S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII cấp tỉnh LP 9 thcs NM HC 2009-2010 Mụn Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang Câu 1 (4 im) a) Chứng minh rằng A = (2 n - 1)(2 n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n 2 n + 13 là số chính phơng ? Câu 2 (5 im) a) Giải phơng trình 2 2 2 3 2 2 4 3x x x x + = + b) Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 1 3 11 x y xy x y xy = + = + Câu 3 (3 im) Cho ba số x, y, z thoả mãn: x y z 2010 1 1 1 1 x y z 2010 + + = + + = . Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2007 2007 2009 2009 2011 2011 P x y y z z x= + + + Câu 4 (6 im) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = 2R . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R 1 ) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A, (D; R 2 ) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai đờng tròn (C; R 1 ) và (D; R 2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai M. a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đờng tròn cố định và đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N. c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Câu 5 (2 im) Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2010 2010 2010 x y z x yz y zx z xy x y z + + + + + + + Hết Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. S GIO DC V O TO PH TH CHNH THC HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 THCS NM HC 2009-2010 MễN TON (Hng dn chm thi chớnh thc cú 6 trang) I. Mt s chỳ ý khi chm bi Hng dn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch, khi chm thi giỏm kho cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit v hp logic. Thớ sinh lm bi cỏch khỏc vi Hng dn chm m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im tng ng vi biu im ca Hng dn chm. im bi thi l tng cỏc im thnh phn khụng lm trũn s. II. Đáp án và biểu điểm Câu 1 (4 im) a) Chứng minh rằng A = (2 n - 1)(2 n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n 2 n + 13 là số chính phơng ? P N BIU IM a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên: 2 n 1, 2 n , 2 n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp. 0,5 im Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên (2 n - 1).2 n .(2 n + 1) chia hết cho 3 0,5 im Mặt khác (2 n , 3) = 1 nên ( ) ( ) 2 1 2 1 n n + chia hết cho 3 Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n 0,5 im b) Ta thấy B là số chính phơng 4B là số chính phơng Đặt 4B = k 2 (k N) thì 4B = 4n 2 4n + 52 = k 2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 1,0 im Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có các hệ 2 1 1 (1) 2 1 51 n k n k + = = 2 1 3 (2) 2 1 17 n k n k + = = 2 1 51 (3) 2 1 1 n k n k + = = 2 1 17 (4) 2 1 3 n k n k + = = 0,5 im Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm đợc n = -12, n =-3, n =13, n =4 Vậy các số nguyên cần tìm là n { } 12; 3;4;13 1,0 im Câu 2 (5 im) a) Giải phơng trình 2 2 2 3 2 2 4 3x x x x + = + b) Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 1 3 11 x y xy x y xy = + = + P N BIU IM Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 2 a) Ta có: ( ) 2 2 2 4 3 2 1 1 1x x x + = + nên tập xác định của phơng trình là R 0,5 im Phơng trình đã cho tơng đơng với 2 2 2 4 3 4 2 4 3 3 0x x x x + + + = Đặt 2 2 4 3 1y x x= + thì phơng trình đã cho trở thành 2 4 3 0y y + = 1 3 y y = = (thoả mãn điều kiện) 1,0 im Với y = 1 ta có 2 2 2 4 3 1 2 4 3 1x x x x + = + = x = 1 Với y = 3 ta có 2 2 2 4 3 3 2 4 3 9x x x x + = + = 1 3 x x = = Vậy phơng trình có 3 nghiệm x 1 = 1, x 2 = -1, x 3 =3. 1,0 im b) Hệ đã cho tơng đơng với ( ) 2 2 2 2 11 11 3 11 x xy y x xy y + = + = ( ) 2 2 2 2 2 2 1 11 3 x xy y x xy y x xy y + = + = + ( ) ( ) 2 2 1 2 5 3 0 x xy y x y x y + = + = (*) 1,0 im Từ hệ (*) ta suy ra 2 2 1 2 0 x xy y x y + = + = (I) hoặc 2 2 1 5 3 0 x xy y x y + = = (II) 0,5 im Giải hệ (I) ta tìm đợc (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1) Hệ (II) vô nghiệm Vặy hệ có nghiệm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1). 1,0 im Câu 3 (3 im) Cho ba số x, y, z thoả mãn: x y z 2010 1 1 1 1 x y z 2010 + + = + + = Tính giá trị của biểu thức: ( ) ( ) ( ) 2007 2007 2009 2009 2011 2011 P x y y z z x= + + + Đáp án biểu điểm T giả thiết suy ra x, y, z khác 0 và 1 1 1 1 x y z x y z + + = + + 0,5 im 1 1 1 1 0 x y z x y z + + = ữ ữ + + ( ) x y x y 0 xy z x y z + + + = + + 0,5 điểm Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 3 ( ) 2 1 1 x y 0 xy xz yz z + + = ữ + + 0,5 im ( ) ( ) 2 x y xz yz z xy 0 + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 x y xz z yz xy 0 + + + + = 0,5 im ( ) ( ) ( ) x y z z x y z x 0+ + + + = ( ) ( ) ( ) x y y z z x 0+ + + = 0,5 im 2007 2007 2007 2007 2009 2009 2009 2009 2011 2011 2011 2011 0 0 0 0 0 0 x y x y x y x y z y y z y z y z x z z x z x z x + = = = + = + = = = + = + = = = + = nên P = 0 0,5 im Câu 4 (6 im) Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = 2R . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R 1 ) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A, (D; R 2 ) là đờng tròn đi qua P và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Hai đờng tròn (C; R 1 ) và (D; R 2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai M. a) Trong trờng hợp P không trùng với trung điểm dâyAB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn. b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên cung tròn cố định và đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm N cố định. c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất? Đáp án biểu điểm Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 4 N K H M D C O A B P a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB lần lợt cân tại C, O nên CPA = CAP = OBP do đó CP//OD (1) Tơng tự DBP, OAB lần lợt cân tại D, O nên DPB = DBP = OAB nên OD//CP (2). Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ODPC là hình bình hành 0,5 im Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP Theo tính chất 2 đờng tròn cắt nhau ta có CD MP H là trung điểm MP Vậy HK//OM, do đó CD//OM 0,5 im Ta phải xét 2 trờng hợp AP < BP và AP > BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trờng hợp giả sử AP < BP Vì tứ giác CDOM là hình bình hành nên OC = DP, DP = DM = R 2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân do đó 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đờng tròn 0,5 im b) Xét tam giác AOB có : 2 2 2 2 2OA OB R AB+ = = nên tam giác AOB vuông cân tại O Vì 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc 1 đờng tròn (kể cả M trùng O) nên COB = CMD (1) 0,5 im Xét MAB và MCD có 0,5 im Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 5 MAB = MCD ( cùng bằng 1 2 sđ ằ MP của (C)) MBD = MDC ( cùng bằng 1 2 sđ ằ MP của D)) nên MAB đồng dạng với MCD (g.g) Vì MAB đồng dạng với MCD suy ra AMB = COD hay AMB = AOB = 0 90 Do AB cố định nên điểm M thuộc đờng tròn tâm I đờng kính AB 0,5 im Ta có 0 90ACP BDP AOB = = = nên AMP = 1 2 ACP = 0 45 (góc nội tiếp và góc ở tâm của (C)) BMP = 1 2 BDP = 0 45 (góc nội tiếp và góc ở tâm của (D)) Do đó MP là phân giác AMB 0,5 im Mà AMB = AOB =90 0 nên M đờng tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB 0,5 im Giả sử MP cắt đờng tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định 0,5 im c) MAP và BNP có MPA = BPN (đđ), AMP = PBN (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) nên MAP đồng dạng với BNP (g.g) 0,5 im Do đó 2 2 2 . . 2 4 2 PA PM PA PB AB R PM PN PA PB PN PB + = = = = ữ (không đổi) Vậy PM.PN lớn nhất bằng 2 2 R khi PA = PB hay P là trung điểm dây AB 0,5 im Vì tam giác AMB vuông tại M nên ( ) 2 2 2 2 1 1 . 2 4 4 2 AMB AB R S AM BM AM BM= + = = Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng 2 2 R khi PA = PB hay P là trung điểm dây AB 0,5 im CU 5 (2 im) Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2010 2010 2010 x y z x yz y zx z xy x y z + + + + + + + Đáp án biểu điểm Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có ( ) 2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z + + + + + + (*) Dấu = xảy ra a b c x y z = = Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có ( ) 2 2 2 a b a b x y x y + + + (**) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a y b x x y xy a b+ + + ( ) 2 0bx ay (luôn đúng) 0,5 im Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 6 Dấu = xảy ra a b x y = áp dụng bất đẳng thức (**) ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b a b c a b c c x y z x y z x y z + + + + + + + + + Dấu = xảy ra a b c x y z = = áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 2 2 2010 2010 2010 x y z VT x yz y zx z xy = + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2010 2010 2010 x y z x x yz y y zx z z xy = + + + + + ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2010 x y z x y z xyz x y z + + + + + + + (1) Chú ý: ( ) 2 2010x x yz + = ( ) 2 1340 0x x xy zx+ + + > , ( ) 2 2010 0y y zx + > và ( ) 2 2010 0z z xy + > 0,5 im Chứng minh: ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + + ( ) ( ) ( ) 2 3x y z x y z xy yz zx = + + + + + + (2) Do đó: ( ) 3 3 3 3 2010x y z xyz x y z+ + + + + = ( ) ( ) ( ) 2 3 2010x y z x y z xy yz zx = + + + + + + + = ( ) 3 x y z+ + (3) 0,5 im Từ (1) và (3) ta suy ra ( ) ( ) 2 3 1 x y z VT x y z x y z + + = + + + + Dấu = xảy ra x = y = z = 2010 3 . 0,5 im Ht Hng dn chm thi mụn Toỏn nm hc 2009-2010 7 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2009-2010 8 . S GIO DC V O TO PH TH K THI CHN HC SINH GII cấp tỉnh LP 9 thcs NM HC 2009-2010 Mụn Toỏn Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang Câu 1 (4 im) a) Chứng. CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH LP 9 THCS NM HC 2009-2010 MễN TON (Hng dn chm thi chớnh thc cú 6 trang) I. Mt s chỳ ý khi chm bi Hng dn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mt cỏch, khi chm thi. x, y, z tho mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2010 2010 2010 x y z x yz y zx z xy x y z + + + + + + + Hết Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán bộ coi thi không