Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu:a Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau. b Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau.c Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức.Giải:Chứng minh: chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức: (1).dòng idòng ktrong đó . Mà định thức (1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu: a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau. b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau. c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng (hay các cột) còn lại của định thức. 9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương ứng của một dòng (hoặc cột) khác đều bằng 0. 9.3 Giả sử nnij )a(A × = , n21 A,,A,A là các cột của A. Chứng minh rằng: 0Adet ≠ ⇔ hệ véc tơ { } n21 A,,A,A là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. 9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên một ma trận không là thay đổi hạng của ma trận đó. 9.5 Cho ( ) nm ij aA × = , B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng minh rằng ( ) rankAA.Brank = . Còn nếu ( ) nm ij aA × = , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì ( ) rankAB.Arank = . Còn nếu ( ) nn ij aA × = , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì ( ) ( ) rankAA.BrankB.Arank == . 9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A.BB.A = thì: a/ 222 BB.A2A)BA( ++=+ ; b/ 22 BA)BA)(BA( −=−+ ; c/ 32233 BB.A3B.A3A)BA( +++=+ 9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có Ο= 2 A thì các ma trận EAvµEA −+ là những ma trận không suy biến. 9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu: a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó. b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại. 9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu )kAdet(Adet = . Hãy tính k. 9.12 Chứng minh rằng: Nếu 2Adet = thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên. 9.16 Cho các ma trận − = − = − −= 82 94 07 C; 41 20 54 B; 32 13 21 A Hãy tính a/ B2A3 − ; b/ C2B4A5 −− 9.17 Cho − = − −= 52 13 B; 31 47 25 A Tìm C AA − và C BB − . 9.18 Cho −= −= 21 12 34 B; 13 15 31 A . Tìm X biết a/ ;BX3A2 =− b/ Ο=− X 3 2 A3 ; 9.19 Tính: a/ A 4 với = 00 10 A ; b/ B 3 với − = acosasin asinacos B 9.20 Chứng minh rằng: ma trận = dc ba X thoả mãn phương trình: 1 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên Ο=−++− E)bcad(X)da(X 2 , trong đó = 10 01 E ; =Ο 00 00 9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho EBAAB =− , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B. 9.22 Cho E3X4X)X(fTÝnh. 32 01 X 2 +−= = , trong đó = 10 01 E . 9.23 Cho EX5X3X)X(fvµ 43 12 B; 32 21 A 23 +−+= = − = . Tính f(AB). 9.24 Chứng minh rằng: ma trận = 300 010 001 X là nghiệm của đa thức E9X9XX)X(f 23 +−−= . 9.25 Tìm (f(A)) 2 nếu − −= 301 210 021 A và EX)X(f += . Giải các phương trình sau: 9.26 0 3x4 x32 det = + − ; 9.27 − = 23/31 13/2 det x31 21x 132 det . 9.28 0 003x 0x48 2x126 det = − − −− . 9.29 Cho a 1 , a 2 , …, a n–1 là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0. Giải phương trình: 0 a aaa a aaa a aaa x xxx det n3 1n 2 1n1n n 2 3 2 2 22 n 1 3 1 2 11 n32 = −−− 9.30 Tính các định thức sau: a/ 222 222 222 222 222 )3()2()1(1 )3()2()1(1 )3()2()1(1 )3()2()1(1 )3()2()1(1 D +η+η+ηη +γ+γ+γγ +δ+δ+δδ +β+β+ββ +α+α+αα = b/ a x x x D x b x x x x c x + = + + 9.31 Giải phương trình: 1 1 1 . . . 1 1 1 x 1 . . . 1 0 1 1 2 x . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 . . . (n 1) x − = − − − 2 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36: 9.32 22721272 22731273 D = 9.33 a/ 556275363 222 654373461 D = ; b/ 0x xx1 x0 xx1 xx 0x1 xx x01 11 110 D n = 9.34 a/ 5412 3844 1291 2673 D = ; b/ x0 00a 1x 00a 00 x0a 00 1xa 00 01a D n 1n 2 1 0 1n − − − = − + 9.35 2 3 4 5 3 4 5 6 D 4 6 8 10 2 3 7 8 = ; 9.36 a/ n nnnn n 4444 n 4333 n 4322 n 4321 D n = ; b/ 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 5 = ; c/ n 2222 2 4222 2 2322 2 2222 2 2221 D n = . 9.37 Cho ma trận A cấp 1010 × có dạng: 10 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 − ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ , các phần tử dạng 9,1k1a;10a 1k,k 10 1,10 =∀== + − ; E là ma trận đơn vị cấp 10. Chứng minh rằng: 1010 10)EAdet( −− −λ=λ− . 9.38 a/ Dùng công thức khai triển định thức, tính các định thức sau: 3 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên a/ 00320 00351 00120 22300 11213 D − − = ; b/ 210000 1090000 861600 151200 305043 200021 D − = 9.39 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận −= 231 121 315 A 9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận: a/ −−− = 4331 1241 2152 0121 A ; b/ = 10000 11000 11100 11110 11111 B ; c/ −− − = 221 142 213 C ; 9.41 Giải phương trình ma trận: a/ BAX = Với − − = − = 01 22 63 B; 231 121 312 A b/ CBAX =+ với = − − −− = − −= 211 113 362 C; 930 433 1549 B; 102 111 213 A . c/ BAX = với = 1 000 1 100 1 110 1 111 A ; − − = 1 000 2n 100 1n 210 n 321 B 9.42 Với giá trị nào của λ thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo: a/ 1 2 2 A 3 0 2 1 1 − = λ ÷ ÷ ; b/ 2 0 A 2 1 0 1 λ = λ ÷ ÷ λ ; c/ λ λ− −− = 31 13 451 A ; d/ −λ λ λ = 23 12 12 A . 9.43 Dùng phương pháp định thức bao quanh, tìm hạng của ma trận: a/ 1 2 3 4 1 3 0 1 A 2 4 1 8 1 7 6 9 0 10 1 10 − ÷ = ÷ ÷ ÷ ; 1 1 2 3 1 0 2 1 2 2 0 0 3 3 3 B 0 0 0 4 0 1 3 6 12 2 1 3 3 5 1 − ÷ − ÷ = ÷ ÷ − ÷ 9.44 Dùng các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận: 1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 A 1 3 2 1 1 3 3 2 3 1 − − − − ÷ = − ÷ ÷ − − ; 1 4 5 3 1 1 2 1 1 0 B 3 1 2 2 1 0 3 3 3 3 2 1 1 3 2 − − − − ÷ = − ÷ ÷ − − ÷ − − 4 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 9.45 Chứng minh rằng một ma trận có hạng bằng r bao giờ cũng viết được thành tổng của r ma trận có hạng bằng 1. 9.46 Cho hai ma trận cùng cấp A và B, chứng minh rằng rank(A B) rankA rankB+ ≤ + . 9.47 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ a/ { } 1 2 3 4 A ( 1,0, 3,1); A (1, 2,1,3); A (2,1,1, 1); A (4, 3,3,5)= − − = − = − = − b/ { } 1 2 3 4 B ( 1,0, 3,2); B (1, 2,1,0); B (2,0,1, 1); B (2, 3,3,1)= − − = − = − = − 9.48 a/ Cho hệ véc tơ { } 1 2 3 A (2,3,5); A (3,7,8); A (1, 6, ); X (1,3,5)= = = − λ = . Tìm giá trị của λ để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { } 321 A,A,A . b/ Cho hệ véc tơ { } 1 2 3 A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8,5, )= − − = = − = λ Tìm giá trị của λ để véc tơ X biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { } 321 A,A,A . c/ Cho hệ véc tơ { } 1 2 3 A (1, 1,a); A (3,2,2); A (4,3,1); C (2,1,3)= − = = = . Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { } 321 A,A,A . d/ Cho hệ véc tơ { } 1 2 3 A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)= − = − − = − − = − Tìm giá trị của a để véc tơ C biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ { } 321 A,A,A . 9.49 Tìm hạng và một cơ sở của hệ véc tơ sau, biểu diễn các véc tơ còn lại theo cơ sở đó: a/ { } 1 2 3 4 A (1,2, 1,3); A (0,3, 3,7); A (7,5,2,0); A (2,1,1, 1)= − = − = = − b/ { 1 2 3 4 A (2,1,1,3,5); A (1,2,1,1,3); A (7,1,6,0,4); A (3,4,4,1,2);= = = = } 5 A (3,1,3,2,1)= 9.50 Cho { } 1 2 m A ,A , ,AK là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n 1+ thì hệ m véc tơ n 1+ chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 9.51 Cho { } 1 2 m A ,A , ,AK là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n 1+ chiều mới là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải 9.2: Chứng minh: n kj ij j 1 a A = ∑ chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức: 11 12 1n 21 22 2n k1 k2 kn k1 k2 kn n1 n2 nn a a . . . a a a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . a (*1) . dòng i dòng k 5 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên trong đó 2 ≥ n . Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không ⇒ n kj ij j 1 a A 0 = = ∑ 9.3 Điều kiện cần: Cho ( ) nn ij aA × = có 0 ≠ Adet , ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì 0Adet = , mâu thuẫn với giả thiết. Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. – Điều kiện đủ: Giả sử hệ n véc tơ dòng (hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính, theo định nghĩa của hạng của hệ véc tơ thì ( ) nA, ,A,Arank n21 = , theo định lý 9.5.1 thì nrankA = , theo định nghĩa hạng của ma trận thì 0 ≠ Adet . □ 9.5 Do B là ma trận không suy biến nên tồn tại 1 B − . Xét ma trận ghép ( ) 1 BA − , nhân vào bên trái của ma trận này với B, ta được ( ) ( ) ( ) EA.BB.BA.BBA.B 11 == −− . Đó chính là phép khử toàn phần thực hiện trên ma trận 1 B − ⇒ nó là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên ma trận A để được B.A ⇒ ( ) rankAA.Brank = . Để chứng minh ( ) rankAB.Arank = , ta lấy chuyển vị B ′ , ( ) mn ji 1 aAvµ)B( × − = ′′ . Xét ma trận ghép ( ) )B(A 1 ′′ − , nhân vào bên trái của ma trận này với B ′ , ta được ( ) ( ) ( ) E)AB()B.(BAB)B(A.B 11 ′ = ′′′′ = ′′′ −− (vì E)B.B()B.(B 11 = ′ = ′′ −− ). Như vậy từ ma trận A, nhờ các phép chuyển vị và các phép biến đổi sơ cấp, ta đã thu được ma trận A.B ⇒ ( ) rankAB.Arank = □ 9.7 Ta có ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] det A E A E det A E det A E+ − = + × − (*1) Vì AE EA= nên ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 det A E A E det A E+ − = − , do 2 A = Ο nên ( ) ( ) 2 2 2 n det A E det E ( 1) 0− = − = − ≠ ⇒ ( ) det A E 0+ ≠ và ( ) det A E 0− ≠ ⇒ các ma trận A E + và A E − là những ma trận không suy biến. 9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi dấu tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng của định thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n làm cho định thức được nhân với n ( 1)− . b/ Đối với định thức cấp chẵn ( n 2k = ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1 − cho nhau; … dòng k và dòng k 1 + . Ta cũng đã biết: khi đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với k ( 1)− . Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4 thì định thức không đổi dấu. Đối với định thức cấp lẻ ( n 2k 1 = + ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k 1 + cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2 + . Do đó khi viết các dòng của định thức cấp 2k 1 + theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với k ( 1)− . Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu. 6 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các định thức cấp 4k và 4k 1 + không thay đổi, các định thức cấp 4k 1 vµ 4k 2− − sẽ đổi dấu (k nguyên dương). 9.9 Vì n det(kA) k detA= nên n k detA detA= . Nếu detA 0 = thì det(kA) detA= đúng với mọi k. Còn nếu detA 0≠ thì n k 1= ⇒ k 1= nếu n lẻ; k 1= ± nếu n chẵn. 9.10 Chứng minh rằng: Nếu 1 AA − = thì ,3,2,1,0nAA;EA 1n2n2 =∀== + Từ giả thiết 1 AA − = ⇒ 2 1 A A A E − = = ⇒ 2n n A E E= = n∀ nguyên dương ⇒ 2n 1 A A + = n∀ nguyên dương. □ 9.11 Chứng minh rằng: Nếu A, B là các ma trận vuông cùng cấp thoả mãn BAAB = và 0Adet ≠ thì 11 BABA −− = . 1 1 1 1 1 1 A B A BAA A ABA BA − − − − − − = = = . □ 9.12 Chứng minh rằng: Nếu 2Adet = thì các phần tử của ma trận nghịch đảo không thể gồm toàn các số nguyên. Do detA 2 0 = ≠ ⇒ tồn tại ma trận nghịch đảo 1 A − ⇒ 1 A.A E − = ⇒ 1 1 (detA).