atx1404415245.doc Thái Minh Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản 1. Dạng : ∫ ++ dxbaxbaxxR n m n m , ])(;)(;[ 2 2 1 1 đặt ax + b = t s trong đó s là BCNN(n 1 ;n 2 ;…) Ví dụ: Tính: CxxxxCtttt C t dt t tt dt t ttdt t t dt tt t I dttdxtxđăt xx dx I ++−+−=++−+−= + + −+−= + −+−= + = + = =→= + = ∫∫∫∫ ∫ |1|ln6632|1|ln6632 1 66 2 .6 3 6) 1 1 1(6 1 6 6 6: 663 23 23 2 3 23 5 56 3 2. Dạng: ∫ ++ cbxax dx 2 đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đúng rồi đưa về các tích phân cơ bản: Ckxx kx dx C a x xa dx +++= + += − ∫∫ ||ln;arcsin 2 222 Ví dụ : Cxx x dx x dx I +−−= − = − = ∫∫ | 3 2 |ln 3 1 3 23 1 23 2 2 3. Dạng: ∫ ++ + ; 2 dx cbxax BAx Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết. ∫∫∫∫ ++ −+ ++ ++ = ++ −++ = ++ + cbxax dx a Ab B cbxax cbxaxd a A dx cbxax a Ab Bbax a A dx cbxax BAx 22 2 22 ) 2 ( )( 2 2 )2( 2 ; Ví dụ: Cxx xx x dx xx xx dx xx xxd dx xx x dx xx x I +−−+−+ +− = +−− + +− = +− + +− +− = +− ++− = +− + = ∫ ∫∫∫∫ 4 1 ) 2 5 ( 2 5 |ln 2 9 65 1 6 4 25 ) 2 5 ( 2 9 65 1 65 2 9 65 )65( 2 1 65 5452 2 1 65 2 2 2 2 2 22 2 22 4. Dạng: ∫ ++− cbxaxkx dx 2 )( đặt x – k = t 1 đưa tích phân này về dạng đã biết. Ví dụ: C x x Ctt t dt Idt t dx t xđăt xx dx I +++−=+++−= + −=−=→= + = ∫∫ |1 11 |ln1|ln 1 ; 11 : 1 2 2 2 2 2 5. Dạng: ∫ ++ dx cbxax xP n 2 )( trong đó P n (x) là đa thức bậc n. Sử dụng đồng nhất thức sau: ∫∫ ++ +++= ++ − cbxax dx λcbxaxxQdx cbxax xP n n 2 2 1 2 )( )( Ví dụ: Tính: dx xx xxx ∫ ++ +++ 22 432 2 23 Sử dụng đồng nhất thức : ∫∫ ++ +++++= ++ +++ 22 22)( 22 432 2 22 2 23 xx dx λxxcbxaxdx xx xxx - 1 - atx1404415245.doc Thái Minh Lấy đạo hàm cả hai vế: λxcbxaxxxbaxxxx xx λ xx x cbxaxxxbax xx xxx ++++++++≡+++→ ++ + ++ + ++++++= ++ +++ )1)(()22)(2(432 22 1 22 1 )(22)2( 22 432 2223 22 22 2 23 Đồng nhất hệ số ta có: 2 5 ; 6 7 ; 6 1 ; 3 1 ==== λcba Vậy: Cxxxxxxxdx xx xxx ++++++++++= ++ +++ ∫ |221|ln 2 5 22) 6 7 6 1 3 1 ( 22 432 222 2 23 { ∫ +++= + }||ln 2 2 Ckxx kx dx 6.Dạng: ∫ + dxbxax pnm )( Trong đó m;n;p là các số hữu tỷ + Nếu p là số nguyên đặt x = t s , với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích phân về dạng tích phân hữu tỷ + Nếu n m 1+ là số nguyên, đặt a + bx n = t s với s là mẫu số của p +Nếu p n m + +1 là số nguyên. Đặt ax -n + b = t s , với s là mẫu số của p. Ví dụ: Cxx C tt dttttdtttdxxxxI tdtdxxtxĐăt Zcódxxxdx x x I ++++= ++=+=−=+= ==+→ ∈= + − += + = ∫∫∫ ∫∫ − − − 3 3 5 3 35 242 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 2 3 1 2 1 3 1 3 1 3 3 )1(2)1( 5 6 3 6 5 6)(62.)1(3)1(. 2 3 1 ;1: 2 3 1 1 3 1 :;)1( 1 . Bài tập 1. ∫ − −++ = dx x xx I 1 11 4 22 ∫ ++ = 1)1( )2 22 xx dx I ∫ − = 23 )3 2 x dx I ∫ + + = dx x x I n n 2 1 ).4 dxeI x ∫ −= 1).5 ∫ −− = 1)1( ).6 22 xx xdx I ∫ ++ = 2 ).7 2 xx xdx I ∫ ++ = dx xx xe I x 22 arctan 1)1( )8 ∫ − + = dx x x I 1 1 ).9 ∫ ++ − = dx xx x I 182 35 ).10 2 ∫ + = 1 ).11 24 xx dx I ∫ + = dx x x I 1 ).12 dxxxxI ∫ −+−= 23).13 2 2 02sin1).14 π xdxxI ≤≤+= ∫ - 2 - . Cxxxxxxxdx xx xxx ++++++++++= ++ +++ ∫ |221|ln 2 5 22) 6 7 6 1 3 1 ( 22 432 222 2 23 { ∫ +++= + }||ln 2 2 Ckxx kx dx 6 .Dạng: ∫ + dxbxax pnm )( Trong đó m;n;p là các số hữu tỷ + Nếu p là số nguyên đặt x = t s , với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích phân về dạng tích phân hữu tỷ +. atx1404415245.doc Thái Minh Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản 1. Dạng : ∫ ++ dxbaxbaxxR n m n m , ])(;)(;[ 2 2 1 1 đặt ax + b = t s trong. +−−= − = − = ∫∫ | 3 2 |ln 3 1 3 23 1 23 2 2 3. Dạng: ∫ ++ + ; 2 dx cbxax BAx Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết. ∫∫∫∫ ++ −+ ++ ++ = ++ −++ = ++ + cbxax dx a Ab B cbxax cbxaxd a A dx cbxax a Ab Bbax a A dx cbxax BAx 22 2 22 ) 2 ( )( 2 2 )2( 2 ; Ví