Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai Phần I : Mở đầu A - Lý do chọn đề tài : Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nớc thì phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển nh- vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà tr-ờng không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật đợc. Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tơng lai. Sự phát triển của nền kinh tế thị trờng, sự xuất hiện nề kinh tế tri thức trong tơng lai đòi hỏi ng-ời lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm chất thích hợp để bơn chải vơn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phơng tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đói với con ngời hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng nh của xã hội. Nh vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trớc đây nặng về việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, ph-ơng pháp, hình thức tổ chức, phơng tiện, cách kiểm tra đánh giá - Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã đợc mở rộng, các kiến thức và kỹ năng đợc hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu : + Năng lực hành động + Năng lực thích ứng + Năng lực cùng chung sống và làm việc + Năng lực tự khẳng định mình. Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng là một trong những thành tố của năng lực HS. Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh(45%) cha thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh đợc sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có mồn sự am hiểu vững trắc về lợng kiến thức căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. C - Mục đích nghiên cứu : - Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích nh sau : + Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phơng pháp dạy học tích cực rất rễ thực hiện. + Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nói riêng có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đa ra biện pháp tối u khi áp dụng phơng pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn. + Qua sáng kiến này tôi muốn đ-a ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chơng căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ t duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con ngời học sinh. + Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm để làm luận cứ cho phơng pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo. D - Phạm vi nghiên cứu : Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số Nhóm sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chơng I - Đại số 9. Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy đợc những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác. Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán về căn bậc hai. E - Đối tợng nghiên cứu : Nh đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tợng cụ thể sau : 1. Giáo viên dạy toán 9 THCS 2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 4 lớp 9 với tổng số 151 học sinh F - Phơng pháp nghiên cứu - Đọc sách, tham khảo tài liệu. - Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp. - Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm. -Thông qua học tập BDTX các chu kỳ. Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của tr-ờng trong những năm học tr-ớc và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra đợc một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến. Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra d-ới các hình thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đ-ợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản. Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phơng pháp sau : -Quan sát trực tiếp các đối t-ợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó. -Điều tra toàn diện các đối t-ợng học sinh trong 4 lớp 9 của khối 9 với tổng số 151 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ). -Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận thức, phơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo dục. - Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra. . . tôi đã đa vấn đề này ra h-ớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh đợc những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh. - Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo. G - Tài liệu tham khảo : 1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trờng THCS môn toán" của Bộ giáo dục và Đào tạo 2. Tài liệu bồi d-ỡng th-ờng xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo. 3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo. 4. Giáo trình " Phơng pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT 5. SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT) Phần II : nội dung đề tài A. Chơng I : cơ sở lý luận I -Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng pháp dạy học tích cực : 1. Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học : Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ng-ời học; bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên". Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng t cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trng môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện của từng đối tợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dỡng cho học sinh phơng pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS". -Quan điểm dạy học : là những định hớng tổng thể cho các hành động phơng pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng nh những định hớng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học. Quan điểm dạy học là những định hớng mang tính chiến l-ợc, c-ơng lĩnh, là mô hình lý thuyết của PPDH. Những quan điểm dạy học cơ bản : DH giải thích minh hoạ, DH gắn với kinh nghiệm, DH kế thừa, DH định hớng HS, DH định hớng hành động, giao tiếp; DH nghiên cứu, DH khám phá, DH mở. 2. Phơng pháp dạy học tích cực : Việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới đồng bộ từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH. Mục đích của việc đổi mới PPDH ở tr-ờng phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo phơng pháp dạy học tích cực(PPDHTC) nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập. Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi, khám phá, phát hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin HS tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất. Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra chân lý. Chú trọng hình thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,) dạy phơng pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tơng lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển xã hội. PPDH tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động. PPDHTC h-ớng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS, nghĩa là hớng vào phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học chứ không chỉ hớng vào phát huy tính tích cực của ngời dạy. Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hởng đến cách dạy của thầy. Mặt khác, cũng có trờng hợp HS mong muốn đ-ợc học theo PPDHTC nhng GV ch-a đáp ứng đợc. Do vậy, GV cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phơng pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả. PPDHTC hàm chứa cả phơng pháp dạy và phơng pháp học. * Đặc trng của phơng pháp dạy học tích cực : a) dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh. b) Dạy học trú trọng rèn luyện phơng pháp và phát huy năng lực tự học của HS c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác. d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá. e) Tăng cờng khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV 3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục Đào tạo con ng-ời phát triển toàn diện căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và nhiệm vụ đầu năm học 2007 2008 là tiếp tục đổi mới chơng trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục ở tất cả các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lợng, đồng bộ về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạoNhằm nâng cao chất lợng giáo dục. II Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm : 1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học. Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh cha linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự t duy thì học sinh không xác định đợc phơng hớng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm đợc bài. Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu. Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chơng I đại số 9 thì ngời thầy phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ đó có phơng án Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai 2 . Chơng Căn bậc hai, căn bậc ba có hai nội dung chủ yếu là phép khai phơng(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng căn bậc hai. 3 . Cách trình bày và đa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai ở chơng trình SGK cũ năm học 2004-2005 : a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai : -Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm. -Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phơng bằng nhau và ngợc lại nếu hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau. - Với hai số a,b : Nếu a>b thì a 2 > b 2 và ngc lại nếu a 2 > b 2 thì a >b. -Bình phơng của một tích(hoặc một thơng) bằng tích(hoặc thơng) các bình phơng các thừa số(hoặc số bị chia với bình phơng số chia). b) Căn bậc hai của một số : * Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x 2 = a. Ta thấy : - Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x 2 =a - Nếu a > 0 có hai số thực x mà x 2 =a, một số thực dơng x 1 >0 mà x 1 2 =a và một số thực âm x 2 <0 mà x 2 2 =a, hơn nữa đó là hai số đối nhau. * Công nhận : Ngời ta chứng minh đợc rằng với mọi số thực a = 0 luôn luôn tồn tại số thực duy nhất x= 0 mà x 2 =a. Ta ký hiệu x = a và gọi là căn bậc hai số học ca a * Từ đó đa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a không âm 4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) a) Đa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 -Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 =a. -Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdơng kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a -Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 = 0 b) a ra định nghĩa : Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0. c) Đa ra chú ý : Với a= 0, ta có :. Đa ra nội dung về phép khai phơng : Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng. e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định đợc các căn bậc hai bậc hai của nó. III -Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai : 1. Kiến thức : Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phơng (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. * Nội dung của phép khai phơng gồm : - Giới thiệu phép khai phơng(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm) - Liên hệ của phép khai phơng với phép bình phơng - Liên hệ phép khai phơng với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : Với a = 0, b = 0, ta có : a < b ba<.) - Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia * Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính chất phép tính khai phng). 2. Kỹ năng : Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức. * Có thể kể các kỹ năng về tính toán nh : - Tìm khai phơng của một số ( số đó có thể là số chính phơng trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thơng của chúng, đặc biệt là tích hoặc thơng của số đó với số 100) - Phối hợp kỹ năng khai phơng với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phơng) * Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức nh : -Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các công thức nêu ở phần trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức AB =BA theo chiều từ phải qua trái. - Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong những lớp trớc) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu. Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.) Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng đợc hình thành và củng cố trong phần này nh : -Giải toán so sánh số - Giải toán tìm x - Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho - Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8) -Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phơng trình tích) -Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính. Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng tơng ứng và nhiều khi, chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng). B. Chơng II : Nội dung thực hiện I -Các bớc tiến hành 1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm. 2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp. 3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cơng. 4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập. 5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai thành từng nhóm. 6. Đa ra định hớng, các phơng pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các ví dụ cụ thể. 7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm. II -Khảo sát đánh giá : Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập. GV cần lu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót(nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác. Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai của 139 học sinh lớp 9 năm học 2007-2008 là : 38/139 em chiếm 27,33%. Trong bài kiểm tra chơng I - Đại số 9 năm học 2007-2008 của 139 học sinh thì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 56/139 em chiếm 40,3%(nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 200-2008) Nh vậy số lợng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai là tơng đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh đợc khi làm bài tập trong năm học 2007-2008 này là một công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trờng . III -Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bc hai So với ch-ơng trình cũ thì chơng I - Đại số 9 trong chơng trình mới này có những điểm mới và khó chủ yếu sau : 1. Điểm mới : -Khái niệm số thực và căn bậc hai đã đ-ợc giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phơng. -Phép tính khai phng và căn bậc hai số học đợc giới thiệu gọn, liên hệ giữa thứ tự và phép khai phơng đợc mô tả rõ hơn sách cũ ( nhng vẫn chỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7) - Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn ( nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập) -Cách trình bày phép tính khai phơng và phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai đợc phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phơng thể hiện điều đó) - Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng đợc SGK chú ý để HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ? có ngay trong phần bài học mỗi bài. 2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh : -Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chơng với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (nh biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phơng pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn ) - Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn nh căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phơng, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức). IV -Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai : Nh đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hớng sai lầm chủ yếu sau : 1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học : a) Định nghĩa về căn bậc hai : * ở lớp 7 : - Đa ra nhận xét 3 2 =9; (-3) 2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9. - Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 =a. -Số dơng a có đúng hai căn bậc hai, một số dơng ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là - a * ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đa ra định nghĩa căn bậc hai số học. b) Định nghĩa căn bậc hai số học : Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Sau đó đa ra chú ý : với a = 0 Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ căn bậc hai và"căn bậc hai số học. Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16. Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4. Ví dụ 2 : Tính 16 .Học sinh đến đây sẽ giải sai nh sau : Do 4 2 =(-4) 2 =16 Nh vậy học sinh đã tính ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 ;-4 Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau. Lời giải đúng : 16 = 4 2 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4 2 = 16) Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích. c) So sánh các căn bậc hai số học : Với hai số a và b không âm, ta có a < b suy ra ba < Ví dụ 3 : so sánh 4 và 15 .Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đa ra lời giải sai nh sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của đều nhỏ hơn 15 ). Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học xong bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. Lời giải đúng : 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 ,ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học! d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học . Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết : x 2 =15 e) Sai trong thuật ngữ khai phơng Ví dụ 5 : Tính - 25 -Học sinh hiểu ngay đ-ợc rằng phép toán khai phơng chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 25 là một căn bậc hai âm của số dơng 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau : - 25 = 5 và - 5 Lời giải đúng là : - 25 =-5 g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A 2 = | A| a/ Căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn. A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm. b/ Hằng đẳng thức : 2 A = | A| Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phơng và phép bình phng Ví dụ 6 : Hãy bình phơng số -8 rồi khai phơng kết quả vừa tìm đợc. Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) (-8) 2 = 64 , nên khai phơng số 64 lại bằng -8 Lời giải đúng : (-8) 2 = 64 và 64 =8 2 a = | a| cho thấy Bình phng một số, rồi khai phơng kết quả Mối liên hệ ú cha chc s c s ban u Ví dụ 7 : Với a 2 = A Cụ thể ta có (-5) 2 = 25 nhng 25 =5 2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của (b sung) * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể cha nắm vững đợc chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có 2 A = | A| s cú kt qu tựy thuc vo giỏ tr ca A nh th no, ngha l õm hay dng. Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16. B= 199441616 ++++++ xxxx * Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta đợc hai giá trị của x là x 1 = 15 và X 2 =-17 nhng chỉ có giá trị x 1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2 = -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x = -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. Ví dụ 11 : Tìm x, biết : Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M. V -Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai : 1. Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục đợc nhợc điểm này của học sinh. 2. Xét biểu thức phụ có liên quan : Ví dụ 1 Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A : 3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học : Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phơng một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phơng một thơng, quy tắc chia hai căn bậc hai, đa thừa số ra ngoài dấu căn, đa thừa số vào trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dơng hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hớng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu đợc bài toán đó . Ví dụ 3 : Cho biểu thức : Trên đây là một số phơng pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hớng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm đợc phơng pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác. VI-Kết quả thực hiện : Qua thực tế giảng dạy chơng I- môn đại số 9 năm học 2007-2008 này. Sau khi xây dựng đề cơng chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm đợc rút ra từ năm học 2006-2007 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A, 9B chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên. Cụ thể : Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 73 em Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 66 em chiếm 90,4%. (ở năm học 20062007 là 73%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hớng đi đúng. Bài kiểm tra chơng I : Tổng số 73 em Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 56 em chiếm 76,7% (ở năm học 20062007 là 60%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và t duy cao. Nh vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lợng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung đợc nâng lên. VII-Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện : Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu nhng phơng án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chơng I-Đại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nh sau : * Về phía giáo viên : -Ngời thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lợng của từng học sinh, nắm vững đợc đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tợng học sinh và phải hiểu đ-ợc gia cảnh cũng nh khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phơng pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tợng học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đa ra phơng pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn. -Thông qua các phơng án và phơng pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn đợc đại đa số các em khác hăng hái vào công việc. -Giáo viên cần thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phơng pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phơng pháp giảng dạy để nâng cao chất lợng dạy và hc - Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh. * Về phía học sinh : - Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập. -Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu đợc bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh đợc những sai lầm khi giải toán. -Phải có đầy đủ các phơng tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi Casio fx từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thờng xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân. VIII-Kết luận : Phần kiến thức về căn bậc hai trong chơng I- Đại số 9 rất rộng và sâu, tơng đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học đợc tốt phần chơng I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thờng mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này. [...]... đợc lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ sung cho tôi để sáng kiến đợc đầy đủ hơn có thể vận dụng đợc tốt và có chất lợng trong những năm học sau Tôi xin chân thành cám ơn ! Phần III : theo dõi thực hiện Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thực tế từ tuần 1 đến tuần 9 (dạy chơng I- Đại số 9) năm học 2008-20 09 đợc kết quả nh sau : Kết quả thực hiện 1 -Học sinh có ý thức học...Để nâng cao chất lợng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần chơng I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phơng pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh Với sáng kiến Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai tôi đã cố... thờng xuyên - Học sinh cần hc kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp - Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý - Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 cha nhiều, tầm quan sát tổng thể cha cao, lại nghiên cứu trong... G - Tài liệu tham khảo : 9 Phần II : nội dung đề tài : 10 A Chơng I : cơ sở lý luận : 11 I- Quan điểm về đổi mới phơng pháp : 12 II- Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm : 13 III- Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai : 14 B Chơng II : Nội dung thực hiện : 15 I - Các bớc tiến hành : 16 II - Khảo sát đánh giá : 17 III - Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bậc hai... - Khảo sát đánh giá : 17 III - Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bậc hai : 18 IV - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai : 19 V - Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai : 20 VI- Kết quả thực hiện : 21 VII- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện : 22VIII- Kt lun 23 Phần III : Theo dõi thực hiện : ... tp đúng tng lờn Tồn tại : -Học sinh bị hổng kiến thức cũ, kiến thức cơ bản từ lớp dới tơng đối nhiều do thời gian hè dài học sinh cha có điều kiện ôn và cập nhật lại Điu chỉnh bổ sung -Yêu cầu học sinh ôn tập lại bài cũ, củng cố lại các kiến thức về căn bậc hai đã đợc học từ lp 7 - Còn nhiều học sinh cha vận dụng tốt các phơng pháp hoặc cha nắm vững ngay kiến thức cơ bản của bài học do đó còn cha theo... đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trớc đã dạy Tôi xin đợc đề xuất một số ý nhỏ nh sau nhằm nâng cao chất lợng dạy và học của giáo viên và học sinh : - Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chơng trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút đối tợng học sinh tham gia - Giáo viên cần... toàn bộ các phơng pháp về giải toán căn bậc hai - Phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh mắc phải và tránh những sai lm ú - Một số học sinh yếu vẫn cha nhớ và cha hiểu sâu phơng pháp - Một số học sinh khác đã quên kiến thức của phần đầu chơng - Động viên khích lệ kịp thời học sinh học đợc và cha học đợc -Nghiêm khắc với những học sinh còn cố tình chây lời trong học tp 9 - Theo dõi và thu thập kết quả... đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hớng và đa ra đợc hớng cũng nh biện pháp khắc phục các sai lầm đó Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các ph-ơng pháp khắc phục và định hớng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận... các bài tập đơn giản để học sinh nắm đợc phơng pháp làm bài và tự tìm ra những sai lầm trong bài làm của mình để bài sau làm chính xác hơn 7 -Đa ra một số dạng bài tập tổng quát có liên quan đến nhiều kiến thức để học sinh thực hiện, các bài tập ở mức độ khó hơn - Đa số học sinh đã nắm đợc phơng pháp, hiểu kỹ và sâu về các phơng pháp thì khoảng 50% trên tổng khoảng 50% trên tổng số học sinh - Nhìn chung . rút ra kinh nghiệm. -Thông qua học tập BDTX các chu kỳ. Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm của tr-ờng trong những năm học tr-ớc và vốn kinh nghiệm của. của sáng kiến kinh nghiệm : 1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hớng dẫn học sinh giải toán. giảng dạy chơng I- môn đại số 9 năm học 2007-2008 này. Sau khi xây dựng đề cơng chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm đợc rút ra từ năm học 2006-2007 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A, 9B