(detA ) det(A.A ) detE 1 − − = = = vì 2Adet = ⇒ 1 1 detA 2 − = ⇒ 1 A − không thể toàn các số nguyên. 9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho EBAAB =− , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B. Từ sự tồn tại của các ma trận AB và BA kéo theo A và B là các ma trận vuông cùng cấp. Giả sử ( ) ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij n n n n n n n n A a ; B b ; AB c ; BA d × × × × = = = = . Gọi AB BA V − là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận AB BA − ⇒ n AB BA ii ii 1 V (c d ) − = − = ∑ n n n ik ki ik ki i 1 k 1 k 1 a b b a = = = = − = ÷ ∑ ∑ ∑ n n n n ik ki ki ik i 1 k 1 k 1 i a b a b 0 = = = − = ∑∑ ∑∑ . Trong khi đó tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là E V n= . Vậy không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho EBAAB =− . 9.29 Phương trình 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 2 3 n 2 2 2 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 n 1 x x x . . . x a a a . . . a det 0 a a a . . . a . . . . . . . . . . . . . . . a a a . . . a − − − − ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ (với điều kiện a 1 , a 2 , …, a n–1 là các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm. Dễ dàng thấy 1 2 1 3 2 n n 1 x 0, x a , x a , , x a − = = = =K là n nghiệm khác nhau của phương trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi □ 9.30 a/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) D 1 ( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) α α + α + α + β β + β + β+ = = δ δ + δ + δ + γ γ + γ + γ + η η+ η+ η+ 7 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) α α + α + α + α + β β + β + β + β+ = δ δ + δ + δ + δ + γ γ + γ + γ + γ + η η + η + η + η+ 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) α α α + α + β β β + β+ δ δ δ+ δ + γ γ γ + γ + η η η + η+ 1 4 4 4 442 4 4 4 4 43 vì định thức (2) có được từ định thức (3) bằng cách cộng vào cột 3 một tổ hợp tuyến tính của 2 cột đầu. ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (5) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) D 0 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) α α α + α + α α α + α + α + β β β + β + β β β + β + β+ = = = δ δ δ+ δ + δ δ δ + δ + δ + γ γ γ + γ + γ γ γ + γ + γ + η η η + η+ η η η + η + η + 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43 Vì định thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu. b/ Nếu abcx 0 ≠ : a x x x D x b x x x x c x + = + + 1 x x 1 x x a 0 b x x x 1 b x x 0 x c x 1 x c x = + + + = + + 2 1 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x ab 0 1 x ax 0 1 x xb 1 1 x x 1 1 x 0 0 c x 0 1 c x 1 0 c x 1 1 c x = + + + + + + + . Vì định thức cuối cùng có hai cột giống nhau nên nó bằng 0. Định thức đầu tiên là định thức của ma trận tam giác nên 1 0 x ab 0 1 x ab(c x) abc abx 0 0 c x = + = + + . Lại tách hai định thức giữa theo cột cuối, mỗi định thức thành hai định thức, ta được: 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc 1 1 0 x b 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 = + + + + + , ở đây lại thấy 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 = ; 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = (có hai cột giống nhau); 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 = ; 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 = ⇒ D abc abx acx xbc= + + + Nếu chẳng hạn a 0 = thì 1 0 x D xb 1 1 x bcx 1 0 c x = = + . Nếu x 0 = thì a 0 0 D 0 b 0 abc 0 0 c = = . (Đáp số trong sách sai) 8 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 9.31 Phương trình: 1 1 1 . . . 1 1 1 x 1 . . . 1 0 1 1 2 x . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 . . . (n 1) x − = − − − là phương trình bậc n 1 − nên nó có không quá n 1− nghiệm khác nhau. Nhưng dễ thấy phương trình có n 1− nghiệm khác nhau là 1 2 n 1 x 0; x 1; . . . ; x n 2 − = = = − ⇒ phương trình chỉ có các nghiệm đó mà thôi (Đáp số trong sách bài tập thiếu nghiệm – không điểm) □ 9.33 a/ 556275363 222 654373461 D = 98 98 98 2 2 2 0 363 275 556 = = (Định thức có hai dòng tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0. 9.33 b/ n 0 1 1 . . . 1 1 1 0 x . . . x x 1 x 0 . . . x x D . . . . . . . . . . . . . 1 x x . . . 0 x 1 x x . . . x 0 = Lấy dòng 1 nhân với –x để cộng vào các dòng từ thứ hai trở đi, ta được: . n 0 1 1 . . . 1 1 1 x 0 . . . 0 0 1 0 x . . . 0 0 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 . . . x 0 1 0 0 . . . 0 x − − = − − Khai triển định thức theo dòng n, ta được: n 1 n 1 1 . . . 1 1 0 1 1 . . . 1 x 0 . . . 0 0 1 x 0 . . . 0 D ( 1) . x. 0 x . . . 0 0 1 0 x . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . x 0 1 0 0 . . . x + − − = − − − − − − (*1) Khai triển định thứ nhất theo cột n 1− (là định thức cấp n 1− ), ta được n 2 1 1 . . . 1 1 x 0 . . . 0 0 D x 0 x . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . x 0 − − ′ = = − − ; Định thức thứ hai 0 1 1 . . . 1 1 x 0 . . . 0 1 0 x . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0 . . . x − − − chính là n 1 D − . Thay vào (*1), ta được công thức: n 1 n 2 n n 1 D ( 1) x x.D n − − − = − − ∀ nguyên dương (*2) 9 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên Ta có 3 0 1 1 D 1 x 0 2x 1 0 x = − = − ⇒ 3 2 2 4 D ( 1) .x x.2x 3x= − − = − ⇒ Ta chứng minh được: n 1 n 2 n D ( 1) .(n 1)x n − − = − − ∀ nguyên dương (*3) hiển nhiên công thức đã đúng với n 3= . Giả sử (*3) đã đúng với n, ta chứng minh (*3) cũng đúng với n 1+ . Theo (*2) thì n n 1 n 1 n D ( 1) x x.D − + = − − theo (*3) thì n n 1 n 1 n 2 n 1 D ( 1) x x.( 1) (n 1).x − − − + = − − − − = n n 1 ( 1) x (1 n 1) − − + − = n n 1 ( 1) .n.x − − , tức là (*3) cũng đúng với n 1 + □ 9.34 a/ Định thức có cột một và cột 4 tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0. 9.34 b/ x0 00a 1x 00a 00 x0a 00 1xa 00 01a D n 1n 2 1 0 1n − − − = − + khai triển theo dòng n 1+ , ta được: 0 1 n 2 n 2 n n 1 n n n 2 n 1 a 1 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 a x 1 . . . 0 x 1 . . . 0 0 D ( 1) .a . x. ( 1) .a .( 1) x.D 0 x . . . 0 0 a 0 x . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . x 1 a 0 0 . . . x + + + − − − − − = − + = − − + − = n n a x.D+ n∀ nguyên dương (*1). Ta có: 0 2 1 0 2 0 1 3 1 0 1 2 2 a 1 0 D a ; D a x a ; D a x 1 a x a x a a 0 x − = = + = − = + + ⇒ dự đoán: n n n 1 n i n 1 0 1 n 1 n i i 0 D a x a x a x a a x n − − + − = = + + + + = ∀ ∑ L nguyên dương (*2). Hiển nhiên (*2) đã đúng với n 2= . Giả sử (*2) đã đúng với n nguyên dương tuỳ ý, theo (*1) thì n 2 n 1 n 1 D a x.D + + + = + , theo (*2) thì n n i n 2 n 1 i i 0 D a x. a x − + + = = + ∑ = n 1 n 2 0 1 n 1 n n 1 a x a x a x a x a + − + = + + + + +L = n 1 n 1 i i i 0 a x + + − = ∑ , tức là (*2) đúng với n n 1 ′ = + □ 9.35 2 3 4 5 3 4 5 6 D 0 4 6 8 10 2 3 7 8 = = , (dòng 3 và dòng 1 tỷ lệ với nhau). 10 [...]