ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 10 – HỌC KÌ II I. BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh các BĐT sau đây với a, b, c > 0 và khi nào đẳng thức xảy ra: a) ( )(1 ) 4a b ab ab+ + ≥ b) 1 1 ( )( ) 4a b a b + + ≥ c) ( ) 2 b ac ab c + ≥ d) ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ e) (1 )(1 )(1 ) 8 a b c b c a + + + ≥ f) ( ) 3 a b c b c a + + ≥ g) 2 2 2 ( 2)( 2)( 2) 16 2.a b c abc + + + ≥ h) (2 1)(3 2 )( 3) 48a b ab ab + + + ≥ i) 8 5 3 5 3 8a b a b+ ≥ j) 6 2 3 2 3 6a b c a b c+ + ≥ k) 7 4 11 4 7 11a b ab+ ≥ l) ( )( ) 9a b c ab bc ca abc+ + + + ≥ m) 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + ≥ n) 2 2 2 ( ) 3a b c c a abc+ + ≥ o) 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6a b c d a c b d a d b c abcd+ + + + + + + + ≥ Bài 2: Chứng minh các BĐT sau đây: a) 3 3 2 2 ( , 0)a b a b ab a b + ≥ + ≥ b) 4 4 3 3 ( , 0)a b a b ab a b + ≥ + ≥ c) 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )a b ab+ + ≥ + d) 2 2 2 2( ) 2bc 2 a b c ab ac+ + ≥ + + e) 2 2 2 2 2 ( )a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) bc2acabcb 4 a 22 2 +−≥++ , ∀ a,b,c b) Nếu a + b ≥ 2 thì a 3 + b 3 ≤ a 4 + b 4 c) Nếu a,b,c là 3 cạnh của một tam giác thì: a 3 (b 2 –c 2 ) + b 3 (c 2 –a 2 ) +c 3 (a 2 –b 2 ) < 0 , với a < b < c d) ∀ x ∈ R: 2 1x 2x 2 2 ≥ + + e) Cho a, b, c > 0 và a + b+c = 1. Chứng minh: • b+c ≥ 16abc • 64 c 1 1 b 1 1 a 1 1 ≥       +       +       + f) Nếu a, b,c > 0 thì: 2 cba ba c ca b cb a 222 ++ ≥ + + + + + g) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng : ( ) ( ) cba3accbbacba2 222222 ++≤+++++≤++ Bài 4: Chứng minh các BĐT sau đây: a) 2 2 2 2 2 2 a b c c b a b c a b a c + + ≥ + + b) 1 1 1a b c bc ca ab a b c + + ≥ + + Bài 5: Tìm GTLN của hàm số: a) ( 3)(7 )y x x= − − với 3 7x≤ ≤ b) (3 1)(6 )y x x= + − với 1 6 3 x− ≤ ≤ c) ( 3)(16 2 ) 2 x y x= − − với 6 8x≤ ≤ d) 1 4 2x x− + − với 1 2x≤ ≤ e) y =2x + x 2 – x 4 ; 3 5 ) (2 3)(5 3 ), 2 3 f y x x x   = + − − ≤ ≤  ÷   Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Huyền 1 Bài 6: Tìm GTNN của hàm số: a) 4 3 3 y x x = − + − với x > 3 b) 2 8 1 y x x = + − với x > 1 c) 1 4( 2) 2 y x x = − + với x > 2 d) 2 4 x y x − = − với x > 4 2 2 e) y 2x y – 2xy – 4x= + ; 4 2 4 3 9 ) ( 0) 2 x x f y x x − + = ≠ Bài 7:Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của: a)f(x) = x541x3 −+− với 1 ≤ x ≤ 5 c) f(x) = 2x 1xx 2 2 + +− b) f(x) = 3sinx + 4 cosx + 2 với x ∈ [0 0 ; 180 0 ] II. DẤU CỦA NHỊ THÚC BẬC NHẤT: Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( 0)a ≠ x - ∞ b a − + ∞ f(x) Trái dấu hệ số a 0 Cùng dấu hệ số a Ứng dụng của định lí về dấu nhị thức bậc nhất trong giải tốn  Bài tốn 1: Giải bất phương trình tích Dạng P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0, trong đó P(x) là tích của các nhị thức bậc nhất: 1. Phương pháp: Bước 1: Tìm nghiệm của các nhị thức bậc nhất Bước 2: Sắp xếp các nghiệm tìm được theo thứ tự tăng dần, từ đó lập bảng xét dấu của các nhị thức và P(x) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình 2. Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1. ( ) ( 1)( 5) 0 2. ( ) ( 3)( 3) 0 3. ( ) ( 4)( 1)(2 1) 0 4. ( ) (2 3 )(2 1) 0 5. ( ) ( 5 10)( 4)(2 ) 0 6. ( ) (3 1)( 3)( 4)(7 5) 0 7. ( ) ( 4 3) (2 1) 0 f x x x f x x x x f x x x x f x x x f x x x x f x x x x x f x x x x = − − < = − + > = − + + > = − − ≤ = − − + − ≤ = − + + + ≥ = − − + ≥ 8. 2 ( 2)( 4) 0A x x= + − ≤ 9. 2 (9 1)(3 1) 0B x x x= − + ≤ 10. 2 (2 5)(2 1) 0C x x= + − ≤ 11. 2 (1 3 )( 6 5 1) 0D x x x= − − + + ≥ 12. 2 9 4 0E x x= − ≤ 13. 2 ( 3) (3 ) 0x x x− − − ≤ 14. ( ) ( ) 3 2 0x x− − > 15. 2 4 3 0F x x= + + ≤ 16. 2 6 1 0G x x= − − ≥ 17. 2 2 3 9 0H x x=− + + ≤ 18. 2 3 8 4 0I x x= − + − ≤ 19. ( ) ( ) 3 2 0J x x= − − > 20. ( 5)(2 6)K x x= − +  Bài tốn 2: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Huyền 2 Dạng: P(x) 0 Q(x) < , P(x) 0 Q(x) ≤ , P(x) 0 Q(x) > , P(x) 0 Q(x) ≥ trong đó P(x), Q(x) là tích các nhị thức bậc nhất 1. Phương pháp: Bước 1: Tìm các nghiệm của các nhị thức bậc nhất Bước 2: Lập bảng xét dấu cho phân thức P(x) Q(x) (Lưu ý: trên hàng cuối tại những điểm Q(x) = 0 ta sử dụng kí hiệu P để chỉ ra rằng tại đó bất phương trình không xác định) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình 2. Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1) 4 3 0 2 1 x x − ≤ + 2) 2 1 0 3 2 x x − − ≥ − 3) 2 ( 3) 0 ( 5)(1 ) x x x x − ≥ − − 4) (3 )( 2) 0 1 x x x − − ≤ + 5) 3 5 1 2 1x x ≥ − + 14) 2 1 2 1 3x x ≤ − − 15) (2 5)(1 2 ) 0 ( 2)(3 ) x x x x + − ≥ + − 16) 2 3 0 ( 1)(3 2) x x x x − ≤ + − 17) 2 (2 1)(3 ) 0 5 4 x x x x − − < − + 18) 2 ( 3)(2 3 ) 0 3 2 5 x x x x − − < − − 27) 3 7 2 2 1x x < − + 28) 2 2 3 3 2 1x x x ≥ − + − 29) 2 6 0 1 3 x A x + = ≥ − 30) 1 2 0 2 3 x B x − = − ≤ − 31) 3 2 0 7 2 x A x + = ≤ − 6) 1 2 1 0 3 4 x B x − = − ≥ − 7) 2 ( 2)(3 7 4) 0 (3 5 ) x x x A x x + + + = ≤ − 8) 3 2 3 2 2 0 4 9 x x x B x x − + + − = ≥ − 9) 3 0 2 1 x x + ≤ + 10) 2 1 0 3 2 x x − − ≥ − 11) 2 ( 3) 0 ( 5)(1 ) x x x x − ≥ − − 12) (3 )( 2) 0 1 x x x − − ≤ + 13) 5 6 1 1x x ≤ − + 19) 4 1 1 3x x ≥ − − 20) (2 7)(1 ) 0 ( 6)(3 ) x x x x + − < + − 21) 6 3 0 ( 3 1)( 2) x x x x − ≤ − + − 22) 2 (2 1)(3 ) 0 5 4 x x x x − − < − + 23) 2 ( 3)(2 3 ) 0 3 2 5 x x x x − − < − − 24) 4 7 2 2 1x x < − + 25) 2 1 3 0 3 2 1x x x + > − + − 26) 6 0 1 3 x A x + = ≥ − 32) 1 0 2 4 x B x − =− ≤ − 33) 3 2 0 8 2 x A x − + = ≤ − 34) 1 2 1 0 3 4 x B x + = + ≥ − 35) 2 ( 2)(3 4) 0 (3 ) x x x A x x + + − = ≤ − 36) ( 3)(2 4) 0 (4 ) x x x − − > − 37) ( 4) 0 (2 1)(2 3 ) x x x x − − < − −  Bài toán 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng: P(x) = 