Trang -1 Chơng 6 ứng dụng phép tính vi phân Trong hình học 6.1 Hàm véc tơ 1. Định nghĩa Cho T là một khoảng trong R. ánh xạ tT r (t)R 2 . gọi là một hàm véc tơ biến số thực xác định trên T. Ký hiệu: r = )(tr Nếu x(t), y(t), z(t) là ba thành phần của r (t) và i , j là các véc tơ đơn vị của các trục toạ độ tơng ứng ta có: r =x(t) i +y(t) j +z(t) k Đặt =OM r , khi đó M có các toạ độ là (x(t),y(t),z(t)). Quỹ tích của M khi t biến thiên trên T là một đờng cong L trong R 3 và gọi là tốc đồ của r . Nh vậy ta có thể xem đờng cong L với phơng trình tham số: L= )( )( )( tz ty tx (tT) là tốc đồ của hàm véc tơ r = r (t), tT. Ví dụ 6.1: Hàm véc tơ: r (t)= r =t i +t 2 j , t[-1,1] Có tôc đồ là đờng cong: L= = = 2 ty tx t[-1,1] Đó chính là cung Parabol y=x 2 , x[-1,1]. 2. Giới hạn và đạo hàm của hàm véc tơ Trang -2 a. Định nghĩa Ta gọi véc tơ cố đinh a là giới hạn của hàm véc tơ r (t) khi t dần đến t 0 nếu khi tt 0 nếu môđun của r (t) - a 0, ký hiệu: = atr tt )(lim 0 Nếu r (t) xác định tại t 0 và = )(lim 0 tr tt r (t 0 ) thì ta nói r (t) liên tục tai t 0 . Cho t số gia t = t - t 0 , gọi )()( 00 trttrr += là số gia tơng ứng của hàm véc tơ tai t 0 . Hiền nhiên r (t) liên tục tai t 0 khi và chỉ khi: = )(lim 0 tr t (véc tơ không). Cho r (t) xác định tại t 0 và lân cận của t 0 . Nếu tồn tại giới hạn: )('lim 0 0 tr t r t = thì giới hạn ấy đợc gọi là véc tơ đạo hàm của hàm )(tr tại t=t 0 . Từ r =x(t) i +y(t) j +z(t) k ta có: += jtyitxtr )()()( + z(t) k Nên: + + = k t tz j t ty i t tx t tr ttt )()()( lim )( lim 0 0 =x(t 0 ) i + y(t 0 ) j +z(t) k Vậy +== jtyitx dt rd tr )(')(')(' +z(t) k b. ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm véc tơ Trang -3 (i) Trên tốc đồ ta có: 000 )( OMrtr == OMrtr == )( MMrrr 00 == Véc tơ t r nằm theo phơng dây cung M 0 M. Khi 0 tt , M dần đến M 0 theo đờng cong, phơng của dây cung M 0 M dần đến trùng với phơng của tiếp tuyến M 0 T tại tiếp điểm M 0 nếu tiếp tuyến này tồn tại. Nh vậy véc tơ đạo hàm )(' 0 tr tại t 0 nằm theo tiếp tuyến với tốc đồ của hàm véc tơ )(tr tại M 0 ứng với t=t 0 . Vì )(' 0 tr đợc xác định khi biết hớng và độ dài của nó, nên khác với đạo hàm của hàm biến số thực, y=f(x), đạo hàm y=f(x 0 ) chỉ cho biết phơng của tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ,y 0 ). (ii) Xét một điểm chuyển động M có toạ độ là những hàm khả vi của t: x=x(t), y=y(t) Nếu đặt OMtr = )( thì tốc đồ L của )(tr chính là quỹ đạo chuyển động của điểm M. Gọi 00 )( OMtr = , khi đó với 0 ttt = ta có: MMOMOMtrtrtr 000 )()()( === Do đó: == = v dt rd MM MM t r tt 0 0 00 limlim là véc tơ vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 0 . c. Các công thức tính đạo hàm của hàm véc tơ Trang -4 Giả sử p , q , r là những hàm véc tơ trong R 2 hoặc R 3 cùng một biến t, khi bằng định nghĩa ta dẽ dàng chứng minh đợc các công thức sau: 1. dt rd dt qd dt pd rqp dt d +=+ )( 2. dt d p dt pd p dt d +=)( ( là hàm số khả vi của t) 3. dt pd q dt qd pqp dt d += . 4. dt pd q dt qd pqp dt d += 5. + + = dt rd qpr dt qd prq dt pd rqp dt d ,,,,,,,, 6. Nếu p có độ dì không đổi nhng hớng thay đổi, nh vậy tốc đồ của p là một đờng cong nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính p. Do p . p =p 2 nên lấy đạo hàm hai vế ta đợc: 2 p . 0= dt pd Chứng tỏ hai véc tơ p và dt pd trực giao với nhau. 7. Nếu p có phơng không đổi, nhng có độ dài thay đổi, khi đó: p =p(t). 0 p Trang -5 0 p là véc tơ đơn vị không đổi, còn p(t) là hàm của t. Khi đó: =+= 0 0 0 )( )( )( p dt tdp dt pd tpp dt tdp dt pd Nh vậy đạo hàm đồng phơng với véc tơ. 6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng 1. Vi phân cung Trong mặt phẳng xét đờng cong L. Gọi ds là vi phân cung, khi đó: (i) Nếu L có phơng trình trong toạ độ Đềcac y=y(x) thì: dxxyds )('1 2 += (ii) Nếu L có phơng trình tham số: = = )( )( tyy txx t[t 0 ,T] dtyxds 22 '' += (iii) Nếu L là đờng cong trong toạ độ cực và có phơng trình: r=r(). Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức: = = sin)( cos)( ry rx xem đó là phơng trình tham số của L theo . Ta có: sincos')(' rrx = cossin')(' rry += Do đó: 2222 ')(')(' rryx +=+ Nên drrds 22 ' += 2. Độ cong a. Định nghĩa Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm. Trên L chọn một chiều làm chiều dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của L, gọi là tiếp tuyến dơng. Trang -6 Nếu tại mỗi điểm trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi tiếp điểm di chuyển một đoạn = MMs 0 trên đờng cong, tiếp tuyến dơng sẽ quay một góc nào đấy. Đờng cong L trên cung MM 0 càng cong nếu góc càng lớn. Ngời ta gọi tỷ số s , trong đó là góc giữa hai tiếp tuyến dơng tại hai mút của cung MM 0 , s là độ dài của cung đó, là độ cong trung bình của đờng cong trên cung MM 0 . Ký hiệu: C tb = s Hiển nhiên , s chỉ phụ thuộc đờng cong mà không phụ thuộc hệ toạ độ biểu diễn đờng cng L. Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong tại một điểm. Định nghĩa: Độ cong tại điểm M 0 trên đờng cong L là giới hạn, nếu có, của độ cong trung bình trên cung MM 0 khi M dần đến M 0 trên L. Ký hiệu độ cong tại M 0 là C(M 0 ) ta có: C(M 0 )= ds d s C s tb MM = = 0 limlim 0 b. Công thức tính độ cong Nếu gọi là góc của tiếp tuyến tại M 0 với đờng cong L, khi đó: dx dy ytg == ' Hay =arctg y 2 '1 " y y dx d + = Trang -7 (i) Nếu đờng cong cho bởi phơng trình y=y(x), từ biểu thức vi phân cung dxxyds )('1 2 += hay 2 '1 y dx ds += nên: 2 3 2 )'1( " y y ds dx dx d ds d + == Vậy: C(M)= 2 3 2 )'1( " y y + (1) (ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham số: = = )( )( tyy txx Do: t t x y dx dy ' ' = nên ( ) = + =+ 32 2 2 22 2 ' ''"' ' '' )'1( t tttt t tt x xyyx dx yd x yx y (2) Thay vào (1) ta đợc biểu thức phụ thuộc t: C(M) = 2 3 22 )''( "'"' yx xyyx + (3) (iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực: r=r() Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức: = = sin)( cos)( ry rx xem đó là phơng trình tham số của L theo . Ta có: sincos')(' rrx = cossin')(' rry += Trang -8 cossin'2cos")(" rrrx = sincos'2sin")(" rrry += Do += +=+ "'2"'"' ''' 22 2222 rrrrxyyx rryx (4) Thay vào (3) đợc biểu thức phụ thuộc : C(M) = 2 3 22 22 )'( "'2 rr rrrr + + (5) Ví dụ 6.2: a. Tính độ cong của đờng Parabol y=a x 2 tại góc O. Do y=2ax, y=2a nên tại x=0 ta có: C= 2 3 2 )'1( " y y + =2a Nh vậy nếu a càng lớn thì đỉnh của Parabol càng cong. b. Tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng Cycloit = = )cos1( )sin( tay ttax (a>0) Ta có: x=a(1 - cos t),y=a sint x=a sin t, y=a cos t Vậy C= 2 3 22 )''( "'"' yx xyyx + = 2 3 )cos1(.22 1cos ta t = 2 sin4 1 t a c. Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôt: r=a(1+cos) Ta có: r=a(1+cos) tại =0, r=2a r=- a sin tại =0, r=0 r=- a cos tại =0, r=-a Do đó: Trang -9 C= 2 3 22 22 )'( "'2 rr rrrr + + = a a aa 4 3 8 24 3 22 = + 3. Đờng tròn chính khúc và khúc tâm a. Định nghĩa Tại mỗi điểm M của đờng cong L, về phía lõm của đờng cong, trên đờng vuông góc với tiếp tuyến tại M ( ta sẽ gọi là pháp tuyến của L tại M), lấy điểm I sao cho: MI= )( 1 MC . Đ- ờng tròn tâm I, bán kính R= )( 1 MC đợc gọi là đờng tròn chính khúc của L tại M. Tâm I của đờng tròn chính khúc đợc gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính R= )( 1 MC của đờng tròn chính khúc gọi là khúc bán kính. Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L tại M và tại M chúng có cùng độ cong C(M)= R 1 . Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tai M. b. Toạ độ của khúc tâm Giả sử tại M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y). Ta cần tìm biểu thức của (X,Y) qua (x,y). Giả sử L có phơng trình y=f(x). Gọi (,) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M, phơng trình pháp tuyến của L tại M là ( ) x y y = ' 1 Vì khúc tâm I(X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta có: Trang -10 ( ) xX y yY = ' 1 (6) Vì MI=R nên: (X-x) 2 +(Y-y) 2 =R 2 (7) Từ hai phơng trình trên suy ra: " )'1(' 2 y yy xX + = , " '1 2 y y yY + = Nếu y>0 đờng L lõm nên Y>y, vậy: " '1 2 y y yY + += Nếu y<0 đờng L lồi nên Y<y, vậy: " '1 2 y y yY + = = " '1 2 y y y + + Thay Y vào (6) ta đợc: " )'1(' 2 y yy xX + = Vậy toạ độ (X,Y) của khúc tâm I là: + += + = " '1 " )'1(' 2 2 y y yY y yy xX (8) Nếu L có phơng trình tham số: = = )( )( tyy txx Thay các biểu thức (2) vò (8) đợc toạ độ của khúc tâm I là: + += + = "'"' )''(' "'"' )''(' 22 22 xyyx yxx yY xyyx yxy xX (9) [...]... theo cung ấy khúc bán kính biến thiên đơn điệu Nói các khác, nếu gọi là số gia của một cung trên , và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính trên thân khai của nó = R thì: 6.3 Hình học vi phân trong không gian 1 đờng cong trong không gian Tơng tụ nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không gian đều có thể xem nh tốc đồ của hàm véc tơ: OM = r (t ) = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k Nh vậy L có... t a (c2=a2 b2) 2 y = c sin 3 t b Trang -13 Ta thừa nhận các tính chất sau đay của đờng túc bế và thân khai Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x,y) của đờng cong L là tiếp tuyến của đờng túc bế của L tại khuc tâm I ứng với M Nh vậy túc bế của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với họ đơng pháp tuyến của L tại các khúc tâm Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng bằng trị số tuyệt đối của... túc bế của đờng cong L là quỹ tích, nếu có, của các khúc tâm của đờng đó Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có phơng trình trong toạ độ Đề Các, phơng trình tham số và phơng trình trong toạ độ cực Ví dụ 6.5: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bế của Elip Trang -12 x = a cos t (a>b>0) y = b sin t Ta có: x=- a sin t, y= b cos t, x= - a... tốc không đổi k Quỹ đạo này đợc gọi là đờng đinh ốc trụ xoay, Hình chiếu vông góc trên mặt phẳng Oxy của mọi điểm M(x,y,z) trên quỹ đạo đều nằm trên đờng tròn tâm O, bán kính a thuộc mặt phẳng ấy Gọi p là hình chiếu của M(x,y,z) trên Oxy ta có: r = OM = OP + PM Trang -14 Chiếu véc tơ đó xuống các trục toạ độ ta đơc: x=a cos, y=a sin, z=kt Trong đó t là thời gian chuyển động của điểm M tỷ lệ với góc...Trang -11 Nếu L có phơng trình trong toạ độ cực: r=r() thay (4) vào (9) đợc toạ độ của khúc tâm I là: r 2 + r '2 X = r cos 2 (r ' sin + r cos ) r + 2r ' 2 rr ' 2 2 Y = r sin + r + r ' (r ' cos r sin ) r 2 + 2r ' 2 rr ' (10) Ví dụ 6.3: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(1,1) và vi t phơng trình đờng tròn chính khúc tại điểm đó y Từ xy=1, đạo hàm... x = a cos y = a sin k z = = b 2 Độ cong Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là giới hạn, nếu có: d lim = C(M0)= Mlim C tb = s 0 M 0 s ds Nếu L có phơng trình tham số: x = x (t ) y = y (t ) z = z (t ) Khi đó: Trang -15 2 C(M)= 2 x' y ' y' z' z ' x' + + x" y" y" z" z" x" 2 3 2 ( x' + y ' + z ' ) Ví dụ 6.7: tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng đinh ốc Sử dung phơng trình . đồng phơng với véc tơ. 6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng 1. Vi phân cung Trong mặt phẳng xét đờng cong L. Gọi ds là vi phân cung, khi đó: (i) Nếu L có phơng trình trong toạ độ Đềcac y=y(x). Trang -1 Chơng 6 ứng dụng phép tính vi phân Trong hình học 6.1 Hàm véc tơ 1. Định nghĩa Cho T là một khoảng trong R. ánh xạ tT r (t)R 2 . gọi là một hàm véc. số gia tơng ứng của khúc bán kính trên thân khai của nó thì: R= 6.3 Hình học vi phân trong không gian 1. đờng cong trong không gian Tơng tụ nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không