Bài 4.b/ Công thức tính sai số phương pháp: |R n (x)| = | f (n+1) (c).(x-x 0 ) n+1 )/(n+1)! | với x 0 ≤ c ≤x Ta có e = f(1) với f(x) = e x . Nếu dùng công thức xấp xỉ: e ~ 1+x/1! +x 2 /2! + +x n /n!, với x=1 và x 0 =0 thì sai số mắc phải là: ∆ e1 = |R n (1)| = | e c /(n+1)! | với 0≤ c ≤1. Do đó |R n (1)| < 3/(n+1)!. Để đạt độ chính xác với 4 chữ số lẻ thập phân đáng tin ∆ e1 ≤ 0.5.10 -4 . Vậy chỉ cần xác định n sao cho: 3/(n+1)! < 0.5.10 -4 . Thử trực tiếp thấy chỉ cần lấy n= 8. Khi đó ∆ e1 = 8.10 -6 . Tính trực tiếp từng số hạng của tổng cùng sai số tính toán do quy tròn số. Có: 1/1! = 1 Θ 1 = 0 1/5!=0.00833 Θ 5 = 3.10 -6 1/2! = 0.5 Θ 2 = 0 1/6!=0.00139 Θ 6 = 1.10 -6 1/3!= 0.16667 Θ 3 = 4.10 -6 1/7!=0.00020 Θ 7 = 2.10 -6 1/4!=0.04167 Θ 4 = 4.10 -6 1/8!=0.00002 Θ 8 = 5.10 -6 => ∆ e2 = Θ 1 +Θ 2 +Θ 3 +Θ 4 +Θ 5 +Θ 6 +Θ 7+ Θ 8 = 19.10 -6 . => ∆ e = ∆ e1 +∆ e2 = 19.10 -6 +8.10 -6 = 2.7.10 -5 . => e ~ 1+1+0.5+0.16667+0.04167+0.00833+0.00139+0.00020+0.00002 = = 2.71828. Có thể viết: e = 2.71828 ± 2.7.10 -5 , làm tròn tiếp đến 4 chữ số lẻ thập phân: e = 2.7183 ± (2.10 -5 +2.7.10 -5 ) = 2.7183 ± 0.47.10 -4 . Kết quả này có sai số tổng hợp = 0.47.10 -4 < 0.5.10 -4 nên thỏa mãn bốn chữ số lẻ thập phân là đáng tin. Bài 5: 1. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình: Đặt f (x)= x-sinx-0.25. Có f’(x)=1-cosx, mà -1≤ cosx≤ 1 hay 0≤ 1-cosx≤ 2, => 0<=f’(x)<=2. Hàm cosx là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn: [-π; π] như sau: x -π 0 +π f’(x) 2 + 0 + 2 f (x) -0.25 π-0.25 -π-0.25 -0.25 Có f (π/4) = π/4-√2/2-0.25 ~ -0.1717< 0 f (π/2)= π/2-1-0.25 ~ 0.3208 > 0 => f (π/4).f (π/2)< 0 Vậy một khoảng phân ly nghiệm của phương trình là: [π/4;π/2] 2. Chọn hàm lặp: Từ phương trình đầu => x= sinx+0.25. Chọn φ(x)= sinx+ 0.25 thì x= φ(x) và φ’(x)= cosx. Trong đoạn [π/4;π/2] có 0≤ φ’(x)≤ √2/2 = q<1, nên phương pháp lặp hội tụ. 1 Do φ’(x)≥0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x 0 = π/4. Tóm lại: x 0 = π/4 x n = φ(x n-1 ) = sin(x n-1 )+ 0.25. Công thức tính sai số: |x-x n | ≤ q/(1-q). |x n -x n-1 | = 1/(√2-1). |x n -x n-1 | . Quá trình tính cho ta kết quả với hai chữ số lẻ thập phân đáng tin là: x n |x-x n | x 1 = 0.957106781 |x-x 1 | ≤ 0.414541273 x 2 = 1.067528823 |x-x 2 | ≤ 0.266582391 x 3 = 1.126011355 |x-x 3 | ≤ 0.141189322 x 4 = 1.152703205 |x-x 4 | ≤ 0.064439826 x 5 = 1.163864829 |x-x 5 | ≤ 0.026946544 x 6 = 1.168339637 |x-x 6 | ≤ 0.010803141 x 7 = 1.170101535 |x-x 7 | ≤ 0.004253599 Quy tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết: x-1.17 = x- x 7 + x 7 - 1.17 |x-1.17| ≤ |x-x 7 | + |x 7 -1.17| = 0.004253599 + 0.000101535 |x-1.17| ≤ 0.004355134 Có thể viết: |x-1.17| ≤ 0.4.10 -2 < 0.5.10 -2 => cả 2 chữ số lẻ thập phân trong kết quả này là đáng tin. Vậy có: x = 1.17 ± 0.004. Bài 6: 1. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình: Đặt f (x)= 1.8x 2 – sin10x. Có f’(x)= 3.6x – 10cos10x. f’’(x)= 3.6x + 10sin10x. Có hàm số y= 1.8x 2 đồng biến trong khoảng (π/20; π/10) còn Hàm số y = sin10x nghịch biến trong khoảng này và ta có: f (π/20)= 1.8π 2 /400 -1 ~ -0.955< 0, f (π/10)= 1.8π 2 /100 ~ 0.178> 0, Hay f (π/20).f (π/10) < 0 Vậy [π/20; π/10] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình. 2. Quá trình tính: Trên đoạn [π/20; π/10] có f’’(x)> 0 do đó để phương pháp hội tụ thì ta chọn x 0 = π/10 vì khi đó f(x 0 )> 0 cùng dấu với f’’(x). Ta có công thức lặp: 2 x 0 = π/10. x n = x n-1 - f(x n-1 )/f’(x n-1 ) = x n-1 – (1.8x 2 n-1 – sin10x n-1 )/( 3.6x n-1 – 10cos10x n-1 ) Với sai số tuyệt đối không vượt quá 10 -5 quá trình tính cho ta kết quả như sau: x n |x-x n | x 1 = 0.29820 |x-x 1 | ≤ 1.596.10 -2 x 2 = 0.29810 |x-x 2 | ≤ 1.093.10 -4 x 3 = 0.29810 |x-x 3 | ≤ 9.363.10 -6 Có |x-x 3 | ≤ 9.363.10 -6 < 10 -5 nên quá trình tính dừng lại. Vậy có thể viết nghiệm dương của phương trình là: x= 0.29810 ± 10 -5 . Bài 7: 1. Tìm khoảng phân ly nghiệm: Đặt f (x)= x 3 - x - 1000. Có f’(x)= 3x 2 – 1 f’(x) = 0  x = ±1/√3. Bảng biến thiên: x -∞ -1/√3 1/√3 +∞ f’(x) + 0 - 0 + f(x) CĐ +∞ -∞ CT f(CĐ) = f(-1/√3) = -( 2/3√3 + 1000) < 0. f(CT) = f(1/√3) = 2/3√3 – 1000 < 0. Nhận xét: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số chỉ cắt trục dương Ox tại một điểm trên đoạn [1/√3; +∞]. Xét f(10) = -10 <0, f(11) = 320 >0 => f(10).f(11) < 0 Do đó [10;11] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho. 2. Chọn hàm lặp: Từ phương trình đã cho rút ra được: x= 3 √(x+1000) = φ(x). Có φ’(x) = 1/(3. 3 √(x+1000) 2 ). Trên đoạn [10;11] có: 0 < 1/(3. 3 √1011 2 ) ≤ φ’(x) ≤ 1/(3. 3 √1010 2 ) = q <1 Nên phương pháp lặp hội tụ. Do φ’(x) ≥ 0 nên ta chọn giá trị khởi đầu x 0 = 10 3 Tóm lại: x 0 = 10 x n = φ(x n-1 ) = 3 √(x n-1 +1000) Công thức tính sai số: |x-x n | ≤ q/(1-q). |x n -x n-1 | . Quá trình tính cho ta kết quả với sai số tuyệt đối không vượt quá 10 -5 là: x n |x-x n | x 1 = 10.03322284 |x-x 1 | ≤ 1.1.10 -4 x 2 = 10.03333284 |x-x 2 | ≤ 3.65.10 -7 Quy tròn đến 5 chữ số lẻ thập phân bằng cách viết: x-1.17 = x- x 2 + x 2 - 1.17 |x-1.17| ≤ |x-x 2 | + |x 2 -1.17| = 0.00000284 + 3.65.10 -7 |x-1.17| ≤ 3.205.10 -6 < 10 -5 Vậy x = 10.03333 ± 10 -5 . Bài 10: 1. Lập bảng các tỉ hiệu: Vì ta cần tính ln2 mà hàm đã cho có dạng y=e x  x = lny, nếu đổi vai trò của x và y thì ta có y = lnx, do đó ta đi tìm đa thức nội suy Newton tiến P 5 (y). Trước tiên ta lập bảng tỉ hiệu: y i x i THC1 THC2 THC3 THC4 THC5 1.91554 0.65 0.496376451 2.11700 0.75 2.33965 0.85 2.58571 0.95 2.85765 1.05 3.15819 1.15 Đa thức nội suy Newton tiến thu được là: P 5 (y) = 0.65 + + (y-1.91554).0.496376451 + +(y-1.91554).