Ngày soạn :28/10/2008 Buổi 8: Phơng trình nghiệm nguyên A. Kiến thức cơ bản: I. Một số ph ơng pháp th ờng vận dụng khi giải ph ơng trình nghiệm nguyên 1. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích: Các ví dụ: VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: xy x y =2 Giải: Viết PT về dạng: (x 1 )(y 1 ) =3 Do x, y Z nên (x-1), (y-1) Z và x-1, y-1 là ớc của 3 Do vai trò của x,y nh nhau nên không mất tính tổng quát g/s x y 1 3 4 1 1 2 1 1 1 1 0 1 3 2 x x y y x y x x y y = = = = = = = = Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0) VD2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 +x+6=y 2 (2) Giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 24 4 2 2 1 23 2 2 1 2 2 1 23 2 2 1 0 2 2 1 0 x x y y x y x y x y x y x + + = + = + + + = + + > + > Ta có: 2 2 1 2 2 1y x y x+ + > + nên 5 6 6 2 2 1 23 2 12 6 2 2 1 1 2 1 11 5 6 6 6 x y x y x y y y x x x y x y = = = + + = = = + = + = = = = = Vậy phơng trình có các nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6) 2. Đ a về ph ơng trình tổng: Các ví dụ: VD1: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x 2 4xy +5y 2 =169 Giải: Pt tơng đơng với: (x 2y) 2 +y 2 =169 =13 2 +0 2 =12 2 +5 2 Mà y Z + ; 2 0 13 2 5 2 12 2 12 5 x y y x y x y N y x y y = = = = = = Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng của PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5) VD2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 10 1 7 x y z + = + Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Giải: Ta có 10 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 2 3 3 x y z = + + = + + + + Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x=1;y=2;z=3 3. Nhận xét về ẩn số: VD: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 1+x+x 2 +x 3 =y 3 Giải: Ta có x 2 +x+1>0 và 5x 2 +11x+7>0 với mọi x Nên (1+x+x 2 +x 3 ) (x 2 +x+1)< 1+x+x 2 +x 3 <(1+x+x 2 +x 3 ) +(5x 2 +11x+7) Do đó x 3 <y 3 <(x+2) 3 suy ra y 3 =(x+1) 3 Từ đó suy ra x(x+1)=0 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là: 0 1 ; 1 0 x x y y = = = = 4. Vận dụng tính chất của tập hợp số nguyên. VD1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 3x+17y=159 Giải: Giả sử x,y là các số nguyên thoả mãn phơng trình Ta thấy 3x,159 chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 3 mà 17 không chia hết cho 3 vậy y phải chi hết cho 3 suy ra y=3t(t Z ) Thay y=3t vào pt ta đợc: x=53-17t Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta đợc nghiệm đúng VD2: Tìm nghiệm nguyên tố của ph ơng trình: x 2 2y 2 = 1 Giải: PT tơng đơng với (x+1)(x-1)=2y 2 Vì x 2 =2y 2 +1 là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn do đó (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vậy y 2 chia hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y=2 Vậy phơng trình có nghiệm: (3;2) 5. Ph ơng pháp chứng minh bằng phản chứng. b. Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x 3 +2y 3 =4z 3 (1) Giải: Giả sử (x 0 ;y 0 ;z 0 ) là một nghiệm nguyên của phơng trình (1) . Khi đó x 0 chia hết cho 2 . đặt x 0 =2x 1 . Thay vào (1) ta có y 0 chia hết cho 2, đặt y 0 =2y 1 Thay vào (1) ta có z 0 chia hết cho 2 ,đặt z 0 =2z 1 . Nh vậy nếu (x 0 ;y 0 ;z 0 ) là nghiệm của (1) thì (x 1 ;y 1 ;z 1 ) cũng là nghiệm của (1) . Quá trình cứ tiếp tục mãi suy ra x 0 ,y 0 ,z 0 chia hết cho 2 k (k thuộc tập số tự nhiên) Vậy (x 0 ;y 0 ;z 0 )=(0;0;0) B. Bài tập áp dụng Bài1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình: a/ 5x-y=13 b/23x+53y=109 c/12x-5y=21 d/12x+17y=41 e/5x+10y=3 g/4x+12y=7 h/ 4x+11y=47 i/12x-7y=45 k/9x+10y=135 Bài2: Giải phơng trình nghiệm nguyên a/ x 2 +91=y 2 e/ 2 m -2 n =1984 k/ x+y=xy b/x 2 -656xy-657y 2 =1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy