1 1 2 3 Chương 16: THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG THẲNG Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang ph ẳng, ta dùng công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố trong trạng thái ứng suất phức t ạp : u  1 2 E   2   2   2  2    1  2   2  3   3  1    2 J x  Trong trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng, trạng thái ứng su ất của phân tố là trạng thái ứng suất phẳng, do đó công thức trên s ẽ có dạng: u  1   2   2        (a) 2E 1 3 2 1 3 Nh ưn g:      1 2 (  / 2) 2   2  2 ,  3  2     2      2  2   2 (b) Cho nên u    2E 2 2(1 ) E N ếu kể đến: 2(1   )  1 E G Thì:  2  2 u     (c) 2E 2G ph ẳn g. Công th ức (c) cho ta thế năng riêng biến dạng đàn hồi trong d ầm chịu uốn ngang Thay bi ểu thức của ứng suất pháp  và ứng suất tiếp của dầm chịu uốn ngang M 2 Q 2 .  S c  2 ph ẳng vào đây, ta đượ c: u  2 y 2   2EJ 2 y x 2  2  2 x 2G J x  b Th ế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn thanh dz: d U   F u dz  dF Thay trị số của u vào và chú ý dz là hằng số đối với biểu thức tích phân, ta có:  M 2 Q 2  S c  2   U  dz    x y 2   y x  dF  2EJ 2 2Q J 2 (b c )   F  x  F x   S c  2 Nếu đặt: x 2  b c dF     2 3 y x y M dz Q 2 EJ y Và chú ý rằng  y 2 F dF  J x Thì th ế năng biến dạng đàn hồi trong một đoạn dz của thanh: M 2 dz dU  x    2EJ x Q 2 dz 2GF V ậy, thế năng biến dạng đàn hồi trong cả thanh với chiều dài l: 1 M 2 dz U 1 Q 2 dz   0 2EJ x   0   2GF N ếu dầm có độ cứng hay mô men uốn và lực cắt thay đổi trong từng đoạn thì: n 2 n x 2 dz U    li i  1 x    li   1  1 2GF Trong đó li là chiều dài của đoạn thứ i và n là số đoạn. Đối với mỗi dạng mặt cắt ngang, ta có hệ số  khác nhau. Hệ số này được gọi là hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. Mặt cắt ngang hình chữ nhật : = 1,20 4 K v = y Mặt cắt ngang hình tròn:  = 1,11 M ặt cắt ngang hình I: = F F 1 Trong đó: F - diện tích cũa chữ I ; F 1 - diện tích của lòng chữ I. C. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN. 5.13. KHÁI NI ỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong. Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32). Xét m ột điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng. Sau khi d ầm bị biến dạng, điể m K sẽ di chuyển đến vị trí mới K'. Kho ảng cách KK' được gọi là chuyển vị dài của điểm K. Ta s ẽ phân tích chuyển vị này làm hai thành phần: - Thành ph ần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y). - Thành ph ần u song song với trục dầm (song song v ới trục z). Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé, ta có thể bỏ qua thành ph ần chuyển vị u và xem KK' là bằng v, nghĩa là v ị trí O của K sau biến dạng là nằm trên đường vuông góc v ới trục thanh (hình 5.32). Chuy ển vị v được gọi là độ võng tại K của dầm và nó là hàm s ố đối với hoành độ z c ủa mặt cắt ngang. Vậy phương trình c ủa y đường đàn hồi có thể viết :   z  K P đường đàn ’ u h ồi z t = v(z) (a) y(z ) Hình 5.32:Đường đàn h ội c ủ a Trong kỹ thuật, khi tính dầm chịu uốn, người ta thường khống 5 chế không cho độ võng lớn nhất của dầm vượt quá một giới hạn nhất định, điều kiện đó được gọi là điều kiện cứng. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm: f = v max (b ) Thì điều kiện cứng thường chọn là:  f      l    1   100 1 100 0 (c) Trong đó: l- là chiều dài của nhịp dầm; tùy loại công trình mà ng ười ta quy định c ụ thể trị số f l . Sau khi tr ục dầm bị biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc , ta gọi góc xoay này là chuyển vị góc của mặt cắt ngang ở điểm K (còn gọi là góc xoay). Dễ dàng thấy rằng góc xoay  chính bằng góc giữa đường tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi và trục dầm khi chưa biến dạng (trục z). Do đó: tg    d