0, P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0, trong đó P(x) là biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất. 1. Phương pháp: Phương pháp chia khoảng Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình, bất phương trình Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó chia trục số thành những khoảng sao cho trong mỗi khoảng đó các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu xác định Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình trên mỗi khoảng đã chia (Lưu ý: lấy giao của kết quả với khoảng đang xét) Bước 4: Kết luận nghiệm (lấy hợp các tập nghiệm trên từng khoảng vừa xét) Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Huyền 3 2. Bài tập: Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1) 4 1 2 2 2) 2 3 4 3) 2 5 1 0 4) 6 2 4 3 5)3 1 2 3 7 6) 5 5 2 7) 4 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − > − − + > − − − + ≤ − − − ≥ − − − + − ≤ − − − − ≥ − − ≤ − 8) 2 2 2 3 2x x x− + − > − 2 9) 0 3 1 3 10) 1 4 2 1 11) 3 2 x x x x x x x x − > + − ≤ − + = − − III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương pháp: Trên mp tọa độ Oxy vẽ đường thẳng d: ax + b = c Lấy điểm 0 0 0 ( , )M x y ∉ d Tính 0 0 ax by+ rồi so sánh với c Kết luận: Nếu 0 0 ax by+ <c thì nửa mp bờ d chứa 0 0 0 ( , )M x y là miền nghiệm của ax + b ≤ c Nếu 0 0 ax by+ >c thì nửa mp bờ d không chứa 0 0 0 ( , )M x y là miền nghiệm của ax + b ≤ c Bài tập: Bài 1: Tìm miền nghiệm của các bất phương trình sau: 1) 3x + 4y - 7 > 0 2) 3x + 4y - 2 > 0 3) x + y < 0 4) x + 3y < 8 5) y – 5x > 0 6) 2y + 3x > 0 Bài 2: Tìm miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: 3 4 0 1) 1 0 4 1 2) 2 5 0 x y y x x y x y + − >   + − <  − >   + >  4 5 0 0 3) 2 3 0 3 0 x y y x x y x + + >   − >   − <   + >  IV. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Phương pháp giải: Cho tam thức bậc hai: 2 ( ) ax ( 0)f x bx c a= + + ≠ Có 2 4b ac∆ = − Nếu 0 ì (x)>0, x R th a f∆ < ∀ ∈ Nếu 0 ì (x)>0, x ; ( ) 0 2 2 b b th a f f a a ∆ = ∀ ≠ − − = Nếu 0 ∆ > thì 1 2 ( ) 0, ( ) 0, ( ; ) ( ; ) a f x x R a f x x x x < ∀ ∈ > ∀ ∈ −∞ ∪ +∞ Ta có bảng xét dấu sau: Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Huyền 4 . dụng của định lí về dấu nhị thức bậc nhất trong giải tốn  Bài tốn 1: Giải bất phương trình tích Dạng P(x) > 0, P(x) ≥ 0, P(x) < 0, P(x) ≤ 0, trong đó P(x) là tích của các nhị thức bậc. ≤ 0, trong đó P(x) là biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối của các nhị thức bậc nhất. 1. Phương pháp: Phương pháp chia khoảng Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương. thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Từ đó chia trục số thành những khoảng sao cho trong mỗi khoảng đó các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu xác định Bước 3: Giải phương trình,