S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ CĂN THỨC Nguyễn Văn Trung Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong Điền Trong những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN chúng ta thường thấy có một bài toán tính phân mà phần lớn là tính tích phân của các hàm số căn thức, để giúp các em học sinh lớp 12 ôn tập tốt các bài toán tích phân của các hàm số căn thức một cách hệ thống, bản thân đã mạnh dạn viết một cách hệ thống các phương pháp tính tích phân của các hàm số căn thức, một phần nào đó nhằm giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN năm học 2008 - 2009. Dạng 1: ∫ ++ cbxax dx 2 Ví dụ : 1.Tính tích phân ∫ − ++ = 0 1 2 4xx dx I Đặt 4 2 +++= xxxt ∫ + =⇒ 2 1 12 2 t dt I Tổng quát : Tính tích phân 0; 2 > ++ = ∫ a cbxax dx I Đặt cbxaxxat +++= 2 2.Tính tích phân ∫∫ −− = ++− = 2 1 2 2 1 2 )1(34163 x dx xx dx I Đặt       −∈=− 2 ; 2 ,sin2)1(3 ππ ttx Tổng quát : Tính tích phân 222 2 0; numcbxax a cbxax dx I −=++ < ++ = ∫ Đặt       −∈= 2 ; 2 ;sin. ππ ttmun NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 Dạng 2: ∫ ++ + cbxax dxnmx 2 )( Ví dụ : Tính tích phân ∫ +− + = 1 0 2 1 )34( xx dxx I (x 2 – x + 1)’ = 2x – 1 4x + 3 = 2(2x – 1) + 5 ∫∫ +− + +− − =⇒ 1 0 2 1 0 2 1 5 1 )12( 2 xx dx xx dxx I Tổng quát : Tính tích phân ∫ ++ + = cbxax dxnmx I 2 )( TS = A(2ax + b) + B ∫∫ ++ + ++ + =⇒ cbxax dx B cbxax dxbax AI 22 )2( Dạng 3: ∫ ++ 3 ))(( dcxbax dx Ví dụ : Tính tích phân ∫ ∫ + + + = ++ = 3 0 2 3 0 3 1 32 )1( )1)(32( x x x dx xx dx I Đặt : 1 32 + + = x x t Tổng quát : Tính tích phân ( ) ( ) ∫ − ++ n knk dcxbax dx 2 k n dcx bax dcxMS )()( 2 + + += Đặt : n dcx bax t + + = Dạng 4: dx dcx bax ∫ + + Ví dụ : Tính tích phân ∫ + − = 1 0 1 3 x x I NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 2 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 Đặt : dttdx x x xt 2 42 1 3 1 −= + − ⇒+= Tổng quát : Tính tích phân dx dcx bax ∫ + + Đặt : dcxt dcx bax t += + + = ; Dạng 5: dx axx dx ∫ + 2 Ví dụ : Tính các tích phân : ∫∫ − = − = 6 2 22 6 2 2 33 xx xdx xx dx I J = ∫ + 32 5 2 4xx dx (ĐT TSĐH KA 2003) Giải : Đặt : tdtxdx xdxtdt txxt xt =⇒ =⇒ +=⇒−=⇒ −= 22 33 3 2222 2 Do đó : ∫∫ + = + = 3 1 2 3 1 2 3)3( t dt tt tdt I Tổng quát : dxaxx axx dx ∫∫ + + 2 2 ; Đặt : axt += 2 Dạng 6 : dx cbax xP ∫ ++ )( Ví dụ : Tính các tích phân sau : dx x x I ∫ −+ = 2 1 11 (ĐTĐH KA 2004) dx x x J ∫ ++ − = 1 0 132 34 Tổng quát : dx cbax xP ∫ ++ )( NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 Đặt cbaxt ++= Ta được : 0≥−=+ ctbax dtct a dx bcctt a x ccttbax )22( 1 )2( 1 ;2 22 22 −= −+−= +−=+ MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ + = 3 0 2 16x dx I 2) ∫ + = 4 0 2 9x dx J Bài 2 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ +− = 1 0 2 1xx dx I 2) ∫ +−− = 1 0 2 32xx dx J Bài 3 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ +− − = 3 2 2 54 )63( xx dxx I 2) ∫ − −− − = 0 1 2 1 )82( xx dxx J Bài 4 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ − ++ = 0 2 3 42 )1()12( xx dx I 2) ∫ ++ = 2 0 3 )1)(14( xx dx J Bài 5 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ + = 8 3 1 3 x xdx I 2) ∫ + = 4 0 1x dx J NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 4 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 3) dx xx x K ∫ + + = 4 1 1 4) ∫ + = 2 1 12xx dx L Bài 5 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ + = 2 1 2 1 xx dx I 2) dx x x J ∫ + = 3 1 2 2 1 3) dxxxK 2 1 0 2 1−= ∫ 4) ∫ − = 22 2 2 2xx dx L Bài 6 : Tính các tích phân sau : 1) ∫ ++ = 7 2 12 x dx I 2) ∫ + = 1 0 12x xdx J 3) ∫ +++ = 6 2 1412 xx dx K 4) ∫ −− = 10 5 12 xx dx L Trên đây là một số dạng toán về các tích phân của các hàm số căn thức thường gặp trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN môn toán, người viết đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy, một số dạng toán này người viết đã đem ra giảng dạy ở các lớp 12 trường THPT Phong Điền trong những năm gần đây, một phần nào đó đã giúp cho các em học sinh ôn tập về tích phân của các hàm số căn thức một cách có hệ thống và đạt kết quả cao trong kì thi Đại học, Cao đẳng và THCN. NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 LỜI CẢM ƠN Người viết xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Phong Điền đã quan tâm giúp đỡ, về mặt vật chất lẫn tinh thần, cảm ơn các ý kiến đóng góp hết sức thiết thực của quí thầy cô giáo trong tổ toán, để bài viết được hoàn thành. Phong Điền, ngày 20 tháng 05 năm 2009 Người viết sáng kiến kinh nghiệm NGUYỄN VĂN TRUNG NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 6 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn 7 . có một bài toán tính phân mà phần lớn là tính tích phân của các hàm số căn thức, để giúp các em học sinh lớp 12 ôn tập tốt các bài toán tích phân của các hàm số căn thức một cách hệ thống, bản. một cách hệ thống, bản thân đã mạnh dạn viết một cách hệ thống các phương pháp tính tích phân của các hàm số căn thức, một phần nào đó nhằm giúp các em học sinh đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển. nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ CĂN THỨC Nguyễn Văn Trung Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong Điền Trong những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh