Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I: Đặt vấn đề. 1. Mục đích phạm vi Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết. Phát huy khả năng suy luận, t duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chơng trình Đại số lớp 8. Góp phần nâng cao chất lợng dạy và học trong trờng phổ thông, đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi. 2. Lý do chọn đề tài. 2.1. Cơ sở lý luận: Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của ngời thày dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này. Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải hãy tìm thêm các kết quả thu đợc sau mỗi bài toán tởng chừng nh đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức. 2.2. Cơ sở thực tiễn Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Đại số ở trờng THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng. ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm đợc điều đó thì đòi hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính 1 sáng tạo. Việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều hớng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh. Có thể là một trong những mức độ sau đây: 1. Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán. 2. Thay đổi thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới cho có tính khái quát hơn. 3. Khai thác bài toán theo hai chiều "khi và chỉ khi". Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực tế giảng dạy trong nhà trờng tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó gợi ý hớng dẫn các em học sinh từng bớc hình thành phơng pháp suy nghĩ, khả năng thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức" áp dụng cho học sinh lớp 8. 2 pHần 2. Nội dung - Biện pháp thực hiện A. Cơ sở lý thuyết. I- Những kiến thức cần nhớ: Trớc hết để chứng minh đợc các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải nắm đợc định nghĩa và các tính chất sau đây: 1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay dạng a < b; a b; a b) là bất đẳng thức Nếu a > b a - b > 0; Nếu a b a - b 0; 2. Tính chất: - Nếu a < b b > a; - Nếu a < b, c a + c < b + c; - Nếu a < b, c < 0 ac > bc; - Nếu a < b, c > 0 ac < bc; - Nếu a < b và a, b > 0 1 > 1 a b A(x) 2 0 A(x) dấu "=" A(x) = 0; - A(x) 2 0 A(x) dấu "=" A(x) = 0; Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đờng lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau đồng thời xảy ra: 1. f(x) m x (D) 2. x 0 (D) : f(x o ) = m. Khi đó kí hiệu m = max f(x) b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu nh hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: 1. f(x) m x (D). 2. x 0 (D) sao cho f(x o ) = m. 3 Khi đó kí hiệu m = min f(x) II. Một số bài toán minh hoạ Đầu tiên cho học sinh nắm biết đợc: A(x) 2 0 A(x) dấu "=" A(x) = 0; - A(x) 2 0 A(x) dấu "=" A(x) = 0; (a b) 2 0 dấu "=" a = b; (ay - bx) 2 0 dấu "=" ay = bx; Trên cơ sở các bất đẳng thức đó học sinh xây dựng các bất đẳng thức sau: */ Cách xây dựng: Từ : (a - b) 2 0 a 2 + b 2 - 2ab 0 a 2 + b 2 2ab (1) 1. Cộng hai vế của (1) với a 2 + b 2 ta đợc: 2(a 2 + b 2 ) (a + b) 2 a 2 + b 2 ( a + b ) 2 2 2 2. Cộng hai vế của (1)với 2ab ta đợc: 3. Cho a, b > 0 từ Từ 2(a 2 + b 2 ) (a + b) 2 (*) (*) là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với a, b > 0; thì từ Bất đẳng thức Cô-si 4 (a + b) 2 4ab ab ( a + b ) 2 2 (a + b) 2 4ab 1 1 (a + b) 2 4ab 1 + 1 1 a b a +b (a + b) 2(a 2 + b 2 ) (a + b) 2 4ab a + b 2ab Để vận dụng một số cách thành thạo các bất đẳng thức trên cho học sinh làm một số bài tập sau: Bài toán 1.1: Cho a, b > 0; c > 0; Chứng minh rằng: A = a + b + a + c + b + c 6 c b a Hớng dẫn: A = a + b + b + c + a + c c c a a b b A = ( a + c ) + ( b + c ) + ( a + b ) 6 c a c b b a (Lu ý:a, b > 0; c > 0; ) a + c 2; b + c 2; a + b 2; c a c b b a Nâng dần mức độ bài toán 1. 1 thành bài 1.2. Bài toán 1.2: Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng: A = (a + b) 2 + (a + c) 2 + (b + c) 2 4(a + b + c) c b a Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Côsi (a + b) 2 + 4c 2 (a + b) 2 4c = 4 (a + b ) c c Tơng tự: (a + c) 2 + 4b 4 (a + c) b (b + c) 2 + 4a 4 (b + c) a Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh. 5 Từ bài toán 1.2 bài toán 1.3 Bài toán 1.3: Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng: A = (a + b) + (a + c) + (b + c) > 4 c b a Hớng dẫn: (a + b) = (a + b) c c (a + b) với a, b , c > 0 có c (a + b) (a + b + c) 2 1 2 dấu "=" c = a + b c (a + b ) a + b + c a + b 2 (a + b) dấu "=" c = a + b c (a + b ) a + b + c Tơng tự: c + a c + a dấu "=" b = c + a b (c + b ) a + b + c b + c 2 dấu "=" a = b + c a (b + c ) a + b + c cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh. Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì: a, b , c > 0; a + b + c > 0; */ Ta có thể áp dụng bài toán 1.1 để giải bài toán sau đây: 6 Bài toán 1.4: Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng: D = (a + b) + (a + c) + (b + c) 3 2 c b a Hớng dẫn: Ta có: D 2 = (a + b) + (a + c) + (b + c) c b a + (a+b) (b+c) + (a + b)(b+c) + (c+a)(b + c) bc ac ab Theo kết quả bài toán 1.1 ta có: a + b + a + c + b + c 6 dấu "=" a = b = c c b a mặt khác ta lại có: (a + b)(c + a) a + bc (a + b)(b + c) b + ac (b + c)(a + c) c + ab D 2 6 + 2 ( a + bc + b + ac + c + ab ) bc ac ab D 2 6 + 2 + 2 +2 + 2( a + b + c ) bc ac ab mà a + b + c 3 bc ac ab D 2 12 + 2 . 3 D 2 18 D 3 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c; Khai thác bài toán này ta thấy: 7 Cho a, b , c > 0; thì : Min D = 3 2 khi và chỉ khi a = b = c với D = (a + b) + (a + c) + (b + c) c b a Ta có thể đa bài toán sau về bài toán 1.1 Bài toán 1.5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: E = a + b + c 3 b+c-a a+c-b c+a-b Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để đa bài toán trên về dạng quen thuộc bài 1.1. Đặt: x = b + c - a > 0; y = a + c - b > 0; z = a + b - c > 0; y + z + x + z + x + y 6 x y z Bài toán 1.1 2a + 2b + 2c 6 b+c-a a+c-b c+a-b 2 ( a + b + c ) 6 b+c-a a+c-b c+a-b 2E 6 E 3 Sử dụng kết quả của bài toán 1.1 để làm bài tập sau: Bài toán 1.6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: H = a + b + c 3 b+c-a a+c-b c+a-b 8 Hớng dẫn: Đặt: x = b + c - a ; y = a + c - b ; z = a + b - c ; Vì a, b, c là các cạnh của tam giác nên x, y, z > 0; và x + y + z = a + b + c a = y + z ; b = x + z ; c = x + y 2 2 2 H = 2 ( y + z + x + z + x + y ) 3 2 x y z áp dụng bài toán 1.4 ( y + z + x + z + x + y ) 3 2 x y z H = 2. 3 2 H 3 2 Bài toán 2.1: Chứng minh rằng: 1 + 1 4 a b a + b Với a, b > 0; Hớng dẫn: Xét hiệu: H = ( 1 + 1 )- 4 = b(a+b) + a(a+b) - 4ab = a 2 + b 2 - 2ab a b a + b ab(a+b) ab(a+b) (a-b) 2 0 (dấu "=" xảy ra a = b) ab(a+b) Vậy 1 + 1 4 (dấu "=" xảy ra a = b) a b a + b 9 Sö dông kÕt qu¶ bµi 2.1 ®Ó lµm bµi to¸n 2.2 Bµi to¸n 2.2: 1 + 1 + 1 ≥ 2 ( 1 + 1 + 1 ) p - a p - b p - c a b c Víi a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vµ p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c ®ã. Híng dÉn: V× a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn a, b, c > 0; p - a> 0; p - b> 0; p - c> 0; ¸p dông kÕt qña bµi to¸n 2.1 ta cã: 1 + 1 ≥ 4 = 4 p - a p - b 2p - a- b c 1 + 1 ≥ 4 = 4 p -b p - c 2p - b- c a 1 + 1 ≥ 4 = 4 p - c p - a 2p - c- a b Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc: 2 ( 1 + 1 + 1 )≥ 4 ( 1 + 1 + 1 ) p - a p - b p - c a b c DÊu "=" x¶y ra ⇔ a = b = c; Bµi to¸n 3.1: Cho a, b > 0; a + b = 2. H = (1 - 4 )( 1- 4 ) a 2 b 2 T×m min H? Híng dÉn: Ta cã: H = ( a 2 - 4 )( b 2 - 4 ) a 2 b 2 H = a 2 b 2 - 4a 2 - 4b 2 + 16 a 2 b 2 H = 1 + - 4 (a 2 + b 2 ) + 16 (*) a 2 b 2 10 [...]... tơng tự bài toán 3.1 học sinh cũng chứng minh đợc: H' 9 min H' = 9 Ta có bài toán tổng quát nh sau: Nếu a, b > 0 và a + b = R thì bài toán tổng quát có dạng: ( M= 1- 2 )( 1- a2 2 b2 Tìm Min M? */ Kết quả : Min M = 9; 11 ) Phần 3 Kết quả Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và từ những bài toán... trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng, cụ thể tôi đã khảo sát chất lợng thực chất lớp 8A : Với một đề toán: (Thời gian là: 60') Câu 1:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)2 4 ab; Câu 2: (2 đ) Cho a > 2; b > 2; Chứng minh rằng: ab > a + b Câu 3: (6 đ) Chứng minh các bất đẳng thức: a ( )2 ab a+b a,b > 0 2 b ( a+b+c )3 abc a,b,c > 0 3 c ( a+b+c+d )4 abcd a,b,c,d > 0 4 */ Kết quả đạt đợc: - Kiểm tra... là các em khai thác lời giải theo mức độ thứ nhất Tuy nhiên khả năng tổng hợp khái quát hoá còn nhiều hạn chế Vậy đối với chơng trình cần dành thêm nhiều tiếp luyện tập để dần dần từng bớc hình thành cho các em phơng pháp kỹ năng và khả năng t duy sáng tạo cho học sinh Phần 7 kết luận Khai thác lời dạy của một bài toán nói chung và một bài tập chứng minh bất đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng rất... bài toán Đại số chọn lọc - Tác giả: Vũ Dơng Thuỵ 3/ Toán nâng cao đại số 8 - Tác giả: Vũ Hữu Bình 4/ Tạp chí toán học và tu i trẻ - Hội toán học Việt Nam 5/Một số vấn đề phát triển Đại số 8 - Tác giả: Vũ Hữu Bình 6/ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 - Tác giả: Bùi Văn Tuyên 7/ Bất đẳng thức chọn lọc cấp II - Tác giả: Nguyễn Vũ Thanh 15 16 . đề toán: (Thời gian là: 60') Câu 1:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức (a + b) 2 4 ab; Câu 2: (2 đ) Cho a > 2; b > 2; Chứng minh rằng: ab > a + b Câu 3: (6 đ) Chứng minh các bất đẳng. 9; 11 Phần 3. Kết quả Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và từ những bài toán đơn giản,. qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức. 2.2. Cơ sở thực tiễn Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói