phương trình sau 1 9 x − 2.3x − 15 > 0 2 4 x − 2.2 x+1 + 3 = 0 3 52 x +1 − 5 x .  ≥  ÷   ĐK: x 2 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2. Bpt 2 2 1x x x x⇔ − ≥ − − - Nếu x ≤ 0 BPT ⇔ 2 2 1 2x x x− ≥ − ⇔ 2 3 2 1 0x x− + ≤ PTVN. - Nếu x ≥ 2 BPT ⇔ 2 2 1x x− ≥ − đúng ∀x ≥ 2. Vậy nghiệm. 3 1 1x x− > − - Nếu 1 – x < 0 ⇔ x > 1 BPT đúng với ∀x > 1. - Nếu 1 – x = 0 ⇔ x = 1 BPT ⇔ 0 > 0 sai. - Nếu 1 – x > 0 ⇔ x < 1 BPT ⇔ -x 3 + 1 > 1 – x ⇔ 1 + x + x 2 <. 1 2 1 2 x x x+ + + ≥ − + Giải:Đặt t = 2 x với t > 0 ta có BPT trở thành 30 1 1 2t t t+ ≥ − + - Khi t =1 thỏa BPT - Khi t >1 BPT 30 1 3 1t t⇔ + ≥ − 2 1 30 1 9 6 1 t t t t >  ⇔  + ≥