l/x 2 +x+1991=y 2 c/x 2 -25=y(y+6) h/ y3-x3=91 m/x 2 =y 2 +2y+13 d/ 2 2 3 6 332 2 x y x = + i/x 4 =y 2 (y-x 2 ) n/x 2 -6xy+5y 2 =121 Bài3: Tìm nghiệm nguyên dơng : a/2 x +2 y +2 z =2336 b/x 2 (x+2y)-y 2 (y+2x)=1991 c/ xy -2x +3y =27 d/3x 2 +10xy+8y 2 =96 e/ 2 n +12 2 =z 2 -3 2 Bài4: Giải phơng trình nghiệm nguyên a/ x 2 +13y 2 =100+6xy b/x 2 -x-6=-y 2 c/ 4x 2 +4x+y 2 =24 d/101(x 2 y 2 z 2 +x 2 +z 2 )=913(y 2 z 2 +1) Bài5: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau: Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê a/ 3x 2 +2y 2 +z 2 +4xy+2xz=26-2yz b/ x 2 +y 3 -3y 2 =65-3y c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t) d/ 55(x 3 y 3 +x 2 +y 2 )=229(xy 3 +1) e/7(x 2 y+x+xy 2 +2y)=38xy+38 g/x 6 +z 3 -15x 2 z=3x 2 y 2 z-(y 2 +5) 3 h/(x 2 +4y 2 +28) 2 =17(x 4 +y 4 +14y 2 +49) i/ 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n x x x + + + = Bài6: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT: 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 n x x x n x = + + + + + + + M M Bài7: Tìm nghiệm nguyên dơng của các pt sau: a/ x+y+z=xyz b/ 1 1 1 2 x y z + + = c/ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x y z t + + + = d/5(x+y+z+t)=2xyzt-10 e/5(xy+yz+zx)=4xyz g/ xyz=9+x+y+z h/x+y+1=xyz i/2 x +1=3 y k/xy 2 +2xy+x-216y=0 Bài8: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a/ 3 xy xz yz z y x + + = b/ y 3 -x 3 =3x c/x 4 +x 2 +1=y 2 d/ (x+2) 2 -x 4 =y 3 e/x 3 -y 3 -2y 2 -3y-1=0 g/y 3 -x 3 =2x+1 h/x 4 -y 4 +z 4 +2x 2 z 2 +3x 2 +4z 2 +1=0 i/ x 4 +x 2 +4=y 2 -y k/ x 4 +x 2 -y 2 +y+10 l/x 6 -x 2 +6=y 3 y m/19x 2 +5y 2 +1995z=9 505 +3 n/x 2 +y 2 +z 2 =1980 o/ 4 4 4 1 2 14 1999x x x+ + + = Bài9: Chứng minh rằng các phơng trình sau không có nghiệm nguyên a/ x 3 +y 3 +z 3 =30419751951995 b/x 5 +3x 4 y-5x 3 y 2 -15x 2 y 3 +xy 4 +12y 5 =33 Bài10: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình a/ 4xy-x-y=z 2 b/ x 2 -y 3 =7 c/4xy-y=9x 2 -4x+2 d/ 1980x y+ = với x<y e/xy 2 +2xy-243y+x=0 Bài11: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a/ 19x 2 +28y 2 =729 b/x 2 +4y 2 =196 c/ 13 7 2000x y = d/ 11 2 1 3 4 1 2 5 x x y y + = + e/x 3 -100=225y g/ 19x 5 +5y+1995z=x 2 -x+3 Bài12: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a/ x 3 -3y 3 -9z 3 =0 b/x 2 +y 2 +z 2 +t 2 =2xyzt c/8x 4 +4y 4 +2z 4 =u 4 d/x 2 +y 2 +z 2 =x 2 y 2 e/ 1!+2!++x!=y 2 Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Ngày soạn :18/10/2008 Buổi 6 : Phơng trình vô tỉ Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng: Dạng1: ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) 0 ( ) ( ) x TXD f x g x f x g x = = (*) Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x) 0 và g(x) 0 VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 2x x m x x + = + 2 2 2 1 2 3 2 0 3 2 2 0 1 1 x x x x x m x x x m x m + + = + = + = + Để phơng trình có nghiệm thì 1 1 2 0 1m m + Dạng2: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x conghia g x f x g x f x g x = = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0f x VD: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( 1) x x x x x x x x x x + = = + = = = + Vậy phơng trình có nghiệm x=-1 Dạng3: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0 ( ( ) ( )) ( ) f x conghia f x f x g x h x g x conghia g x f x g x h x + = + = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0h x VD: Giải phơng trình: 4 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 4 1 2 0 2 1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4 (1 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + + + = + = + Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 7 0 7 (1 )(1 2 ) (2 1) 2 x x x x x x x x x x x x + = = + = = + = Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa - Biến đổi phơng trình Các bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: a/ 2 3 0x x = e/ 1 1 2x x + = b/ 2 1 1x x+ + = g/ 15 3 6x x + = c/ 3 4 1x x+ = h/ 4 1 3 4 1x x+ + = d/ 10 3 5x x + + = k/ 2 3 2 2x x x + = Bài2: Giải các phơng trình sau: 2 2 / 4 1 1 2 / 3 4 2 1 3 /( 3) 10 12 a x x x b x x x c x x x x + = + + = + + = / 2 1 1 1 / 2 1 2 1 2 / 6 9 6 9 6 d x x x e x x x x g x x x x = + + = + + = Bài3: Cho phơng trình: 2 1x x m = a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Giải và biện luận phơng trình II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1: VD1: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 31 11 11 42 0 x x x x + + = + + + = Đặt t= 2 11 11x t+ . Khi đó phong trình có dạng: t 2 +t 42 =0 6 7 t t = = Vì t 11 nên t=6 2 2 2 11 6 11 36 25 5x x x x + = + = = = Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5 VD2: Giải phơng trình : ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 2 1 3 1 1 0x x x+ + + = Giải: Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho ( ) 2 4 1 0x , ta đ- ợc: 4 4 1 1 2 4 0 1 1 x x x x + + + = + Đặt t= 4 4 1 1 1 0 1 1 x x x x t + = + f , Khi đó phơng trình trở thành: 2t+ 2 1 0 1 3 0 2 3 1 0 1 0 2 t t t t t = < + = + + = = < (không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm. II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2: VD: Giải PT: 3 2 1 1x x = Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Giải: Điều kiện : x-1 0 1x Đặt 3 3 2 2 1 1, 0 u x u v v x v = + = = . Khi đó ta có hệ: 3 2 1 1 u v u v + = + = Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10 Dạng3: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3 VD: Giải PT: 3 3 2 3 3 2x x+ = Đặt y= 3 3 2x . Khi đó phơng trình chuyển thành hệ 3 3 2 3 3 2 x y x y y x + = = = Từ đó tìm đợc x=1; x=-2 Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 / 3 3 3 6 3 / 2 5 2 2 2 5 6 1 / 3 2 2 2 6 2 2 /( 5)(2 ) 3 3 a x x x x b x x x x c x x x x d x x x x + + + = + + + = + + + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 2 / ( 1) 2 1 2 2 / 1 1 / 2 1 3 1 1 0 n n n e x x x x g x x x x h x x x + = + + = + + + + = Bài 5: Giải các pt sau: a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 2 3 2 2 / 2 2 4 2 3 2 x x x x x x x b x x x x + + + = + + + = Bài6: Giải các phơng trình sau: ( ) 2 2 2 2 / 1 2 2 / 4 2 2 4 a x x x x b x x x x x = + + = + + ( ) 2 2 3 3 / 1 2 2 / 4 1 1 2 2 1 c x x x x d x x x x = + = + + Bài 7: Giải các phơng trình sau: ( ) 3 3 2 / 9 2 1 / 2 1 1 / 1 1 0 a x x b x x c x x x x x x = = + = Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm: 3 3 / 1 1a x x a + + = / 1 1b x x a + + = Bài9: Giải và biện luận các phơng trình sau: / 4a x x m+ = 2 / 1b x x m+ = Bài10: Giải các phơng trình sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 / 1 7 2 / 25 3 4 /1 16 3 / 4 6 1 a x x b x x c x x d x x + + = + + = + = + + = 3 3 3 3 / 2 1 1 / 24 12 6 / 2 1 1 / 2 1 3 e x x g x x h x x i x x + = + + = + = + + = Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Bài11: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 / 1 1 5 / 1 1 1 1 7 5 / 1 2 3 0 6 7 5 a x x xb x x x x x c x x x d x x x + + = + + + = + + + + + = = + 2 2 / 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 / 2 9 4 3 2 1 2 21 11 / 2 2 2 2 2 e x x x x x x x g x x x x x h x x + + + + + = + + + + + = + + = + + Bài12: Giải các phơng trình sau: 2 2 3 3 / 1 4 5 / 3 1 4 13 5 / 2 3 3 2 a x x x b x x x c x x + = + + + = + + = ( ) 2 3 3 3 33 3 4 9 / 7 7 , 0 28 / 1 2 2 1 / 35 35 30 x d x x x e x x g x x x x + = + > + = + = III. Ph ơng pháp đánh giá: Đánh giá dựa trên tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,. VD1: Giải phơng trình: 2 2 5 1 2x x x + + = Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thức bậc hai VD2: Giải phơng trình: 2 2 1 1 2x x x x + + = Giải: ĐK: 1x đánh giá VT 2 dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1 Do 1x nên x=1 VD3: Giải pt: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 2 5 x x x x x x x x x x x + + = + = + Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 4 44 4 / 2 7 11 25 12 6 1 1 1 / 2 2 4 / 1 2 2 1 2 2 1 3 / 2 1 2 1 2 / 2 5 3 3 2 6 1 / 1 1 1 1 1 1 6 a x x x x x b x x x x c x x x x y d y y y y e x x x x x f x x x x x x + = + + = + ữ + = + + = + + = + + + + + + + + + = 4 4 4 4 24 2 2 4 4 34 2 44 4 / 1 1 2 8 / 2 3 4 6 / 2 1 19 2 10 24 / 2 1 / 2 2 4 g x x x x h x x x i x x x x k x x x x l x x x x + + + = + = + + = + = + + + + = Bài2: Giải các phơng trình sau: 2 2 / 4 4 6 9 1 / 4 4 9 6 1 / 6 4 2 11 6 2 1 a x x x x b x x x x c x x x x + + + = + + + = + + + + + = 2 2 2 / 2 4 2 7 6 2 1 / 6 2 1 / 7 9 16 66 d x x x x e x x x g x x x x + + + = + = + = + Bài3: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) 2 / 1 10 2 5 / 1 3 2 1 3 5 4 2 a x x x x b x x x x x x + + + = + + + + + + + = Ngày soạn :25/9/2008 Buổi 3-4: Chứng minh Bất đẳng thức phần i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : a, Tính chất 1: a > b <=> b < a b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c c, Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c a + c > b <=> a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ . h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : Với 2 số dơng a , b ta có : ab ba + 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra <=> y b x a = c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0 . - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài 1 : Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Bài 2 : Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) Giải : Xét hiệu : H = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - a(b + c + d + e) Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê = ( b a 2 ) 2 + ( c a 2 ) 2 + ( d a 2 ) 2 + ( e a 2 ) 2 Do ( b a 2 ) 2 0 với mọi a, b Do( c a 2 ) 2 0 với mọi a, c Do ( d a 2 ) 2 0 với mọi a, d Do ( e a 2 ) 2 0 với mọi a, e => H 0 với mọi a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy ra <=> b = c = d = e = 2 a Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 22 22 + + baba Giải : Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng . Ví dụ : Bài 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc => a + b abc Tơng tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức : Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê [...]... biu thc M = x ( x + 20 09) 2 t GTLN Bi 3: Cho biu thc: M = a/ Rỳt gn M x 2 2 x + 20 09 x3 : 3 ( x 1) ( x 2) x 3x 2 + 2 x x 2 2 x + 20 09 ỏp s: M = x2 b/ Tỡm GTNN ca M Bi 4: Cho biu thc: N = a/ Rỳt gn N ỏp s: M t GTLN bng ỏp s: M t GTNN bng 3 x 2 x 3 x 3 x 2 + 12 x 4 : 3x + 2 x + 2( x + 1) x ỏp s: N = 2 x +4 1 khi x=20 09 4.20 09 ( x 1; x 2; x 0) 2008 khi x = 20 09 20 09 1 2 x ;x 3 3 b/... minh rằng : 1 1 1 + 2 + 2 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 Cứng minh rằng : 1 1 1 + + 9 x y z Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 1 1 + + )9 x y z Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z 1 nên suy ra 1 1 1 + + 9 x y z Phần iii : ứng... đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải Các ví dụ : Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : a b c 3 + + b+c c+a b+a 2 Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x+ y+z 2 y+zx z+x y x+ yz => a = , b= , c= 2 2 2 => a + b + c = Khi đó : VT = y+zx z+x y x+ yz a b c + + = + + 2x 2y 2z b+c