y dz V ậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi d ầm bị biến dạng. 5.14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong của trục dầm sau khi biến dạng và mômen uốn như sau [xem công thức (5-1)]: 6 3 3 1  M x  EJ x (a) M ặc khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm số y(z), nên độ cong của đường đàn hồi đượ c tính theo công thức: 1   y    (b)   1  y  2  2 Từ (a) và (b), ta có được buểu thức (c): y       M x (c) 3 (1  y' 2 ) 2 EJ x Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Ta ph ải chọn dấu sao cho hai vế của đẳng thức trên đều thỏa mãn. Các m ẫu số EJ x và (1 + y' 1 ) 3/2 đều là những số dương, nên sự liên hệ về dấu giữa vế phải và vế trái của phương trình (c) phụ thuộc vào sự liên hệ về dấu giữa M x và y". Để xét sự liên hệ về dấu, ta khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như trên h ình 5.33. a A ) M x M x M x >0 y y’’< 0 x b A ) y x M x M x M x < 0 y’’ > 0 Từ hìn H h ì v n ẽ h , ta 5 t . h 3 ấy 3: giữ X a á M c x đ và ị n y h " lu d ô ấ n u lu c ôn ủ a ngư đ ợ ư c ờ d n ấ g u, d ch à o n nê h n ồi phương trình vi phân c ủa đường đàn hồi sẽ có dạng: y    M x (d)  1  y  2  2 EJ x Trong th ực tế , không cho phép các công trình hay chi tiết máy có chuyển vị lớn, nên góc xoay cũng bé và ta có thể bỏ qua y ’2 so v ới 1. Phương trình vi phân có dạng gần đúng như sau: y    M x EJ x T 7 x rong đó, tích EJ x là độ cứng của dầm khi uốn. (5-24) 5.15. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐÀN HỒI BẰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH. Để có được phương trình của góc xoay và đường đàn hồi ta phải tích phân phương trình vi phân (5.24). V ế phải của phương trình (5.24) chỉ là một hàm số của biến số z, nên phương trình vi phân đó là một phương trình vi phân th ường. L ấy tích phân lần thứ nhất phương trình (5.24) ta được ph ương trình góc xoay: M x   y'    E J Trong đó C là hằng số tích phân. dz  C (5-25) 8 B l  r c Lấy tích phân lần thứ hai phương trình (5-25) ta được ph ương trình của đường đàn hồi: 26)  M y   x  E J x   dz  C  dx  D    (5- Trong đó D là hằng số tích phân. N hư vậy để có  và y ta phải lập được biểu thức của mô men u ốn M x và của độ cứng EJ x . Các h ằng số tích phân C và D được xác định theo các điều kiện biên. Ví dụ 6: Viết phương trình góc xoay và độ võng của một dầm bị ngàm và chịu lực tập trung ở đầu tự do. Dầm có độ cứng không đổi. q P B A z A z C l l / / 2 2 y y Hình 5.34:Tính độ võng Hình 5.35 Tính độ võng và Bài giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang ó có hoành độ z là: M x = - P (l-z) (a) Thay bi ểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau: y   P E J x (l  z) Vì EJ x là hằng, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình c ủa góc xoay: 2  = y  = Pl z E J x  P z 9    C E J x 2 (b) Tích phân l ần thứ hai ta được phương trình của đường đàn hồi: y = Pl 2E J x  z 2  P 6EJ x  z 3  Cz  D (c) V ới dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau: Khi z=0, thì độ võng và góc xoay bằng không y =0; y= 0. V ới điều kiện biên đó, ta tìm được C=0 và D=0. Như vậy phương trình góc xoay và độ võng có dạng:   y   Pl  z   Pz 2 ; Plz 2 y     3  z   EJ x 2EJ x 6EJ  l  Nhìn trên hình (hình 5.34), ta thấy ngay độ võng và góc xoay có giá tr ị lớn nhất là ở đầu tự do của dầm (tại z=1): Pl 3 f   3EJ x ;  max   Pl 2 2EJ x 10 3 Các giá trị này đều dương, điều đó chứng tỏ rằng độ võng h ướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới) và mặt cắt ngang tại đó có góc xoay thuận chiều kim đồng hồ. Ví dụ 7: Một dầm chịu lực như hình 5-35.Biết độ cứng chống uốn EJ không đổi. Tìm độ võng f c tại C và góc xoay  tại A, B ?. Giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là: M  q  lz  z 2   x 2 (a) Thay bi ểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình của đường đàn hồi như sau: y   q 2EJ x  z 2  lz   Vì EJ x là hằng số, nên lấy tích phân lần thứ nhất ta được phương trình của góc xoa y:   y    q  z 3    lz 2     C (b) 2 EJ x  3 2   Tích phân lần thư 2 ta được phương trình của đường đàn hồi: y  q  z 4    lz 3     Cz  D (c) 2 EJ x  12 6   Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được xác định như sau: Khi z = 0, y = 0 (*) ; z=l , y = 0 (**) Thay l ần lượt (*) và (**) vào (b) và (c), ta có: D=0 ; C   Như vậy, phương trình góc xoay và độ võng có dạng: ql 3 24EJ x  = y' = q  z 3   lz 2       ql 3 2 EJ x  3 2  24 EJ x [...]... hiểu và tự xây dựng như ở trên Sử dụng phương pháp thông số ban đầu, ta có thể giải trực tiếp được một số bài tóan siêu tĩnh của dầm chịu uốn Các ví dụ sau sẽ minh họa cho việc sử dụng phương pháp này * Ví dụ 10: Tìm độ võng tại khớp B của dầm cho trên hình 5.42 có độ cứng chống uốn EI bằng hằng số q Bài giải: Chọn trục z nằm ngang, hướng sang phải và có z gốc ở mút trái A Dầm được A C B chia thành hai... một số biểu đồ dạng đường cong bậc hai và bậc cao Trên bảng 5.2 có ghi diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ đó Ví dụ 8: Tính độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do của dầm chịu lực như trên hình 5.37 Bài giải: A Trên hình 5.37b biểu diễn biểu đồ a) mô men uốn M trong dầm thực l Theo (5-27) và bảng 5.1, tải trọng giả tạo và dầm giả tạo được biểu diễn như P trên hình 5.37c Biểu đồ Pl M Để tính góc xoay... ( A )  l  2EJ võng và góc xoay 2 3 EJ bằng ồ toán 1  Pl  l  2 l  Pl  y  M gt A ) 2 EJ 3 3EJ (A Ví dụ 9: Xác định độ võng và góc xoay ở đầu mút tự do A 112 của một trục chịu lực như hình 5.38 Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M trong dầm thực được biểu diễn trên hình 5.38b Dựa (5-27) và bảng 5.1 chúng ta sẽ tính tải trọng phân bố giả tạo và chọn dầm giả tạo như hình 5.38c Để tính lực cắt giả tạo... o ay bằ A N Đh ư ơ.ng pháp đồ toán ẦU p Phương pháp tích phân không định hạn để tìm độ võng từ phương trình vi phân (524) sẽ trở nên cồng kềnh, khó khăn khi phải lập biểu thức mômen uốn cho nhiều đoạn Bài toán sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nếu ta dùng phương pháp thông số ban đầu, một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong cơ học công trình.Trong điều kiện xuất hiện các phép tính, thông qua sự phát... (528) IV 
y V  Thay y 
y"' 
y Q; q ;
M; thế : q' EJ EJ EJ EJ M(0 M y  Q(0) P y 0  Ta 
) 0 ; 
 0
 có: EJ
 EJ EJ EJ y IV 0 
q(0) 
q0 EJ EJ y V (0) 
q' (0) 
q'0 116 EJ EJ Nếu tải trọng phân bố là hàm bậc nhất thì q"= 0 và ta dừng lại ở số hạng yV(0) vừa viết Thay các giá trị này vào (5-28) ta có :   y1  y 0  z
 M 0 z 2  P0 z 3  q 0  (5-29)   01 4 ... góc xoay theo chiều thuận kim đồng hồ; B< 0 chứng tỏ theo >0 > 0 chiều ngược kim đông hồ Sở dỉ như vậy là hệ trục ozy đã chọn O z O z khác với hệ trục toạ độ toán học mà ta thường gặp , hình 5.36 y 5 .16 XÁC ĐỊNH ĐỘ Hình 5.36: Thay đổi hệ toạ VÕNG VÀ GÓC độ XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN) Ở trên ta đã thiết lập sự liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lự: 11 dQ  q; dM . 1 1 2 3 Chương 16: THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG THẲNG Để tính thế năng biến dạng đàn hồi. góc xoay của mặt cắt khi d ầm bị biến dạng. 5.14. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI. Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong của trục dầm sau khi biến dạng và mômen uốn. không đổi. q P B A z A z C l l / / 2 2 y y Hình 5.34:Tính độ võng Hình 5.35 Tính độ võng và Bài giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang ó có hoành độ z là: M x = - P (l-z) (a) Thay