(y-2.11700).(-0.111388642) + + (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).0.03017511 + + (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(-8.38.10 -3 ) + + (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(y-2.85765).2.87.10 -3 . Thay y=2 vào ta tính được: ln2 ~ P 5 (2) = 0.693147268. Làm tròn đến 6 chữ số thập phân ta được ln2 ~ 0.693147. Bài 11: 1. Công thức hình thang: a. Tính I T : 4 Có h= (b-a)/n = (1-0)/10 =0.1. Do đó có bảng: => I T = 0.1((1+1/2)/2 +1/1.1+1/1.2+1/1.3+ +1/1.9) = 0.693771403. b. Tính | I- I T |: Có f’’(x)= 2/(1+x) 3 , => M= max [0;1] |f’’(x)| = max [0;1] (2/(1+x) 3 ) = f’’(0) = 2. Vậy ta có sai số là: | I- I T | ≤ M.h 2 (b-a)/12 = 2.0.1 2 .(1-0)/12 = 1.67.10 -3 . Nếu làm tròn I T = 0.69377 thì sai số mắc phải là: | I- I T | ≤ 0.0000071403+1.67.10 -3 < 1.68.10 -3 Vậy có thể viết I = 0.69377 ± 1.68.10 -3 2. Công thức Simson: a. Tính I S : h= (b-a)/(2.n) = (1-0)/20 =0.05. Do đó có bảng: Có h => I S = 0.05.[(1+1/2) +4.(1/1.05+1/1.15+ +1/1.95) + 2.(1.1+1.2+ +1.9)]/3 = = 0.693147374 b. Tính | I- I S |: Có f (4) (x)= 24/(1+x) 5 , => M= max [0;1] |f’’(x)| = max [0;1] (24/(1+x) 5 ) = f’’(0) = 24. Vậy ta có sai số là: | I- I T | ≤ M.h 4 (b-a)/180 = 24.0.05 4 .(1-0)/180 = 8.3.10 -7 . Nếu làm tròn I S = 0.69315 thì sai số mắc phải là: | I- I T | ≤ 0.00005-0.000047374+8.3.10 -7 < 3.5.10 -6 Vậy có thể viết I = 0.69315 ± 3.5.10 -6 . *Chú ý * Ở đây tính hoàn toàn bằng máy tính, không làm tròn mỗi kết quả đơn lẻ (như 1/1.05 chẳng hạn) do đó sai số tính toán của kết quả tính được là nhỏ hơn rất nhiều so với đáp án trong sách Giáo khoa. 5 x i 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y i 1 1/1.1 1/1.2 1/1.3 1/1.4 1/1.5 1/1.6 1/1.7 1/1.8 1/1.9 1/2 x i 0 0.05 0.1 0.15 0.2 … 0.80 0.85 0.90 0.95 1 y i 1 1/1.05 1/1.1 1/1.15 1/1.2 … 1/1.8 1/1.85 1/1.9 1/1.95 1/2 . 0.178> 0, Hay f (π/20).f (π/10) < 0 Vậy [π/20; π/10] là một khoảng phân li nghiệm của phương trình. 2. Quá trình tính: Trên đoạn [π/20; π/10] có f’’(x)> 0 do đó để phương pháp hội tụ. 0.69315 ± 3.5.10 -6 . *Chú ý * Ở đây tính hoàn toàn bằng máy tính, không làm tròn mỗi kết quả đơn lẻ (như 1/1.05 chẳng hạn) do đó sai số tính toán của kết quả tính được là nhỏ hơn rất nhiều so. (y-1.91554).(y-2.11700).(y-2.33965).(y-2.58571).(y-2.85765).2.87.10 -3 . Thay y=2 vào ta tính được: ln2 ~ P 5 (2) = 0.693147268. Làm tròn đến 6 chữ số thập phân ta được ln2 ~ 0.693147. Bài 11: 1. Công thức hình thang: a. Tính I T : 4 Có h= (b-a)/n