c+a b+a Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị... GTLN bng ( x 0; x 1) 1 1 khi x = 4 4 1 2x x + 1 8 1 khi x = 7 16 Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Bi 4: Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc: M = ỏp s: M t GTLN bng 1 khi x = 0 2 1 3 1 x2 M t GTNN bng 1 khi x = 1 3 Bi 5:Tỡm GTNN ca biu thc: M = ( x 2008) 2 + ( x 20 09) 2 ỏp s: M t GTNN bng1 khi 2008 x 20 09 Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê ... mãn : a + b + c = 1 Chứng minh rằng : Giải : 1 1 1 + + 9 a b c Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê a b + >0 ,a,b>0 b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : + + = ( + + ) 1 = ( + + ) (a + b + c) a b c a b c a b c a a b b c c =1 + + + + 1 + + + + 1 b c a c a b a b b c c a = 3+( + )+( + )+( + ) 3 + 2 + 2 + 2 = 9 b a c b a c 1 1 1 => + + 9 a b c 1 Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 3 Ta có :... VT < VP tại mọi giá trị của ẩn => phơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài 1 : Giải phơng trình : 13 x 1 + 9 x + 1 = 16x Giải: Điều kiện : x 1 (*) Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x 1 + 9 x + 1 1 3 x 1 + 3.2 x +1 2 2 1 9 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 4 4 = 13.2 Dấu '' = '' xảy ra x 1 = x +1 = 1 2 3 2 x= 5 thoả mãn (*)... 1 1 + 2 + 2) 2 a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác : + + = ( + + ).1 = ( + + )(a + b + c) a b c a b c a b c a b b c c a =3+( + )+( + )+( + ) 3+2+2+2 =9 b a c b a c 1 1 1 => + + 9 a b c 1 1 1 => ( + + ) 2 81 a b c Tơng tự : ( + + ) 2 3 ( Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê 1 1 1 + 2 + 2 ) 27 2 a b c 1 F + 27 + 6 = 33 3 1 Du '' = '' xy ra khi : a = b = c = 3 1 1 Vy MinF =... 1 + x Tỡm giỏ tr ca x f(x) t GTLN Gii Biu thc f(x) cú ngha khi: 2 x 0 1 + x 0 1 x 2 Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Trong iu kin ny ta cú f(x) 0 nờn f(x)t GTLN khi v ch khi [ f ( x ) ] 2 t GTLN Ta cú: [ f ( x ) ] 2 = 2 x + 1 + x + 2 ( 2 x )(1 + x ) = 3 + 2 2 + x x 2 2 9 1 9 1 = 3+ 2 x2 + x + = 3 + 2 x 4 4 4 2 1 1 Do ú [ f ( x ) ] 2 t GTLN khi v ch khi x = 0... xảy ra khi : => phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Ngày soạn :1/10/2008 Buổi 9: TèM GTLN V GTNN C/ CC DNG TON C TH: Dng I: Cỏc bi toỏn m biu thc l a thc Vớ d 1: Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau: b / g ( x) = x( x 5) a / f ( x) = x 2 + 3x + 3 Gii 2 a / f ( x) = x 2 + 3x + 3 = x 2 + 2 x 3 9 3 3 3 + + = x+ + 2 4 4 2 4 2 3 3 Ta cú x + 0,... + x 4 Giải : a, áp dụng BĐT : A + B A + B Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 => C = 2 x 3 + 1 2 x 2 x 3 + 1 2 x = 2 = 2 Giáo án bồi dỡng HSG Trần thị Minh Trờng THCS Thanh khê Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 Vậy minC = 2 khi 1 3 x 2 2 1 3 x 2 2 b, Tơng tự : minD = 9 khi : -3 x 2 c, minE = 4 khi : 2 x 3 Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : Minf(x) = x a + x b + x c + x d Hớng dẫn . x 4 +x 2 -y 2 +y+10 l/x 6 -x 2 +6=y 3 y m/19x 2 +5y 2 + 199 5z =9 505 +3 n/x 2 +y 2 +z 2 = 198 0 o/ 4 4 4 1 2 14 199 9x x x+ + + = Bài9: Chứng minh rằng các phơng trình sau không có nghiệm nguyên a/ x 3 +y 3 +z 3 =304 197 5 195 199 5 b/x 5 +3x 4 y-5x 3 y 2 -15x 2 y 3 +xy 4 +12y 5 =33 Bài10:. + e/x 3 -100=225y g/ 19x 5 +5y+ 199 5z=x 2 -x+3 Bài12: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a/ x 3 -3y 3 -9z 3 =0 b/x 2 +y 2 +z 2 +t 2 =2xyzt c/8x 4 +4y 4 +2z 4 =u 4 d/x 2 +y 2 +z 2 =x 2 y 2 e/ 1!+2!++x!=y 2 Giáo án. 4xy-x-y=z 2 b/ x 2 -y 3 =7 c/4xy-y=9x 2 -4x+2 d/ 198 0x y+ = với x<y e/xy 2 +2xy-243y+x=0 Bài11: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a/ 19x 2 +28y 2 =7 29 b/x 2 +4y 2 = 196 c/ 13 7 2000x y = d/ 11 2 1