... Xét ma trận cấp m × n tạo bởi hệ véc tơ { A1 , A 2 , K ,A m } , do hệ này là hệ độc lập tuyến tính nên nó có hạng là m ⇒ ma trận tương ứng có hạng là m nên nó có ít nhất một định thức cấp m khác 0 Khi mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n + 1 thì ma trận tương ứng tăng thêm cột thứ n + 1 , nó vẫn có ít nhất định thức cấp m khác 0, định thức này vẫn chính là định thức trên Vì vậy ma trận. .. Vì vậy ta chỉ cần tính rank { A1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 } b/ Gọi A là ma trận tạo bởi hệ véc tơ { A1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 } , do hạng của một ma trận bằng hạng của hệ véc tơ dòng hay hệ véc tơ cột của ma trận đó nên ta tính hạng của ma trận: 1 −2 3 −4 −1 A = 1 −1 1 3 1 ÷ 3 −5 7 −5 3 ÷ 2 −3 4 −1 4 ÷ 14 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên (1) −2 3 −4 −1 1 −2 3 −4 −1 1 0... theo bài 9.50, hệ cũ là độc lập tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ hệ mới là phụ thuộc tuyến tính Cách 2: Hệ { A1 ,A 2 , K ,A m } phụ thuộc tuyến tính ⇒ rank { A1 ,A 2 , K ,A m } < m ⇒ ma trận tương ứng có hạng nhỏ hơn m ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không vẫn nhỏ hơn m Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi 16 Bài tập chương IX: Ma trận và định. .. −1,n −1 a n −1,n = a11a 22 L a nn + (−1)n +1 a12a 23 L a n −1,n a n1 9.40 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận: 1 1 1 1 1 1 −1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 −1 0 0 ÷ −1 c/ B = 0 0 1 1 1 ⇒ B = 0 0 1 −1 0 ÷ 0 0 0 1 1 0 0 0 1 −1 ÷ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ÷ 12 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 1 1 −1 0 0 0 1 ÷ 0 1 −1 0 0 ÷ 1 ÷ ⇒ B −1 = 0 0... thức con khác không vẫn nhỏ hơn m Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi 16 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên thành phần thứ n thì ma trận tương ứng mất đi cột thứ n ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không không thể tăng lên được Vì vậy ma trận mới vẫn có hạng nhỏ hơn m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng thấp hơn m ⇒ hệ véc tơ mới vẫn phụ thuộc tuyến... ⇒ det A = −λ 3 + 6λ + 5 ≠ 0 ⇔ λ ≠ −1 ; λ ≠ 1 ± 21 3 λ − 2 2 9.45 Nhận xét: “Ta dễ thấy một ma trận (khác ma trận không) mà tất cả các cột của nó tỷ lệ với nhau (tức là chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân) đều có hạng là 1” Giả sử A = (A1 ,A 2 , K ,A n ) là ma trận mà A j là cột thứ j của ma trận A ( j = 1,n ) Do rankA = rank { A1 ,A 2 , K ,A n } = r ⇒ tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính... xét: mỗi ma trận trong số 3 1 44 2 4 4 1 2 3 1 2 3 cét n cét r+1 r+2 4 4r cét ®Çu 4 4 44 2 4 4cét4 4 4 4 4 4 1 44 3 ma trËn r tổng của r ma trận trên đều có hạng là 1, đó là điều phải chứng minh 9.46 Giả sử A1 ,A 2 , K ,A n là các cột ma trận A; B1 ,B 2 , K ,B n là các cột của ma trận B Giả sử rankA = r ⇒ rank { A1 ,A 2 , K ,A n } = r ⇒ tồn tại hệ con r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ {... 1 −2 7 2 ÷ = F 3 −5 7 −5 3 ÷ 0 1 −2 7 6 ÷ 0 0 0 0 (4) ÷ 1 −3 4 −1 4 ÷ 0 −1 1 3 5 ÷ 0 0 −1 10 7 ÷ Xét định thức cấp 4 xếp theo trật tự: cột 1, cột 2, cột 3, cột 5; dòng 1, dòng 2, dòng 4, 1 0 −1 3 0 1 −2 2 dòng 3: D = 0 0 −1 7 = −4 ≠ 0 (định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần 0 0 0 4 tử trên đường chéo chính) ⇒ rank { A1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 } = rankC = rankF = 4 , hạng của... 0 1 16 / 5 11/ 5 0 ÷→ A = 7 3 18 8 ÷ → 25 0 30 5 ÷ → 0 0 0 3 2 10 5 ÷ (15) 0 18 3 ÷ 1 0 6 / 5 1/ 5 ÷ −2 7 3 λ ÷ 40 0 31 λ − 7 ÷ 0 0 −17 λ − 15 ÷ 15 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 0 1 0 16λ − 53 85 ÷ 0 0 0 0 ÷ → 6λ − 73 ÷ ⇒ rank { A1 ,A 2 ,A 3 } = rank { A1 ,A 2 ,A 3 ,X } = 3 ∀λ ⇒ hệ 1 0 0 85 ÷ 0 0 1 15 − λ ÷ 17 véc tơ { A1... rankA = rank { A1 ,A 2 , K ,A n } = r ⇒ tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại 1 0 0 Tổng quát: B = 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 13 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên của hệ véc tơ { A1 ,A 2 , K ,A n } ( r ≤ n ) Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết hệ r đó là r véc tơ đầu tiên: { A1 ,A 2 , K ,A r } ⇒ A k = ∑ z jk A j ∀ k